第三章第 4 课时：

二次函数 ( 一 )

要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练

要点、考点聚焦1 、一般地， y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数， a≠0) 称为 y 是 x 的二次函数，它的图像是抛物线 .  2. 抛物线 y=ax2+bx+c 的特征与 a 、 b 、 c 的符号：(1)a 决定开口方向， (2)a 与 b 决定对称轴位置(3)c 决定抛物线与 y 轴交点位置

3. 抛物线与 x 轴交点个数的判定 .(1)b2-4ac ＞ 0 2 个交点 .(2)b2-4ac=0 1 个交点 .(3)b2-4ac ＜ 0 0 个 .

开口向下开口向上,0

,0

a

a

轴的负半轴上交点在交点在原点

轴的正半轴上交点在

yc

c

yc

,0

,0

,0

轴的负半轴上交点在交点在原点

轴交点位置交点在

yc

c

yc

,0

,0

,0

课前热身

D1.(2003 年 · 北京海淀区 ) 如图 3-4-1 所示，二次函数

y=ax2+bx+c 的图像如图所示，则下列结论正确的是 ( )A.a ＞ 0 ， b ＜ 0 ， c ＞ 0 B.a ＜ 0 ， b ＜

0 ， c ＞ 0C.a ＜ 0 ， b ＞ 0 ， c ＜ 0 D.a ＜ 0 ， b ＞ 0,c

＞ 0

2.(2003 年 · 天津市 ) 已知：右图 3-4-2 所示，为二次函数 y=ax2+bx+c 的图像，则一次函数 y=ax+bc 的图像不经过 ( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

B

B3.(2003 年 · 南通市 ) 已知反比例函数 y=k/xkx 的图像如图 3-4-3 所示，则二次函数 y=2kx2-x+k2 的图像大致为 ( )

4.(2003 年 · 山西省 ) 二次函数 y=x2+bx+c 的图像如图 3-4-4 所示，则函数值 y ＜ 0 时，对应的 x 取值范围是 .

-3 ＜ x ＜ 1

5.(2003 年 · 哈尔滨 ) 如图 3-4-5 所示，下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数 y=ax2+(a+c)x+c 与一次函数 y=ax+c 的大致

图像，有且只有一个是正确的，正确的是 ( )D

典型例题解析

【例 1 】 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图 3-4-6所示，下列结论① a+b+c ＜ 0 ②， a-b+c ＞ 0 ③； abc＞ 0 ④； b=2a 中正确个数为 ( )

A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个A

【 例 2 】 无 论 m 为 任 何 实 数 ， 二 次 函 数 y=x2-(2-m)x+m 的图像总是过点 ( )

A.(1 ， 3) B.(1 ， 0) C.(-1 ， 3) D.(-1 ， 0)

B

【 例 3 】 (1)(2002 年 · 呼 和 浩 特 市 ) 二 次 函 数y=ax2+bx+c 的图像如图 3-4-7 所示，则点 M(b/c ， a) 在( )

A. 第一象限 Ｂ . 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

D

D(2) 若抛物线 y=ax2+3x+1 与 x 轴有两个交点，则 a的取值范围是 ( )

A.a ＞ 0 B.a ＞ -4/9

C.a ＞ 9/4 D.a ＜ 9/4 且 a≠0

【例 4 】 如图 3-4-8 所示，函数 y=x2+(m+1)x+(m-1)(m 是常数 ) 的图像可能是 ( )B

【例 5 】 已知：二次函数 y=2x2-(m+1)x+(m-1).(1) 求证：不论 m 为何值时，函数的图像与 x 轴总有交

点，并指出 m 为何值时，只有一个交点；(2) 当 m 为何值时，函数图像过原点，并指出此时函数

图像与 x 轴的另一个交点；(3) 若函数图像的顶点在第四象限，求 m 的取值范围 .

2 、另一个交点坐标为 (1 ， 0)

3 、当 m ＞ -1 且 m≠3 时，抛物线的顶点在第四象限

方法小结

1. 会利用 a、 b、 c 的值判断二次函数的大致位置情况；反之，若已知二次函数的大致位置，也可以判断出一些特殊关系式或字母的取值范围等，此类问题既要细心处理，又要灵活运用数形结合思想，易出错 .

2. 会利用方程根的性质，一元二次方程根的判别式，判定抛物线与 x 轴交点的情况；反之，可以求某些字母的取值范围 .

课时训练

C1. 已知：抛物线 y=ax2+bx+c 的图像如图 3-4-9 所示，

则 x 的方程 ax2+bx+c-3=0 的根的情况是 ( ) A. 有两个不相等的正实根 B. 有两个异号实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根

2. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图 3-4-10 所示，那么下列判断不正确的有 ( )

A.abc ＞ 0 B. b2-4ac ＞ 0C.2a+b ＞ 0 D.4a-2b+c ＜ 0

D

3. 如图 3-4-11 所示，函数 y=kx2+k 与 y=k/2(k≠0) 在同一坐标系中的图像可能是下图中的 ( )D

B4. 如图 3-4-12 所示，函数 y=ax2 与 y=ax+a(a ＜ 0 ＝在同一直角坐标系中的图像大致是 ( )

5. 如图 3-4-13 所示，二次函数 y=x2-4x+3 的图像交 x 轴于 A 、 B 两点，交 y 轴于点 C ，则△ ABC 的面积为 ( )A.6 B.4 C.3 D.1 

C