§5 、三重积分

第二十一章 重积分

当 R3 ，有 X=(x, y, z) , d = dv

则

vzyxf d),,( 三重积分

1. 直角坐标系下三重积分的计算直角坐标系下，记体积元素

dv=dxdydz

dz

dy dxy

x

z

0则

zyxzyxfvzyxf ddd),,(d),,(

zyxzyxf ddd),,(

yxzzyxfD

yxz

yxzdd]d),,([

),(

),(

2

1

zzyxfyxyxz

yxz

xy

xy

b

ad),,(dd

),(

),(

)(

)(

2

1

2

1

x

y

z

0

z=z2(x, y)

z=z1(x, y)

D

Case1. 化成一个定积分和一个二重积分

zzyxfyxyxz

yxzD

d),,(dd),(

),(

2

1

设 D 为 在 xy 平面上投影区域 .

y=y1(x) ba

y=y2(x)

z

x

y

x+y+z=1

0

例 1. 计算 ,ddd

zyxx 其中是由平面 x+y+z=1

与三个坐标面所围闭区域 .

解： D: 0≤ y ≤1–x, 0 ≤ x ≤ 1

zyxx ddd

yxx

zxyx1

0

1

0

1

0ddd

24

1

1

1

Dx+y=1

x

y

yx

D

zxyx1

0ddd

例 2. 计算 ,ddd)cos(

zyxzxy 其中 是由抛物

柱面 xy 及平面 y=0, z=0, 所围闭区域2

yx

,ddd)cos(

zyxzxy

x

D

zzxyyx 20

d)cos(dd

解： D: 0≤ y ≤ , 0 ≤ x ≤x2

xx

zzxyyx 200

20

d)cos(dd

2

1

16

2

y

xz 2

x

z

0

xy

D

02

y

x

y=y1(x, z)

z

0

y=y2(x, z)Dxz

y

zyxzyxf ddd),,(

),(

),(

2

1

d),,(ddzxy

zxyD

yzyxfzxxz

x

x=x2(y, z)

z

0

x=x1(y, z)

Dyz

y

x

zyxzyxf ddd),,(

),(

),(

2

1

d),,(ddzyx

zyxD

xzyxfzyyz

例 3. 将

zyxzyxf ddd),,( 化为三次定积分，其中

是由 z= x2+y2 和 z=1 所围的闭区域 .

解：先对 z 积分，将 向 xy 平面投影 .

z= x2+y2 x2+y2=1

D: x2+y2≤1

z=1

z=1

x

y

z

0 1Dxy

z=1

z= x2+y2

zyxzyxf ddd),,(

11

1

1

1 22

2

2 d),,(ddyx

x

xzzyxfyx

x

y

z

0 1Dxy

z=1

z= x2+y2

解 2 ：先对 y 积分，将 向 xz 平面投影：

z= x2+y2

Dxy: x2 ≤z ≤ 1,

z=1

1 ≤x≤1

z= x2+y2 2xzy

2

22 d),,(ddddd),,(11

1

xz

xzxyzyxfzxzyxzyxf

x

y

z

0

Dxz

1

12xzy

2xzy

Case2. 化为一个二重积分和一个定积分

zyxzyxf ddd),,(

zyxzyxfzD

z

zd]dd),,([

)(

2

1

)(

dd),,(d2

1zD

z

zyxzyxfz

:(x, y)D(z), z1≤z≤z2

0

x

z

y

z2

z

z2

D(z)

例 4. 计算 ,dd

yxz 其中 是由 z=x2+y2 和 z=1

所围成的闭区域 .

x

y

z

0 1

D(z)

1

解： D(z): x2+y2≤z

z[0, 1]

1

0dddd zzzyxz

)(

ddzD

yx

1

0dzzz

1

0

3

3

z3

zz 2)(

例 5. 计算

解： D(x): 0≤ y ≤1–x, 0≤ z ≤ 1xy

z

x

y0

1

1

1

x : 0 ≤ x ≤ 1

1

0dddd xxzyxx

1

0

2 )d(12

1xxx

24

1

)(

ddxD

zy

2)1(2

1x

,ddd

zyxx 其中 是由平面 x+y+z=1

与三个坐标面所围闭区域 .

D(x)

z=1xy

x

y

0

1x

1x

设变换 T ： x=x(u, v, w)

y=y(u, v, w)

z=z(u, v, w)

将 uvw 空间中的有界闭域 * 变成 xyz 空间中的有界闭域 ，且满足

(1) x=x(u, v, w), y=y(u, v, w), z=z(u, v, w)C1(*)

2. 三重积分的换元公式

(2) (u, v, w)* 有

),,(

),,(

wvu

zyx

u

x

u

y

u

z

v

x

v

y

v

z

w

x

w

y

w

z

0

(3) T : * 是一一对应

若 f (x, y, z)C( ) ，则

zyxzyxf ddd),,(

*

ddd),,(

),,()),,(),,,(),,,(( wvu

wvu

zyxwvuzwvuywvuxf

M (r, , z)

x=rcos

y=rsin

z=z

(0≤r<+, 0≤≤2, <z<+)

r

z

M•

0

x

z

yy

x

3 、利用柱坐标变换计算三重积分

柱面坐标的三组坐标面分别为

r= 常数 r= 常数

= 常数= 常数

z= 常数z= 常数

x

y

z

o

),,(

),,(

zr

zyx

r

x

r

y

r

z

x

y

z

z

x

z

y

z

z

= r

100

0cossin

0sincos

r

r

故 dxdydz=rdrddz

zrrzrrfzyxzyxf ddd),sin,cos(ddd),,(*

例 6. 计算 ,ddd22

zyxyxz 其中 由 22 yxz

与 z=1 所围闭区域 .

解：

D: x2+y2≤1

22 yxz

z =1

22 yxz z =r

122 yx

z =0

x

y

z

0D

z=r

z=1

zrzrzyxyxz dddddd*

222

11

0

22

0ddd

rzzrr

rr

r d2

)1(2

1

0

22

15

2

12 dddr

D

zzrr

x

y

z

0

z=r

z=1

1D

例 7. 计算 ,ddd

zyxz ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.

解： D: x2+y2≤1

221 yxz 21 rz

zrzrzyxz dddddd*

21

0

1

0

2

0ddd

rzzrr

rr

r d2

)1(2

1

0

2

4

21

0dd

r

D

zzrdr x

y

z

0 1

21 rz

例 8. ,ddd22

zyxyxz 其中是 由 22 yxz

与 z=1 所围闭区域 .

解：用 = 截 得 D()

而 0≤ ≤2 故

原积分 =*

2 ddd zrzr

)(

22

0ddd

D

zrzrx

y

z

11

0

22

0d

rzdzrrd

x

z

)(

22

0ddd

D

rzr

y

15

2

D( )

z

1

r0

z= r

1

例9

,ddd

zyxz

其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.

解：用 = 截 得 D()

而 0≤ ≤2 故

原积分 =*

ddd zrzr

)(

2

0ddd

D

zrzrx

y

z

0

计算三重积分

21

0

1

0

2

0ddd

rzzrr

.4

x

y

z

0

21 rz

01

1

r

z

)(

2

0ddd

D

rzr

M (r, ,)

x=OPcos

z= r cos

(0≤r<+, 0≤≤, 0≤≤2)

y= OPsin

• M

0

z

x

y

r

Px

y

z

= r sin cos

= rsin sin

4 、利用球坐标变换计算三重积分

球面坐标的三组坐标面：

r = 常数 = 常数 = 常数

dxdydz= r2sin drdd

sin),,(

),,( 2rr

zyx

dddsin)cos,sinsin,cossin(

ddd),,(

*

2

rrrrrf

zyxzyxf

z

x

y

例 10. 计算 ,ddd

zyxz

其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.

解： x2+y2+z2=1 r=1

而 0≤ ≤2 故用 = 截 得 D()

原积分

*

2 dddsincos rrr

)(

32

0ddsincosd

D

rr

x

y

z

0

x

y

z

0z

)(

32

0ddsincosd

D

rr

1

0

320

2

0ddsincosd rr

1

0

42

0

2

42

sin2

r

4

01

1 r=1

例 11. ,ddd)( 222

zyxzyx 22 yxzΩ 是由其中

和 x2+y2+z2=a2 所围成闭区域 .

解： x2+y2+z2=a2 r=a

22 yxz .4

原积分

*

22 dddsin rrr

)(

42

0ddsind

D

rr

z

y

xa

z

y

xa

)(

42

0ddsind

D

rr

a

rr0

440

2

0ddsind

)22(5

1 5 ar=a

4

z

三重积分的定义和计算

（计算时将三重积分化为三次积分）

小 结

柱面坐标的体积元素dzrdrddxdydz

球面坐标的体积元素

ddrdrdxdydz sin2

柱面坐标

球面坐标

作业： P251: 1- （ 1 ） , （ 2 ） 3 －（ 1 ）

cos ,

sin ,

.

x r

y r

z z

sin cos ,

sin sin ,

cos .

x r

y r

z r