5

)3(الوحدة :I لمجالا

óï÷bi‹éØ@‹èaíÄ@óaŠ†@ : المكثفة -1

تتألف المكثفة من ناقلين واقعين في حالة تأثير آلي، تفصل بينهما طبقة عازلة من مادة عازلة وإنه یمكننا یدعى الناقالن المشكالن للمكثفة بلبوسيها . . . ) هواء، ورق مشمع، زجاج، ميكا (

بتقریب لبوسي المكثفة من بعضهما وباستخدام عازل بينهما ذي نفاذیة عالية التوصل لصنع مكثفات عالية السعة وتجمع شحنات آهربائية آبيرة القيمة على لبوسيها على الرغم من تطبيقنا

.فرقا في الكمون صغير بين لبوسيها : تكثيف الكهرباء-2 :ظاهرة تكثيف الكهرباء -أ

یجب ربط مقاومة آبيرة نوعا ما ) تخزین شحنات آهربائية أو طاقة آهربائية(حتى یتم شحن مكثفة .على التسلسل معها حفاظا على سالمتها من التخریب نتيجة تطبيق التوترات العالية

: تعریف المكثفة-بمستویتين إن أبسط أنواع المكثفات هي المكثفة المستویة والتي تتكون من صفيحتين ناقلتين

ومتوازیتين یفصل بينهما عازل نرمز لها بالرمز :)ير المجهريفسالت (شحن وتفریغ مكثفة -3

ير المجهري لعملية شحن وتفریغ مكثفة عن طریق توظيف مفهوم التوازن فسیمكن أن نعتمد في الت .الكهربائي داخل المكثفة

:لتكن الدارة الموضحة بالشكل)فة غير مشحونة ففي البدایة تكون المكث- )Q 0=.

ــــي الوضـــــع - ــــة وـف ــــق القاطـع ــــد غـل ــــد ) 1( وعـن ــــدث الموـل یـحائي )الكهرـب )E ائي وذـلك بإخضــاع وازن الكهرـب اـختالل ـفي الـت

اإللكترونات إلى قوة محرآة آهربائية تنتقل بسببها من صفيحة )ها االلكترونات تارآة ورائها ذراتها تشحن إیجابا إلى أخرى، فالصفيحة التي تغادر في )Q 0>

)وأما الصفيحة التي تتجمع فيها االلكترونات تشحن سالبا )Q 0<. ) فرق الكمون(الختالل في التوازن الكهربائي ایزول تدریجيا ) 2( وعند غلق القاطعة وفي الوضع -

)لوصول إلى التوازن االبتدائي إلى غایة ا )Q .حيث تعود االلكترونات إلى موضعها األصلي. =0

:سعة المكثفة -4 Qتبين التجربة أن الشحنة التي تخزنها المكثفة: العالقة بين الشحنة والتوتر الكهربائي -أ

.CVائي بين طرفيها تتناسب طردیا مع التوتر الكهرب

E

R

C

k12

6

1 2 n

C1 C2 C n

Q Q Q= = ... = = kV V Vأي أن :( )CQ = k .V . . . 1

"ثابت التناسب والذي یعرف بسعة المكثفة ونرمز له بالرمز: kحيث "C. ونرمز لها بالرمز" الفاراد " دة السعة الكهربائية لمكثفة في الجملة الدولية هي وح: الوحدة( )F .6-: أجزاء الفاراد -9 -121 µ F = 10 F ; 1 n F = 10 F ; 1 p F = 10 F

:سعة مكثفة مستویة -بة أهم صفة للمكثفة هي سعتها التي تعرف على أنها تساوي عددیا الشحنة الالزم خزنها في المكثف

): حتى یصبح فرق الكمون بين لبوسيها مساویا للوحدة، أي )C

QC = . . . 2V

Sبالنسبة للمكثفة المستویة المتوازیة اللبوسين إذا آانت المساحة المشترآة بين اللوحين : فإنdوالمسافة بين اللبوسين هي

( )0SC . ... 3d=

εε

12ثابت یعطى بالقيمة : 0ε:حيث9

110 . 8 ,8410 . π . 36

).سماحية الفراغ (−

ε : السماحية النسبية(ثابت العازل.( )الهواء : ففي حالة )1=ε الورق المشمع ،( )2 ,5=ε الزجاج ،( )7 4= −ε الميكا ،

( )8=ε الماء النقي ،( )80=ε أنواع الخزف ،( )1000 100= −ε.

: تعطى سعة مكثفة أسطوانية بالعالقة التالية

( ) ( )0

2 1

2πC ... 4ln R R

=ε ε

:تعطى سعة المكثفة الكرویة بالعالقة التالية

( )0 2 1

2 1

4 π R .RC ... 5R R

=−

ε ε

2: حيث 1R ، R :نصفا قطرا آرتيها المتمرآزتين.

: أحسب سعة المكثفات التالية):1(تطبيق ) اللبوسان -1 )12 9 cm× ورق مشمع ،( )2 ,5=ε 0 سمكه ,1 mm.

) اللبوسان-2 )10 15 cm×ملصوقان على وجهي صفيحة من زجاج ( )5=ε 1 سمكها mm.

2,25 وطول4cmعصابتان من ورق األلمنيوم بعرض -3 mوورق مشمع ،( )2,5=ε2 سمكه µm.

:اإلجابة

d( )ε

A B(-Q) (+Q)

1R

2R

1R

2R

7

0: لدینا: حساب سعة المكثفة األولى-1SC .d

= ε ε

): ومنه )129

310 .2 ,5 . 0 ,09 0 ,12

C 8 ,84 . 2 ,4 .10 F 2 ,4 n F0 ,1 .10

−−

−

×= ≅ ≅

: حساب سعة المكثفة الثانية-2

( )1210

310 .5 . 0 ,10 0 ,15

C 8 ,84 . 6 ,63 .10 F 663 p F1 .10

−−

−

×= ≅ ≅

: حساب سعة المكثفة الثالثة-2

( )126

610 .2 ,5 . 0 ,04 2 ,25

C 8 ,84 . 0 ,9945 .10 F 1 µ F2 .10

−−

−

×= ≅ ≅

0 مكثفة مستویة سعتها ):2(تطبيق ,8 µ F300 وتتحمل توترا أعظميا قدرهVلما أن ع

20مساحة سطح لبوسيها ,45 m والمسافة بينهما ،d 0 ,02 mm=. . شدة مجال الحقل الكهربائي بين لبوسيها-1: أوجد

. الشحنة الكهربائية التي تخزنها-2 . نفاذیة عازل هذه المكثفة-3

:اإلجابة ساب شدة المجال الكهربائي بين لبوسي المكثفة ح-1

CV: نعلم أن E . d=7: ومنهC3

V 300E = 1 ,5 .10 v/md 0 ,02 . 10 −= =

6-: لدینا: الشحنة الكهربائية التي تخزنها-2CQ C .V =0,8×10 . 300=240 µ C=

: حساب نفاذیة العازل-3

0: لدیناSC .d

= ε ε إذن :6 3

120

C . d 0 ,8 .10 .0 ,02 .10 = 4ε . S 8 ,84 .10 .0 ,45

− −

−= ≅ε

مكثفة لبوسيها مستویين ومتوازیين ملئت بعازلين مختلفين آما هو موضح في ):3(تطبيق 2الشكل، نفاذیتهما الكهربائية 1،ε ε 2 وسمكهما 1d ،dة على الترتيب أحسب سعة هذه المكثف.

2: تطبيق عددي2 1 2 1S 8 ,8 cm ، d 3 mm ، d 1 mm ، ε 2 ,5 ، ε 4= = = = =

: بما أن لكل عازل خواصه المميزة فإن: اإلجابة

( )22

2

QV V ' ... 1C

− = ، ( )11

1

QV ' V ... 2C

− =

): نجد) 2(و ) 1(بجمع العالقتين ) ( ) 1 22 1 2 1

1 2

Q QV -V' + V'-V = V -V = + C C

1: انية السطح الفاصل بين العازلين هو سطح مشترك لذلكمن جهة ث 2Q Q=

2d1d

V'

2V

1V

8

2: وبالتالي 1 11 2

1 1V -V = Q ( + )C C

2 والنسبة 1

1

V VQ تعبر عن مقلوب سعة المكثفة −

2: المكونة من العازلين أي أن 1

1 1 2

V V 1 1 1Q C C C−

= = +

1 :وبالتالي 2

1 2

C CCC C

×=

+0: وبما أن 0

1 1 2 21 2

.S .SC ، Cd d

= =ε εε ε

:فإن2 2 12 4

1 2 0 1 2 03 3

1 0 2 0 1 2

1 21 2

S d .d .S 8 ,84 .10 .8 ,8 .10C = 5 ,4 pF.S .S d d 1 .10 3 .10ε εd d 4 2 ,5

− −

− −

×= = ≅

++ +

ε ε ε εε ε ε ε

ال یمكن لمكثفة أن تتحمل بين لبوسيها فرقا في الكمون ( ألسباب عملية :جمع المكثفات -5أآبر آمية ممكنة من الطاقة نلجأ لتخزین ) أعلى من قيمة معينة تدعى فرق الكمون االنفجاري

بتجميع عدة مكثفات تسمى مكثفا مكافئا لمجموعة من المكثفات، ذلك المكثف الوحيد الذي له نفس فرق آمون المجموعة وینتج أثناء التفریغ نفس الطاقة أي نفس آمية الكهرباء التي تنتجها

.المجموعة :)التوازي(جمع المكثفات على التفرع -أ

ة الناتجة عن ضم مجموعة من ة المكافئ تكون سعة المكثفذه عات ه وع س ى مجم اویة إل وازي مس ى الت ات عل المكثفة ر من سعة آل مكثف المكثفات وبالتالي فالسعة الناتجة أآب

:مأخوذة لوحدها

( )n

eq 1 2 n ii 1

C C C ... C C ... 6=

= + + + = ∑

. على التوازيوهكذا فتكبير سعة المكثفات یعمد إلى ضمها :جمع المكثفات على التسلسل -ب

ة ة المكافئ ون سعة المكثف ات على التسلسل تك د ربط المكثف عنمساویا إلى مجموع مقاليب سعات المكثفات الداخلة في ) مقلوبها(

المجموعة، ونتيجة لهذا الربط تكون سعة المكثفة المكافئة أقل من :أخوذة على حدةسعة آل واحدة من المكثفات م

( )n

i 1eq 1 2 n i

1 1 1 1 1... ... 7C C C C C=

= + + + = ∑

:الربط المختلط -جـات م المكثف فا یمكن أن تض عة ص اب س تم حس ا، ی مختلط

ة ذه الطریق لة به ة الحاص ة المكافئ ادا المكثف ى ع اعتم ل ).7(و ) 6(العالقتين

3C 1C2CabV

a

b

abV

3C

1C

2CabV

a

b

1C 2C

3C

a b

9

: شحن وتفریغ مكثفة -6 :المعادلة التفاضلية لتطور التوتر الكهربائي -أ : خالل عملية الشحن ) 1-أ

) لتكن في البدایة المكثفة غير مشحونة - )Q 0=. فيكون فرق الكمون بين ) 1( على الوضع k نغلق القاطعة-

tظة طرفي المكثفة وفي اللح AB معدوما =0 CV V 0= = وآذلك شحنتها ومع تطور الزمن یزداد التوتر الكهربائي بين

C: طرفيها حسب العالقة AB A BQV V V VC

= = − =

وعندما یصبح فرق الكمون بين Iوبالتالي تزداد الشحنة المخزنة والذي یرافق تراآمها تيار آهربائي)یكون النظام في حالة اتزان ) فرق الكمون بين طرفي المولد (Eطرفي المكثفة مساویا إلى )i 0=.

وم في أن ولتحدید المعادلة التفاضلية لتطور التوتر الكهربائي بين طرفي المكثفة نقوم بتطبيق قانو): أي لحظة معطاة )C RE V V ... 1= +

dQi: حيثd t

RV: ، فرق الكمون بين طرفي الناقل= R . i=

C: إذنC

d VdQ C dV i Cd t

= ⇒ =

C: نجد) 1(وبالتعویض في المعادلة C

dVE V R .C .dt

= +

): صياغتها بالشكلوالتي یمكن )CC

dV 1 EV ... 2dt R C R C

+ =

بطرف ثان، والتي یمكن حلها بأخذ الشروط ولىوهي آما نالحظ معادلة تفاضلية من المرتبة األ .ية بعين االعتبار أثناء عملية الشحنئاالبتدائية أو النها

Ct:الشروط االبتدائية للجملة 0 V 0= ⇒ Ct: نهائية للجملة ، الشروط ال= V E=∞ ⇒ = :من الشكل) 2(ویكون حل المعادلة التفاضلية

( ) ( )-t /τCV t = E ( 1-e ) , τ = R . C . .. 3 ×

ة )إن الدال )CV t وتر ور الت ن تط ر ع تعب .الكهربائي بين طرفي المكثفة بداللة الزمن

ت ت τإن الثاب مى الثاب زمن ویس اد ال س أبع ه نف لذي ة وال رعة شحن المكثف ز س دارة ویمي الزمني لل

.یمكن إعطاءه التفسير الهندسي الموضح بالشكلان (∆)إن تقاطع معادلة المستقيم المماس لبي

ة )الدال )CV t ة د اللحظ t عن تقيم =0 ع المس م بين طرفي المولد یتم في Eالممثل للتوتر الكهربائي

tاللحظة τ=.

E

R

C

k12

E

t

CV

γ

τ 2 τ 3τ 4τ

(∆)

5 τ

A

B

10

. = EV: و تكون معادلة المماس هي tR C

tوالجانب المهم هنا أنه عند اللحظة τ=یكون لدینا :

( )ττ

Ce 1V E 1 e E 0 ,63 E

e− −

= − = e: حيث = 2 ,718

tأي أنه عند اللحظة τ=2 یصل التوتر الكهربائي بين طرفي المكثفة إلى E3من قيمتها العظمى .

) التي یكون عندها tند اللحظة وتنتهي عملية شحن المكثفة ع )CV E 99%= )) 3(فحسب العالقة ) -t/τ

CV t = E ( 1-e ) = 0,99 E

t/τ1: ومنه e 0 ,99−− t/τe: وبالتالي= 100= t: إذن τ ln 100 4 ,6 τ 5 τ= × =

ففي حين أن عملية الشحن نظریا تستلزم زمنا ال نهائيا غير أننا نجد عمليا أن شحن المكثفات .المألوفة تستوفي زمنا قصيرا

: یمكن من الدراسة السابقة أن نستنتج آل من): تطور الشحنة الكهربائية المخزنة في المكثفة بداللة الزمن انطالقا من: أوال ) ( )CQ t = C .V t

): نجد) 3(ومن العالقة ) ( ) ( )-t/τQ t = C E 1 - e ... 5

): تطور شدة التيار الكهربائي المار في الدارة بداللة الزمن انطالقا من: ثانيا ) dQi tdt

=

): نجد) 5(ومن العالقة ) ( )t/τEi t e ... 6R

−=

)غيرات التابعين وإن بيان ت ) ( i و( t Q t موضح في الشكلين التاليين:

300وصلت بطاریة قوتها المحرآة الكهربائية: تطبيق V على التسلسل مع ناقل أومي مقاومته 10 k Ω0 ومكثفة سعتها ,3 µ Fمطلوب، ال:

. أآتب عبارة التوتر الكهربائي بين طرفي المكثفة بداللة الزمن-1τ: أوجد قيم التوتر الكهربائي بين طرفيها عند اللحظات-2 ، 2 τ ، 3τ ، 4 τ ، 5 τ.

ما هي الشحنة النهائية التي تبلغها المكثفة ؟-3t: ما هي شدة التيار الكهربائي عند اللحظة-4 3 τ=.

0Q =CE

t

Q(t)

τ 2 τ 3τ 4τ

∆Q

5 τ

∆t

t

E/R

i(t)

11

:اإلجابة): عبارة تطور التوتر الكهربائي بين طرفي المكثفة بداللة الزمن-1 ) -t /τ

CV t = E( 1- e )

): والشكل العددي لهذه العبارة ) ( )t/3CV t 300 1 e −= −

4: حيث 6τ R C 10 .0 ,3 .10 3 m s−= × = = τ: قيم التوتر الكهربائي عند اللحظات-2 ، 2 τ ، 3τ ، 4 τ ، 5 τ

( )( )( )( )( )

11 C 1

22 C 2

33 C 3

44 C 4

55 C 5

τ t 3 m s V 300 1 e 189 ,64 V

2τ t 6 ms V 300 1 e 259 ,40 V

3τ t 9 ms V 300 1 e 285 ,06 V

4 τ t 12 m s V 300 1 e 294 ,51 V

5 τ t 15 ms V 300 1 e 297 ,98 V 300V

−

−

−

−

−

= = ⇒ = −

= = ⇒ = −

= = ⇒ = −

= = ⇒ = −

= = ⇒ = −

): لدینا: الشحنة النهائية التي تبلغها المكثفة-3 ) ( )CQ t C V t= × ) : ومنه ) -t/τQ t = C × E ( 1-e )

)ومن أجل زمن ال نهائي )t = t من الناحية النظریة أو زمن ∞ 5 τ=فإن :

( ) ( ) ( )Q t C E 1 e C .E 1 0 C E− ∞→ ∞ = − = − = ×

): وبالتالي )Q Q C E = 0 ,3 300 90 µC∞ = ∞ = × × =

t شدة التيار الكهربائي عند اللحظة -4 3 τ= : لدینا( ) dQi tdt

=

): نجد) 5(وباستعمال العالقة ) t/τEi t eR−=

tومن أجل اللحظة 3 τ=فإن :( ) 33

E EI 3 τ e 1 ,5 mAR e .R

−= = =

:خالل عملية التفریغ )2-أ

ة وفي الوضع لنفرض أن المكثفة في ة مشحونة، ثم نغلق القاطع ة ) 2(البدای إذن شحنة المكثفQ C .E=يها وفرق الكمون بين لبوسC 0V V E= وفي الوقت الذي یتم فيه التفریغ تتناقص =

. بين طرفيها ویظهر تيار آهربائي له إتجاه معاآس لتيار الشحنCVشحنتها وآذلك فرق الكمون

): وبتطبيق قانون أوم في أي لحظة )C RV V ... 7=

dQi: حيث dt= − ، RV R . i=

C: إذنC

dVdQ C dV i C dt= ⇒ = −

C: نجد) 7(وبالتعویض في العالقة C

dVV R C . dt= −

12

): ویمكن إرجاع العالقة بالشكل )CC

dV 1 V 0 . . . 8dt R C+ =

بدون طرف ثان ویمكن حلها باالستناد إلى الشروط ولى ي معادلة تفاضلية من المرتبة األوه .االبتدائية أو النهائية لعملية التفریغ

Ct:الشروط االبتدائية للعملية 0 V E= ⇒ Ct: ، الشروط النهائية للعملية= V 0=∞ ⇒ = ): من الشكل) 8(ية ویكون حل المعادلة التفاضل ) ( )-t/τ

CV t = E . e . . . 9 . تطور الشحنة الكهربائية أثناء التفریغ بداللة الزمن-

): لدینا ) ( )CQ t C .V t=إذن :( ) t /τQ t C . E e −= :ن تطور شدة التيار الكهربائي أثناء التفریغ بداللة الزم-

): لدینا ) dQi tdt

= ): إذن− ) t/τEi t . eR

−=

عموما فإن عملية شحن وتفریغ مكثفة هما في الحقيقة ظاهرتان سریعتان جدا ال یمكن مشاهدتهما لكن یمكن مالحظة ذلك متر نتيجة عزم عطالة هذین الجهازین– متر أو األمبير –بواسطة الفولط

شریطة تكرار الظاهرة مماثلة لنفسها ویتم تحقيق عملية التكرار عن طریق تغذیة الدارة بإشارة و یمكن مشاهدتها . جهد مربعة، آما یمكن مشاهدة هذه الظاهرة باستعمال راسم االهتزاز المهبطي

τبواسطة المقياسين المذآورین شریطة أن تكون C R=آبيرة آفایة . :تطبيقوصلت المكثفة على التسلسل . مفتوحةS، عندما تكون القاطعة0Q لها شحنة ابتدائية1Cمكثفة

.2C ومكثفة مفرغةRمع مقاومة : أثبت أن معادلة الدارة هي-1

( )0

1 2

Q - QQ - = R . iC C

i أوجد-2 Qبداللة الزمنو .

:اإلجابة : إثبات أن معادلة الدارة هي-1

( )0

1 2

Q - QQ - = R . iC C

2C

1C

RS

2C

1C

RS

t

CV (t)E

τ 2 τ 3τ 4τ 5 τt

i(t)E/R

τ 2 τ 3τ 4τ 5 τ

C .E

τ 2 τ 3τ 4τ 5 τ

Q (t)

13

): حسب قانون أوم )C 1 C 2V R .i V ... 1= +

: الدارة في هذه الحالة تكافئ الشكل التاليحيث أن

حيث dQi = - dt یعطى بالعبارة 2C في المكثفة Rعبر المقاومة 1Cإن تيار تفریغ المكثفة

dQ < 0 ) ون بين طرفي المكثفتين موجبا إذن سيكون فرق الكم) الشحنة تتناقص.

1C

1

QVC

، و=2C

2

Q'VC

=

0Q: وحسب قانون انحفاظ الشحنة Q Q'= '0Q: ، إذن+ Q Q= −

0: و منه

1 2

Q QQ R . iC C

−= : وبالتالي+

( ) ( )0

1 2

Q -QQ - = R . i . . . 2C C

) إیجاد -2 ) ( )i t Q tبداللة الزمنو :

: بالشكل التالي) 2(یمكن صياغة المعادلة ( )0

1 2

Q -QQ d Q - = - R .C C dt

d: حيث Qi = -dt

): ومنه )01 2

1 2 2

QC CdQ 1 . Q ... 3dt R C . C R .C

++ =

: بطرف ثان حلها یكون بالشكل التالياألولىي معادلة تفاضلية من المرتبة ه) 3(المعادلة

)): الحل الخاص:(أوال )eq

dQ dQ1 1Q 0 Q 0 ... 4dt R C dt τ+ = ⇒ + =

1: حيث 2eq eq

1 2

C . Cτ = R .C ، C = C +Cوبالتالي :dQ 1 dQ d t+ Q = 0 = -dt τ Q τ

⇔

dQ: وبالمكاملة نجد dt t = lnQ = - = - + AQ τ τ∫ ∫

: ومنه. ثابت اختياريA:حيثtτ- +AlnQ = ln e

): وبالمطابقة )- t/τQ = β e . . . Aβ: حيث5 e= )ع للزمن تابβفي هذه الحالة یمكن إرجاع): الحل العام(الحل بطرف ثان : ثانيا )β β t=

): فيكون ) ( ) - t /τQ t = β t . eومنه :- t/τ - t/τβQ' = β' e - eτ

-: نجد) 3(وبالتعویض في المعادلة t/τ - t /τ - t /τ 0

2

Qβ 1β' e - e + × β e = τ τ R . C

t/τ0:أي أن

2

Qβ' = × eR . C

): وبالمكاملة نجد ) ( )t /τ10

1 2

Cβ t = Q e + λ ... 6C +C

.ثابت اختياري والذي یحدد من الشروط االبتدائية: λحيث

): نجد) 5(في العبارة ) 6(وبتعویض ) ( )- t /τ1 0

1 2

C .QQ t λ e ... 7C C= ++

R1C 2C

14

t: وحسب الشروط االبتدائية 0= ، ( ) 0Q t=0 =Q

01: إذن0 0

1 2

CQ Q λ eC C= ++

2: وبالتالي0

1 2

Cλ QC C

=+

): بالشكل) 7(وعندئذ تصبح العبارة ) ( ) ( )- t/τ01 2

1 2

QQ t C C e ... 8C C= ++

): وتكون عبارة التيار الكهربائي في الدارة معتمدة على ما یلي )dQi Q' tdt

= − =

): ومنه ) - t /τ2 0

1 2

C Q 1i t . eC C τ=+

): إذن ) ( )- t/τ0

2

Qi t e ... 9R . C

=

:الطاقة المخزنة في مكثفة -7یقوم التيار الكهربائي في أي جزء من الدارة یمر فيه بعمل معين، فإذا لندرس جزءا من دارة

C: یحتوي مكثفة فرق الكمون بين طرفيها ab a bV V V V= = −

)شدته في لحظة معينة) ناتج عن عملية الشحن أو التفریغ(يها تيار آهربائي ویسري ف )i t ،

لذلك تقوم قوى الحقل dQشحنة مقدارها ) أو تفرغ( تخزن بداخلها dtفخالل فاصل زمنيbالكهربائي المفروض بين النقطتين aبعمل لنقل هذه الشحنةو .CdW V dQ=

طاقة الحقل الكهربائي(والطاقة المحمولة بهذه الشحنة تخزن في المكثفة على شكل طاقة آهربائية .pEوالتي نرمز لها بالرمز ). بين لبوسيها

: إذن0Q

p C0

E dW V dQ= =∫ CV: وبما أن∫ C Q=

: فإن0Q

p0

E C Q dQ= 0Q2: ومنه∫ 2p 0 0

1 1E C [Q ] C Q2 2= =

: والتي تكتب على أحد األشكال التالية2

2 0p 0 0 C

Q1 1 1E C Q Q V2 2 2 C

= = =

ر الطاقة الكهربائية الذي یفرغ من المكثفة یحسب بنفس الطریقة التي تم بها إن مقدا: مالحظة .حساب الطاقة التي تخزنها واالختالف الوحيد بين العبارتين هو اإلشارة

: في حالة الشحن2

0p

Q1E 02 C

= : في حالة التفریغ• <2

0p

Q1E 02 C

= − <

II- تطور شدة التيار الكهربائي المار في وشيعة تحریضية: : ظهور وانقطاع التيار في وشيعة تحریضية-1

:لتكن لدینا الدارة الموضحة في الشكلE :مولد تيار مستمر .R :مقاومة آهربائية .K:قاطعة .L : وشيعة مقاومتها مهملة( )r 0=.

15

: ظهور التيار-أة د غلق القاطع ار ) 1( وفي الوضع Kعن غ شدة التي ال تبل

0: القيمةEI R= بسبب ظاهرة التحریض الذاتي فالوشيعة

حسب (لد تيارا آهربائيا معاآسا للفعل الذي أدى إلى حدوثه تو e، فهي إذا مقر لقوة محرآة آهربائية تحریضية)نزل قانون

d) فولط: (حيث ie L dt= − فهذا یعني I إلى القيمة0فعند ظهور التيار تتغير قيمته من

d: أن i 0dt ) سالبة e وبالتالي ستكون القيمة الجبریة لـ < )e 0<.

: انقطاع التيار-ب0 عند بلوغ النظام الدائم) 2(عند غلق القاطعة وذلك عند الوضع

EI R= أي أننا نعزل المولد فإن

وذلك ألن الوشيعة تولد فعال یعاآس هذا التغير . التيار ال ینعدم بل تتناقص شدته برهة من الزمن إلى0Iفعند انقطاع التيار تتغير قيمته من . الفجائي وتسعى ألن تمد في أجل التيار الكهربائي

d: وهذا یعني أن0القيمة i 0dt

ـ > ) موجبة e وبالتالي ستكون القيمة الجبریة ل )e 0>.

:المعادلة التفاضلية الموافقة لتطور شدة التيار الكهربائي -2 1 القاطعة في الوضع: ظهور التيار الكهربائي : أوال

E: حسب قانون أوم L RV V V+ =

d:إذن iE L R idt− d: ومنه= i 1 Eidt L/R L+ =

Lτ: وباعتبار R=الثابت الزمني للدارة .

): فإن )d i 1 Ei ... 1dt τ L+ تبة األولى بطرف هي معادلة تفاضلية من المر) 1( المعادلة = :ثان، ویتم حلها آما یلي

d: تصبح من الشكل) 1(المعادلة ). بدون طرف ثان( الحل الخاص - i 1 i 0dt τ+ =

d: ومنه i dti τ= d: وبالمكاملة− i t1ln i dt Ai τ τ= = − = − +∫ ∫

t-: إذن /τ+Aln i ln e= ومنه :( )-t/τi β e ... Aβ: حيث=2 e= )أن ) الحل العام(نعتبر للحصول على الحل النهائي ): بطرف ثان( الحل العام - )β β t=

): فيكون )- t/τ - t/τd i ββ' e e ... 3dt τ= −

-: نجد) 1(وتعویضهما في ) 3(و ) 2(بأخذ t/τ - t /τ - t/τβ 1 Eβ ' e e β eτ τ L− + =

E

R

L

k12

E

R

L

k12

e

16

-: إذن سيكون t /τdβ Eβ ' ، β ' edt L= t: ومنه= /τEβ' = eL

t: وبمكاملة هذه األخيرة /τEβ τ . e λL= ثابت اختياري سيحدد من الشروط : λ ، حيث +

t/τE: ومنه. االبتدائية Lβ e λ ، τR R= + =

-فنحصل على ) 2(وهذه النتيجة تعاد وتعوض في المعادلة t /τEi λ . eR= +

): ومن أجل )i 0 0 ، t 0= ).ةالشروط االبتدائي (=

0E0: فإن λ . eR= Eλ: ومنه+ R= −

): األخير نجدوفي ) ( )- t/τEi t 1 eR= −

آبيرة و ذاتية Rآلما آانت المقاومة : مالحظة أصغر مما یعني τ صغيرة ، آلما آانت Lالوشيعة . لى النظام الدائم بشكل أسرع إوصولنا

دارة هو الوشيعة التحریضية التي المولد الوحيد الموجود في ال : انقطاع التيار الكهربائي :ثانيا .eهي اآلن مقر لقوة محرآة آهربائية تحریضية

L: فحسب قانون اوم RV V=ومنه :d iL R idt− d: وبالتالي= iL R i 0dt + =

d: ومنه i 1 Li 0 , τdt τ R+ = وهي معادلة =

: تفاضلية من المرتبة األولى بدون طرف ثان حلها هو( ) -t/τi t β e= وباستعمال الشروط االبتدائية :

0Et 0 ، I R= ): وبالتالي= ) -t /τEi t eR=

:الطاقة المخزنة في الوشيعة -3

): شيعة بالعالقة التالية تعطى الطاقة التي تختزنها الو )1

0

t

p Lt

∆E = W = - V dQ . . . 1∫

: عمل المولد الذي یبذله ضد القوة المحرآة الكهربائية التحریضية، وبما أنW: حيث

Ld iV = - L , dQ = i dtdt

: تصبح بالشكل) 1(فإن العبارة 0 0I I

p0 0

d i∆E L . i dt = L i di dt= ∫ ∫

0I2: ومنه 2p 00

1 1∆E = L [ I ] = L I2 2

i(t)

t

1i (t)2 i (t)

3 i (t )

i(t)E/R

τ 2 τ 3τ 4τ 5 τ

ER

17

التمارین : التمرین األول .

2600 ورقة معدنية رقيقة، سطح آل منها25تتكون مكثفة من cm یفصل إحداها عن األخرى 2ذو سماحية نسبية (ورقة بارفين البعد بين آل ورقتين نملة علما أأوجد سعة الج). 6,

1رقيقتين mm4 .

:حساب سعة الجملة :الحل

: لدیناn

eq ii=1

1 1 = C C∑من جهة ثانية :i 0ε . SC ε d=

وآلها 24عدد المكثفات هو ورقة فإن 25وبما أن عدد األوراق المعدنية المكونة للمكثفة هو .متالصقة مشكلة بذلك سلسلة مكثفات مربوطة على التسلسل

: إذنeq 1

1 n = ; n = 24C C1: ومنهeq 0

C ε .SC εn n .d= =

: تطبيق عددي-4

-12 -10eq -3

2,6 .600 .10C = 8,84 .10 . =2,3 .10 F = 0.23 nF24 .0,25 .10

: التمرین الثاني .Cسعتها ربطت مكثفة 5 µ F= إلى منبع للتيار المتواصل

Eقوته المحرآة الكهربائية 200V= القاطعة نقلت، ثم

K 2(إلى الوضع ) 1( من الوضع.( 1Rالمقاومةفي أحسب آمية الحرارة المتحررة 500 Ω= ،

2R أنعلما 330 Ω= .

:الحل : 1Rحساب آمية الحرارة المتحررة في المقاومة

0Q : تقدر بـCإن الشحنة الكهربائية المخزنة في المكثفة C . E 5 200 1 mC= = × =

: وم في الدارة المكافئة للشكلألدینا حسب قانون : غإیجاد عبارة تيار التفری: أوال

( )C 1 2V R R i= d: حيث+ Qi = - dt

C: و QV C= إذن: ( )1 2

Q dQR RC d t= − +

): ومنه )1 2

dQ 1 Q 0dt C R R

+ =+

EC

k12

1R

2R

EC

k 1

2

1R

2R

18

: بدون طرف ثان فيها ثابت الزمن لهذا الجزء من الدارةولىوهي معادلة تفاضلية من المرتبة األ

( )1 2τ C R R= dQ: أي أن + 1 Q 0dt τ+ =

dQ :وحلها یعتمد على إتباع ما یلي dQ d t1 Qdt τ Q τ= − ⇒ = −

d: وبإجراء المكاملة نجد Q dt tlnQ AQ τ τ= = − = − +∫ ∫

): وبالتالي )t/τ+AlnQ ln e ): وفي األخير نحصل على =− ) -t/τQ t β e=

t: فمن أجل 0Q: ، لدینا=0 C E= 0: إذن0 0Q β . e β Q−= ⇒ =

): وفي األخير نحصل على ) -t/τ0Q t Q e=

) : نجد أن شدة تيار التفریغ هواألخيرةوباستغالل العبارة ) -t/τ0QdQi t edt τ= − =

): أي أن ) -t/τ -t/τ

eq 1 2

C E Ei t e eR .C R R= =+

).فعل جول (1Rحساب آمية الحرارة المتحررة في المقاومة : ثانيا

): لدینا ) ( )1e R 1dW V . d Q R . i . i dt= =

: حيث1R 1V R . i ، dQ i dt= 2: إذن =

1dW R i . dt= tوبالمكاملة بين اللحظة tإلى اللحظة ) بدایة التفریغ (=0 = ) ایة التفریغنه (∞

2: نجدe 1

0 t 0

W dW R i dt+∞ +∞

=

= =∫ ∫

: ومنه( ) ( )

2 2-2t/τ1 1

e 2 201 2 1 2

R E R Eτ τW . e .2 2R R R R

+∞⎡ ⎤= − =⎢ ⎥⎣ ⎦+ +

: إذن2 6 2

1e

1 2

R C E 5 . 10 . 200500W . = . 0 ,06 JR R 2 500 330 2

−= =

+ +

: التمرین الثالث .

.أوجد الوشيعة المكافئة للوشيعتين المربوطتين ل على التسلس–أ

على التوازي–ب

2L

1L 2L

1L

19

:الحل : حساب ذاتية الوشيعة المكافئة للوشيعتين المربوطتين على التسلسل-أAB : حسب قانون أوم • AC CBu u u= +

AB: حيث AC 1 CB 2d i d i d iu = - L ، u = - L ، u = - Ldt dt d t

) : وبالتعویض نجد )1 2 1 2d i d i d i d iL L L L Ldt d t d t dt− = − − = − +

1 : وبالتالي یظهر بعد المطابقة أن 2L L L= +. :مربوطتين على التفرعاللوشيعتين ل حساب ذاتية الوشيعة المكافئة -ب بما أن الوشيعتين مربوطتين على التفرع فإن •

1 :التيار الكلي هو 2i i i= +

1: شتقاق نجدوباال 2d i d id idt dt d t= +

1: وبما أن 2AB AB 1 CD 2

d i d id iu L u L u Ldt dt dt، ،= − = − = −

AB: وبالتعویض نجد AB AB

1 2

u u uL L L− = − −

AB :ومنه AB1 2

1 1 1u uL L L⎛ ⎞

− = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

: وبالمطابقة 1 2

1 1 1L L L= +

: التمرین الرابع .Lوشيعة ذاتيتها 0 ,5 H= 2، ومقاومتها Ω وصلت هذه الوشيعة على التسلسل مع ،12قاطعة ومولد V4 ومقاومة Ωأوجد ، :

. القيمة النهائية للتيار-2 . الثابت الزمني للدارة-1t قيمة التيار في اللحظة -3 0 ,05 s=بعد غلق القاطعة .

. الطاقة النهائية المخزونة في الوشيعة-4

:الحل

: لدینا : تحدید الثابت الزمني للدارة-1eq

0 ,5Lτ 0 ,083 sR 2 4= = =+

عندما نصل إلى النظام الدائم تكون الوشيعة على شكل سلك : ر حساب القيمة النهائية للتيا-2

0 :موصل وشدة التيار في هذه الحالة حسب قانون أوم هي eq 0eq

EE I .R I R= ⇒ =

f: تطبيق عددي 012 12I I 2 A2 4 6= = = =+

1L 2LA BC

2L

1LA B

C D

1i

2ii

20

t حساب قيمة التيار الكهربائية عند اللحظة -3 0 ,05 s=:

): لدینا ) ( ) ( )-t/τ - 0,05/0,0830i I 1 e =2 1-e =2 1-0,55 =2 . 0,45 = 0,9 A= −

: حساب الطاقة النهائية المخزونة في الوشيعة-4

2: لدینا 2p 0

1 1E L I 0 ,5 . 2 1 J2 2= = × =

: التمرین الخامس . :لتكن الدارة الموضحة في الشكل

1: حيث 2E 24 V ; R 60 Ω ; R 200 Ω= = =

3R 40 Ω ; L 8 m H= =

3 تغلق القاطعتين -1 1k k2 وتفتح القاطعة وk.

. أحسب شدة التيار في الدارة- أ3 لمقاومتين ما هو فرق الكمون بين طرفي آل من ا- ب 1R R؟و

3 وتغلق القاطعتين 1kح القاطعة تفت-2 2k kو.

. أآتب المعادلة التفاضلية المعبرة عن تطور التيار الكهربائي بداللة الزمن- أ . أعط حل لهذه المعادلة- ب .ر عن التوتر الكهربائي بين طرفي الوشيعة عب- ـج

؟ ماذا یحدث لو وصلت الدارة إلى النظام الدائم- د ؟ ما هي الطاقة المخزنة في الوشيعة حتى لحظة وصولها إلى النظام الدائم- هـ

3 نغلق -3 2 1k k k3 لمدة ثم نفتح القاطعة ووK.

.لتيار الجاري في الدارةعن ا رة أآتب المعادلة التفاضلية المعب- أ .ر عن التوتر الكهربائي بين طرفي الوشيعة عب- ب) أرسم - ـج ) ( )LV t i tفي معلمين مختلفينو .

:الحل : حساب شدة التيار في الدارة-أ

): حسب قانون أوم )1 3E R R 1 3 1 3V V V R I R I R R I= + = + = +

: ومنه1 3

E 24I 0 ,24 AR R 60 40= = =+ +

3 حساب فرق الكمون بين طرفي الناقلين -ب 1R Rو

: حساب قانون أوم بين طرفي ناقل أومي3R 3V R I 40 0 ,24 9 ,6 V= = × =

1R 1V R I 60 0 ,24 14 ,4 V= = × =

1R

2R

3R

L

E3k

1k

2k

21

:ية المعبرة عن تطور شدة التيار في الدارة آتابة المعادلة التفاضل-أ- 2 Eتلعب الوشيعة في هذه الوضعية دور مولد مربوط مع

:على التضاد لذلك وحسب قانون أوم

2 3E L R RV V V V+ = +

2: ومنه 3d iE L R i R idt− = ): إذن + )2 3

d iE L R R idt= + +

2: وبالتالي 3R Rdi Eidt L L+

+ =

: وبإعتبار الثابت الزمني للدارة2 3

Lτ R R=+

): فإن )di 1 Ei ... 1dt τ L+ =

یعطى حل المعادلة التفاضلية التي هي من المرتبة األولى ):1( حل المعادلة التفاضلية -ب) :ان بالشكلوبطرف ث ) ( )-t/τ

2 3Ei t 1 eR R= −+

).القوة المحرآة الكهربائية التحریضية( التوتر الكهربائية بين طرفي الوشيعة -جـ

L: حسب قانون لينزdie V L dt= = −

t/τ-: إذنL

2 3E 1V L . eR R τ= ++

) : وبالتالي ) tτ

LV t E e −=

: فيكون عندما تصل الدارة إلى النظام الدائم فإن الدارة تكافئ الشكل-د

( ) ( )2 3 2 3

E Ei t 1 eR R R R− ∞→∞ = − =

+ +

):أما بالنسبة للتوتر الكهربائي )LV t E . e 0− ∞→∞ = =

LV) التوتر الكهربائي( :تطبيق عددي 24I) التيارشدة ( ، =0 0 ,1 A240= =

).النظام دائم( في الوشيعة حساب الطاقة المخزنة-هـ

2: لدیناp 0

1E L . I2= ، 0: حيث1 3

EI 0 ,1 AR R= =+

) : تطبيق عددي )23 5p

1E . 8 . 10 . 0 ,1 4 . 10 J2− −= =

. المعبرة عن التيار الجاري في الدارةالمعادلة التفاضلية - أ-3

:فحسب قانون أوم فإن1 2L R RV V V= ) : أي + )1 2

diL R R idt− = +

1 : ومنه 2R Rdi i 0dt L+

+ وهي معادلة تفاضلية من المرتبة األولى بدون طرف ثان =

) : حلها من الشكل ) -t/τ0

1 2Li t I e , τ R R= =+

شدة التيار التي آانت تسري في الفرع الذي یحتوي الوشيعة عند النظام الدائم والتي : 0Iحيث

2R

3R

L

E3k

2k

2R

3R E3k

2k

22

:نحددها آما یلي1 2R R 1 1 2 2V V R i R i= ⇒ =

1: آما أن 2i i i= 1 : ومنه جهة ثانية + 2eq 3

1 2 eq

R R ER R ; iR R R= + =+

2: إذن سيكون لدینا1 2

1

Ri iR= 2: ومنه2 2

1

Ri i iR= 1: إذن +2

1 2

Ri iR R=+

1: وبالتالي 12 0

1 2 eq 1 2 1 3 2 3

R R . EEI I . R R R R R R R R R= = =+ + +

: في األخير عبارة شدة التيار بداللة الزمن تكتب آما یلي

( ) -t/τ11 2 1 3 2 3 1 2

R . E Li t e , τR R R R R R R + R= =+ +

: عبارة التوتر بين طرفي الوشيعة-ب

L: حسب قانون لينزd iV = e = - L dt

): إذن ) ( )1 1 2 -t/τL

1 2 1 3 2 3

R R R . EV t eR R R R R R

+=

+ +

) رسم بيان -جـ ) ( )LV t i tو

: دسالساتمرین ال .

؟ما هي العالقة الریاضية التي تعطي طاقة المكثفة المستویة بداللة سعتها وفرق الكمون بين لبوسيها -12 شحنت المكثفة التي سعتها -2 ,5 µF 100 حتى أصبح فرق الكمون بين طرفيها V ثم ،

10ئي، ووصل قطبيها بقطبي مكثفة أخرى سعتها فصلت عن المصدر الكهربا µFأحسب ، :

. فرق الكمون بين طرفي المجموعة- أ . الطاقة الكلية المخزونة فيهما- ب .الطاقة الكلية للمكثفتين وطاقة المكثفة األولى قبل توصيلها بالمكثفة الثانية: قارن بين- ـج

t

LV (t)

0LV

τ 2 τ 3 τ 4τ 5 τt

i(t)

0I

τ 2 τ 3 τ 4τ 5 τ

0L0,37V00,37I

23

:الحل

CV العبارة التي تعطى الطاقة المخزنة في المكثفة بداللة-1 C،: لدینا :p C1E QV2=

CQ: وبما أن C . V= فإن :( ) 2p C C C

1 1E . C V .V C V2 2= =

: فرق الكمون بين طرفي المجموعة ) أ-2)د عملية الشحن ینعدم التيار الكهربائي لتوازن النظام بع • )I CV : وعندها یكون=0 E=

0 : هي1Cوالشحنة المخزنة في المكثفة 1 C CQ C V , V E= × = 0Q: تطبيق عددي 2 ,5 100 250 µC= × =

: توصل بمكثفة أخرى شحنتها في البدء معدومة1Cبعد عملية شحن •

'وحسب قانون انحفاظ الشحنة '0 1 2Q Q Q= +

: وبما أن1 2C CV V= فإن :

' ' ' '1 2 1 21 2 1 2

Q Q Q QC C C C

+= =

+

: ليوبالتا'

'01 11 0

1 1 2 1 2

QQ CQ QC C C C C= ⇒ =+ +

'

'02 22 0

2 1 2 1 2

QQ CQ QC C C C C= ⇒ =+ +

: ومنه سيكون التوتر الكهربائي بين طرفي المجموعة هو

1 20 1

C C1 2 1 2

Q C 2 ,5V V . E . 100 20 VC C C C 10 2 ,5= = = = =+ + +

: حساب الطاقة الكلية المخزونة في آل من المكثفتين-ب

: 1Cطاقة المكثفة •1

2p 1 1 C

1E C V2= • 2طاقة المكثفةC :2

2p 2 2 C

1E C V2=

p: وتكون طاقة المجموعة • p1 p 2E E E= +

6-: تطبيق عددي 2 -6 2 -3p p1 p2

1 1E =E +E = . 2,5 . 10 . 20 + . 10 . 10 . 20 =2,5 .10 J2 2

: وصلها بطاقة المجموعة قبل1C مقارنة طاقة المكثفة-جـ

2: قبل وصلها1Cطاقة المكثفة: أوال -6 2p0 1 C

1 1E = C V = .2,5 .10 . 100 =0,0125 J2 2

3-المقارنة : ثانيا -3p p p0∆ E =E - E = 2,5 . 10 -12,5 . 10 = 0,01 J

منها ضاع في غير محفوظة ، هذا یعني أن جزءا1Cإن الطاقة التي آانت مخزنة في المكثفة

.أسالك التوصيل بفعل جول و الجزء األخر وزع بين المكثفتين حسب سعة آل منهما

t = 0

2C1C

2C1C

t →∞

0Q

1Q' 2Q'

24

: السابعتمرین ال .1وصلت مكثفة سعتها µ F 2مع مكثفة أخرى سعتها ) التسلسل( على التوالي µ F ثم

100صلت المجموعة إلى مصدر آهربائيو V.

. أحسب الشحنة وفرق الكمون بين طرفي آل مكثفة-1 إذا فصلت المكثفتان عن المصدر، ثم أعيد توصيلهما على التوازي بحيث یتصل اللبوسان -2

.الموجبان معا والسالبان معا، فأحسب الشحنة والطاقة لكل منهما

:الحل .حساب الشحنة وفرق الكمون بين طرفي آل مكثفة -1: حسب قانون أوم فإن :حساب الشحنة: أوال

1 2C CE = V + V

1: وبما أن 2Q Q Q= 1 : فإن = 21 2

Q QE C C= +

1: ومنه 21 2

C CE .QC .C+

1 : إذن = 21 2

C . C 1×2Q = . E = 100 = 66,67 µ CC +C 1+2

: بما أن :حساب التوتر الكهربائي: ثانيا1 2

1 2C C

1 2

Q QV ، VC C= =

: فإن1 2C C

66 ,67 66 ,67V 66 ,67 V ، V 33 ,33 V1 2= = = =

: حساب الطاقة والشحنة لكل من المكثفتين-2': ب قانون انحفاظ الشحنة حس.حساب شحنة آل منهما: أوال '

1 2 1 2Q Q Q Q+ = +

. حيث سيعاد ترتيب توزیع الشحنة الكهربائية في آل من المكثفتين

: وبما أن1 2

' ' ' '' ' 1 2 1 2C C

1 2 1 2

Q Q Q QV V C C C C+

= = = =+

:فإن

( )' 1 11 1 2 1

1 2 1 2

C 2 C 2 1Q Q Q Q . 66 ,67 44 ,44 µCC C C C 3×= + = = =

+ +

( )' 2 22 1 2 1

1 2 1 2

C 2 C 2 2Q Q Q Q . 66 ,67 88 ,89 µCC C C C 3×= + = = =

+ +

: لدینا : حساب طاقة آل مكثفة: ثانيا2

pQ1E 2 C=

:1Cفمن أجل المكثفة' 2 6 2

41p 1 61

Q ( 44 ,44 . 10 )1 1E . 9 ,87 . 10 J2 C 2 10

−−

−= = =

:2Cومن أجل المكثفة' 2 6 2

32p 2 62

Q ( 88 ,89 . 10 )1 1E . 1 ,97 . 10 J2 C 2 2 10

−−

−= = =

×

25

: الثامنتمرین ال . :ليكن لدینا الجزء الموضح من دارة آهربائية

.سب التوتر الكهربائي والشحنة بين طرفي آل مكثفةأح1C: علما أن 4 µ F ، E 100 V= =

A B 2V V 50 V ، C 6 µ F− = =

:الحل :حساب الشحنة بين طرفي آل مكثفة: أوال-

AB لدینا :حسب قانون أوم AC CD DBV V V V= + +

التسلسلوبما أن المكثفتين في هذا الجزء مربوطتين على

1: فإن 2Q Q= 1: إذن 2 1 2AB 1

1 2 1 2

Q Q C CV E Q EC C C . C+⎛ ⎞

= − + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

): وبالتالي ) ( )1 21 AB

1 2

C . C 4 6Q V E 50 100 360 µ CC C 4 6×= + = + =

+ +

:حساب التوتر الكهربائي بين طرفي آل مكثفة: ثانيا

) : لدینا )1

1 2C DB AB

1 1 2

Q C 6V V V E . 150 90 VC C C 10= = = + = =+

) :آذلك )2

2 1C AC AB

2 1 2

Q C 4V V V E . 150 60 VC C C 10= = = + = =+

: التاسعتمرین ال . ربطت أربع مكثفات متماثلة آما هو مبين في الشكل إلى -أ

Eمولد آهربائي قوته المحرآة الكهربائية 9 V=.

1Kة، أما القاطعة مفتوح2Kآانت القاطعة في البدایة ، آم سيكون التوتر 2K وتغلق 1Kفمغلقة، ثم تفتح

.بين لبوسي آل مكثفة وتفتح مع 1K أعد السؤال في الحالة التي تغلق فيها-ب

. مغلقة2Kبقاء

:الحل فإن المكثفات تظهر مربوطة على التسلسل هذا یعني أن 2K وتفتح 1K عندما تغلق القاطعة -أ

1 :لكل منها نفس الشحنة أي 2 3Q Q Q= =

:وحسب قانون أوم1 2 3C C CE V V V= + +

A BE 1C2C

A B

E 1C2C

C D

1k

E

1C

2C4C

4C

2k

26

31: إذن 21 2 3

QQ QE C C C= + 1: وبما أن المكثفات متماثلة + 2 3C C C= =

1: فإن1 1

1

Q EE 3 Q C .C 3= ⇒ 1 : إذن =1 2 3

C EQ Q Q 3×

= = =

: تكافئ الدارة الشكل التالي2Kطعة وغلق القا1Kعند فتح القاطعة*

معدومة في البدایة فإنها ستأخذ جزءا من 4Cوبما أن شحنة المكثفة : وحسب قانون انحفاظ الشحنة2Cالشحنة الموجودة في المكثفة

' '2 4 2 4Q Q Q Q+ = : وبما أن +

2 44 2 C CC C ، V V= =

: فإن' '

' '2 42 4

2 4

Q Q Q QC C= ⇒ ': ومنه = ' 2 4 22 4

Q Q QQ Q 2 2+

= = =

3وبالتالي سيكون التوتر الكهربائي عند هذه الوضعية والتي ال تتأثر فيها المكثفتين 1C Cو

: آما یلي1

1C

1

Q EV 3 VC 3= = = ، 3

3C

3

Q EV 3 VC 3= = =

2

'2

C2

Q EV 1 ,5 VC 6= = = ، 4

'4

C4

Q EV 1 ,5 VC 6= = =

: في البدایة الشكل التالي مغلقة تكافئ الدارة2K مع بقاء 1K عندما نغلق القاطعة-ب

:إذن) أ(نا أمام الحالة أنفي هذه المرحلة یظهر

1 eq 3C C CE V V V= + +

eq: حيث 2 4 1C C C 2 C= + 1: آما أن = 3 eqQ Q Q= =

eq: وبالتالي 311 eq 3

Q QQE C C C= + +

1: ومنه 3 1 eq 3 eq1

1 3 eq

C C C C C CE QC C C

+ += ×

× ×

: إذن3

1 3 eq 11 121 3 1 eq 3 eq 1

C .C . C 2C 2Q E .E C EC C C C C C 55 C= × = =

+ +

: یؤدي إلى اعتبار الدارة تكافئ الشكل التالي1Kإن فتح القاطعة

: وبما أن2 4C CV V= 2: و 4C C= فإن : ' '

2 4Q Q=

': والتي ما هي إال '2 4 1Q Q Q+ =

': إذن ' 1 12 4

Q C EQ Q 2 5= = =

2C4C

2k

1k

E

1C

2C4C

4C

2k

2C4C

2k

27

وبالتالي سيكون التوتر الكهربائي بين طرفي آل مكثفة عند هذه الوضعية والتي ال تتأثر بها أیضا 3المكثفتين 1C Cآالتاليو :

1

1C

1

Q 2 EV 3 ,6 VC 5= = = ، 3

3C

3

Q 2 EV 3 ,6 VC 5= = =

2

'2

C2

Q EV 1 ,8 VC 5= = = ، 4

'4

C4

Q EV 1 ,8 VC 5= = =

: العاشرتمرین ال . لد له مقاومة داخلية مهملة وقوة محرآة آهربائية لتكن الدارة الموضحة بالشكل، وباعتبار المو

E 10 V= ا السعت 1Cنا والمكثفتين لهم 2 ,5 µ F= ، 2C 3 µ F= ن ا والمقاومت1Rنالهما القيمت 200 Ω= ، 2R 400 Ω= . ة أحسب فرق الكمون والشحنة المخزن

: في الحاالت التالية بعد الشحن الكلي وفي آل مكثفة2 القاطعتان -1 1K Kمغلقتانو .

. مغلقة1K مفتوحة و2K القاطعة-2 . مغلقة2K مفتوحة و1K القاطعة-3

:الحل

2 القاطعتان-1 1K Kمغلقتانو : :الدارة في هذه الحالة تكافئ الشكل التالي2: وبما أننا أمام وضع دائم فإن التيارین 3I I 0= =

1: حيث 4I I=

:وتعطى قيمة شدة التيار عندئذ حسب قانون أوم آما یلي

( )1 2R R 1 2E V V R R . I= + = : ومنه +

1 2EI 16 ,67 m AR R= =+

:ویكون فرق الكمون بين طرفي آل مكثفة هو

1 1

1C R 1 1

1 2

R 200V V R I E 10 3 ,33 VR R 200 400= = = = × =+ +

2 2

2C R 2 1

1 2

R 400V V R I E 10 6 ,66 VR R 200 400= = = = × =+ +

:أما الشحنة المخزنة في آل منهما هي

1 1C 1 CQ C V 2 ,5 3 ,33 8 ,325 µ F= = × =

2 2C 2 CQ C V 3 6 ,66 19 ,98 µ F= = × =

E

1k1R 2R

1C 2C

2k

E

1R 2R

1C 2C

i1

i2 i 3

i4

28

: مغلقة1K مفتوحة و2Kالقاطعة -2

ح الدارة الكهربائية في هذه الحالة آما هو تصب1I: موضح في الشكل وما دام النظام دائم فإن 0=.

:وتكافئ الدارة ما یليوعندها سيكون التيار ذو شدة مساویة للقيمة المحسوبة

2: سابقا أي1 2

EI 16 ,67 m AR R= =+

في الكمون بين طرفي آل مكثفة سيكون مختلفا بحيث نتبع إال أن طریقة تحدید الشحنة والفرق

: حسب قانون أوم :الطریقة التالية1 2C CE V V= 1: إذن + 2

1 2

Q QE C C= +

1: فإن وبما أن المكثفتان مربوطتان على التسلسل 2Q Q= 1: إذن 21

1 2

C CE QC C+

= ×

1 : ومنه 21 2

1 2

C C 2 ,5 3Q Q E 10 13 ,64 µCC C 2 ,5 3×= = × = × =

+ +

:وبالتالي سيكون فرق الكمون بين طرفي آل مكثفة هو

1

1C

1

Q 13 ,64V 5 ,45 VC 2 ,5= = = ، 2

2C

2

Q 13 ,64V 4 ,55 VC 3= = =

: مغلقة2K مفتوحة و1K القاطعة-3 :الدارة في هذه الحالة لها الشكل التالي

1:وفي النظام الدائم یكون 2 3I I I 0= = =

Bإال أن النقطة لهما نفس الكمون الكهربائي وتعتبر C و

2Rفي هذه الحالة آأنها سلك توصيل . :ها الشكل المكافئ التاليالدارة ل و

: وحسب قانون أوم فإن1CE V 10 V= =

:وبما أن2 2R CV V= فإن :

2C 2 3 2V R I R 0 0= × = × =

: والشحنة المخزنة في آل مكثفة هي11 1 CQ C V 2 ,5 10 25 µC= × = × =

22 2 CQ C V 3 0 0 µC= × = × =

: الحادي عشرتمرین ال . :لتكن الدارة الموضحة في الشكل حيث

3 2 1C 5 µ F ، C 3 µ F ، C 1 µ F= = لكل منها شحنة معدومة في البدایة =

بواسطة مولد آهربائي مقاومته ) 1( عند الوضع K عند غلق القاطعة1Cتشحن المكثفة

E

1R 2R

1C 2Ci1

i 2

E

2R

1C 2Ci1 i 2

i 3

CAB

E1Ci1A

29

Eمهملة وقوته المحرآة الكهربائية 100 V= 1 وعندما تشحن المكثفةCآليا نغير وضع ).2(إلى الوضع المبدلة

1Cأوجد التوتر الكهربائي بين طرفي المكثف ) 1

).دائمالنظام في حالة ال( .أوجد الشحنة المخزنة في آل مكثفة) 2أحسب الطاقة المخزنة في آل مكثفة وقارنها مع الطاقة ) 3

ماذا تستنتج ؟. 1Cاالبتدائية للمكثفة

:الحل :ة مكافئة إلى الشكلتصبح الدار) 1(في البدایة وعندما تغلق القاطعة على الوضع

0وتكون المكثفة قد شحنت بالمقدار 1Q E C 1 100 100 µC= × = × =.

تصبح ) 2( إلى الوضع المبدلةوعند تغيير وضع :الدارة مكافئة إلى الشكل الموضح بجانبه

:1Cحساب التوتر الكهربائي بين طرفي المكثفة ) 1

یعاد توزیعها على المكثفات الثالثة وبعد التوازن وحسب قانون انحفاظ الشحنة0Qإن الشحنة

( )1 2 3 1 0Q Q Q Q Q Q+ + = + = 3هي الشحنة المخزنة في المكثفة المكافئة للمكثفتين : Qحيث 2C Cو.

:نية وحسب قانون أوممن جهة ثا1 eq

1 1C C

1 eq 1 eq

Q Q QQV V C C C C+

= ⇒ = =+

2: حيث 3eq 1 0

2 3

C CC ، Q Q QC C= + =+

: ومنه1

0C

2 31

2 3

QV C CC C C

=+

+

( )2 30

1 2 1 3 2 3

C C 3 5Q 100 34 ,78 VC C C C C C 3 5 1 5 1 3+ += × = × =

+ + × + × + ×

:حساب الشحنة المخزنة في آل مكثفة) 2: لدینا

11 1 CQ C V= 1Q : إذن × 1 34 ,78 34 ,78 µC= × = 3وبما أن 2C C2: مربوطتين على التسلسل أثناء عملية شحنهما فإنو 3Q Q=

1: وبالتالي 2 3 0Q Q Q Q+ + 2: إذن = 0 12 Q Q Q= −

0: ومنه 12 3

Q Q 100 34 ,78Q Q 32 ,61 µC2 2− −= = = =

:1Cحساب الطاقة المخزنة في آل مكثفة مع مقارنتها بالطاقة االبتدائية للمكثفة ) 3

:1Cالطاقة االبتدائية للمكثفة1 1

2 -6 2 -3p p 1 C

1 1E =E = C .V = . 10 × 100 =5 . 10 J2 2

E2C

3C1C

2

1 k

E1C

1C2C

3C

30

3لكل من المكثفات : الطاقة النهائية 2 1C ، C ، C.

11

' 6 41 Cp

1 1E Q .V . 34 ,78 . 10 34 ,78 6 .10 J2 2− −= = × ≅

2

2 6 242

p 62

Q ( 32 ,61 . 10 )1 1E . 1 ,77 .10 J2 C 2 3 . 10

−−

−= = ≅

3

2 6 243

p 63

Q ( 32 ,61 . 10 )1 1E . 1 ,06 .10 J2 C 2 5 . 10

−−

−= = ≅

:والطاقة اإلجمالية للجملة هي

2 31

'' 4 4 4 4p p ppE E E E 6.10 1 ,77.10 1 ,06.10 8 ,83.10 J− − − −= + + = + + ≅

': وآما نالحظ أن 3 4 3p p p∆ E E E 5 .10 8 ,83 .10 4 ,12 .10 J− − −= − = − =

3 إلى المكثفتين1C عندما قمنا بتوصيل جول في أسالك التوصيلل وهي طاقة ضائعة بمفعو 2C Cو .

: الثاني عشرتمرین ال . R ومقاومته الداخلية مهملة ومن مقاومة Eتتشكل دارة من مولد قوته المحرآة الكهربائية

باعتبار مبدأ قياس الزمن اللحظة التي یتم فيها غلق القاطعة، . مفتوحةK وقاطعةCومكثفة :المطلوب

i للمكثفة والتيارQ ما هي القوانين التي تعبر عن الشحنة-1Cالمار في الدارة بداللة الزمن والثوابت ،R ، E.

؟ آيف تصبح هذه العبارة عند النظام الدائم-2) أرسم المنحنيات البيانية -3 ) ( )i t ، Q t.

E: تطبيق عددي 12 V ، R 250 Ω ، C 2 µ F= = =

:الحل المار في الدارة بداللة الزمن i للمكثفة والتيارQن الشحنة القوانين التي تعبر ع-1

Cوالثوابت ،R ، E: لدینا :C R CE V V V R . i= + = +

C: وبما أن RQ dQV ، V R .i ، iC dt= = Q : فإن = dQE R .C d t= +

dQ: ومنه 1 E. Qdt R C R+ : والتي یمكن آتابتها بإدخال الثابت الزمني للدارة =

τ R .C= بالشكل: . . . . . . . . . . . . . . . dQ 1 E. Q . . . . (1)dt τ R+ =

):عبر مراحل( بطرف ثان یمكن حلها بالشكل التالي األولىلة تفاضلية من المرتبة وهي معاد

dQ ):بدون طرف ثان) 1(المعادلة (الحل الخاص 1 . Q 0dt τ+ =

E C

R

k

31

dQ: ومنه 1 d tQ τ= d: نجد) الدالة األصلية(بالمكاملة − Q 1lnQ t AQ τ= = − +∫

t/τ-: وبالتالي .ثابت اختياري: Aث حي AQ e +=

t-: والتي تكون أیضا من الشكل τ A -t τQ = e . e = β e ):الطرف الثاني) 1(المعادلة (الحل العام

): جعله تابعا للزمن أين وβنأخذ )β β t= للحصول على الحل العام ونأخذ بعد ذلك

( ) ( )Q t Q' t1( ونعوضهما في المعادلة و.(

): لدینا )-t/τQ β e ... ) و =2 ) ( )-t/τ -t/τ1Q' t β' . e β e ... 3τ= −

t/τ-: نجد) 1(في ) 3(و ) 2(بتعویض Eβ ' . e R=

t: ومنه τEβ ' . eR): بالمكاملة نجد و =+ ) t τ t τEβ t e dt C E .e λR

+ += = +∫

. ثابت یحدد من الشروط االبتدائية أو النهائيةλ: حيث

)ونأخذ قيمة )β t نجد) 2( ونعوضها في المعادلة :( ) t τ -t/τQ t C E .e λ . e⎡ ⎤= +⎣ ⎦

) :ومنه ) ( )-t/τQ t C E λ e ... 4= + t: ومنه الشروط االبتدائية Q شحنة المكثفة معدومة =0 0=

00: فإن C E λ e C E λ .1= + = λ: ومنه + C E= −

:في األخير بالشكل) 4(وتصبح المعادلة

( ) ( ) ( )-t/τQ t C E 1 e ... 5= ]قانون الشحنة [ −

: وعبارة شدة التيار في هذه الحالة

( ) ( )-t/τdQ Ei t . e ... 6dt R= ]قانون التيار [ =

) 6(و ) 5 (تين في النظام الدائم والذي نعتبر فيه الزمن من الناحية النظریة ال نهائي فإن العبار-2

) :صبح من الشكلت ) ( ) ( )Q t C E 1 e C E 1 0 C E− ∞→ ∞ = − = − =

( ) E Ei t . e . 0 0R R− ∞→∞ = = =

τ: تطبيق عددي R .C 250 2 0 ,5 m s ، Q C E 2 12 24 µ C= = × = = = × =

): رسم المنحنيات البيانية-3 ) ( )i t ، Q t:

32

( ) ( )2tQ t 24 1 e µC−= − ( ) 2ti t 48 . e m A−=

: الثالث عشرتمرین ال . مفتوحة، باعتبار مبدأ K وقاطعة0Qشحنتها االبتدائيةو مكثفة Rتتشكل دارة من مقاومة

:قياس الزمن اللحظة التي یتم فيها غلق القاطعة، المطلوبمن المار في الدارة بداللة الزi للمكثفة والتيارQ ما هي القوانين التي تعبر عن الشحنة -1

0Cوالثوابت ، R ، Q. ؟ آيف تصبح هذه الدارة عند النظام الدائم-2) أرسم المنحنيات البيانية -3 ) ( )i t ، Q t.

0Q: تطبيق عددي 22 ,5 µC ، R 500 Ω ، C 2 ,5 µ F= = =

:الحل 0C المار في الدارة بداللة الزمن والثوابت i والتيارQالقوانين التي تعبر عن الشحنة -1 ،R ،Q.

C: لدینا RV V R i= C: وبما أن = RdQ Qi ، V ، V R .idt C= − = =

Q: ومنه dQR .C dt= ): وبالتالي − )dQ 1 . Q 0 ... 1dt R C+ =

τوالتي یمكن أن تدخل باستعمال الثابت الزمني للدارة R .C=

): ویصبح لدینا )dQ 1 . Q 0 ... 2dt τ+ األولى وهي معادلة تفاضلية من المرتبة =

dQ: لدینا :بدون طرف ثان والتي یحدد حلها آما یلي 1 .dtQ τ= −

d: نجد) الدالة األصلية(وبالمكاملة Q tln Q AQ τ= = − .ثابت اختياري: A ، حيث ∫+

Aβ: وباعتبار t/τ+AQ = e-: ومنه e= فإن :-t/τQ β . e=

t(ms)t(ms)

Q(µC)i(mA)

0 1 2 3

30

25

20

15

10

5

0 1 2 3

60

50

40

30

20

10

33

t: ومنه الشروط االبتدائية 0Q شحنة المكثفة =0 Q= 0: إذن

0Q β . e β . 1= 0β: ومنه = Q= ) :وتصبح المعادلة في األخير بالشكل ) ( )t τ

0Q t Q e ... 3−=

) : وعبارة شدة التيار في هذه الحالة ) ( )-t/τ0QdQi t . e ... 4dt C R= − = ) 4(و ) 3( في النظام الدائم والذي نعتبر فيه الزمن من الناحية النظریة ال نهائي فإن العبارة -2

) :تصبح من الشكل ) 0 0Q t Q . e Q . 0 0−∞→ ∞ = = =

( ) 0 0Q Qi t . e . 0 0R C R C−∞→∞ = = =

τ: تطبيق عددي R .C 500 .2 ,5 1 ,25 m s= = =

6

0 00 0 3

Q Q 22 ,5 . 10Q 22 ,5 µC ، I 18 m Aτ R C 1 ,25 . 10

−

−= = = = =

) رسم المنحنيات البيانية -3 ) ( )i t ، Q t:

:ليكن الشكل العددي لكل من عبارتي الشحنة والتيار آما یلي ( ) ( )t 1,25 t 1,25Q t 22 ,5 .e µC i t 18 .e m A− −= =

: التمرین الثالث عشر . .لتكن الدارة الموضحة في الشكل وعند النظام االنتقالي

I- 1- توضع القاطعة على الموضع: . اشرح الظاهرة المالحظة-1 أآتب وحل المعادلة التفاضلية التي تعطي الجهد الكهربائي -2

CVبين طرفي المكثفة .

CVح قيمة التوتر الكهربائي ما هو الزمن الالزم آي تصب-3

%مساویة ؟ من قيمتها العظمى99

t(ms)t(ms)

i(mA)Q (µC )

0 1 2 3

18

15

12

9

6

3

0 1 2 3

25

20

15

10

05

E

1C

1R

k

2R

2

1

34

) استنتج عبارة آل من -4 ) ( )i t ، Q t. II- 2- توضع القاطعة على الموضع: . اشرح الظاهرة المالحظة-1 . بين طرفي المكثفةCV تطور التوتر الكهربائي أآتب وحل المعادلة التفاضلية التي تعطي-2

) استنتج عبارة آل من -3 ) ( Qو( t i t. III- ارسم المنحنيات ( ) ( )Ci t ،V t 2(، )1(، في حالتي القاطعة.(

1: تطبيق عددي 2E 8 V ، R 150 Ω ، R 200 Ω ، C 1 µ F= = = =

:الحل I- 1-طعة على الموضع توضع القا: .1R عبر الناقل األوميEفإن المكثفة تشحن بواسطة المولد) 1(عند غلق القاطعة على الوضع -1

:الكهربائي بين طرفي المكثفة) التوتر( المعادلة التفاضلية التي تعطي الجهد -2

:لدینا1C RE V V= : وبما أن +

1C R 1 CdQ Qi = ، V = ، V =R . i ، dQ=C . dVd t C

C: فإنC 1

dVE V R .C . dt= C: وتصبح بعد تعدیلها +C

1 1

dV 1 E.Vdt R C R C+ =

1τ :والتي یمكن أن نكتبها بإدخال الثابت الزمني للدارة R .C= ): بالشكل ) ( ) ( )t τ

CV t E 1 e ... 1−= − % مساویا CV الزمن الالزم حتى یصبح التوتر الكهربائي -2 : من قيمته العظمى99

)): 1(لدینا من المعادلة ) ( )t τCV t E 1 e −= −

CV: وبما أن 0 ,99 E= فإن :( )t τE 1 e 0 ,99 E−− =

t: وبحل هذه المعادلة نجد τe 1 0 ,99 0 ,01− = − t: إذن = τ ln 100 5 .τ= ≈

) استنتاج عبارة آل من -4 ) ( iو( t Q t:

): لدینا ) ( )CQ t C .V t= إذن :( ) ( ) ( )t τQ t C E 1 e ... 2−= −

) : ومن جهة ثانية ) dQi t dt= 2(من :(( ) t τ

1Ei t . eR

−=

II- تصبح الدارة مكافئة إلى الشكل المجاور والمكثفة اآلن تفرغ ) 2( عند غلق القاطعة في الوضع2عبر المقاومتين 1R Rبعد أن آانت تحتوي على الشحنة و Q C E=.

. بين طرفي المكثفةCV المعادلة التفاضلية التي تعطى تطور التوتر الكهربائي -2

: لدینا1 2C R RV V V= C: إذن + 1 2V R . i R . i= +

): ومنه ) ( )C 1 2V R R . i ... 3= + 1C

1R2R

35

C: وبما أنdQi ، Q C .Vdt= − : تصبح بالشكل) 3(فإن المعادلة =

( ) CC 1 2

dVV R R C . dt= − ): إذن + )C

C1 2

dV 1 .V 0dt R R C+ =

+

: بدون طرف ثاناألولىبة توهي معادلة تفاضلية من المر): والتي یمكن أن نكتبها بإدخال الثابت الزمني للدارة )1 2τ ' R R . C= :، آما یلي +

CC

dV 1 .V 0dt τ '+ ): وحلها من الشكل = ) t τ'CV t E .e−=

) استنتاج عبارتي آل من -3 ) ( )i t ، Q t: ): بما أن ) ( )CQ t C .V t= فإن :( ) t τ'Q t C .E .e −=

): ومن جهة ثانية ) dQi t dt= ): إذن − ) t τ'C .Ei t . eτ '−=

): ومنه ) ( )t τ '

1 2

Ei t . eR R

−=+

III- رسم المنحنيات ( ) ( )Ci t ،V t 2(، )1(، في حالتي القاطعة:(

)إن الشكل العددي لكل من ) ( )CI t V tهوو :

): 1(لقاطعة في الموضع عندما تكون ا: أوال1τ :حيث الثابت الزمني لهذه الدارة R .C 0 ,15 ms= =

( ) ( ) ( )6 ,67tCV t 8 1 e Volt−= − ، ( ) ( )6 ,67ti t 53 ,3 e m A−=

): 2(عندما تكون القاطعة في الموضع : ثانيا) :حيث الثابت الزمني للدارة )1 2τ ' R R .C 0 ,35 ms= + =

( ) ( )2 ,86 tCV t 8 . e Volt−= ، ( ) ( )2 ,86 ti t 22 ,9 e m A−=

.عليك برسم المنحنيات ، أنظر التمارین السابقة *

: الرابع عشرتمرین ال .2لتكن الدارة الموضحة في الشكل المرافق، شحنة المكثفتين 1C ، Cفي البدء معدومتين .

):1( على الوضع K توضع القاطعة-1)أحسب الشحنة) أ )1Q t1 للمكثفةCو ( )2Q t للمكثفة

2C عند اللحظة t. استنتج التيار( )i t المار في آل .tفرع من الفروع الدارة في اللحظة

):1( على الموضع K النظام الدائم القاطعة -2 ؟1Cثفة بين طرفي المكCVما هي قيمة فرق الكمون ) أ

. بين طرفي المقاومةRVفرق الكمون ) ب

E

1C

R

k

2C

2

1

36

):2( إلى الوضع K یغير وضع القاطعة-3

)أحسب الشحنة ) أ )'1Q t 1 للمكثفةC و ( )'

2Q t 2 للمكثفةC عند اللحظةt. )استنتج التيار ) ب )i ' tالمار في هذا الجزء من الدارة .

):2(لى الوضع ع K النظام الدائم القاطعة-4 آل مكثفة ؟ما هي قيمة الشحنة داخل ) أما هي قيمة فرق الكمون ) ب

2 1C CV ، V 2 بين طرفي المكثفة 1C ، C؟

2: تطبيق عددي 1R 10 K Ω ، E 400 V ، C 4 µ F ، C 2 µ F= = = =

:الحل :الدارة تكافئ الشكل التالي): 1( على الوضع K القاطعة-1)حساب الشحنة ) أ )1Q t و ( )2Q t المخزنتين في

:يبت على التر2C و1Cالمكثفتين عبر الناقل األومي E تشحن بواسطة الجهد 1Cإن المكثفة

R وتعطى عبارة الشحنة ( )1Q tللمكثفة بالعبارة التالية :

( ) ( )t τ1 1Q t C E 1 e −= −

4 الثابت الزمني للدارة ویأخذ القيمة τ: حيث1τ R .C 10 2 20 m s= = × =

) فهي غير موصولة وال یمر فيها أي تيار فهذا یعني أن 2Cأما المكثفة )2Q t 0=.

:عبارة التيار في آل فرع من فروع الدارة) ب

) :1Cلدینا في الفرع الذي یحتوي المكثفة ) t τ11

dQ Ei t . edt R−= =

) :2Cي المكثفةأما في الفرع الذي یحتو ) 22

dQi t 0dt= =

): شحنت آليا أي أن1Cیعني أن المكثفة : النظام الدائم-2 ) 1t i 0→∞ =

لدینا :1Cالفرق في الكمون بين طرفي المكثفة) أ1

1C 1

1 1

Q EV C . EC C= = =

: تطبيق عددي1CV E 400V= =

RV : لدینا :Rفرق الكمون بين طرفي الناقل األومي ) ب R .I = R .0 0= = ):2(لى الوضع ع K القاطعة-3)حساب الشحنة ) أ )'

1Q t 1 للمكثفةC و ( )'2Q t

.tعند اللحظة 2Cللمكثفة

: لدینا1 2C C RV V V= ): منه + )

' '1 21 2

Q Q R i' ... 1C C= +

): وبما أن )' '1 2 1 2 1Q Q Q Q C .E ... 2+ = + )الشحنة محفوظة (=

E

1C

R

k1

1C

R2C

37

): وآذلك )'1dQi' ... 3dt= )): 1(من قانون انحفاظ الشحنة − )' '

2 1 1Q C .E Q ... 4= −

: نجد) 1(في العالقة ) 4(و ) 3(وبتعویض ' ' '1 1 1 11 2

Q C . E Q dQR .C C dt−

= −

: وبتبسيط الكتابة نجد'

'1 1 2 11

1 2 2

dQ C C C. Q .Edt R C C R C+

+ =

: بطرف ثان حلها من الشكلاألولىوهي معادلة تفاضلية من المرتبة

( ) ( ) ( )' t τ'1 1 21 1 2

1 2 1 2

C E C .CQ t C C e ، τ ' R . ... 5C C C C−= + =

+ +

4: حيث الثابت الزمني لهذا الجزء من الدارة هو 2 .4τ ' 10 . 13 ,33 ms2 4= =+

: بالعبارة التالية2Cوبالتالي من قانون انحفاظ الشحنة تكون عبارة تطور الشحنة داخل المكثفة

( ) ( ) ( )' ' t τ'12 1 1 1 1 2

1 2

C EQ t C E Q t C E C C eC C−= − = − +

+

): ومنه ) ( ) ( )' t τ '2

1 21 2

EQ t . 1 e ... 6C CC C

−= −

+

)استنتاج التيار ) ب )i ' tالمار في هذا الجزء من الدارة :

): یأخذ تيار التفریغ العبارة التالية) 3(من العالقة )' '

t τ '1 2d Q dQ Ei' t . edt dt R−= − = =

) النظام الدائم -4 )( )i ' t 0→∞ ):2( على الوضع K القاطعة=

): 6(و) 5(من العبارتين :قيمة الشحنة داخل آل مكثفة) أ

( ) ( )' '2 1 21 2 1

1 2 1 2

EEQ t ، Q tC C CC C C C

= =

+ +

': تطبيق عددي '2 1Q 533 ,34 µC ، Q 266 ,66 µC= =

قيمة فرق الكمون ) ب2 1C CV ، V 2 بين طرفي المكثفة 1C ، C.

2 1

' '2 1 1 1

C C2 1 2 1 1 2

Q C Q CV E ، V EC C C C C C= = = =+ +

: تطبيق عددي1 2C C

2V V 400 133 ,33 V2 4= = × =+

38

: الخامس عشرتمرین ال . التالية والتي تسمح بقياس المقاومات لنعتبر الدارة المرفقة

Eذات القيم المرتفعة، بإهمال المقاومة الداخلية للمولد 8Cولتكن سعة المكثفة 10 F−= مثل تسرباتها ن والتي

زل الموصولة معها على التفرع حيث أن العاrبالمقاومة غير مثالي یمكن قياس التوتر بين طرفي المكثف بواسطة

.مقياس آهربائي ال یحدث أي اضطراب في القياس، نرفع بسرعة القاطعة ونضعها على )1( تشحن المكثفة عندما تكون القاطعة على الوضع •

من قيمتها العظمى في مدة بين طرفيها یهبط إلى النصفCV، فنالحظ أن الجهد )2(الوضع

1tزمنية 10 ,5 s=.

، ثم نحول وضع القاطعة لحظيا على )1( تشحن المكثفة مرة ثانية بوضع القاطعة على الوضع •2t، فنالحظ أن التوتر یهبط إلى النصف خالل زمن )3(الوضع 4 s=.

R أوجد قيم المقاومتين - ، r.

:الحل تشحن المكثفة حتى یصل فرق الكمون بين طرفيها ) 1( على الوضع K عندما توضع القاطعة-

توتر بين حتى یصل الrفإنها تفرغ في المقاومة ) 2( وعندما توضع على الوضع Eإلى القيمة1tطرفيها إلى نصف قيمتها العظمى خالل مدة من الزمن تقدر 10 ,5 s=حيث ،:

( ) ( )1 11

-t τC 1

EV t = E e = ، τ =r .C ... 12

مرة ثانية تشحن المكثفة حتى یصل فرق الكمون بين ) 1( على الوضع K عندما توضع القاطعة-المقاومة (0Rفإنها تفرغ في المقاومة ) 3( وعندما توضع على الوضع Eمةطرفيها إلى القي

Rالمكافئة للمقاومتين rحتى یصل التوتر بين طرفيها إلى نصف ) المربوطتين على التفرعو

2tر قيمتها العظمى خالل مدة من الزمن تقد 4 s=حيث ،:

( ) ( )2 22

t τC 2 0

EV t E e ، τ R . C ... 22−= = =

: نجد) 2(و ) 1(وبحل المعادلتين ( )1 1t τ

1 11e t τ . ln 2 r C . ln 2 ... 12

− = ⇒ = =

( )2 2t τ2 2

R r1e t τ . ln 2 C . ln 2 ... 22 R r− = ⇒ = =

+

81: نجد) 1(من المعادلة 8

t 10 ,5r 15 .10 ΩC . ln 2 10 . ln 2−= = =

: دنج) 2(من المعادلة 8

8

12

15 .10rR 9 ,23 . 10 Ωt 10 .5 11 4t

= = =−−

ER

k

C

21

r

3

39

: عشرالسادستمرین ال . :نعتبر الدارة الموضحة في الشكل

ـ -1 B للمقاومة المكافئة للجزء الكائن بين النقطتين eqR نرمز ب ، A أحسب ،eqR.

. لهذه الدارةτ أحسب ثابت الزمن -2t عند اللحظة -3 ، نقيس فرق K، نغلق القاطعة=0

1tالكمون عند اللحظة 2 τ=بين طرفي eqR فنجده

1مساویا إلى Vأحسب ،E.

بين طرفي المكثفة عند CV آيف یصبح فرق الكمون -4

.استنتج عند ذلك شحنة المكثفة هذه اللحظة ؟ ضعف الكمون بين طرفي المقاومة CV في أي لحظة یكون فرق الكمون بين طرفي المكثفة-5

.eqRالمكافئة) ارسم المنحنيات -6 )eqV t و ( )CV tفي نفس المعلم .

:الحل : المقاومة المكافئة للدارةeqR حساب-1

eq8 . 10R = 7 + ( 3 + 5 ) // ( 6 + 4 ) = 7 + = 7 + 4,4 = 11,4 Ω8 + 10

6 لدینا : حساب ثابت الزمني للدارة-2eqτ R .C 11 ,4 50 .10 0 ,75 ms−= = × =

:E حساب القوة المحرآة الكهربائية للمولد-3

): نعلم أن التطور الزمني للتيار الكهربائي في الدارة یعطي بالعالقة ) t τ

eqEi t . eR

−=

: وبما أنeq

t τR eq eq

eqEV R . i R . eR

−= : ومنه =eq

t τRV E . e −=

: وبالتاليeq

t τ 2RE V . e = 1 . e 9 V= = ≈

: فرق الكمون بين طرفي المكثفة عند نفس اللحظة-4: لدینا

eqC RE V V= : ومنه +eqC RV E V 9 1 8 V= − = − =

C: مكثفة عندئذوتكون شحنة ال CQ C .V 50 8 400 µC= = × = تحدید اللحظة التي یكون فيها -5

eqC RV 2 V=

): لدینا ) eq

t τ t τC RV E 1 e ، V E . e− −= − =

: وبما أنeqC RV 2 V= إذن :( )t τ t τE 1 e 2 E . e− −− =

t: العبارةوبحل هذه المعادلة نحصل على τ . ln 3 0 ,75 1 ,098 0 ,82 ms= = × =

3Ω

k

5Ω6Ω

4Ω7Ω

E

50µF

A

B

40

) رسم المنحنيات -6 ) ( )eqC RV t V tو:

:إن الشكل العددي لتطور التوتر الكهربائي بين طرفي المقاومة المكافئة والمكثفة من الشكل

( ) eq

t 0 ,75 t 0 ,75C RV 9 . 1 e ، V 9 . e− −= − =

: السابع عشرتمرین ال .I-نغلق القاطعة Kفي الدارة المقابلة . . أوجد شدة التيار واتجاهه في آل فرع من الدارة، باعتبار المكثفة مشحونة آليا-1 ي المكثفة، وما هي الطاقة المخزنة داخلها ؟ أوجد فرق الكمون بين طرف-2II-نفتح القاطعة K عند اللحظة التي نعتبرها مبدأ األزمنة ( )t 0=.

) أآتب المعادلة التفاضلية المعبرة عن تغيرات الشحنة-1 )Q tللمكثفة .

)لشحنة أوجد عبارة ا-2 )Q tللمكثفة .

3 أوجد الطاقة الضائعة في المقاومتين-3 2R ، R

أثناء التفریغ، ثم قارن هذه الطاقة مع الطاقة .(I– 2) المحسوبة في السؤال

1: یعطى 2 3R = R = R = 1000Ω ; C = 1 µF

:الحل I- القاطعة مغلقة والمكثفة Cمشحونة : بما أن المكثفة مشحونة آليا فإن الفرع الذي توجد فيه یكون التيار -1

فيه معدوما والدارة في هذه الحالة تكافئ الشكل المقابل والتيار في .هذه الحالة حددت جهته آما هو موضح بالشكل المقابل

): لدینا )1 2E R R 1 2V V V R R . I= + = +

: ومنه1 2

E 12I 0 ,006 A 6 m AR R 1000 1000= = = =+ +

0,5 1 1,5 2 2,5 3

t (ms)

vC V ( )

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

3R

kC

2RE

1R

k

2RE

1R

i

vR eq V ( )

V(volt)

41

: فرق الكمون بين طرفي المكثفة والطاقة المخزنة بداخلها-2: لدینا . بين طرفي المكثفةCVفرق الكمون : أوال

2 3R C RV V V= +

: معدوم فإنوبما أن التيار في الفرع الذي یحتوي المكثفة3R 2V 0 ، I 0= =

: ومنه2C RV 0 V+ C: إذن = 2

1 2

EV R . 1000 0 ,006 6VR R= = × =+

.الطاقة المخزنة بداخل المكثفة: ثانيا

2: لدینا 6 2 6p C

1 1E . C V 10 6 18 . 10 J2 2− −= = × × =

II- القاطعة مفتوحة یحدث التفریغ عند اللحظة t 0=: ) آتابة المعادلة التفاضلية المعبرة عن تطور الشحنة-1 )Q tللمكثفة عند تفریغها :

3عندما تفتح القاطعة تصبح الدارة مكافئة للشكل المقابل حيث تتفرع المكثفة في المقاومتين 2R ، R.

: لدینا2 3C R RV V V= : وبما أن+

2 3C R 2 R 3Q dQV ،V R .i ،V R .i ، iC dt= = = =−

):فإن )2 3 2 3Q R . i R . i R R .iC = + = ): ومنه + )2 3

Q dQR RC d t= − +

: وبالتالي( ) ( )

2 3

dQ 1 .Q 0 ... 2dt C . R R+ =

+

): وباعتبار ثابت الزمن لهذه الدارة هو ) 62 3τ C . R R 2 1000 10 2 m s−= + = × × =

) : تصبح من الشكل) 2(فإن المعادلة )dQ 1 . Q 0 ... 3dt τ+ =

. بدون طرف ثان وتعبر عن تطور الشحنة داخل المكثفةاألولىوهي معادلة من المرتبة ) عبارة الشحنة -2 )Q tداخل المكثفة :

): یعطى بالعبارة التالية) 3(إن حل المعادلة ) t τ0Q t Q . e −=

6: حيث0 CQ C .V 10 . 6 6 µC−= = =

): ویكون الشكل العددي لعبارة الشحنة ) ( )t 2Q t 6 . e µC= 3 الطاقة الضائعة في المقاومتين -3 2R ، Rأثناء التفریغ :

): لدینا ) 2e 2 3dW P .dt R R . i .dt= = +

): حيث ) ( )2 2

t τ 2 t τ0 0e 2 3 2 3

Q QdW R R e dt R R e dtτ τ− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

:وبالمكاملة نجد

( )( )

2 2 22 t τ0 2

e e 2 3 20 1 2

Q C .R .EW dW R R . e dtτ 2 R R

+∞−⎛ ⎞

= = + =⎜ ⎟⎝ ⎠ +

∫ ∫

42

C: وبما أن 21 2

EV R . R R=+

): فإن )2e C

1W . C .V ... 42=

أن الطاقة الضائعة بفعل جول في المقاومتين : نالحظ) 4(و ) 3(عندما نقارن العالقتين 3 2R Rي المكثفة مساویة إلى الطاقة التي آانت مخزنة فو.

: الثامن عشرتمرین ال . . مفرغةC والمكثفة o في البدء في الوضع Kلتكن الدارة المرفقة حيث تكون القاطعة

C: نعطي 1 µ F ، R r r' 500 Ω ، E' 3 V ، E 6 V= = = = = =

)في اللحظة ) 1( توضع القاطعة على الوضع -1 )0t 0=.

بين طرفي المكثفة ؟ ما CVما هي عبارة المعادلة التفاضلية التي تسمح بإعطاء فرق الكمون ) أ

؟τهي عبارة الثابت الزمني للدارة . بداللة الزمنCVأعط عبارة ) ب

:أآمل الجدول التالي) جـ t(. . . ) Vc(. . . )

)مثل المنحنى البياني ) د )CV t.

1tوذلك عند اللحظة ) 2( عند الوضع K توضع القاطعة-2 2 τ=.

'عبارة المعادلة التفاضلية التي تسمح بإعطاء فرق الكمونما هي ) أCVبين طرفي المكثفة ؟

τ ما هي عبارة الثابت الزمني للدارة ؟ ' . بداللة الزمنCV عبارةأعط) ب

:أآمل الجدول التالي) جـ ( )t ...

( )1t t ' t ...= +

( )CV ...

)مثل المنحنى البياني ) د )'CV t وعلى نفس المعلم الذي رسم عليه ( )CV t.

اقة المحولة إليه، وما هو شكلها ؟، ثم أحسب الط'Eما هي جهة التيار في المولد) ي

:الحل r عبر المقاومتينE بواسطة المولدCتشحن المكثفة) 1(عندما توضع القاطعة على الوضع ) 1 Rو.

:ة بين طرفي المكثفCV عبارة المعادلة التفاضلية التي تسمح بإعطاء فرق الكمون-أ

): لدینا ) CE R r . i V= + C: حيث +C

d VdQQ C .V ، i C .dt dt= = =

R

k

CE

r

E'

r '

1 20

43

): ومنه ) CC

dVE R r C . Vdt= + +

): والتي یمكن صياغتها بالشكل التالي ) ( ) ( )CC

dV 1 EV ... 1dt R r C R r C+ =

+ +

. بطرف ثاناألولى لمرتبة وهي معادلة تفاضلية من ا

): ثابت الزمن لهذا الجزء من الدارة هو ) 6τ R r .C 2 500 10 1 m s−= + = × × = : بداللة الزمنCV عبارة-ب

): له العبارة التالية) 1(إن حل المعادلة التفاضلية ) ( ) ( )t τCV t E 1 e ... 2−= −

: إآمال الجدول-جـ5 τ 4 τ 3 τ 2 τ τ 0 ( )t m s

5 ,975 ,925 ,775 ,334 0 ( )CV Volt

: الرسم البياني-د

): هو) 2(العبارة العددیة للشكل ) ( )tCV t 6 1 e−= −

تفرغ المكثفة ) 2(عندما توضع القاطعة على الوضع ) 1Cألن :( )

1CV t 2 τ E'= > 'rوذلك عبر المقاومة

: بين طرفي المكثفCV عبارة المعادلة التفاضلية التي تسمح بإعطاء فرق الكمون-أ

': لدیناCV r ' . i E'= : حيث +

'' C

CdVd QQ = C .V ، i = - = - C .dt d t

: نهوم'

' CC

dVV - r' C . E'd t= :والتي یمكن صياغتها بالشكل التالي +

( )'

'CC

dV 1 E'.V ... 3dt r' C r' C+ . بطرف ثانولىوهي معادلة تفاضلية من المرتبة األ =

6τ: ثابت الزمن لهذا الجزء من الدارة هو ' r' C 500 10 0 ,5 m s−= = × =

' عبارة-بCVیمكن صياغتها بالشكل :اللة الزمن بد:

''C

CdV 1 E'.Vdt τ ' τ '+ =

): یعطى بالشكل) الحل الخاص(الحل بدون طرف ثان )' - t ' τ '1 Ct' t t ، V t ' A . e= − =

: تابع للزمن من الشكلAوالذي نعتبر فيه ) الحل العام المشتق من الحل الخاص(الحل بطرف ثان

( )' t ' τ'CV t' E' B . e−= 1tلما : ومن الشروط االبتدائية + 2 τ 2 m s= ، یكون =

CV (v)

t (m s)0 1 2 3 4 5

7

6

5

4

3

2

1

44

( )'1 1CV t V 5 ,33 V= 1B: فإن = V E'= −

): ومنه ) ( ) ( )' t ' τ'1CV t' E' V E' . e ... 4−= + −

: إآمال الجدول-جـ5 τ ' 4 τ ' 3 τ ' 2 τ ' τ ' 0 t '

4 ,5 4 3 ,5 3 2 ,5 2 1t t ' t= +

3 ,013 ,033 ,083 ,253 ,775 ,33( )'CV Volt

:هو) 4(العبارة العددیة للمعادلة : الرسم البياني-د

( ) ( )' 2 t 4CV t 3 2 ,33 1 e− += + −

جهة التيار في الدارة عندما تغلق القاطعة على -يمن القطب الموجب إلى القطب السالب ) 2(الوضع

.'Eبداخل المولد الطاقة المخزنة داخل المكثفة والتي تحول إلى إن-

المولد تخزن على شكل طاقة آيميائية والطاقة المحولة : من بدایة التفریغ إلى غایة استقرار النظام هي

( )P chimique f i∆W E' .∆q E' . q q− = − = − −

):ومنه ) ( ) -6 -6P-chimique 1∆W = -E' . C .E'-C .V = -3× 3-5,33 .10 = 6,99 .10 J

: التاسع عشرتمرین ال .ندرس الدارة المرفقة حيث منبع المولد عبارة عن إشارة مربعة

.ذات توتر مرتفع نوعا ما) فرق الكمونتعطى المنحنيات التالية تمثيال ل )V t المقدم من طرف

1 تریناالمولد من أجل تو 2f =0,25 K Hz ، f =1 KHz ، C 1 µ F ، R 200 Ω= =

. من أجل آل حالةC مثل الجهد بين طرفي المكثفة-

CV (v)

t (m s)

0 1τ 2 τ 3τ 4 τ 5 τ

7654321

e(t)

C

R

k1

t (m s)t (m s)

0 4 8 12 16

7654321

e(volt)

0 0 ,5 1 1,5 2 2 ,5

7

6

5

4

32

1

1 f = 0 ,2 5 H z 2 f = 1 Hz e(volt)

45

:الحل 1f تمثيل التوتر بين طرفي المكثفة من أجل التوتر -1 0 ,25 KHz=:

1: دور اإلشارة المربعة هو): 1(من الشكل 1

T 2 m s ، T 4 m s2 = =

0]1 من أجل المجال - ,T تشحن المكثفة ویكون التوتر الكهربائي [2/1CV بين طرفيها دالة

) :للزمن ویأخذ العبارة التالية ) ( )1

t τ 1C

TV t 6 1 e ، 0 t 2−= − ≤ ≤

τ: الثابت الزمني للدارة یأخذ القيمةτ: حيث R .C 0 ,2 m s= =

1 ومن أجل المجال - 1[T /2 ,T تفرغ المكثفة ویكون التوتر الكهربائي [1

'CV بين طرفيها دالة

) :للزمن ویأخذ العبارة التالية )1

' t ' τ 11C

TV t ' 6 e ، t' T2−= ≤ ≤

1: حيث 1T Tt' t t t '2 2= − = أو+

E 0V= E 6V= ( )E t

( )C1

' t ' τV t 6 e−= ( ) ( )C1

t τV t 6 1 e−= − ( )CV t

1 1T T2 25τ 10τ+ → +1T

25τ +1T2τ +1T

20 +5τ 10τ→5ττ0t

3 4→ 3 2 , 2 2 1 2→10 ,20( )t m s

0 0 2 6 6 640( )CV Volt

2f تمثيل التوتر بين طرفي المكثفة من أجل التوتر-2 1 K Hz=

2: دور اإلشارة المربعة هو: من الشكل 2

T 0 ,5 m s ، T 1 m s2 = =

0]2 من أجل المجال - ,T تشحن المكثفة ویكون التوتر الكهربائي [2/2CV بين طرفيها دالة

) :للزمن ویأخذ العبارة التالية ) ( )2

t τ 2C

TV t 6 1 e ، 0 t 2−= − ≤ ≤

τ: الثابت الزمني للدارة یأخذ القيمةτ: حيث r .c 0 ,2 m s= =

2 ومن أجل المجال - 2[T / 2 ,T تفرغ المكثفة ویكون التوتر الكهربائي [2

'CV بين طرفيها

): ة التاليةدالة للزمن ویأخذ العبار )2

' t ' τ 22C

TV t 6 e ، t ' T2−= ≤ ≤

2: حيث 2T Tt' t t t '2 2= − = أو+

46

E 0V= E 6V= ( )E t

( )C2

' t ' τV t 6 e−= ( ) ( )C2

t τV t 6 1 e−= −( )CV t

2T25τ +2T

2τ +2T20 +5ττ 0 t

1 0 ,7 0.5 0.50 ,2 0 ( )t m s

0 ,45 1 , 835 ,5 6 4 0 ( )CV Volt

: العشرونتمرینال .

مكونة من العناصر التالية والمربوطة على التسلسل ) 1(دارة آهربائية آما هو موضح في الشكل R ناقل أومي مقاومته - 1 k Ω=.

. ومقاومتها مهملةL وشيعة ذاتيتها- . مولد یغذي الدارة بتوتر مثلثي-

1Yنعاین بواسطة راسم اهتزاز مهبطي عند المدخل .CBU التوتر 2Y، وعند المدخلABUالتوتر

ms: سرعة المسح األفقي:نعطيdiv1

1Y :Vالمدخل : الحساسية الشاقوليةdiv2

2Y :Vمدخل الdiv0 ,1

الرسم المحصل عليه من راسم ) 2(یمثل الشكل )االهتزاز المهبطي )OSC.

.ABU عين بيانيا دور وتواتر التوتر -1

أوجد عبارة ذاتية الوشيعة بداللة -2AB CBU U Rو .و

.L أحسب قيمة -

GBFL

R

k1

B

A1Y

2YC

C Bu

A Bu

CV (v)

t (m s)

0 2 4 8

7

6

5

4

32

1

CV (v)

t (m s)

0 0,5 1 1,5 2

7

6

5

4

32

1

1 f = 0,25 Hz 2 f = 1 Hz

i

47

:الحل )دورمن ال التعيين البياني لكل -1 )Tتواترال و( )f التوتر وABU:

T: الدور• 4 1 4 m s= × 3: التواتر• .=1 1f 250 H zT 4 .10 −

= = =.

AB عبارة الذاتية بداللة -2 CBU U Rو ): نعلم أن :و )CBd ie U L ... 1dt= = −

.وهي عبارة القوة المحرآة الكهربائية التحریضية للوشيعة وهي تمثل هنا فرق الكمون بين طرفيهاABUبين طرفي ناقل أومي ومن جهة ثانية وحسب قانون أوم R i=

ABdU: نجدوباالشتقاق d iR .dt dt= ومنه :ABd Ud i 1 .dt R dt=

AB: نجد) 1(وبالتعویض في العبارة CB

dULU .R dt= −

): ومنه )CB

AB

R × UL = - . . . 2d U( )dt

0ساب قيمتها في المجال ح ، 2 m s⎡ ⎤⎣ ⎦:

AB: من البيان• Vs3

dU 2 2 2000dt 2 .10 −×= = ، CBU 1 0 ,1 0 ,1 V= − × = −

) :نجد) 2(وبالتعویض في العبارة )310 0 ,1L 0 ,05 H2000

× −= − =

: الواحد و العشرونتمرینال . :نعتبر الدارة الموضحة في الترآيب الجانبي

( )G :مولد یطبق توترا مستمرا قيمته ثابتةU 6 V=.

( )D : ناقل أومي مقاومتهR 40 Ω=.

( )b :شيعة ذاتيتها وL ومقاومتها الداخلية r.

t عند اللحظة Kنغلق القاطعة 0=. i أوجد المعادلة التفاضلية التي تحققها شدة التيار-1

.لدارةالمار في ا : یكتب حل هذه المعادلة التفاضلية على الشكل-2

( )t τ0i I 1 e−= −

L أحسب- r0: نأخذ ، : وτ 7 ,2 m s ، I 0 ,12 A= =

k

G

b

D

1

48

:الحل :لدارة المعادلة التفاضلية المعبرة عن التطور الزمني لشدة التيار التي تجري في ا-1

E: حسب قانون أوم L RV V V+ = لذلك G تلعب الوشيعة دور مولد مربوط على التضاد مع المولد Kحيث أننا عندما نغلق القاطعة

:فإن القوة الكهربائية المحرآة اإلجمالية في الدارة هي عبارة عن

eq eqd iE L R . i ، R r Rdt− = = ): إذن + )

eq

d i 1 E. i ... 1dt ( L/R ) L+ =

: وباعتبار الثابت الزمني لهذه الدارة هوeq

Lτ R=

) :تصبح على الشكل) 1(فإن المعادلة )d i 1 E. i ... 2dt τ L+ = . رف ثان والتي تعبر عن تطور شدة التيار بداللة الزمنوهي معادلة تفاضلية من المرتبة األولى بط

): وحلها من الشكل ) ( )t τ

eq

Ei t 1 eR−= −

:ة الوشيعة و مقاومتها ذاتيساب ح-2

0: لدینا .حساب مقاومة الوشيعة: أوال eqeq

EI ، R r RR= = +

: ومنه0

Er R I+ :وبالتالي =0

6Er R 40 10 ΩI 0 ,12= − = − =

: لدینا :حساب ذاتية الوشيعة: ثانياeq

Lτ = R

): ومنه )3eqL τ R 7 ,2 .10 10 40 0 ,36 H−= × = × + =

: الثاني و العشرونتمرینال . :دارة آهربائية مكونة من) 1(یمثل الشكل ) 1 . للتيار المستمر Gآهربائي مولد -R ناقل أومي مقاومته - 4 Ω=. . L) ذاتيتها( ومعامل تحریضها r وشيعة مقاومتها-

)نعاین على شاشة راسم االهتزاز المهبطي )OSC االهتزاز دخلين ي الم 2ف 1Y Yوترین و BC الت ACU Uو

).2(فنحصل على المنحنيين الممثلين في الشكل V: الحساسية الشاقولية

div5 2 لكل من المدخلين 1Y Yو. BCن عين قيمتي التوتری-أ ACU Uثم بين أنو :r R=. Φ: علما أن التدفق المغناطيسي عبر الوشيعة هو-ب 0 ,1 Wb= ).2( شدته آما یبين الشكل الذي یزود الدارة بتيار آهربائي تتغير'G بالمولدGنعوض المولد -2 .'G وفي حالة استعمال المولدG قارن تصرف الوشيعة في حالة استعمال المولد-أ

LR

k

B A

1Y2Y

C

ACuBCu

G

49

0] وذلك في المجال الزمنيeأوجد مختلف قيم القوة المحرآة الكهربائية التحریضية -ب ،125 ms].

:الحل التوترات (دائم ) 2( والنظام حسب الشكل )للتيار المستمر (G الدارة مكونة من المولد-1

.)الكهربائية ثابتةBC : تعيين التوترین-أ ACU Uوإثبات أنو : r R=.

BCحساب: والأ ACU Uو.

)من خالل ما یظهره راسم االهتزاز المهبطي )OSC 2( وآما هو مبين في الشكل:(

• AC : بين طرفي الوشيعة فرق الكمون LU V 5 1 5 Volt= = × =

• BC :الناقل األومي بين طرفي فرق الكمون RU V -5 1 - 5 Volt= = × =

AC: وبما أن BCU U R .I r . I= ⇒ R: إذن = r 4 Ω= =

. حساب قيمة ذاتية الوشيعة-ب ).النظام دائم(حساب شدة التيار : أوال

: إذنGن بين طرفي المولد هو فرق الكموBAUحسب قانون أوم التوتر الكهربائي

( )BA BC ACU U U R .I r . I R r I= + = + = +

BC: إذن ACU U 5 5 10I 1 ,25 AR r 4 4 8+ += = = =+ +

Φلدینا :حساب ذاتية الوشيعة: ثانيا L .I= 0: ومنه ,1ΦL 0 ,08 HI 1 ,25= = =

: ذو إشارة مثلثة'Gبوطة بالمولد الدارة مر-2 .'G أوG المقارنة بين وظيفة الوشيعة عندما تكون موصلة بالمولد-أ rب دور ناقل أومي مقاومته تلع) وفي النظام الدائم( فإن الوشيعة G في حالة استعمال المولد•

. ال عمل لها سوى تحویل الطاقة المستقبلة إلى حرارة بمفعول جولبسبب (هي مقر لقوة محرآة آهربائية تحریضية فإن الوشيعة'G أما في حالة استعمال المولد•

ق القاطعة داخل حقلها المغناطيسي والتي تظهر مثال عند فتح فتخزن طاقة عند غل) تغير شدة التيار ). التحریض المغناطيسي–أنظر دروس السنة الثانية (القاطعة

u(v)

t (m s)

i(A )

t (m s)

0 50 1 00 1 50 2 00 250

1كل (3) 2) الش كل ( ــ ــ الشـ

0

2Y

1Y

50

d: حيث ie L dt= −

: للقوة المحرآة الكهربائية التحریضيةeحساب مختلف القيم -ب

0في المجال : أوال • ، 100 ms⎡ ⎤⎣ حيث یتزاید التيار في الشدة⎦

): لدینا )1 1d ie L ( ) ... 1dt= −

1: حيثdi( )dtمعامل توجيه المستقيم المرسوم في المجال المذآور وتحدد قيمته من الميل :

A1 s

di 1( ) 10dt 0 ,1= 1e : و منه = 0 ,08 10 0 ,8 V= − × = −

100في المجال : ثانيا • ms ، 125 ms⎡ ⎤⎣ 2 : لدینا حيث تتناقص شدة التيار⎦ 2die L ( )dt= −

2: حيثdi( )dtمعامل توجيه المستقيم المرسوم في المجال المذآور وتحدد قيمته من الميل :

A2 s

di 1( ) 40dt 0 ,025= − = ) : و منه − )2e 0 ,08 40 3 ,2 V= − × − =

: الثالث و العشرونتمرینال .والمتكونة من ) 1( ننجز الدارة الكهربائية المبينة في الشكل r ومقاومتها L ذاتية وشيعة لتعيين

)وشيعة )b وناقل أومي ( )D مقاومته R 90 Ω= وقاطعة K ومولد ( )G للتوتر المستمر

Eقوته المحرآة الكهربائية 6 V=ة نغلق القاطعة ومقاومته الداخلية مهملKعند اللحظة t 0=.

بتطبيق قانون أوم، استخرج المعادلة التفاضلية التي -1 . خالل إقامة التيار الكهربائي في الدارةiتحققها شدة التيار

)الدالة ) 2( یمثل منحنى الشكل -2 )di f idt i حيث=

.الشدة اللحظية للتيار خالل إقامته في الدارةLن أن اعتمادا على المنحنى بي- 0 ,5 H= ثم حدد المقاومة ،rللوشيعة . E عبر بداللة -3 ، R ، r الشدة عندmaxIللتيار عندما یحصل النظام الدائم .

: ل لهاح تقبل المعادلة التفاضلية السابقة آ-4

( )t τmaxi I 1 e−= −

ـ - L بداللة τ استنتج تعبيرا لـ R rو .و

هربائية عبر بداللة الزمن عن القوة الك-5)التحریضية )e tخالل سریان التيار في الدارة

t: من أجلτeوأحسب قيمة τ=.

bD

kG

1u 2u

di (A/s)dt

0 1 2 3 4 5

12108642 -2i(10 A)

51

:الحل : آتابة المعادلة التفاضلية المعبرة عن تطور التيار الكهربائي في الدارة حسب قانون أوم-1

1 2E U U= ): ومنه + )eqd iE R i L ... 1dt= +

dآتبنا الحد الثاني في الطرف الثاني في المعادلة أعاله بالشكل : مالحظة iL dt ولم نكتبه بالشكل

diL dt− دور مولد مربوط على التضاد عب فيه تل ألنه عند غلق القاطعة تكون الوشيعة في وضع

)مع )G وهنا سيكون ) أنظر دروس السنة الثانية في التحریض المغناطيسي( حسب قانون لينز

dفي البدایة i 0dt d وبالتالي الجداء < iL dt موجب، فالجمع سيكون حسب قانون أوم حسب

.ارتفاع الكمونجهة ): بالشكل) 1(وبكتابة المعادلة )

eq

di 1 Ei ... 2dt L /R L+ =

: ومقاومتهاL حساب قيمة آل من ذاتية الوشيعة -2

eqRd :إن i E. idt L L= − هي عبارة عن معادلة المستقيم الذي معادلته من الشكل +

y a x b= eqRحيث +a L= Eb معامل توجيهه− L=نقطة تقاطعه مع محور التراتيب .

A: من البيان لدینا : تحدد ذاتية الوشيعة: أوالs

E b 12L = =

6EL: إذن 0 ,5 Hb 12= = .لمطلوبة والواجب التحقق منهاوهي القيمة ا =

معامل التوجيه: من البيان :تحدید مقاومة الوشيعة: ثانيا

( ) ( )1eq Ω

2 H s

R ∆( di / dt ) 12 6a 200L ∆ i 3 0 10−−

−− = = = − = −−

eqR: وبالتالي r R L a= + = − : ومنه × ( )r L a R 0 ,5 200 90 10 Ω= − × − = − × − − =

E: عندما یحصل النظام الدائم بداللةmaxIاإلشباع التعبير عن شدة تيار -3 R rو و

iإن النظام الدائم یعني أن التيار الكهربائي const= أي أن di 0dt وبالتالي وحسب المعادلة =

)1 :(eq max eq maxE R .I L 0 R I= + × = max: إذن ×eq

EI R=

max: ومنه6EI 0 ,06 Ar R 10 90= = =

+ +

52

L بداللة τ ا لـتعبير عن -4 R rو :و

eqRdi :إن حل المعادلة التفاضلية المحصل عليها E. idt L L+ =

): هو من الشكل ) ( )t τmaxi t I 1 e−= :والتي یعتبر حال لها −

t: سيكون لدینا τmaxId i edt τ)وبتعویض =− ) d ii t dtفي المعادلة التفاضلية نجدو :

eqt τ t τmaxeq max

eq eqt τmaxmax max

RId i R i e ( 1 e ) . Idt τ LR RI

( I ) e Iτ L L

− −

−

+ = + −

= − + ×

: المعادلة التفاضلية المتحصل عليها یكون لدیناوبالمطابقة مع الطرف الثاني من

( ) ( )eq eqmaxmax max

R RIE. I ... 3 ; I 0 ... 4L L τ L= − =

eq ):4(من العالقة max

eq

R1 LI ( ) 0 ττ L R− = ⇒ =

0: والتي تكتب أیضا بالشكل ,5Lτ 0 ,5 msr R 10 90= = =+ +

:حریضية بداللة الزمن التعبير عن القوة المحرآة الكهربائية الت-5

): لدینا ) ( )d ie t L ... 5dt= ): وبما أن − ) ( )t τmaxi t I 1 e−= −

t: إذن τmaxIdi edt τ−=

) :نجد) 5(وبالتعویض في العالقة ) t τmaxI . Le t eτ−= −

max: وبما أنL Eτ ، Ir R r R= =+ +

): فإن ) ( )( )

t τL.E r Re t e

L r R−+

= −+

): ومنه ) t τe t E e −= −

t: وتكون قيمة القوة المحرآة الكهربائية التحریضية عند اللحظة- τ=

1τ

6Ee E .e 2 , 207 Ve 2 ,718−= − = − = − = −

37تي تمثل وهي القيمة ال من القيمة العظمى للتوتر الكهربائي بين طرفي الوشيعة %

.التحریضية