ב' לינארית תשע"באלגברה ־ ב' סמסטר

I חלק

מעבר מטריצת

קואורדינטות

הגדרה:

B = ויהי (F שדה מעל n (מימד וקטורי ומרחב V יהיα ∈ V וקטור לכל .V של סדור1 בסיס {α1, α2, . . . , αn}קיימים כלומר, .B אברי של לינארי כצירוף יחידה הצגה יש.α = t1α1 + · · · + tnαn ש: כך יחידים t1, t2, . . . , tn ∈ F

סימון: .B בסיס לפי α של הקואורדינטות נקראים ה־ti־ים

[α]B =

t1...

tn

.B בסיס לפי α של הקואורדינטות וקטור נקרא ־ [α]B ∈ Fn

דוגמאות:

:α = (1, 2, 3) וקטור עבור

[α]B = ⇐= B = {(1, 0, 0) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1, )} .1−1−13

המתאים במקדם B מאברי אחד כל נכפול אם כי למה?

.α את נקבל ([α]B (של

.α = −β1 − β2 + 3β3

(הבסיס B′ = {(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)} .2

[α]B′ =

123

⇐= הסטנדרטי)

:M2 (R) במרחב ־ משנה הסדר בה למקרה דוגמה .3

.B =

{[0 10 0

],

[1 00 0

],

[0 00 1

],

[0 01 0

]}

[A]B =

badc

:A =

[a bc d

]עבור

B′ל־ Bמ־ המעבר מטריצת

בסיסים: שני עבור.B′ = {β1, . . . , βn}ו־ B = {α1, . . . , αn}

היא: המעבר מטריצה

(P ∈Mn (F )) P =

.

.

.

.

.

.

[α1]B′ · · · [αn]B′

.

.

.

.

.

.

בסיס יהיה זה הוקטורים סדר את נשנה אם לסדר. משמעות יש 1כלומר,

אחר.

עבור התנאי את מקיימת אשר יחידה מטריצה היא P מטריצה.λ ∈ V כל

.[λ]B′ = P · [λ]B.B′ בסיס Bלפי בסיס אברי קוארדינטות הן P עמודות

Bל־ B′מ־ המעבר מטריצת

היא P אזי ההפוך, בכיוון מעבר לעשות רוצים ואנחנו במידההמעבר את עושה Q שלה ההופכית והמטריצה הפיכה מטריצה

ההפוך: בכיווןQ = P−1

ויעיל חשוב טיפ

ואחד מעבר מטריצת עבורם לבנות שצריך בסיס שני לנו יש אםכדאי אזי e1, e2, . . . דהיינו: הסטנדרטי, הבסיס הוא הבסיסיםלבסיס סטנדרטי הלא מהבסיס המעבר מטריצת את לבנותההופכית. המטריצה את למצוא הצורך במידת ואז הסטנדרטיהבסיס הם שעמודותיה מטריצה זאת לנו שיוצא מה הסיבה:

נוספים. חישובים בלי סטנדרטי, הלא

אחד? ובסיס מעבר מטריצת לנו נתונה אם עושים מה

B′ מבסיס מעבר מטריצת שהיא P מטריצה לנו שנתונה נניח.B′ בסיס את למצוא עלינו .B בסיס לנו ונתון Bל־

וקטור כל ,B′ = {β1, . . . , βn} כך: B′ בסיס את מסמניםכלומר, .B הבסיס כפול P במטריצה iה־ לעמודה שווה βiB = כך: בנוי מימדים n בעל הוא שגם B שבסיס נניח

כך: יראה βi וקטור אזי ,{α1, α2, . . . , αn}

(תזכורת: [βi]B =

P1i

.

.

.

P1n

⇒ β1 = P1i ·α1 + · · ·+Pni ·αn

jה־ ובשורה iה־ בעמודה האיבר פירושו Aij :A מטריצה עבורהמטריצה). של

שעלינו מה כל ־ 2P ומטריצה B′ לנו נתון זאת לעומת אםאת ולעשות Q שלה ההופכית המטריצה את למצוא זה לעשות

למעלה... שכתוב מה

אחר לבסיס אחד מבסיס וקטור של מעבר

הבסיס שהוא B ∈ R(3) בסיסים שני לנו ויש נניחC = למשל: אחר, בסיס C בסיס ועוד הסטנדרטייש אם השאלה, נשאלת כעת .{(1, 0, 1) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1)}אותו להציג ניתן כיצד ,α = (a, b, c) כאשר α ∈ B וקטור לנו

.[α]C בצורת אותו להציג כלומר, ?C בסיס ידי עלתשובה

במטריצה, הנ"ל הוקטורים את לשים הוא לעשות שעלינו מה כלאותה: לדרג ואז הסדר לפי כעמודות(!!!), 1 0 0 a+ b

0 1 0 a− c0 0 1 b− a+ c

←− 1 1 1 a

0 1 1 b1 0 1 c

C בסיס ע"פ אותו להציג ונרצה α וקטור את ניקח אם כלומר,

אזי: ,

Bל־ B′מ־ מעבר מטריצת להיות שמוגדרת מטריצה 2כלומר,

1

ב' לינארית תשע"באלגברה ־ ב' סמסטר

.(α הוקטור רכיבי הינם a, b, c) [α]C =

a− ba− c

−a+ b+ c

שקיבלנו מה לפי אזי α = (1, 1,−2) ש־ נניח בדיקה:

.[α]C =

03−2

הוקטור מקדמי את (כלומר, C בבסיס הוקטור את נכפול עכשיו,

ונקבל: (C בבסיס [α]C0·(1, 0, 1)+3·(1, 1, 0)−2·(1, 1, 1) = (3− 2, 3− 2,−2) =

הוקטור! אותו את בדיוק וקיבלנו ־ (1, 1,−2) = αXנוספת: אפשרות

ההופכית: המטריצה את למצוא־ נקבל

a b c 1 −1 01 0 −1−1 1 1

=

a− ba− c

−a+ b+ c

II חלק

לינאריות העתקות

ותכונות הגדרה

וקטורי ממרחב שמעבירה פונקציה זאת לינארית העתקהוקטורי: למרחב

V,W ) המרחב פעולות על שומרת אשר ־ T = V →Wשדה). אותו מעל וקטורים מרחבים

תכונות: שתי לקיים חייבת הלינארית ההעתקה

: α, β ∈ V לכל החיבור: על שמירה .1.T (α+ β) = T (α) + T (β)

:α ∈ V ולכל: λ ∈ F לכל בסקלר: כפל על שמירה .2T(λ · α

)= λ · T

(α)

ו־2): מ־1 (נובעת T של הלינאריות תכונת .3מתקיים: λ1, . . . , λn ∈ F ולכל α1, . . . , αn ∈ V לכל

T (λ1α1 + · · ·+ λnαn) = λ1T (α1)+· · ·+λnT (αn).

דוגמאות

הפונקציה . T (x, y, z) = (x+ y, x+ z) ,T : R(3) → R(2)

ע"פ זה את לבדוק (אפשרת לינארית. העתקה כן היא הנ"לנכון). שזה ולראות שלמעלה התנאים

A ע"י המוגדרת ההעתקה

:x ∈ Fn וקטור ועבור A ∈Mm×n (F ) כלשהי מטריצה עבורTA : Fn → Fm, TA (x) = A · x

בלבד... אחת לינארית העתקה מגדירה מטריצה שכל לומר ניתןהמטריצה: למשל,

A =

[cos θ − sin θsin θ cos θ

]

הראשית). (סביב מעלות θ ב־

[xy

]הוקטור של סיבוב מגידה

כך: זאת לרשום ניתן

TA : R(2) → R(2)

TA

([xy

])=

[cos θ − sin θsin θ cos θ

]·[xy

]

חשוב משפט

מטריצה קיימת אזי לינארית, העתקה T : Fn → Fm תהיאומרת (זאת T = TA ש־ כך A ∈ Mm×n (F ) ־ יחידה

.(x ∈ Fn לכל T (x) = A · xהזאת. מהצורה היא לינארית העתקה כל

?A את מוצאים איך

A =

.

.

.

.

.

.

.

.

.

T (e1) · · · T (en).

.

.

.

.

.

.

.

.

.Fn של הסטנדרטי הבסיס הם e1, . . . , en כאשר

הערות

R3מ־ לינארית העתקה הוא הראשית סביב R3 של סיבוב •לישר ביחס לשיקוף ביחס כנ"ל .(R2 לגבי גם (נכון R3ל־

בראשית. שעובר

אינה ־ הראשית לא שהיא אחרת נקודה סביב סיבוב •לינארית. העתקה

1 דוגמא

כי: ונתון T : R3 → R3 לינארית העתקה נתונה.T (e3) = (0, 0, 1) ,T (e2) = (0, 1, 1) ,T (e1) = (1, 1, 0)

?T (a, b, c) מה השאלה:פתרון:

(a, b, c) = a · e1 + b · e2 + c · e3= T (a, b, c) = T (a · e1 + b · e2 + c · e3)

:T מלינארית= a · T (e1) + b · T (e2) + c · T (e3)

= a (1, 1, 0) + b (0, 1, 1) + c (0, 0, 1) = (a, a+ b, b+ c)

משפט

יהי ,dimV = n נניח .F מעל וקטורים מרחבים W ו־ V יהיווקטורים β1, . . . , βn ויהיו V של בסיס B = {α1, . . . , αn}לינארית העתקה קיימת אזי שונים3). דווקא (לאו W ב־ כלשהם.1 ≤ i ≤ n לכל T (αi) = βi שמקיימת T : V →W יחידה

.β1 = β2 למשל להיות יכול 3כלומר,

2

ב' לינארית תשע"באלגברה ־ ב' סמסטר

ותמונה גרעין

הגדרה

לינארית. העתקה T : V →W תהיגרעין:

ע"י: ומוגדר kerT מסומן: T של הגרעיןV ב־ הוקטורים כל כלומר, ־ kerT = {α ∈ V |T (α) = 0W }מדובר כן גם (לכן עצמו האפס וקטור מלבד ל־0, שמועתקיםה־0 וקטור בגלל ריקה קבוצה לא בטוח וזאת היות בתת־מרחב,

נשמרים). המאפיינים ושארתמונה:

ע"י: ומוגדרת imT מסומנת T של התמונהכמו רעיון אותו ־ imT = {T (α) |α ∈ V } = {β ∈W}אינה זאת מרחב, בתת מדובר כאן (גם פונקציה. של בתמונההתנאים שאר כאן וגם ה־0, וקטור את (יש ריקה קבוצה

נשמרים).

.ν (T ) ע"י: ומוסמן T של האפסיות נקרא: kerT של המימד.ν (T ) = dim (kerT )

.r (T ) ומסומן T של הדרגה נקרא imT של המימד

kerTA = A של האפס מרחב4imTA = A של העמודות מרחב

ν (TA) = (האפסיות) A של האפס המרחב מימדr (TA) = rank (A)

המימד: נוסחתאזי: dimV = n ונניח לינארית העתקה T : V → W תהי

.ν (T ) + r (T ) = n

T : V →W לינארית העתקה בהינתן

ורושמים x ∈ V כללי איבר לוקחים kerT את למצוא כדי •הומוגנית למערכת זה שוויון מתרגמים .T (x) = 0

.T של הגרעין היא הפתרונות קבוצת ופותרים.

ו־ b ∈ W כללי איבר לוקחים ,imT את לחשב כדי •זה שווויון מתרגמים .T (x) = b ורושמים: x ∈ Vזו מערכת שעבורם ה־b־ים את ומוצאים לינארית למערכת

.imT הם האלה b־ים ה תקינה.

בנספח מצויות השיטות לגבי מפורטים יותר הסברים –הקודם.

ומסקנות משפטים

אזי: לינארית. העתקה T : V →W תהי חשוב: משפט.ker T = {0V } ⇐⇒ חד־חד־ערכית היא T

חד־חד־ היא TA ־ A ∈ Mm×n (F ) תהי מהמשפט: מסקנהטריוויאלי. פתרון רק יש A · x = 0 למערכת ⇔ ערכית

ניתן A של העמודות מרחב ואת A של האפס מרחב את מוצאים איך 4לגבי

הקודם. בנספח לראות

ויהיו לינארית העתקה T : V → W תהי משפט:אזי: α1, . . . , αn ∈ V

אזי: V ב־ לינארית תלויים α1, . . . , αn ∈ V אם .1הכיוון וגם .W ב־ לינארית תלויים T (α1) , . . . , T (αn)לינארית תלויים T (α1) , . . . , T (αn) אם נכון: הוא השני

.V ב־ תלויים α1, . . . , αn אזי W ב־

6⇐ בת"ל α1, . . . , αn בד"כ: נכון אינו 1 של ההפך .2ההפוך). בכיוון כן (וגם בת"ל T (α1) , . . . , T (αn)

α1, . . . , αn ו־∋ לינארית העתקה T : V → W תהי משפט:T (α1) , . . . , T (αn) אזי V את יוצרים α1, . . . , αn אם V

(!W את (ולא imT את יוצרים

T אם לינארית. העתקה T : V → W תהי משפט:V ב־ בת"ל וקטורים מעבירה T אזי חד־חד־ערכית היאאזי, בת"ל α1, . . . , αn אם כלומר: .W ב־ בת"ל לוקטוריםהקודם מהמשפט (ההבדל בת"ל T (α1) , . . . , T (αn) ∈ Wחד־חד־ בהכרח אינה T ששמה הוא למעלה] משפטים [שני

ערכית.אם אזי: חח"ע לינארית העתקה T : V → W אם מסקנה:T (α1) , . . . , T (αn) אז ,V של בסיס מהווים α1, . . . , αn

.imT של בסיס מהווים

קיים כי נניח לינארית. העתקה T : V → W תהי משפט:T (α1) , . . . , T (αn) ש־ כך V של B = {α1, . . . , αn} בסיס

חח"ע. T אז: imT ל־ בסיס מהווים

dimV = כי נניח לינארית, העתקה T : V →W תהי משפט:אזי: ,dimW = n

על. היא T ⇔ חח"ע היא T

A של האפס מרחב מימד אז A ∈ Mm×n (F ) תהי משפט:.n− rank (A) ל־ שווה

המשפטים של סיכום

שקולות: הבאות הטענות לינארית. העתקה T : V →W תהי

חח"ע. T .1

.ker (T ) = {0V } .2

.W ב־ בת"ל לוקטורים V ב־ בת"ל וקטורים מעבירה T .3

.imT של לבסיס V של כלשהו בסיס מעבירה T .4

.imT של לבסיס T ע"י שמועבר V של בסיס קיים .5

לינאריות העתקות של אלגברה

הגדרה+סימון

L (V,W ב־( מסמנים .F מעל וקטורים מרחבים W ו־ V יהיו.T : V →W הלינאריות ההעתקות כל את

L (V, V ) של קיצור הוא L (V )

3

ב' לינארית תשע"באלגברה ־ ב' סמסטר

בסקלר וכפל חיבור פעולות

α ∈ V וקטור ועבור ,λ ∈ F עבור ,T, S ∈ L (V,W ) עבורהבאות: הפעולות מוגדרות

חיבור:.T +S ∈ L (V,W ) כמו־כן: ,(T + S) (α) = T (α) +S (α)

לינארית). העתקה הוא החיבור גם (כלומר,(T + S) (α+ β) = T (α+ β) + S (α+ β) =

(T + S) (α) + (T + S) (β)בסקלר: כפל

.(λT ) (α) = λ · T (α) ,λT : V →WλT ∈ L (V,W ) כלומר, ,λT ∈ L (V,W )

במטריצות... שהיו לאלו זהות בסקלר, והכפל החיבור תכונות

לינאריות העתקות של (הרכבה) כפל

לינאריות. העתקות S : W → Uו־ T : V → W תהיינהST : V → U ע"י: מוגדרת ST (הרכבה) המכפלה

הוקטורי שהמרחב כך לינאריות העתקות שתי להרכיב (ניתןשממנו הוקטורי המחרב הוא הראשונה, מתעתיקה שאליו

השניה). ההעתקה מעתיקה.α ∈ V לכל (ST ) (α) = S (T (α))

.ST ∈ L (V,U)ש־ כמובןאת ממחישה הבאה הדיאגמרה פונקציות, של הרכבה כמו זה

זה:

VT //

ST

<<WS // U

(ST ) (λα) = λ (ST ) (α) אופן: שבאותו וכמובןהתכונות: את כאן שם אני מורכב טיפה במשהו שמדובר בגלל

(הרכבה) הכפל של תכונות

לכל (TS)R = T (SR) .1.T ∈ L (U,Z) , S ∈ (W,V ) , R ∈ L (V,W )

VR // W

S // UT // Z

לכל (T + S)R = TR+ SR .2.R ∈ L (V,W ו־( T, S ∈ L (W,V )

לכל T (R+ S) = TR+ TS .3.R,S ∈ L (V,W ו־( T ∈ L (W,U)

.a, b ∈ F (aT ) (bS) = (ab) (TS) .4

הפוכה העתקה

ועל. חח"ע היא T כי ונניח לינארית העתקה T : V →W תהיT−1 : W → V הפוכה (פונקציה) העתקה T ל־ קיימת אזי

.T−1 · T = IW ,T · T−1 = IV שמקיימת:Tn ־ n טבעי מספר לכל אז לעצמו) (ממרחב T ∈ L (V ) אם

Tn = T · T · · ·T︸ ︷︷ ︸n times

ע"י: מוגדרת

ב־◦60, הראשית סביב סיבוב היא T : R(2) → R(2) אם למשל:מעלות. 120◦ ב־ הראשית סביב סיבוב היא T 2 אזי

III חלק

איזומורפיזםקצר: מבוא

נוכל R [X]4ו־ R4 למשל: וקטורים, מרחבים שני ניקח אםאחרת! מוצגים שפשוט זהים מרבים בשני שמודבר לראותנקראים כאלה מרחבים שני שונה. החיצונית הצורה רק כלומר,

איזומורפים. מרחבים

סימון + הגדרה

.F שדה מעל וקטורים מרחבים W ו־ V יהיוועל. חח"ע שהיא לינארית העתקה זוהי W ל־ V מ־ איזומורפיזםקיים אם V ∼= W ורושמים: W ל־ איזומורפי V ש־ אומרים

.T : V →W איזומורפיזם

והגדרות משפטים

וחשוב: מרכזי משפט.F שדה מעל סופית נוצרים וקטוריים מרחבים W ו־ V יהיו

.dimV = dimW ⇔ V ∼= W

מסקנה:מתקיים: F שדה מעל n ממימד V וקטורי מרחב לכל

.V ∼= Fn

T את המייצגת המטריצה

כאשר: ,W ו־ V בסיסים: שני יהיוdimV = n, dimW = m

,V של בסיס B = {α1, . . . , αn}.W של בסיס C = {β1, . . . , βm}

T : V →W לינארית: העתקה T תהיאזי:

[T ]B =

.

.

.

.

.

.

.

.

.

[T (α1)]B · · · [T (αn)]B.

.

.

.

.

.

.

.

.

.B בסיס ע"פ T של המייצגת המטריצה גם נקראת [T ]Bו־

.[T ]BB המייצגת: המטריצה של קיצר והיא

למצוא אפשר הסטנדרטי הבסיס לא והוא במידה הסטנדרטי. הבסיס להיות חייב לא B)בסיסים). בין מעבר של בנספח 1 בסעיף הסטנדרטי לבסיס Bמ־ המעבר וקטור את

עמודות כלומר: .B אברי לפי C של המייצגת מטריצת ־ [T ]BC

T (αi) הלינארית ההעתקה לאחר (αi) B אברי הן המטריצהניתן ,C בסיס ע"פ ההצגה האחרון, השלב (לגבי [T (αi)]C ־ C בסיס ע"פ

בסיסים). בין המעבר של בנספח 1 בסעיף זאת לעשות ניתן איך לראות

[T ]BC =

.

.

.

.

.

.

.

.

.

[T (α1)]C · · · [T (αn)]C.

.

.

.

.

.

.

.

.

ומתקיים:

α ∈ V לכל [T (α)]C = [T ]CB · [α]B

4

ב' לינארית תשע"באלגברה ־ ב' סמסטר

מטריצות דימיון

חשוב: משפטשל בסיסים Cו־ B ויהיו לינארית העתקה T : V → V תהי

.Vמטריצת היא P כאשר [T ]C = P−1 · [T ]B · P אזי:

.Bל־ Cמ־ המעבר

הגדרה

דומה Aש־ אומרים .A,B ∈ Mm×n (F ) מטריצות שתי יהיוהפיכה מטריצה קיימת אם A ∼= B ורושמים Bל־

.B = P−1 ·A · P ש־ כך P ∈Mn (F )

שתי על מדובר מטריצות דימיון על מדובר אכשר בעיקרון,לפי רק ,T : V → V העתקה: אותה את המייצגות מטרצות

שונים. בסיסים

חשוב משפט

אזי: A ∼= B אם A,B ∈Mn (F ) תהיינה

.det (A) = det (B) .1

.tr (A) = tr (B) .2

.rank (A) = rank (B) .3

אינם אך מטריצות לדמיון הכרחיים תנאים הם אלו הערה:ששתי להראות כדי בהם משתמים לכן מספיקים. תנאים

דומות! אינן מטריצות

IV חלק

וקטורים עצמיים, ערכיםולכסון עצמיים

הגדרה

ראשון נוסח

0 6= α ∈ וקטור קיים אם לינארית. העתקה T : V → V תהיλש־ אומרים .T (α) = λ · αש־ כך λ ∈ F סקלר וקיים Vהמתאים ,T של עצמי וקטור הוא αו־ T של עצמי ערך הוא

.λ העצמי לערך (שייך)

שני נוסח

כך 0 6= α ∈ V וקטור קיים ⇔ T של עצמי ערך הוא λ .1.T (α) = λ · αש־

λ ∈ F סקלר ויש α 6= 0 ⇔ T של עצמי וקטור הוא α .2.T (α) = λ · αש־ כך

לכסינה העתקה

B = {α1, ..., αn} ויהי לינארית העתקה T : V → V תהיאיברי כל אם"ם אלכסונית מטריצה היא [T ]B .V של בסיס

זה: ובמקרה ,T של עצמיים וקטורים הם B הבסיס

[T ]B =

λ1 · · · O.

.

.

.

.

.

.

.

.

O · · · λn

לוקטור המתאים העצמי הערך הוא λi 1 ≤ i ≤ n לכל כאשר

.αi העצמי

הגדרה

קיים אם לכסינה העתקה נקראת T : V → V לינארית העתקהאלכסונית. מטריצה היא [T ]Bש־ כך B בסיס

שכל V של B בסיס קיים ⇔ T : V → V לינארית העתקה.T של עצמיים וקטורים הם האיברים

אזי: ,dimV = nו־ במקרהn קיימים ⇔ לכסינה העתקה תהיה T : V → V העתקה

.V ב־ T של לינארית בלתי־תלויים עצמיים וקטורים

של עצמיים וערכים עצמיים וקטוריםמטריצות

.V של בסיס B ויהי לינארית העתקה T : V → V תהיT (α) = λα⇔ [T (α)]B = [λα]B

⇔ [T ]B︸︷︷︸matrixA

· [α]B = λ · [α]B

הגדרה

סקלר וקיים 0 6= x ∈ F וקטור קיים אם ,A ∈ Mn (F ) תהישל עצמי ערך הוא λש־ אומרים אז ,A · x = λ · xש־ כך λ ∈ F.λ העצמי לערך (מתאים) השייך A של עצמי וקטור הוא xו־ Aולמטריצה T : V → V לינארית להעתקה לזכור: חשובואותם עצמיים ערכים אותם יש כלשהו, בסיס לפי אותה המציגה

עצמיים. וקטורים

יותר מדויקת הגדרה

.V של בסיס B ויהיה לינארית העתקה T : V → V תהי:A = [T ]B נסמן:

ערך הוא λ ⇔ T של עצמי ערך הוא λ :λ ∈ F עבור .1.A של עצמי

λ לע"ע המתאים T של עצמי וקטור הוא α :α ∈ V עבור .2.λ לע"ע המתאים A של עצמי וקטור הוא [α]B ⇔

אחרות: במילים

כך 0 6= x ∈ Fn וקטור יש ⇔ A של עצמי ערך הוא λ .1.A · x = λ · x ש־

λ ∈ F סקלר וקיים x 6= 0 ⇔ A של עצמי וקטור הוא x .2.A · x = λ · x ש־ כך

5

ב' לינארית תשע"באלגברה ־ ב' סמסטר

מטריצה של עצמיים ערכים חישוב

: CA (x) הפולינום את נגדיר A מטריצה עבור:M2 (R)ב־ המטריצה עבור למשל, ,CA (x) = det (x · I −A)

CA (x) = det

∣∣∣∣x− 1 0−3 x+ 4

∣∣∣∣ ,[ 1 03 −4

]CA (x) = (x− 1) (x+ 4) = x2 + 3x− 4

הערכים הם המשוואה ופתרונות ל־0 CA (x) את משוויםהמטריצה5. של העצמיים

λ1 = 1, λ2 = −4

מטריצה של עצמיים וקטורים מציאת

הבא: הדבר את עושים העצמיים, הערכים את שמצאנו לאחרהמערכת את פותרים ,λi ־ העצמיים מהערכים אחד כל עבור

הבאה: ההומוגנית(λi · I −A) x = 0

למשל: עצמי, וקטור מוצאים וכך המטריצה את מדרגים:1 העצמי הערך ואת שלמעלה המטריצה את ]ניקח

0 0 03 5 0

]v1 =

{[5t−3t

] ∣∣∣t ∈ R}

B1 =

{[5−3

]}

מטריצה ליכסון

למטריצה דומה A אם לכסינה (A ∈ Mn (F )) Aש־ אומריםD ∈ Mn (F ) אלכסונית: מטריצה קיימת כלומר, אלכסונית,

שמתקיים: כך P ∈Mn (F ) הפיכה: ומטריצה.D = P−1 ·A · P

הפיכה P (כלומר, A את מלכסנת P ש־ אומרים מתקיים זה אםאלכסונית). מטריצה היא P−1 ·A · P ו־

משנה...). לא (הסדר A של העצמיים מהוקטורים בנויה P־.A של העצמיים הערכים של אלכסונית מטריצת D־

V חלק

פנימית מכפלה מרחביסקלרית) מכפלה בו שיש (מרחב

הגדרה

פונקציה זוהי V על פנימית מכפלה .R מעל מ"ן V יהיאשר Rב־ ממשי מספר α, β ∈ V וקטורים זוג לכל המתאימה

.(α, β) מסומן:ארבעת את ומקיים פנימית מכפלה מוגדרת שעליו R מעל מ"ו

אוקלידי. מרחב או פנימית מכפלה מרחב נקרא: האכסימות

הצירים. מראשית α של האורך ־ ‖α‖ = (α, α)12 =

√(α, α)

.Rב־ עצמיים ערכים להיות חייבים תמיד 5לא

קושי־שוורץ אי־שיוויון

מתקיים: אוקלידי) מרחב ־ V ) α, β ∈ V וקטורים שני לכל|(α, β)| ≤ ‖α‖ · ‖β‖

(α, β)2 ≤

∥∥α∥∥2 · ∥∥β∥∥2−∥∥α∥∥ · ∥∥β∥∥ ≤ (α, β) ≤

∥∥α∥∥ · ∥∥β∥∥אחרת: צורה )או

n∑i=1

ai · bi)2

≤(

n∑i=1

a2i

)·(

n∑i=1

b2i

)

α, β וקטורים בין זוית

.θ = ^ (α, β) = ^ (β, α) לסמן: ונהוג cos θ = |(α,β)|‖α‖·‖β‖

יחידה) (וקטור וקטור נירמול

פירושו הוקטור נירמול אזי, ,V אוקלידי במרחב α 6= 0 אםהוקטור בכיוון והוא 1 הוא שלו (אורך) שהנורמה וקטור ליצור

.α.α = α

‖α‖ = 1‖α‖ · α

:α, β ∈ V וקטורים שני עבור(ולהפך). β של חיובי בסקלר כפולה הוא α ־ α = β

(ולהפך). β של שלילי בסקלר כפולה הוא α ־ α = −βבת"ל. הם βו־ α ־ α 6= ±β

ואורתנורמלית אורתוגונלית קבוצה

אורתוגונלית קבוצהקבוצת K = {α1, . . . , αn} תהי פנימית. מכפלה מרחב V יהי

.V ב־ וקטוריםוקטור את מכילה אינה K אם אורתוגונאלית קבוצה היא K.αi⊥αj אזי: i 6= j אם מתקיים: 1 ≤ i, j ≤ n ולכל האפס

אורתונורמלית קבוצהכל של (אורך) שהנורמה רק אורתוגונאלית קבוצה זוהי

.1 היא הוקטוריםאוקלידי במרחב וקטורים של אורתוגונאלית קבוצה כל משפט:

בת"ל. היא Vויהי n ממימד פנימית מכפלה מרחב V יהי חשוב: משפט

.V של אורתונורמלי בסיס B = {β1, ..., βn}:α ∈ V לכל

α =n∑i=1

(α, βi)︸ ︷︷ ︸ti∈R

·βi

וגם:

[α]B =

(α, β1).

.

.

(α, βn)

משפט:

B = {α1, ..., αn} ויהי ,n ממימד פנימית מכפלה מרחב V יהיB′ = אורתונורמלי בסיס קיים אזי, .V של כלשהו בסיס

:1 ≤ k ≤ n שלכל כך V של {β1, ..., βn}.sp {α1, ..., αk} = sp {β1, ..., βk}

:B = {β1, ..., βn} נסמן: כעת

(βi, βj) =

{1 i = j0 i 6= j

⇔ V של א"נ בסיס הוא B

.(α, β) =∑ni=1 (α, βi) · (β, βj) וגם:

6

ב' לינארית תשע"באלגברה ־ ב' סמסטר

בסיס ליצירת גרהם־שמידט תהליךאורתונורמלי

יוצר גרהם־שמידט תהליך .B = {α1, ..., αn} בסיס לנו נתון:(B′) אורתונורמלי בסיס לנו

.β1 = α1

‖α1‖ .1

: k = 1, ..., n− 1 עבור: .2

γk+1 = αk+1 −k∑i=1

(αk+1, βi)︸ ︷︷ ︸∈R

·βi (א)

βk+1 = γk+1 = γk+1

‖γk+1‖ (ב)

. B′ = {β1, ..., βn} לבסוף:

מטריצת לחשב כדי שמידט גרהם בתהליך שימושבראשית שעובר ישר סביב סיבוב

הראשית דרך שעובר ישר סביב R(3)ב־ היא הסיבוב מטריצת.θ בזיות

הישר. של u הכיוון וקטור את לוקחים .1

שני או האפשר, ככל (פשוטים וקטורים שני uל־ מוסיפים .2כך אותם), לנרמל רק צריך ואז ,u לישר שניצבים וקטורים

.R(3)ל־ בסיס יהוו uו־ הוקטורים ששני

לקבלת הבסיס על גרהם־שמידט תהליך את מפעילים .3זה u1 כאשר B′ = {u1, u2, u3} אורתונורמלי: בסיסהוא u1ש־ לוודא (צריך .u וקטור של המנורמל הוקטור

הקטורים). סדר את להפוך צריך אחרת ,u של בכיוון

.[T ]B′ את מחשבים .4

לפי T את המציגה המטריצה ־ [T ]E את מחשבים .5שימשו תוך המבוקשת) המטריצה (זוהי הסטנדרטי הבסיס

המעבר. במטריצת

א"ג. מטריצה תמיד היא א"נ בסיסים בין מעבר מטריצת הערה:

היטלים

־ U ויהי α ∈ V יהי פנימית, מכפלה מרחב V יהי הגדרה:אם α⊥U ומסמנים Uניצבל־ αש־ אומרים .V של תת־מרחב

.β ∈ U לכל α⊥βאז ,U של בסיס ,β1}הוא ..., βk} אם (הערה): לזכור כדאי

.1 ≤ i ≤ k לכל α⊥βi⇔ α⊥Uוהגדרה: סימון

U⊥ ={α ∈ V

∣∣∣α⊥U} מסמנים: .V של תת־מרחב U יהי

תת־תרחב). לאותו שניצבים הוקטורים על (כלומר,תת־מרחב הוא U⊥) .U של האורתוגונאלי המשלים נקראה U⊥

.(V שלU של בסיס בוחרים נתון), U (כאשר U⊥ את לחשב כדי

שמקיים: α ∈ V הוקטור את ומחפשים (β1, ..., βk)

הפתרונות מרחב הומוגנית. מערכת תמיד זו

(α, β1) = 0

.

.

.

(α, βk) = 0

.U⊥ הוא: שלה

ניקח .U = sp

(1, 2,−1, 1)︸ ︷︷ ︸β1

, (1, 0, 1, 3)︸ ︷︷ ︸β2

־ R(4)ב־ למשל,

לכן: ,α⊥U אזי ,α = (x, y, z, w) ∈ U⊥ ,α ∈ R(4) וקטורההומוגנית: המערכת את לפתור צריך U⊥ את למצוא בשביל

.(α, β1) = 0, (α, β2) = 0המכפלה (עם R(3)ב־ .V ⊥ = {0} ,

{0⊥}

= V לזכור: כדאיהוא הראשית, דרך מישור של הא"ג המשלים ־ הסטנדרטית)

למישור. שמאונך הראשית דרך הישרהראשית דרך המישור זה הראשית, דרך ישר של הא"ג המישור

לישר. שמאונך

אורתוגונאלי היטל

.V של סופי ממימד תת־מרחב U ויהי ממ"פ, V יהי משפט:γ ∈ U ־ יחי U על α של וקטור קיים ,α ∈ V וקטור לכל אזי‖α− β‖ > ‖α − γ‖ מקיים: זה γ בנוסף, .α − γ⊥Uש־ כך

.γ 6= β ∈ U לכל:...‖α+ β‖2 = ‖α‖2 + ‖β‖2 ש־ לזכור גם כדאי

ומסומן: U על α של האורתוגונאלי ההיטל נקרא (γ) זה וקטורUב־ αל־ ביותר הקרוב ,Uב־ וקטור והוא PUα או ProjUα

.α− PUα⊥U גם: ומקיים:ProjUα לחישוב דרך

א"נ בסיס β1, ..., βk כאשר ־ ProjUα =∑ki=1 (α, βi) · βi

.U של

ישר וסכום סכום

.V של תת־מרחב ־ U +W .V של תתי־מרחבים U,W יהיושל כסכום להצגה ניתן α ∈ V וקטור כל אם"ם V = U +W

.W מ־ ווקטור Uמ־ וקטור.W ו־ U של סכום הוא V ש־ אומרים זה במקרה

V ש־ אומרים אזי ,U ∩W = {0} מתקיים: לכך בנסוף אם.V = U ⊕W ־ ורושמים W ו־ U של ישר סכום הוא

W = .U = {(x, y, 0) |x, y ∈ R} דוגמא:V = אזי .Z = {(0, y, z) |y, z ∈ R} ,{(0, 0, z) |z ∈ R}

.V 6= U ⊕ Z ־ זאת לעומת אבל ,U ⊕Wיחידה להצגה ניתן α ∈ V וקטור כל ⇔ V = U ⊕W משפט:

.W מ־ ווקטור Uמ־ וקטור של כסכוםלזכור: שכדאי דברים כמה עוד

כלומר: .dimV = dimU⊕dimW אזי V = U⊕W אם •. dimU ⊕W = dimU + dimW

dim (U +W ) = dimU + dimW − כללי: באופן •dimV = ־ וגם V = U +W אם ־ ולכן ,dim (U ∩W )

.V = U ⊕W אזי: dimU + dimW

וגם: ,dimV = dimU + dimU⊥ לכן: ,V = U ⊕ U⊥ •{β1, ..., βm} ואם U של א"נ בסיס {α1, ..., αk} אםא"נ בסיס α1, ..., αk, β1, ..., βm ־ אזי W של א"נ בסיס

.V של

7

ב' לינארית תשע"באלגברה ־ ב' סמסטר

העתקה: של תכונות.PU (α) = ProjUα ,PU : V → V

V את מטילה PU .P 2U = PU ,kerPU = U⊥ ,imPU = U

.U⊥ל־ במקביל U עלאורתוגונאלית: מטריצה

A ·At = At ·A = I⇔ א"ג Aסטנדרטית. מכפלה עם R(n)ל־ א"נ בסיס מהוות A שורותסטנדרטית. מכפלה עם Rnל־ א"נ בסיס מהוות A עמודות

(A · x, y) = (x, At · y) גם: ולכן (u, v) = ut · v לזכור: כדאי.‖A · x‖ = ‖x‖ א"ג: A ואם

וקטורים קיימים α ∈ V וקטור לכל אזי V = U ⊕W אםההיטל נקרא β .α = β + γש־ כך γ ∈ W ו־ β ∈ U יחידים,.ProjU‖W (α) אותו: לסמן ניתן .W ל־ במקביל U על α של

ההיטל? את לחשב איךהיות W של β1, ..., βm ובסיס U ,α1של ..., αk בסיס בוחריםבסיס α1, ..., αk, β1, ..., βm להתקיים: חייב V = U ⊕W ו־כך יחידים, t1, ..., tk, s1, ..., sm סקלרים קיימים כעת, .V שלα = t1 · α1 + · · ·+ tk · αk︸ ︷︷ ︸

∈U

+ s1 · β1 + · · ·+ sm · βm︸ ︷︷ ︸∈W

ש־

W = ,U = {(x, y, z) |x− y + z = 0} דוגמא:.{(x, x, x) |x ∈ R}

־ W של בסיס ,{(1, 1, 0) , (0, 1, 1)} ־ U של בסיס.{(1, 1, 1)}

.R(3) של בסיס ־ {(1, 1, 0) , (0, 1, 1) , (1, 1, 1)}(a, b, c) = t1 (1, 1, 0) + שמקיימים: הסקלרים את נמצאהמשוואות, מערכת את פותרים .t2 (0, 1, 1) + t3 (1, 1, 1)

מקבלים: ולבסוף העמודות, הם הוקטורים כאשר(a, b, c) = (b− c) (1, 1, 0) + (b− a) (0, 1, 1)︸ ︷︷ ︸

T (a,b,c)

+ (c− b+ a) (1, 1, 1)

.T (a, b, c) = (b− c, 2b− a− c, b− a) ולכן:,T 2 = T שמקיימת לינארית העתקה T : V → V משפט:T וגם: V = U ⊕W אזי: ,imT = U, kerT = W נסמן:

.W ל־ במקביל U על V של ההטלה היאובמקרה A2 = A⇔ הטלה היא TA אזי: TA (x) = A · x אםבמקביל A של העמודות מרחב על Fn של הטלה היא TA זה

.A של האפס למרחבאורתוגונאלית: העתקהאם"ם: א"ג העתקה T

.(T (α) , T (β)) = (α, β) .1.‖T (α) ‖ = ‖α‖ .2

לאו זה ההפוך (בכיוון וקטורים בין הזויות על שומרת T .3נכון...). דווקאחח"ע. T .4

של אחר א"נ לבסיס V של (כלשהו) א"נ בסיס מעבירה T .5.V

א"ג. מטריצה היא [T ]B .V של א"נ בסיס B .6היא בממ"פ א"נ בסיסים שני בין המעבר מטריצת משפט:

א"ג. מטריצהדומה Aש־ אומרים A,B ∈ Mn (R) תהיינה הגדרה:מטריצה קיימת אם A ∼=O B ורושמים: Bל־ אורתוגונאלית

.A = P tBP ש־ כך P ∈Mn (R) א"גהערות:

של שונים א"נ בסיסים לפי העתקה אותה המציגות מטריצות .1א"ג. דומות V

,(A ∼= B) Bל־ דומה A בהכרח אזי Bל־ א"ג דומה A אם .2. A ∼= B 6⇒ A ∼=O B נכון. בהכרח אינו ההפוך הכיוון אבל

קיימת אם אורתוגונאלית לכסינה Aש־ אומרים הגדרה:אלכסונית. מטריצה היא P tAP ש־ כך Mn (R)ב־ P מטריצהבמילים .(A את שמלכסנת P א"ג מטריצה קיימת אם (כלומר,אלכסונית. למטריצה א"ג דומה A אם"ם א"ג לכסינה A אחרות:ההפך אבל לכסינה, מטריצה היא א"ג לכסינה שמטריצה כמובן

נכון. אינוסימטרית. A⇔ א"ג לכנסינה מטריצה A ביותר: חשוב משפט

לכסינה. גם היא אזי סימטרית A אם עובדה:ניצבים סימטרית מטריצה של שונים לע"ע השייכים ו"ע עובדה:

לזה. זה

עם רק רגילה מטריצה של ליכסון כמו הוא א"ג מטריצה ליכסוןאחד כל על גרהם־שמידט תהליך את מבצעים ־ אחת תוספתאלה בסיסים להפוך כדי העצמיים, המרחבים של מהבסיסים

א"נ!!! לבסיסיםמטריצה תהיה [T ]Bש־ כך V של B א"נ בסיס למצוא איך

אלכסונית?

.[T ]E המטריצה את ומחשבים V של E א"נ בסיס בוחרים .1

כנדרש. בסיס קיים לא אז סימטרית, אינה [T ]E אם .2

כלומר, א"ג, [T ]E את מלכסנים אז סימטרית [T ]E אם .3ש־ כך P א"ג ומטריצה D אלכסונית מטריצה מוצאיםש־ B הבסיס את לוקחים אח"כ .P t · [T ]E · P = Dהבסיס הוא E (אם Eל־ ממנו המעבר מטריצת Pהיאשל העמודות למעשה הוא B אז Rn של של הסטנדרטי

כנדרש. [T ]B = D .(P

VI חלק

ריבועיות תבניות

. A ∈Mn (R) ,qA : Rn → R ,x =

x1.

.

.

xn

תבנית תמיד היא זו פונקציה ,x ∈ Rn לכל qA (x) = xt · Ax

ריבועית.יחידה! אינה היא אבל ,A מטריצה קיימת ריבועית תבנית לכלסימטרית מטריצה קיימת ריבועית תבנית לכל ־ לזכור חשוב

.q (x) = xtAxש־ כך יחידה.סימטרית: A עבור

.q בתבנית x2i של המקדם = Aiiבתבנית (xjxi (או xixj מקדם 1

2 = Aij = Aji :i 6= j ועבור.q

ריבועית: תבנית נקראת q : Rn → R ריבועית תבנית הגדרה:

.0 6= x ∈ Rn לכל q (x) > 0 אם לחלוטין: חיובית •

0 6= x ∈ ויש x ∈ R לכל q (x) ≥ 0 אם למחצה: חיובית •.q (x) = 0 ש־ כך Rn

.0 6= x ∈ Rn לכל q (x) < 0 אם לחלוטין: שלילית •

0 6= x ∈ ויש x ∈ R לכל q (x) ≤ 0 אם למחצה: שלילית •.q (x) = 0 ש־ כך Rn

8

ב' לינארית תשע"באלגברה ־ ב' סמסטר

הסוגים מארבעת אחת אף היא q אם סימן: משנה •וישנו q (x) > 0 ש־ כך x ∈ Rn ישנו כלומר שלמעלה,

. q (y) < 0 ש־ כך y ∈ Rn

.q (0) = 0 מקיימת: ריבועית תבנית כל הערה:נתונה? ריבועית תבנית שייכת סוג לאיזה קובעים איך

אלכסונית6, מטריצה היא qל־ המתאימה המטריצה אם .1לקבוע וקל ריבועים, של תבנית היא qש־ אומרים אזי

שייכת: היא סוג לאיזה

q ־ מאפס גדולים האלכסון) (על הערכים כל אם (א)לחלוטין. חיובית

ערך ולפחות לאפס, שווים או גדולים הערכים כל אם (ב)למחצה. חיובית ־ לאפס שווה אחד

q ־ מאפס קטנים האלכסון) (על הערכים כל אם (ג)לחלוטין. שלילית

ערך ולפחות לאפס, שווים או קטנים הערכים כל אם (ד)למחצה. שלילית ־ לאפס שווה אחד

־ שלילי אחד וערך חיובי אחד ערך באלכסון יש אם (ה)סימן. משנה q

מטריצת P ־ Rn של כלשהו בסיס B = {v1, ..., vn} .2.[B הבסיס וקטורי הם P [עמודות Eל Bמ־ המעבר

q (x) = [x]tB · [q]B · [x]B .[q]B = P t ·A · P

מלכסנים ?[q]B האלכסונית המטריצה את מוצאים איך .3שכך כך ע"י q של המייצגת הסימטרית המטריצה אתמיד מבצעים אנחנו השורות, על מצבעים שאנחנו פעולה

כמובן). אלמנטרית (פעולה העמודות על כך אחר.P = Et1 · Et2 · · ·Etk ,P t = Ek · · ·E2 · E1 ואז:

קנונית למטריצה האלכסונית המטריצה את להפוך ניתן .4איבר). אותו על יוצא (זה ועמודה שורה כל על 1√

λiע"י

.C מטריצה אותה נכנה

q (x) =[x′ y′ z′

]· C ·

x′

y′

z′

x′

y′

z′

= P−1 ·

xyz

הרגיל: לוקטור ולמעבר .5

אפסים. הם באלכסון לא שהם האיברים כל 6כלומר,

9