טיילור טורי על הסברים קצת ¦¦ תשע"ד ־ ב' סמסטר ־ 2 חדו"א

טיילור טורי

הגדרה 1

אם: כי ראינו

f (x) =

∞∑n=0

an (x− a)n

.(a−R, a+R) מהצורה בקטע פעמים אינסוף גזירה הפונקציה אז חזקות, סכום הואשאלה:

חזקות? טור של כסכום אותה לכתוב אפשר האם פעמים, אינסוף לגזור שניתן פונקציה בהינתןתמיד.... לא אבל כן, היא התשובה בדרך־כלל כי נראה

. an =f (n) (a)

n!בהכרח: אזי ,a של בסביבה פעמים אינסוף גזירה fו־ f (x) =

∑∞n=0 an (x− a)n כי נניח 1.1 טענה

הוכחה:

f (x) = a0 + a1 (x− a) + a2 (x− 2)2 + · · ·

f (a) = a0 ⇒ a0 =f (0) (a)

0!=

f (a)

1

f ′ (x) = a1 + 2a2 (x− a) + 3a3 (x− a)2 + · · ·

f ′ (a) = a1 ⇒ a1 =f ′ (a)

1!

f ′′(x) = 2a2 + 3 · 2a3 (x− a) + 4 · 3a4 (x− a)2 + · · ·

f ′′ (a) = 2a2 ⇒ a2 =f

′′(a)

2!

הטור: את נגדיר a של בסביבה פעמים אינסוף גזירה שהיא f פונקציה עבור 1.2 הגדרה

∞∑n=0

f (n) (a)

n!(x− a)n

.(f של מקלורן טור גם לו קוראים ,a = 0 (אם .aב־ f הפונקציה של טיילור טור זה .aב־ ממורכז טיילור טור זה

1

טיילור טורי על הסברים קצת ¦¦ תשע"ד ־ ב' סמסטר ־ 2 חדו"א

הוא: f של ,aב־ n מסדר טיילור פולינום אזי .n ≥ 0 יהי .aב־ פעמים אינסוף גזירה פונקציה f תהי 1.3 הגדרה

pn,a (x) =

n∑k=0

f (k) (a)

k!(x− a)k

= f (a) + f ′ (a) (x− a) +f ′′ (a)

2!(x− a)2 + · · ·+ f (n) (a)

n!(x− a)n

.pn,a ∈ Rn [x] כאשרפעמים). אינסוף גזירות תהינה שנראה הפונקציות כל אבל פעמים, n גזירה תהיה fש־ מספיק (הערה:

וסיכום: �הסבר.(a של (בסביבה f (x) =

∑∞n=0 an (x− a)n כלומר: חזקות, כטור f פונקציה לנו נתוננה

שמדובר נניח עתה לעת אבל בסדר, זה פעמים של סופי מספר (גם פעמים אינסוף גזירה הפונקציה כי נניח כעת,הבא: באופן אותה לכתוב רוצים אנחנו אזי פעמים), באינסוף

pn,a (x) =∞∑n=0

f (n) (a)

n!(x− a)n = f (a) +

f ′ (a)

1!(x− a) +

f ′′ (a)

2!(x− a)2 + · · ·

.f(a)(a)n! ל־ שווה המקדם, ,an כאשר

של והערך עצמה) הפונקציה היא אפס מספר (הנגזרת fב־ a את נציב פשוט כלומר, ,f (a) של לערך שווה a0 לכן,

.f של החמישית בנגזרת אותו נציב כאשר a של לערך כלומר ,f(5)(a)5! ל־ שווה a5

הבאה: מהצורה פולינום הוא לבסוף שנקבל ומה

f (a) +f ′ (a)

1!(x− a) +

f ′′ (a)

2!(x− a)2 + · · ·

ל־0, שווה הנגזרת נזגרות שתי שאחרי לראות ניתן .3 של בסביבה f (x) = x2− 2 הפונקציה את ניקח פשוטה דוגמאנגזרות.... משתי יותר לחשב טעם לנו אין בפועל לכן

f (3) = 7⇒ a0 =70! = 7

f ′ (x) = 2x, f ′ (3) = 6⇒ a1 =61! = 6

f ′′ (x) = 2, f ′′ (3) = 2⇒ a2 =22! = 1

...0 לנו יתן כבר הבא החישובהינו: שלנו הטור לכן

pn,3 (x) = 7 + 6 · (x− 3) + 1 · (x− 3)2

סביב 5 מסדר טיילור פולינום לנו יש אם לכן .aל־ מסביב n מסדר (p) טיילור פולינום פירושו pn,a לסימון: הסבר.p

5, π2כך: זה את נרשום איז ,π2

2

טיילור טורי על הסברים קצת ¦¦ תשע"ד ־ ב' סמסטר ־ 2 חדו"א

דוגמאות 2

a = 0 , f (x) = ex 2.1

pn,0 (x) = f (0) + f ′ (0)x+f ′′ (0)

2!x2 + · · ·+ f (n) (0)

n!xn

f (0) = e0 = 1

f ′ (x) = ex −→ f ′ (0) = 1

.

.

.

f (n) (x) = ex −→ f (n) (0) = 1

לכן:

pn,0 (x) =

∞∑n=0

1

n!xn = 1 + x+

x2

2!+

x3

3!+ · · ·+ xn

n!

a = 1 ,f (x) = ex 2.2

pn,1 (x) = f (1) + f ′ (1) (x− 1) + f ′′ (1) (x− 1)2 + · · ·+ f (n) (1)

n!(x− 1)n

f (n) (x) = ex ⇒ f (n) (1) = eש־ יודעים אנחנוולכן:

pn,1 (x) = e+ e (x− 1) +e

2!(x− 1)2 + · · ·+ e

n!(x− 1)n

מורכבת: יותר קצת לדוגמא נעבור ועכשיו

a = 0 ,f (x) = cos (x) 2.3

.k לכל f (k) (0) את לחשב צריך

f (0) = cos (0) = 1 ⇒ a0 = 1

f ′ (x) = sin (x) , f ′ (0) = 0 ⇒ a2 = 0

f ′′ (x) = − cos (x) , f ′′ (0) = −1 ⇒ a2 =−12!

= −1

2f ′′′ (x) = sin (x) , f ′′′ (0) = 0 ⇒ a3 = 0

.1, 0,−1, 0, . . ל־. שוות הן ב־0, cos (x) של בנגזרות 4 של מחזוריות יש לכן, ,f (4) (x) = f (0) (x) = cos (x) ־ וכמובןלא זה אי־זוגי, אינדקס של במקרה כי 2n נרשום n במקום לכן הזוגיים, האינדקסים רק הוא אותנו שמעניין מה לכן,

ל־0. שווה הוא כי אותנו מענייןהוא: שנקבל מה

p2n+1,0 (x) = 1 +0

1!x− 1

2!x2 +

0

3!x3 +

1

4!x4 − · · ·+ (−1)n

(2n)!x2n

= 1− x2

2+

x4

4!− x6

6!+ · · ·+ (−1)n x2n

(2n)!= p2n+1,0 (x)

3

טיילור טורי על הסברים קצת ¦¦ תשע"ד ־ ב' סמסטר ־ 2 חדו"א

.0 הוא x2n+1 של המקדם כי נעשה האחרון השיוויןמכיוון x2n יש בסוף לכן האי־זוגיים, על "לפסוח" פשוט ניתן הזוגיים, האינקסים רק אלו אותנו שמעניין ומה היות

אותנו. מעניין לא 3 מספר שאינדקסהבאה: בצורה הביטוי את לרשום ניתן לכן,

p2n,0 (x) =n∑k=0

(−1)k x2k

(2k!)

לכן מעליו, נדלג אנחנו אי־זוגי, אינדקס שיש פעם כל כלומר, הזוגיים. האינדקסים את רק זה לנו יתן שהוא מה כי.k = 0, 2, 4, 6, ... רק: הוא שנקבל מה

limx→af(x)−pn,a(x)

(x−a)n = 0 3

.a של בסביבה f הפונקציה את טוב הכי המקרב n מסדר הפולינום הוא a מסביב f של n מסדר טיילור פולינום?a של בסביבה f (x)ל־ קרוב הכי הוא pn,a (x) שפולינום אומר זה מה

.aל־ שואף xכש־ מהר ל־0 שואף הוא קטן, הוא f (x)− pn,a (x)ש־ אומר זה

4