§ 2.2 线性方程与常数变易法 /Linear ODE and variation of constants Method

§ 2.2 线性方程与常数变易法 /Linear ODE and variation of constants Method/

本节要求 /Requirements/

熟练掌握线性方程和伯努利方程的求解方法。了解黎卡提方程的简单性质及其求解方法。

内容提要 /Constant Abstract/

:

齐次线性方程特点解法举例

线性方程常数变易法(积分因子方法）非齐次线性方程

求解步骤举例随堂练习

伯努利方程线性方程与常数变易法特点可化为线性方程的方程黎卡提方程

解法其他可化为线性方程的方程

重点与难点思考

一、一阶线性微分方程 / First-Order Linear ODE/

0)()()( xcyxbdx

dyxa

………………(2.2.1)

的方程称为一阶线性微分方程 ( 即关于是线性的 ) yy ,

其中 )(),( xQxP 为 x 的已知函数。当 0)( xQ 时，

称为齐次线性方程 ;

当 0)( xQ 时，称为非齐次线性方程。

形如

一般形式

)()( xQyxPy

yxPy )( …………(2.2.2)

§ 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

假设函数在区间 a<x<b 上连续 , 则根据解的存在性及唯一性定理可知，在区域

)(),( xQxP

ybxaD :

方程 (2.2.1) 的初值问题的解是存在唯一的。

)()( xQyxPy ………………(2.2.1)


（ 1 ）齐次线性方程 /Homogenous Linear ODE/

yxpy )(解法 :

分离变量，得 :dxxp

y

dy)(

积分，得 : 1)( Cdxxpy

dy

1)(ln Cdxxpy

..……………………..(2.2.2)

dxxpC eey )(1

dxxpC eey )(1 1Cec


得 dxxp

cey)(

因为 0y 为 (2.2.2) 的解 , 所以其通解为 :

dxxp

cey)(

…………………….…(2.2.3)

其中 c 为任意常数。

满足初始条件 00 )( yxy 的解是

xx dttp

eyy 0)(

0…………………..(2.2.3)’


xxp sin)(

xxdxcecey cossin

由公式 (2.2.3)’ 得，所求特解为 :

xey cos2

由公式 (2.2.3) 得，所求通解为：

解

例 1 0 xyy sin

的通解 , 并求满足条件的特解2)2

(

y

试求微分方程


（ 2 ）非齐次线性方程 /Non-Homogenous Linear ODE/

采用常数变易法求解

设想方程 )()( xQyxPy

有形如 (2.2.3) 的解，但其中的常数 c 变易为 x 的待定函数

即设 dxxP

excy)(

)( ………………….(2.2.4)

dxxP

cey)(

……………………………(2.2.3)

方程的解。


上式代入方程 (2.2.1) ，得 :

dxxP

excy)(

)(

)()()()()()()()()(

xQexcxPxPexcexcdxxPdxxPdxxP

即 : )()()(

xQexcdxxP

)()( xQyxPy

dxxPexQxc

)()()(

积分得 :

cdxexQxcdxxp )(

)()(


cdxexQxcdxxp )(

)()(

代入 (2.2.4)

])([)()(

cdxexQeydxxPdxxP

………..(2.2.5)

dxxP

excy)(

)( 得 :

同时，方程满足初始条件 00 )( yx 的特解为 :

])([0

00)(

0

)(

x

x

dttPdttP

dxexQyeyx

x

x

x


其中第一项是线性齐次方程的通解，第二项是线性非齐次方

程特解。

非齐次线性方程通解的结构：

通解等于其对应齐次方程通解与自身的一个特解之和。

由 (2.2.5) 得 :

dxexQeceydxxPdxxPdxxP )()()(

)(


例 2 xxydx

dyx 2cossincos

解 1) 先求对应的齐次方程通解

xydx

dyx sincos dx

x

x

y

dy

cos

sin

cxy lncoslnln

)(ccos

为任意常数x

cy

2) 用常数变易法求方程通解

设x

xcy

cos

)( 是方程的解，代入原方程，得


x

xcy

cos

)(

xxc 2cos)(

cxxxdxxc 2sin4

1

2

1cos)( 2

xxydx

dyx 2cossincos

xxx

xc

x

xxcxxcx 2

2cossin

cos

)()

cos

sin)(cos)((cos

)()2sin4

1

2

1(

cos

1为任意常数ccxx

xy

说明：对于一阶线性方程，也可直接用通解公式计算得出。


例 3 22 yx

y

dx

dy

解 1) 转换变量位置22 2dx x y

x ydy y y

2) 用公式求方程通解

])([)()(

cdxexQeydxxPdxxP

][1

21

2

cdyyeexdy

ydx

y

)1

(2 cdyy

yx

)(22 lnln

cdyyee yy

22 ln cyyy 22 ln cyyyx


有时方程关于dx

dyy,

x 为 y 的函数，方程关于dy

dxx,

于是仍可以根据上面的方法求解。

注意 :

不是线性的，但如果视

是线性的，


练习

xxydx

dy

eyxxy x

42)2(

)1(')1(

3 )3(

yx

y

dx

dy


xeyxxy )1('

解 1) 先解齐次方程 0)1(' yxxy

01

dxx

x

y

dy

积分，得：

1lnln cxxy x

ecy

x

2) 设x

excy

x

)( , 代入原方程，得 :

xxx

ex

excx

x

excx

)()1(]')([

练习 (1)§ 2.2 Linear ODE and variation of constants Method

化简得 :

cedxexc xx 22

2

1)(

所以，通解为 :)

2

1( 2 ce

x

ey x

x

x

ce

x

ey

xx

2

xxxxx

ex

excx

x

exexc

x

excx

)()1(])()([2

xx eexc )( xexc 2)(


练习 (2) xxydx

dy42

解用公式求解 , xxQxxp 4)(,2)(

)4(22

cdxexeyxdxxdx

)4(22

cdxxee xx

)2(22

cee xx

2

2 xcey 即 :


3yx

y

dx

dy

解方程可以改写为 :

21yx

ydy

dx 2)( ,

1)( yyQ

yyp

练习 (3)

故通解为 :

)(1

2

1

ceyexdy

ydy

y )2

1( 2 cyy

即 : 33

2

1

2

1ycxycyyx 或


二、可化为线性方程的方程

1 伯努利方程 /Bernoulli ODE/

2* 黎卡提方程 / Riccati ODE/


1 伯努利方程 /Bernoulli ODE/

形如 )6.2.2( )()( nyxQyxPy

的方程称为伯努利方程，其中 1,0 nn

它通过变量代换可化为线性方程。

解法：将方程 (2.2.6) 的各项同乘以ny

得 : )()( 1 xQyxPyy nn

令 nyz 1

dx

dyyn

dx

dz n )1(则dx

dyy

dx

dz

nn

1

1


)()(1

1xQzxP

dx

dz

n

用上式求解后，代入原变量 , 便得原方程的通解。

)()1()()1( xQnzxPndx

dz

nyz 1

(1 ) ( ) (1 ) ( )1 [ (1 ) ( ) ]n P x dx n P x dxny e n Q x e dx c


例 4 xxyyxy ln' 2

将方程改写为 : xyx

yy ln1

' 12 解

xzxdx

dzln

1

))ln((11

cdxexezdx

xdx

x

1yz

)ln

( cdxx

xx

])(ln2

1[ 2 cxx

故 ])(ln2

1[

1 2xcxy


2 黎卡提方程 / Riccati ODE/

形如 )7.2.2( )()()( 2 xRyxQyxPdx

dy

的方程称为黎卡提方程。

特点 :

在一般情况下，此类方程的解不能用初等函数及其积分

形示表示，如果先由观察法或其他方法知道它的一个特

解时，才可以通过初等积分法，求出它的通解。


)7.2.2( )()()( 2 xRyxQyxPdx

dy

解法若方程有一特解为 )(~)( xyxy

设 )(~ xyzy )(~ xyzy

则 )()~)(()~)(( 2 xRyzxQyzxP )(~ xyz

)()~)(()~~2)(( 22 xRyzxQyzyzxP

)(~)(~)())()(~2()( 22 xRyxQyxPzxQxPyzxP

)(~ xyz

)(~ xyz

))()(~2()( 2 zxQxPyzxPz 化为伯努利方程。


122 xyy

由观察看出 xy ~ 是方程的一个特解，于是

令 uxy ，则得

解

xuuu 22

1)(1 22 xxuu

12

211 xuuu

11 21)( xuu

12 xzz Cdxeez xx 22

122

dxeCexy xx 故原方程的通解为

例 5


例 6 试求 1222 xyyxyx 形如x

a

的特解 , 解此微分方程。

解设 ,2x

ay

x

ay ，代入方程得 :

12 aaa

所以故x

y1~ 是方程的一个特解。1a

01 2 a

1)1

()1

()1

( 222

2 ux

xux

xux

x

令 ux

y 1

于是方程化为伯努利方程 xuuxu 22


212

1xxuu

u 211)( xxuu

2xxzz

故原方程的通解为

Cdxexez

xx

222

22

1

222

22

Cdxexeu

xx

1

222

22

11

Cdxexe

xu

xy

xx


练习

0)]ln1([ )1( 3 dxxxyyxdy

xxx eyeyey 22 12 )2(


练习 0)]ln1([ )1( 3 dxxxyyxdy

方程各项同除以 dxxy 3

得 :

解

xyxdx

dyy ln1

1 23

令 ,2yz

于是方程化为 : )ln1(22

xzxdx

dz

])ln1(2[1 2

2cdxxx

xz )ln

3

2

9

4(

1 332

cxxxx

即 xxxx

cy ln

3

2

9

42

2

dx

dyy

dx

dz 32


2 2(2) 2 1x x xy e y ye e

xxxx eeyeeyy 322 2 解

经观察，方程有一个特解 xey ~

令 uey x

xx ueeuu 22 2

xx

ecey

1

练习


思考题xy xe

dx

dye

1 )1(

0 )2( ' yxx eey

0)ln(ln )3( dyyxydxy

作业： P.38 第 6 ， 8 ， 11 ， 14 ， 15 ， 16 ， 20 ，22(1) 题

P.64 第 36(3) 题


提示 :1y xdy

e xedx

1

2 0)( 2 yxyxy eeeee

3

yy xde

e xedx

（线性方程）

0 ' yxx eey

02 ueueu xx （伯努利方程）

ln 1 1

ln ln

dx x yx

dy y y y y y

0)ln(ln dyyxydxy

（线性方程）

y y xdye e xe

dx


解原方程可改写为 :

yx

yy

dx

dy

ln

ln

故通解为 :

0)ln(ln dyyxydxy

,ln

1)(

yyyP

yy

yx

dy

dx

ln

ln

yx

yydy

dx 1

ln

1

yyQ

1)(

)1

( ln

1

ln

1

cey

exdy

yydy

yy

)ln

(ln

1cdy

y

y

y


])(ln2

1[

ln

1 2 cyy

)ln

(ln

1cdy

y

y

y

即 : 1

ln2 ln

cx y

y

(2 ln ) ln 2x y y c 或：


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