מודל בלק שולס מרטון

1

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

מרטון שולס בלק מודללכלכלה נובל 1997פרס

אופציות וחוזים עתידייםאופציות וחוזים עתידייםפרופ' רפי אלדורפרופ' רפי אלדור

2


אופציות ואנילה אופציות ואנילה

ב- 1973• מסחר CBOEפתיחתבלק- 1973• של מאמריהם ומרטון פרסום שולס

–1973ולמרטון- 1997• לשולס לכלכלה נובל פרס•1993" א- בת בבורסה מסחר פתיחת

3


השפעתם של גורמים שונים על מחירהשפעתם של גורמים שונים על מחירהאופציההאופציה

השפעה על מחירי ה-PUT

השפעה על מחירי ה-CALL

הגורם (עליה ב:)

מחיר המניה

מחיר המימוש

סטיית התקן

שער הריבית

שיעור הדיבידנדים

אורך חיי האופציה *

לעלות* מסוימים במקרים יכול אירופאיות באופציות. לרדת אחרים ובמקרים

4


מודל נאיבימודל נאיבי

: דרכים בשתי נכסים לקנות ניתן

כיום – • נשלם זה במקרה ישירה קניהS.

זה – • במקרה האופציה דרך קניהכיום נשלם

הפרמיה ( מחיר X)Cאת את ובעתיד.Xהמימוש

5


נוסחת המודל הנאיבינוסחת המודל הנאיבי

SXXC =+)(

שקולות אלו דרכים כי טוען הנאיבי המודלריבית ( בהנחת ):0%היינו

:( ריבית ( כל כללי ובאופן

( ) Sr

XXC T =

++1

)(

6


ונקבל אגפים נעביר

Tr

XSXC

)1()(

+−=

המודל הנאיביהמודל הנאיבי

7


+−=0

)1()( Tr

XS

MaxXC

CALLCALLנוסחת המודל הנאיבי עבור אופציית נוסחת המודל הנאיבי עבור אופציית

8


PUTPUTנוסחת המודל הנאיבי עבור אופציית נוסחת המודל הנאיבי עבור אופציית

−

+=0)1()(

Sr

XMaxXP T

9


CALLCALLגרף הערך הנאיבי של אופציית גרף הערך הנאיבי של אופציית

נאיבי שווי

כיום מדד

10


PUTPUTגרף הערך הנאיבי של אופציית גרף הערך הנאיבי של אופציית

נאיבי שווי

כיום מדד

11


הערות למודל הנאיביהערות למודל הנאיבי

עמוק • אופציות לתמחור טוב קרוב מהווה המודל. הכסף בתוך

•. ודאות של בעולם הינו המודל

12


התכנסות מודל בינומי לבלק ושולסהתכנסות מודל בינומי לבלק ושולס

. תקופתי – דו בינומי מודל כמו רקורסיבית צורה באותה חישוב

ל למספר – , BSהתכנסות אותו מחלקים אם נתון זמן עבורתקופה כל של הזמן משך כאשר תקופות של וגדל הולךבגבול , הרי מצטמצם תקופה כל של הזמן משך כאשר

תקופה( כל ואורך לאינסוף שואף התקופות מספר כאשר ,( לחישוב מתכנס הבינומי המודל לפי החישוב לאפס שואף

. ושולס בלק מודל לפי

13


הערכת שווי אופציותהערכת שווי אופציותSCHOLESSCHOLES ו- ו- BLACKBLACKהמודל של המודל של

למימון 1973בשנת הפרופסורים שני פרסמוFISHER BLACK- וMYRON SCHOLES אתמאמרם

מחיר הערכת . CALLאופציה על אירופית בתחום דרך פריצת היווה זה . מאמר אופציות מחירי הערכת

הנוסחה את פיתח אליהן מרטון ( במקביל ).1973רוברטמרטון 1997בשנת ורוברט שולס למירון נובל פרס הוענק

ב ( - ניפטר בלק פישר זה מדעי הישג ).1995בזכות

14


SCHOLESSCHOLES ו- ו- BLACKBLACKהנחות מודל הנחות מודל

. ההנחות אחת זוהי רציף הוא בבורסה המסחרעל ושמירה סיכון חסר תיק יצירת המאפשרות

" של מכירה או קנייה י ע הוודאית התשואהומכירות ( קניות בהתאם אופציות או מניות

סיכון המנטרל היחס על לשמור מאפשרות אלה.( הזמן שחולף ככל המשתנה הנכון

. ומיסים עמלות אין. קבוע סיכון חסר ריבית שער

. קבועה הבסיס נכס תשואת של התקן סטיית

ולכן לוגנורמלי מתפלג הבסיס נכס מחירהתפלגות בעלת היא הבסיס נכס תשואת

נורמלית.

15


עולם של ודאותעולם של ודאות

( בוודאות ( בפקיעה הכסף בתוך שתהיה אופציה ערך

( )[ ] rTrT XeSXTSeC −− −=−=

16


נוסחת בלק ושולסנוסחת בלק ושולס

( ) ( )

( ) ( )

T

T

5.0/

12

2

1

21

σ

σσ

−=

++=

−= −

dd

TrXSLnd

dXNedSNC rT

17


CALLCALLשווי אופציית שווי אופציית

)2(*)1(*)( dNXedNSXC rt−−=

t

trXSnd

σσ )5.0()/(1

12++=

אופציית של ערכה זה מודל :CALLלפי

נכס * – * הסתברותי גורם מהוון מימוש מחיר הסתברותי גורםאופציה = בסיסכאשר:

tdd σ−= 12

-)N(d1ו- ערכי )N(d2ו -d1הינם ההתפלגות d2ו בטבלת. סטנדרטית הנורמאלית

N(d1) -בקרובל למימושהאופציה. N(d2)שווה להסתברות בקרוב שווה

18


דוגמא מהספר דוגמא מהספר

שולס – : בלק של בנוסחה לשימוש דוגמא נביא: ש נניח

%20

%20

2466.0365/90

200

205

==

===

=

σr

T

X

S

. שנתיים במונחים מצוינים האחרונים הנתונים ששלושת לב שים

19


המשך דוגמאהמשך דוגמא

( ) ( ) N200205 )2466.0(2.021

−−= eddNC

20


מושגים שימושיים של הדוגמאמושגים שימושיים של הדוגמא

37.9

0014.0

78.0

21.17

62.14

5

=Ω≡=≡=≡=≡

=−≡=−=

−

χh

C

XeS

XSrT

. האופציה של הפנימי הערך

. האופציה למחיר התחתון הגבול

ושולס בלק לפי האופציה מחיר .

האופציה של הדלתא .

האופציה של הגמא .

. האופציה גמישות

21


CALLCALLהצגה גראפית הצגה גראפית

אופציית שווי של גראפית הצגה מודל CALLלהלן : BSלפי

כיום אופציה שווי

כיום מדד

BSערך

פנימי ערך

נאיבי ערך

22


אופציה שוויC(200)

" פ" ע ח בשושולס בלק

SBC /

מחיר המניה

תחתון גבוללמחיר ,האופציה פנימי( שווי

( בפקיעה שווי

5

205200

14.62

C=17.21

23


אופציה של ערכהPUT:

)1(*)2(*)( dNSdNXeXP rt −−−= −

פנימי ערך

BSערך

נאיבי ערך

כיום אופציה שווי

כיום מדד

PUTPUTהצגה גראפית הצגה גראפית

24


הגורמים המשפיעים על שווי אופציה הגורמים המשפיעים על שווי אופציה

בנוסחא מוצב גורם סימול

מעוף בסיס X 100 מדד נכס S

מימוש מחיר X 100מחירמימוש

X

, לתקופה סיכון חסרת ריבית. שנתיים במונחים

ריבית r

נכס תשואת של תקן סטיית. שנתיים, במונחים הבסיס

תקן סטיית

. , שנתיים במונחים למימוש זמן זמן למימוש

t

מודל :5יש BSלפי האופציה מחיר על המשפיעים גורמים

σ

25


דוגמא מהחוברתדוגמא מהחוברת

: בנוסחה לשימוש דוגמא

על עומד מעוף היא. 500מדד השנתית תקן .20%סטייתלשנה – סיכון חסרת .8%ריבית

ערך את .90ל – ) C(490של BSחשב יום

26


BSBS לפי לפי CALLCALLערך ערך

30866368.0*98.0*490006763.0*50000)490(

98.0

6368.0)35.0( 6763.0)45.0(

35.0365/902.045.02

45.01.0

0246.00202.0365/902.0

365/90)2.0*5.008.0()490/500ln(1

365/90*08.0

2

=−===

===−=

=+

=++=

−−

C

ee

NN

d

d

rt

27


השפעת הגורמיםהשפעת הגורמים

: האופציות מחירי על השונים בפרמטרים עליה השפעת להלן

על השפעהPUT

על CALLהשפעה גורם סימול

בסיס נכס S

מימוש מחיר X

ריבית r

תקן סטיית

? למימוש זמן t

σ

28


סטיות תקן גלומותסטיות תקן גלומות

ערך את לנו תיתן בנוסחא הפרמטרים חמשת של .BSהצבה , לשאול ניתן כלשהו במחיר נסחרת האופציה בשוק כי נניח

. מתוך שארבעה מכיוון זה במחיר הגלומים הפרמטרים מהם , התקן סטיית מהי לשאול ניתן ידועים הפרמטרים חמשת

. האופציה במחיר הגלומהשל התיאורטי ערכן עולה כך עולה התקן שסטיית CALLככל

התקן PUTו – סטיית כך יותר גבוה השוק שמחיר ככל מכאן . יותר גבוהה באופציה הגלומה

29


סטיות תקן גלומות והדרישה לביטחונותסטיות תקן גלומות והדרישה לביטחונות

הגלומות התקן בסטיות משתמשת אביב בתל ערך לניירות הבורסההבא והמחזור הנוכחי למחזור לכסף מסביב האופציות ארבעת של

. ביטחונות לצרכי לאופציות הנכונה התקן סטיית לחישוב . מבחינתה הנכונה התקן סטיית מהי הבורסה מודיעה בוקר בכל כך

30


VIXVIXסטיות תקן גלומות ומדד הפחד- סטיות תקן גלומות ומדד הפחד-

בשוקי כונתה המניות מדד על האופציות בשערי הגלומה התנודתיות " שערי " של שהתנודתיות העובדה בשל הפחד מדד המערביים ההון

. כלכליים משברים של בתקופות משמעותי באופן עולה המניות

בשיקגו 1993בשנת האופציות בורסת –CBOEהשיקה - ה התנודתיות מדד VOLTILITY INDEX -VIX את

31


מדד התנודתיות בארה"במדד התנודתיות בארה"ב

32


מקדמי רגישותמקדמי רגישות

. מהפרמטרים אחד לכל ביחס הנוסחה את לגזור יכולים אנו: כלהלן באותיות מסומנות אלו נגזרות

נגזרות גורם סימולהנגזרת ( גמא דלתא

השנייה)

האופציה מנוף

בסיס נכס S

מחיר מימוש

X

רו ריבית rווגא תקן סטייתתטא למימוש זמן t

σ

∆ΓΩ

ρ

θ

Λ

33


דלתאדלתא

. הבסיס נכס למחיר ביחס האופציה של הראשונה הנגזרת הינההמדד כאשר האופציה בשווי בשקלים השינוי בקירוב הינה

. סיכון חסר תיק לבניית המשמש ההגנה יחס הינה בנקודה עולה

:CALLעבור . תמיד חיובית

. עולה שהמדד ככל עולהבאופציות 100ל 0בין ( 1ל 0בין

( ף" מעו : ל )N(d1שווה

1

0 מדד

∆

34


דלתאדלתא

. הבסיס נכס למחיר ביחס האופציה של הראשונה הנגזרת הינההמדד כאשר האופציה בשווי בשקלים השינוי בקירוב הינה

. סיכון חסר תיק לבניית המשמש ההגנה יחס הינה בנקודה עולה

:PUTעבור . תמיד שלילית

( שהמדד ( ככל מוחלט בערך יורדתעולה.

- 100ל 0בין- ( 1ל 0בין ( " ף מעו באופציות

: ל N(d1(0- 1שווה

-1 מדד

∆

35


גמאגמא

מדד

Γ

. הבסיס נכס למחיר ביחס האופציה של השנייה הנגזרת הינהעולה המדד כאשר בדלתא בשקלים השינוי בקרוב הינה

. ( ל( בנקודה מימוש PUTו – CALLיורד מחיר אותו עם. . תמיד חיובית גמא אותה יש

. בכסף האופציה כאשר היא ביותר הגבוהה הגמא

36


תטאתטא

. לזמן ביחס האופציה של הראשונה הנגזרת הינה. , יום חולף כאשר האופציה בשווי בשקלים השינוי בקרוב הינה

. הכסף באזור הינה ביותר הגבוהה התטא

CALLעבור PUTעבור , חיובית להיות עשויה

. אפס, או שלילית. תמיד שלילית

מדד מדד

θ θ0 0

37


ווגאווגא

. התקן לסטיית ביחס האופציה של הראשונה הנגזרת הינהסטיית כאשר האופציה בשווי בשקלים השינוי בקרוב הינה

ב – עולה .1%התקן.PUTו – CALLל ווגא אותה יש מימוש מחיר אותו עם

. חיובית תמיד הווגא

מדד

Λ

38


רורו

. לריבית ביחס האופציה של הראשונה הנגזרת הינההריבית שער כאשר האופציה בשווי בשקלים השינוי בקרוב הינה

ב – .1%עולהעבור תמיד עבור CALLחיובית תמיד .PUTושלילית

39


, , גמא , תטא הדלתא ,מהי , גמא , תטא הדלתא מהישלאסטרטגיית שלאסטרטגיית ווגא ? ווגא ?בוקס בוקס

40


ערך פנימי וערך זמןערך פנימי וערך זמן

ערך את לחלק למימוש – BSניתן האופציה ערך פנימי לערךערך, – זמן וערך .BSמידי הפנימי הערך פחות

אופציית של הזמן .CALLערך חיובי תמידאופציית של הזמן , PUTערך שלילי חיובי להיות עשוי

. ,( אפס( או הכסף בתוך עמוק האופציה כאשר , ערך מתקצר לפקיעה שהזמן .BSככל הפנימי לערך מתכנס

ערך המימוש , BSבמועד ערך היינו הפנימי לערך שווההינו .0הזמן

41


אופציית מט"חאופציית מט"ח

( ) )2(*1*)( * dNXedNSeXC rttr −− −=

אופציית של בסיס CALLערכה נכס על אירופאיתריבית ):*rהמשלם הדולר ( על היא האופציה כאשר לדוגמא

כאשר:

tddt

trrXSd σ

σσ −=+−+= 12

)5.0*()/ln(1

2

42


על שער הדולר על שער הדולרPUTPUTאופציה אופציה

של יהיה PUTערכה

)1(*)2(*)( * dNSedNXeXP trrt −−−= −−

מודל בלק שולס מרטון

Documents

Transcript of מודל בלק שולס מרטון