ЛЕКЦИЯ 4

Классы симметрии и простые формы высшей категории.

Высшая категория a = b ≠ c

1) Кубическая сингония: a = b = c, α = β = γ = 90°

Равенство координатных осей приводит к тому, что равнонаклонно к координатным направлениям возникает наклонная ось третьего порядка, Если размножить ее элементами симметрии, находящимися в координатных осях, то получится 4 наклонные оси третьего порядка, равноудаленных от различных выходов координатных направлений. На трафарете, эти позиции осей третьего порядка отмечены красными треугольниками.

Вывод кубических групп (классов) симметрии в символике Браве

Симметрия куба и октаэдра одинакова – число и расположение вершин и граней куба соответствуют расположению граней и вершин октаэдра. Причем, симметрия куба и октаэдра заведомо выше, чем у тетраэдра. Поэтому в кубических группах будут существовать октаэдрический и тетраэдрический набор элементов симметрии Общей для всех трех многогранников является четверка осей L3, каждая из которых для куба проходит через две противоположные вершины (по телесной диагонали куба), для октаэдра – через середины противоположных граней, для тетраэдра – перпендикулярно каждой грани.

Вывод кубических групп (классов) симметрии

. Расположение координатных направлений X, Y, Z и четырех осей 3-го порядка в кубе (а), октаэдре (б), тетраэдре (в) и стереограмма

этих направлений (г)

Вывод кубических групп (классов) симметрии в символике Браве

Вывод кубических групп (классов) симметрии

432m m3

С3L44L36L23Pk6PdC 3L44L36L2

Вывод кубических групп (классов) симметрии

m3

С

m m3

С3L44L36L23Pk6PdC 3L24L33PkC

Вывод кубических групп (классов) симметрии

43mm m3

С3L44L36L23Pk6PdC 3Ł44L36Pd (группа

симметрии тетраэдра)

Вывод кубических групп (классов) симметрии

23m3

С3L24L33PkC 3L24L3

ИТОГО

27 + 5 =

32 УРА!

Распределение классов по сингониям

Триклинная – 2 Моноклинная – 3 Ромбическая – 3 Тетрагональная - 7 Гексагональная - 12 (7+5) Кубическая - 5

В целом, если говорить о распространенности минералов различных сингоний в природе, то

можно отметить следующее. На настоящий момент в природе известно более 4000 минералов.

Среди них резко преобладают кристаллы низшей и средней категорий.

Лидер - моноклинная сингония, намного опережая ромбическую по распространенности.

Распространенность 2900 минералов по сингониям: 1 – триклинная сингония; 2 – моноклинная, 3 – ромбическая, 4 – тригональная подсингония; 5 – тетрагональная сингония;

6 – гексагональная подсингония, 7 – кубическая

Почему?

Такая неравномерность связана с тем, что большая часть из изучаемых минеральных видов встречается или находится только в самой поверхностной оболочке Земли – Земной коре, образуясь в результате реакций выветривания и изменения горных пород под действием воды, атмосферы и солнечного света. Поэтому они часто включают в свой состав молекулы воды H2O, углекислоты CO2, гидроксил-группу OH- и другие атомные группировки, отличающиеся невысокой собственной симметрией, что приводит к понижению симметрии всего кристалла

при изучении минералов глубин Земли доля высокосимметричных кристаллов будет расти

Распространенность 56 000 неорганических соединений по сингониям:

1 — триклинная сингония , 2 — моноклинная 3 — ромбическая 4 — тригональная

5 — тетрагональная, 6 — гексагональная, 7— кубическая

Симметрийная статистика минералов и неорганических соединений РАЗЛИЧНА!

Вывод кубических групп (классов) симметрии в символике Шенфлиса

ВЫВОД ПРОСТЫХ ФОРМ КРИСТАЛЛОВ КУБИЧЕСКОЙ СИНГОНИИ

«15» ПРОСТЫХ ФОРМ

ВЫСШЕЙ КАТЕГОРИИ

Способ Н. В. Белова - вывод простых форм кристаллов кубической сингонии

как производных от простейших

основных форм Основные простые формы кубический кристаллов –

это простейшие кристаллографические фигуры с несколькими осями высшего порядка

куб (гексаэдр), октаэдр, тетраэдр и ромбододекаэдр.

Грани этих простых форм занимают строго фиксированное положение, как бы подчеркивая основные особые направления классов кубической сингонии – три

координатные оси симметрии, четыре равно наклонные к ним оси 3-го порядка и шесть диагональных особых

направлений.

Различные позиции граней на стереограмме кубических классов симметрии.

ИТОГО: в каждом кубическом классе 7 простых форм

Названия большинства производных простых форм кристаллов кубической сингонии строятся по следующей схеме: 1. Характеристика формы грани: тригон (греч. три (τρι) - три, гониа (γωνια) – угол) – треугольная, тетрагон (греч. тетра (τετρα) – четыре) – четырехугольная, пентагон (греч. пента (πεντα) – пять) – пятиугольная; 2. Количество граней, заменивших исходную грань основной простой формы; 3. Название простой формы, на основе которой выводится полученная производная форма. Например, тригон-тетрагексаэдр (Δ-4х6) – простая форма с гранями треугольной формы, грань исходной формы – гексаэдра – учетверилась.

Простые формы {hk0} – производные куба (гексаэдра)

В классах , 432, вместо каждой квадратной грани гексаэдра (куба) появится четырехгранная пирамида. Такая двадцатичетырехгранная форма {hk0} называется тригон-тетрагексаэдром. Выразительно ее классическое

название – пирамидальный куб. Завершает этот ряд ромбододекаэдр (историческое

название - гранатоэдр).

m3m m34

Простые формы {hk0} – производные куба (гексаэдра)

• В классах и 23 грань куба «ломается» с образованием двух граней в форме неправильных пятиугольников. Такая двенадцатигранная форма названа пентагон-додекаэдром (историческое название – пиритоэдр).

3m

Простые формы {hll} (h > l) – производные октаэдра (тетраэдра) или гексаэдра

Тетрагон-триоктаэдр (� - 3х8) и его генезис от октаэдра и

куба в классе (24-гранный дельтоэдр). Тригон-тритетраэдр (Δ – 3х4) и его генезис от куба и

тетраэдра в классе

m3m

m34

Простые формы {hhl} (h > l) – производные октаэдра и тетраэдра

Тригон-триоктаэдр и его генезис в классе Тетрагон-тритетраэдр и его генезис в классе

m3m

m34

Общие простые формы кристаллов кубической сингонии – {hkl}

Общая форма в классе - гексаоктаэдр =

октагексаэдр – сорокавосьмигранник Общая простая форма в классе - гексатетраэдр

m3m

m34

Общая простая форма класса − дидодекаэдр 3m

Общая простая форма класса 432 – пентагон-триоктаэдр (24-гироэдр или осевик, от греч. гира – ось)

Общая простая форма класса 23 – пентагон-тритетраэдр (12-гранный осевик)

Гекса-октаэдр (48 граней)

октаэдр

Ромбо додекаэдр

Тетрагон- три-

октаэдр

Тригон- три-

октаэдр

Тетра- гексаэдр гексаэдр

Пентагон-три-октаэдр (24 грани)

октаэдр

Ромбо додекаэдр

Тетрагон- три-

октаэдр

Тригон- три-

октаэдр

Тетра- гексаэдр гексаэдр

Дидодекаэдр (24 грани)

гексаэдр

октаэдр

ромбододекаэдр

Тетрагон- три

октаэдр

Тригон- три-

октаэдр

Пентагон- додекаэдр

Гекса-тетраэдр (24 грани)

гексаэдр

тетраэдр

ромбододекаэдр

Тригон- три

тетраэдр

Тетра- гексаэдр

Тетрагон- три-

тетраэдр

гексаэдр

тетраэдр

ромбододекаэдр

Тригон- три

тетраэдр

Пентагон- додекаэдр

Пентагон-три-тетраэдр (12 граней)

Тетрагон- три-

тетраэдр

Забыли кто тут живет? Не беда! Вычислим!

Тетрагон

три

октаэдр

Тригон

три

тетраэдр