第第 55 章 静定结构的位移计算章 静定结构的位移计算

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5.1 应用虚力原理求刚体体系的位移5.2 结构位移计算的一般公式5.3 荷载作用下的位移计算5.4 图乘法5.5 温度作用时的位移计算5.6 互等定理

一、位移概念　　

2 、平面杆件结构的位移：

①线位移：水平位移 竖向位移②转角位移（角位移）

Dx

Dy

5.1 应用虚力原理求刚体体系的位移

1 、定义： 在外因作用下，结构某一截面相对于初始状态位置的变化叫作该截面的位移。位移是矢量，即有大小，方向，起点和终点

3 、广义位移概念：①绝对位移： 一个截面相对自身初始位置的位移；②相对位移： 一个截面相对另一个截面的位移。

下图，刚架的Ａ端和Ｂ端分别有水平绝对线位移，方向相反，其相对水平线位移为： ΔAB=ΔA+ΔB 　

三、位移计算中的基本假定：１、应力和应变服从虎克定律（物理线性）；２、位移是微小位移（几何线性），即可用结构原　尺寸和叠加法计算其位移；３、所有约束为理想约束，即约束力不作功。

二、计算结构位移的目的１、验算结构的刚度，使结构的位移或变形不超出规定的范围，满足结构的功能和使用要求。２、在结构的制作或施工时，按使用时结构位移的反方向予先采取措施。３、引入变形（位移）条件，为计算超静定结构提供基础。

一、实功１、常力实功　实功的力和位移两要素相关。在外力 FP 作用下，刚体沿力的方向发生位移△ ` 。

W=FP△　 = FP `cos△

　 5.2 结构位移计算的一般公式

2 、静力实功　在静外力 FP1 作用下，变形体在力的作用点沿力的方向发生位移△ 11 。静力实功为：　　　　　　　 W=(1/2)FP1△11

　

静力概念：　静力荷载加载到结构上是有一个过程的，在这个加载过程中，荷载从零增加到最后值，结构的内力和位移也达到最后值；　在整个加载过程中，外力和内力始终保持静力平衡。

对于线弹性结构，在静力荷载加载的过程中，结构的位移和荷在成正比。　当结构的位移有一增量 d 时，静力功有增量： dW=Fp1d当静力达到最后值时总的静力功为： W=∫dW=∫Fp1d由上式可看出，静力功是图中三角型 0AB 的面积，即： W=(1/2)FP1△11

Ａ

位移与静力荷载

０ B

二、虚功　　在简支梁上先加载 FP1 ，使力 FP1 作用点的位移达到终值△ 11 ，再加载 FP2 ，使力 FP1 的作用点发生位移△ 12 ，力 FP1 在位移△ 12 上作的功叫虚功 , 即： 　

W12=FP1△12

虚功中的力和位移两个要素不相关。即无因果关系。虚功具有常力功的形式。　

根据叠加原理，图 (a)可分解为图 (b) 、 (c) 两种情况。

(a)(b)

(c)

三、刚体的虚功原理及应用

１、刚体的虚功原理 在具有理想约束的刚体体系中，若力状态中的力系满足静力平衡条件，位移状态中的刚体位移与约束几何相容，则该力在该相应的刚体位移上所作的外力虚功之和等于零，即　 W12 ＝０。　　利用虚功原理和虚功的力和位移不相关的特性，可虚设位移（或力）状态，求实际的力（或位移）。因此，虚功原理有两种应用。

分析：梁在荷载作用下其支座反力有静定解，即荷载与支座反力组成满足静力平衡条件的力状态。若再有一个恰当的与支座约束相容的刚体位移状态，就可由虚功原理求支座反力。

例 5-1 用虚位移原理求图示简支梁的Ｂ支座的反　　　　 力 FBy 。

解：１）切断Ｂ支座链杆，使由此得到的机构发生沿 Fby 方向的刚体虚位移。２）令实际力系在刚体位移的虚位移上作虚功，代入 W12=0 　得虚功方程： 　　　　　 FBy△B F﹣ P △ P=0由虚位移图的几何关系可知 △ P/△B ＝ a/l 　得 : 　　　　　 FBy ＝ FP a/l (↑)

（实际）力状态

（虚）位移状态

说明：本例应用虚功原理求结构支座反力的方法叫虚位移法。为简单起见，可设虚位移△ B ＝ 1 ，则本题求解过程如下 :　 FBy×1 F﹣ P dP=0 　即， FBy F﹣ P d P=0　 由 d P= a ／ l 得， FBy ＝ FP a ／ l (↑)这样处理后的方法叫虚单位位移法（简称单位位移法）。

２、静定结构在支座移动时的位移计算

例 5-2 　图示简支梁在Ｂ支座有沉陷 b ，用虚力原理求梁Ｃ点的竖向位移 CV 。

分析：图示梁由于支座Ｂ的位移而发生如图示满足约束的实际刚体位移状态。若再有一个恰当的满足平衡条件的力状态，就可利用虚功原理求位移。

解：１）在结构的拟求位移点Ｃ虚设力 FP ，由静力平衡条件求出支座反力　 FBy ＝ FP a ／ l (↑) 　显然虚力系是满足静力平衡条件的力状态。

２）令虚力系在实际位移上作虚功，由 W=0 ，得虚功方程：

　　 FP △CV﹣（ FPa ／ l)b=0　　△ CV ＝ ab ／ l (↓)

说明：利用虚功原理求结构位移的方法叫虚力法。同上例一样，本例可设一个虚单位力 FP = １，　　则有　 FBy ＝ a ／ l (↑) 　　虚功方程为：　　 1×△ CV﹣（ a ／ l)b=0 　　 △ CV ＝ ab ／ l (↓) 　这种处理后的方法又可叫虚单位荷载法（简称单位荷载法或单位力法）。

静定结构在支座移动时的位移计算公式１）公式推导

　左图，静定刚架发生了支座位移，拟求某点Ｅ沿截面Ⅰ－Ⅰ方向的位移。　右图，在Ｅ点沿拟求位移方向虚设单位力，并求出支座反力。　令虚力系中的力在实际位移上作虚功，建立虚功方程：

　　　 1×+FAxc1+ FAyc2+M Ac3=0

整理后，得： = -(FAxc1+FAvc2+ M Ac3)

写成一般式： 　　 　 = -∑FRici (6-2-1)

该式即为静定结构在支座发生位移时的位移计算公式。

例 5-3 　 图示多跨静定梁支座Ｂ发生沉陷 a ，求Ｅ截面的竖向位移 EV 和Ｄ铰两侧截面的相对转角 。

解：１）求 EV

位移公式　 = -∑FRici (6-2-1)EV=-(3/4)a=3a/4(↑)

２）求　　 = -(-5/2l)a=5a/(2l) ()

(= -1/l)(=5/2l)

§5-3 荷载作用下的位移计算一、杆件局部（微段）变形时的位移

d = -(-MCd-FQCd -FNCd) d = MCd＋ FQCd＋ FNCd

图示梁，仅在ＢＣ微段 ds 上发生变形，其它部分仍保持刚性。若仅考虑CA 段，相当于悬臂梁ＣＡ在固定端Ｃ处有支座位移。因此，可利用刚体的虚功原理，由静定结构支座移动时求位移的方法来研究。即沿拟求位移方向虚设单位力，并求出Ｃ截面的内力。代入公式：　　　 = -∑FRici 　　　　　　

二、变形杆件的位移

= ∫ d = ∫(MCd＋ FQCd ＋ FNC d )

当同时考虑支座位移，且又为杆件结构时： = ∑ ∫(MCd＋ FQCd ＋ FNC d ) -∑Frici 　（ a ）

该式即为计算杆件结构位移的一般公式。并可写成： １ × ∑ Frici= ∑ ∫(MCd＋ FQCd ＋ FNC d )

变形体的虚功原理：　若变形体有满足变形协调及约束允许的可能位移，那么，满足静力平衡条件的任一力系在该变形体的变形和位移上所作的总外力虚功等于总内力虚功（虚应变能），即　 W=V 。

因为　 d=ds d=ds 　 d=ds 　代入式 (a)

=∑∫MCds ＋∑∫ FQCds ＋∑∫ FNCds -∑Frici

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 (c)

对于线性弹性变形体在荷载作用下时，有：　=MP/EI 　 =FQP/GA 　 = FNP/EA 　　代入式（ c ），得结构位移计算公式：

= ∑∫(MCMP /EI) ds ＋∑∫ (FQC FQP/GA) ds ＋∑∫ (FNCFNP/EA) ds -∑Fric i 　

§ 5.4 图乘法

一、各类静定结构的位移计算公式１）梁、刚架：只考虑弯曲变形的影响 = ∑∫(MC MP /EI) ds (5-4-1)２）桁架：只考虑轴向变形的影响　　　 = ∑∫(FNC FNP/EA) ds = ∑FNCFNPl/EA (5-4-2)３）组合结构：= ∑∫(MC MP /EI) ds ＋∑∫ (FNC FNP/EA) ds 　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6-4-3)４）拱

= ∑∫(MCMP /EI) ds ＋∑∫ (FNCFNP/EA) ds 　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6-4-4)

二、静定梁、刚架的位移计算１、积分法：例 5-4 求图示刚架Ｃ截面的水平位移 CH 和Ａ、Ｂ两截面的相对转角 。各杆 EI= 常数。

解：建立拟求的两个指定位移相应的虚力系。分别对各杆件写出弯矩函数MC 、ＭＰ，代入积分公式计算位移。１）求 CH

AB 杆 (0≤x1≤l) MP=qlx1/2-qx12/2 MC=-x1/2

AC 杆 (0≤ x1≤ l/2) MP=0 MC=x2

CH = (1/EI)∫l (-x1/2) (qlx1/2-qx12/2)dx1= -ql4/48EI

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (→)

２）求AB 杆 (0≤x1≤l) MP=MC=0AC 杆 (0≤ x1≤ l/2) MP=qlx1/2-qx1

2/2 MC= -1=(1/EI)∫l (-1) (qlx1/2-qx1

2/2)dx1= - ql3/12EI()

说明： 注意利用　 = ∑∫(MC MP /EI) ds 时，两种状态中对同一杆件应取相同坐标，相应的两弯矩函数也应先规定受拉侧，以确定积分的正负。

2 、图乘法１、图乘公式推导

= ∫ (MC MP /EI) ds 　(a) =( 1/EI) ∫MC MPdx 　 　 =( 1/EI) ∫ydAP

　 =( 1/EI) tan ∫lxdAP 　　

=( 1/EI) xC tan AP 　　　 =( 1/EI) yC AP

= ∑ AP yC /EI 　　　　　　　　(6-4-5)　 　∫ lxdAP =xCAP

　　 xC tan =yC

图乘公式的应用条件：１）结构杆件分别为等截面直杆，即 EI= 常数。２） yC必须取自直线段弯矩图，而相应该直线段的另一弯矩图的面积 AP 及面积形心可求出。

例 5-5 用图乘法求图示简支梁在Ｂ端截面的转角位移和跨中点Ｃ截面的竖向位移 CV 。 EI= 常数

解：１）作 MP 图，并分别作两拟求位移的 MC 图 ２）由图乘公式求各位移

=(1/EI) （ 2/3)(ql2/8)l(-1/2) = -ql3/24EI()

CV=(1/EI)(2/3)(ql2/8)(l/2)(5/8)(l/4)2=5ql4/384EI(↓)

说明： 注意求 CV 时的图乘，当取竖标的弯矩图是折线图形时，应分段图乘。

例 5-6 求图示伸臂梁Ｃ端的竖向位移 CV 。

解： CV=(1/EI){[(1/2)(ql2/18)l][(2/3)(l/3)]　　　　　 - [(2/3)(ql2/8)l][(1/2)(l/3)]　　　　　 +[(1/3)(ql2/18)(l/3)][(3/4)(l/3)]}　　　　 = -ql4/72EI(↑)

图乘法中常用图形及数据：A=hl/2yc=2h/3

y1=2a/3+b/3y2=(a+b)/2

y1=2c/3-d/3y2=(c-d)/2

A=2hl/3xc=l/2

A=hl/3xc=3l/4

例 5-7 求图示刚架Ｄ截面的竖向位移 DV 。各杆 EI= 常数。

DV= [(51×6/2)(2×3/3)- (20×6/2)(3/3)　　　　 -(2/3)(10×62×6/8)(3/2)]/EI　　　　 = 237/EI(↓)

三、静定桁架的位移计算 = ∑FNC FNPl/EA (6-4-2)

例 5-8 　求图示桁架Ｄ点的竖向位移 DV 和ＣＤ杆的转角 。

解 : １）计算 FNP 、 FNC 　 ３）代入公式求位移 DV= [(-5/6)(-4.2)×5+(- 5/6)(-29.2)×5 +1×20×3+(2/3)(23.3)×4×2)]/EA = 2.643×10-3 m(↓)

= [ （ -5/24)(-4.2) ×5+(5/24)(-29.2)×5 +23.3×4/6-23.3 ×4/6 ]/EA = -3.052× 10-3 ()

例 5-9 图中所示刚架Ｂ支座有沉降 2cm, 计算Ｄ截面的竖向位移 DDV 。各杆 EI= 常数。

FRB=3/2

DV= -∑FRici = - (- 3/2) ×2= 3cm(↓)

DV= 237/EI(↓)+3(↓)

5.5 支座移动时的位移计算

　　　 §5-6 　线性变形体的互等定理一、功（虚功）互等定理　第一种状态的力在第二种状态的位移上所作的外力虚功，等于第二种状态的力在第一种状态的位移上所作的外力虚功。　　　　　　 FP112=FP221 (6-8-1)

　　　　状态Ⅰ　　　　　　　　　状态Ⅱ

证明：　　根据变形体的虚功原理，状态Ⅰ的力系在状 　态Ⅱ的位移上所作的虚功应满足 WⅠⅡ=V ⅠⅡ 即： FP112= ∑∫(M1M2 /EI) ds 　状态Ⅱ的力系在状态Ⅰ的位移上所作的虚功应满足： W Ⅱ Ⅰ=V Ⅱ Ⅰ

即： FP221= ∑∫(M2M1 /EI) ds

　显然有： FP112= FP221

得证。

注意：为简化起见，证明中内力虚功只考虑了弯矩作功一项。

FP112= FP221

a b 12=21

二、位移互等定理　由 FP1=1 引起的沿 FP2 作用点及方向上的位移，等于由 FP2=1 引起的沿 FP1 作用点及方向上的位移。即： 12=21

(6-8-2)

(b)

(a) 1

注意： 12 ＝ 12 ／ FP2 叫位移影响系数，是有单位　的量；等号两侧的系数可同是线位移，同是角位移 , 也可一个是线位移而另一个是角位移。

(c)

(d)

12=21

　　位移影响系数具有单位形式：　均为力时　长度／力＝长度／力；均为力矩时　弧度／（力 × 长度）　　＝弧度／（力 × 长度）力和力矩　长度／（力 × 长度）　　　　　　＝弧度／力；

三、反力互等定理　由于支座 1 发生位移 1=1 引起的沿支座 2 方向的支座反力，等于由于支座 2 发生位移 2=1 引起的沿支座方向的支座反力。即： r12=r21 ( ６ - ８ -3)

(b)

(a)

反力影响系数　 r12=R12/2 是有单位的量。

形式：均为线位移时 力／长度＝力／长度；均为角位移时　（力 × 长度）／弧度　　　　　　　　　　　＝ （力 × 长度）／弧度；角位移和线位移　（力 × 长度）／长度＝力／弧度。

(d)

(c)

　　　　静定结构的位移计算　小结

一、了解结构位移计算依据的虚功原理及杆系结构位移计算一般公式的推导。二、弄清线性变形体位移计算一般公式的物理意义；三、掌握用虚单位力法求各类静定结构的位移，熟练应用图乘法求刚架的位移。

要求掌握：１、静定结构在荷载作用下的位移计算；２、静定结构在支座发生移动时的位移计算。