)(Test of Hypothesesاختبار الفرضيات

باملقار�ة مع فرتاث الثقة يستخدم اختيار الفرضيات عندما تكون هنالك •فقد تكون . بعض املعلومات متوفرة عن اتمع ولكن يود التأكد من دقتها

لدى الدارس مثال معرفة مبتوسط اتمع من دراسات سابقة ولكن بعض التغيريات اليت حدثت للمجتمع يف وقت الحق قد غريت من قيمة املتوسط و�سبة هلذا الشك فقد يكون الطريق الوحيد للتأكد من حدوث التغري أو

�فس عدمه هو اختبار قيمة املتوسط يف املرحلة اجلديدة ملعرفة إن كان هو .املتوسط أم أ�ه قد تغري

لتوضيح ما يقصد باختبار الفرضيات وعملية اختاذ القرار خذ املثال •تود إدارة املناهج بوزارة الرتبية إدخال طريقة جديدة لتدريس : "التايل

ولكن قبل اختاذ هذا القرار تود اإلدارة أن تتأكد . الرياضيات احلديثة . من أن مستوى الطالب يتحسن عند التدريس بالطريقة اجلديدة

ولقياس هذا التحسن أو عدمه ستحتكم إىل الدرجات اليت حيصل ولنفرتض أن متوسط الدرجات . الطالب عليها يف االمتحان

قة للرياضيات باستعمال الطريقة القدمية كان وعليه فإن الطري اجلديدة سيحكم عليها بالنجاح إذا اتضح أن متوسط الدرجات أعلى

". ولن حيكم عليها بالنجاح إذا كان املتوسط أقل من ذلك 80من 80=µ

:العوامل اليت تؤثر على اختاذ القرار •

ال مبا أن إدارة املناهج غري مستعدة لقبول الطريقة احلديثة وتعميمها إ ∗إذا أثبتت جناحها، فليس أمامها سوى أن جترهبا على عدد حمدود

إذاً فإن اللجنة ستحتكم . من الطالب ثم بعد ذلك احلكم عليها إىل عينة من اتمع للوصول إىل �تيجة حمدودة حول متوسط العينة للوصول إىل قرار حول متوسط اتمع فهي تقبل الطريقة اجلديدة إذا

وترفضها إذا مل 80كان هنالك ما يشري إىل أن املتوسط أكرب من .يكن هنالك ما يشري لذلك

هنالك احتمال باختاذ القرار الصحيح وهو قبول الطريقة عندما يكون ∗ أو 80 أو رفضها عندما يكون املتوسط 80فعال املتوسط أكرب من

اخلاطئ ولكن يف �فس الوقت هنالك احتمال باختاذ القرار . أقل فعال وهو يف هذه احلالة قبول الطريقة عندما تكون حقيقة األمر أن املتوسط

80 أو أقل أو رفض الطريقة عندما يكون املتوسط أكرب من 80 هو أن �تائج العينة قد تبعد عن اخلاطئ واملتسبب يف القرار . حقيقة

.طريق الصدفة عن قيم اتمع

أن الوصول إىل قرار معني بناء على �تيجة العينة يكتنفه يتضحمن هنا ذا عنصر املخاطرة وعلينا أن حندد ما مقدار اازفة اليت سنقبل هبا وه

فكلما . اخلاطئ املقدار حتدده مدى خطورة أو عدم خطورة اختاذ القرار زادت اخلطورة وجب علينا تقليل عنصر املخاطرة أما إذا كان مثل هذا

.القرار ليس خطري فيمكننا التساهل يف مقدار املخاطرة

:قاعدة اختاذ القرار •

ذكر�ا أ�ه عند احتكامنا إىل �تيجة العينة . بالرجوع إىل املثال أعاله .1 سنصل إىل قرار هنائي حول الطريقة احلديثة وسيكون القرار إما قبوالً

أو رفضاً وحتديد القاعدة اليت يتم مبقتضاها القبول أو الرفض :سيتفاوت بني افرتاضني

هو القول بأن الطريقة احلديثة ليست أفضل من : االفرتاض األول ∗ .(يعرف أيضاً بافرتاض عدم االختالف (الطريقة القدمية

هو القول بأن الطريقة احلديثة أفضل من الطريقة : االفرتاض الثا�ي ∗ .القدمية

)Null Hypothesis(ويسمى االفرتاض األول فرضية العدم أما االفرتاض الثا�ــــي فيسمى فرضية البديــــل . ويرمز لـــه بـــ

)Alternative Hypothesis( وعند حتديد . ويرمز له بــ هاتني الفرضيتني البد من حتديد مستوى املخاطر اليت ميكن القبول هبا

الذي ) أو املعنوية ( املغزوية عند اختاذ القرار اخلاطئ وهو مستوى كلما املغزوية ويقل مستوى . أشر�ا إليه يف احلديث عن فرتات الثقة

. كنا حريصني على عدم قبول الفرضية اخلاطئة

0H

1H

α

هو يف حقيقة األمر درجة االحتمال الذي �رفض به املغزوية إن مستوى .2فرضية العدم عندما تكون هي الصحيحة وهو ما يعرف

ار باحتمال الوقوع يف اخلطأ من النوع األول وذلك ألن طريقة اختاذ القر :اخلاص بالفرضيات قد يقود�ا إىل الوقوع يف �وعني من اخلطأ

0H

وحيدث عند رفض :(Type I Error)اخلطأ من النوع األول ∗ .فرضية العدم عندما تكون هي صحيحة

وحيدث عند قبول :(Type II Error)اخلطأ من النوع الثا�ي ∗وميكن . فرضية العدم عندما تكون الفرضية البديلة هي الصحيحة

:توضيح ذلك يف اجلدول التايل

هو درجة احتمال الوقوع يف املغزوية وعليه فإن مستوى اخلطأ من النوع األول ويسمى احتمال رفض عندما تكون فعال

وقد يتبادر ). Power of the Test(خاطئة بقوة االختبار إىل الذهن السؤال ملاذا ال �قلل اخلطأين معاً ألقل حد ممكن حبيث حنصل على قوة اختبار عالية واإلجابة هي أن هنالك عالقة عكسية بني حجم اخلطأ يف النوع األول وحجم اخلطأ يف النوع

. الثا�ي واحلل الوحيد لتقليل كليهما هو زيادة حجم العينة

α0H

إن القاعدة اليت تستعمل للحكم على �تائج العينة سواء بقبول فرضية .3 معني يعتمد على التوزيع االحتمايل معزوية العدم أو البديل عند مستوى

.للمتغري قيد الدراسة

: اختبار الفرضيات للوسط احلسابي • µعرفنا من توزيع املعاينة أن الوسط احلسابي للعينة له توزيع ∗

طبيعي إذا كا�ت العينة مأخوذة من توزيع طبيعي أو عندما يكون حجم العينة كبرياً، هذا إذا كان االحنراف املعياري للمجتمع معروفاً أما إذا كنا سنستخدم لتقدير وحجم

. تي العينة متغري فإن التوزيع االحتمايل يف هذه احلالة هو

)(x

)(σsσ

الطريقة املتبعة الختبار الفرضيات هو حتديد فرضية العدم ∗ ثم حساب قيمة إذا كان املغزوية والبديل ومستوى

وحنسب قيمتا و . تي التوزيع طبيعي أو إذا كان التوزيع بناء على فرضية أي أ�نا �عوض لقيمة املعلمة يف

ثم �قارن . حساهبما بقيمة املعلمة يف ظل صحة الفرضية قيمتا و بالقيم احملسوبة من اجلداول أي و يف

فإذا وقعت القيمة يف . حالة و و يف حالة الفرتة أو عنى ذلك أ�ه ليس هنالك ما يشري إىل رفض فرضية العدم أما إذا وقعت قيمتها خارج الفرتتني فمعنى ذلك أن هناك ما يشري إىل رفض فرضية العدم

. ويكون امليل إىل قبول فرضية البديل

0H

1HαtΖt

0H

0H

Ζt2αΖ−2

αΖ

Ζναt

,2−

ναt

,2t

[ ]22

, αα ΖΖ−[ ]ν

αα tt ν ,22,,−

(ذيلني ( ويسمى مثل هذا االختبار اختبار ذو طرفني “Two Sided (Tailed) Test” وذلك أل�نا مل

حندد اجتاهاً حمدداً لفرضية البديل وتصاغ هاتني الفرضيتني :كما يلي

0:1

0:0µµH

µµH

≠

=

حيث قيمة حمددة يراد اختبارها وتسمى القيم أو حيث يتم قبول أو (Critical Values)بالقيم احلرجة

.رفض فرضية العدم بناء على موقع أو بالنسبة هلذه القيم

[ ]22

, αα ΖΖ−

[ ]ν

αα tt ν ,22,,−

0µ

Ζt

هنالك بعض احلاالت حيث ميكننا حتديد اجتاه فرضية البديل ∗فقد تكون فرضية البديل أو ويف هاتني

وتبعاً . واحد ) ذيل ( احلالتني يسمى االختبار اختبار ذو طرف فإن % 5 املغزوية لذلك خيتلف حساب القيم احلرجة فمثال ملستوى

يف حالة االختبار ذو الطرفني يف حني 1.96قيمة تساوي . يف حالة االختبار ذو الطرف الواحد 1.65أن قيمة تساوي

تكون قيمة ) أي % (1 املغزوية ويف حالة مستوى أما قيم و . 2.33 وقيمة تساوي 2.58تساوي

فتعتمد باإلضافة إىل على درجات احلرية وميكن إجيادها . تي ألي زوج بالنظر إىل جداول التوزيع

0µµ >0µµ <

2αΖ

αΖ

01.0=α2αΖ

αΖναt ,2ναt ,

αν),( να

)اختبار ذو طرفني : ( مثالأجريت دراسة يف جمتمع معني لتحديد ما إذا كان متوسط مصروف األسرة يف األسبوع خيتلف عن متوسط املنصرف القومي الذي يساوي

أسرة من هذا اتمع 100أخذت عينة عشوائية من . دينار 52 56ووجد متوسطها واحنرافها املعياري للمنصرف األسبوعي يساوي

هل هذه البيا�ات تعطي أدلة كافية بأن . على التوايل 10.28و متوسط املنصرف األسبوعي هلذه األسرة خيتلف عن املنصرف

).استعمل (القومي 05.0=α

:احلل: الفرضيات ) أ(

:التوزيع االحتمايل والقيم احلرجة ) ب( يعترب كافياً 100 بالرغم من عدم معرفة إال أن حجم العينة

وحيث هلا % 5 املغزوية ملستوى . الستخدام التوزيع الطبيعي . الصيغة فإن تساوي

52:1

52:0≠

=

µH

µH

)96.1 ,96.1(−

σ

1H≠[ ]

22 , αα ΖΖ−

:احلل: استخدام بيا�ات العينة حلساب يف ظل الفرضية ) ج(

:القرار ) د( قيمة احملسوبة من العينة أكرب من القيمة احلرجة �رفض فرضية مبا أن

ف العدم أي أن هنالك ما يشري إىل أن الوسط احلسابي هلذا اتمع خيتل . عن الوسط احلسابي للمنصرف القومي

Ζ0H

96.1210028.10

5256)(

=Ζ>−=−=Ζ αxSeµx

Ζ

(اختبار ذو طرف واحد : ( مثال. طن 1.8متوسط قوة مقاومة حبال للقطع من إ�تاج أحد املصا�ع هو

باستخدام طريقة جديدة للتصنيع ادعى أحد املنتجني أن قوة مقاومة حبال ووجد 25الختبار هذا االدعاء أخذت عينة من . احلبال ستزداد

. طن 0.10 طن واحنرافها املعياري 1.85أن متوسط مقاومتها للقطع هو ؟ 0.01 املغزوية هل ميكن تأييد هذا االدعاء عند مستوى

:احلل: الفرضيات ) أ(

: منوذج االختبار ) ب( �سبة لعدم معرفة ولصغر حجم العينة يستخدم التوزيع

تكون القيمة < وحيث أن على الصيغة . تي االحتمايل . 2.485 تي احلرجة واليت تساوي بالرجوع جلدول

80.1:1

80.1:0>

=

µH

µH

σ1H

24,01.0t

: من العينة tحساب ) ج(

:القرار ) د( د من ترفض الفرضية ومنيل إىل قبول االدعاء بأن الطريقة اجلديدة تزي

0H. مقاومة احلبال للقطع

485.25.251.0

8.185.1>=

−=t

Pاختبار فرضيات للنسبة •

يتبع �فس األسلوب يف اختبار فرضيات الوسط احلسابي ∗ .باستبدال النسبة مكان الوسط احلسابي

:مثال ثم % 72كا�ت �سبة النجاح يف الشهادة الثا�وية العامة إلحدى الدول

. أحدثت بعض التغيريات يف املناهج مع إضافة وحذف بعض املواد ة وكا�ت النتيجة بعد التعديالت أن جنح مثا�ية آالف طالب من جمموع عشر

هل حتسنت �سبة النجاح بعد . آالف طالب جلسوا لذلك االمتحان .(%5 مغزوية استعمل مستوى ( التعديالت؟

:احلل :الفرضيات ) أ)

:النموذج ) ب)وحيث على . لكرب حجم العينة يستخدم التوزيع الطبيعي

.1.65يكون االختبار طرف واحد وقيمة تساوي < الصيغة

72.0:1

72.0:0>

=

PH

PH

1H

05.0Ζ

: من العينة Zحساب ) ج(

:القرار ) د( ترفض فرضية العدم ويكون القرار أن �سبة النجاح قد حتسنت بعد

. التعديالت

65.120

100002.08.0

72.08.0 >=×−=Ζ

:اختبار الفرضيات للفرق بداللة • 21 µµ −21 xx −

الختبار الفرق يف الوسط احلسابي تمعني يتبع �فس الطريقة ∗الختبار فرضيات الوسط احلسابي تمع واحد وتتلخص

:اخلطوات يف اآلتي .حتديد فرضية العدم والبديل .1.حتديد توزيع .2 . والقيم احلرجة املغزوية حتديد مستوى .3 .بناء على فرضية العدم tأوZحساب قيم .4الوصول إىل قرار حول قبول أو رفض فرضية العدم ومن ثم فرضية .5

.البديل

21 xx −

: مثالخصص لكل علف . أجريت التجربة التالية ملقار�ة �وعني من األعالف

: أبقار وكان معدل الزيادة يف أوزان األبقار كما يلي 10 32، 30، 34، 38، 35، 32، 26، 29، 34، 31): 1( علف رقم ∗ 29، 31، 26، 29، 30، 29، 28، 24، 26، 28) : 2(علف رقم ∗

؟ 0.05 مغزوية بني �وعي العلف وذلك مبستوى مغزوي هل هناك فرق

:احلل :الفرضيات ) أ)

:النموذج ) ب)لصغر حجم العينتني وعدم معرفة االحنراف املعياري للمجتمعني

وحيث أن على الصيغة فإن القيم احلرجة تي يستخدم التوزيع . حيث 2.11تساوي

µµH

µµH

≠

=

1:1

21:0

1H≠ν

αt,218221 =−+= nnν

: من العينة tحساب ) ج(جند أن ، ، من البيا�ات

:عليه

:القرار ) د( بني �وعي معزوي ترفض فرضية العدم و�قرر أ�ه يوجد اختالف

. العلف

1.321 =x282 =x33.1)( 21 =− xxSe

11.202.333.1

0)281.32( >=−−=t