Теорија електричних кола 2015tek.etf.rs/TeorijaEKola01_Uvod_Vezbe.pdf ·...

др Милка Потребић, редовни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2020.

Теорија електричних кола

Милка Потребић

1u

2u

1i

2i

3u

3i


Основи топологије ел. кола


Пример електричног кола

1

2

a3

4

1R 2C

3R 4C

5R

6L)(g ti

1p 2p

3p 4p

5p

6p9p7p 8p

0 0000


Граф ел. кола, КЗС, КЗН

За дато коло

1) Конструисати орјентисани граф ако се

прикључак (чвор) 0 усвоји за

референтни за коло

2) Написати максималан независни систем

једначина КЗС за чворове

3) Систем једначина КЗН на основу

претходне тачне 2


Граф електричног кола

• Упрошћена сликовна представа

електричног кола у којој се сваки

приступ представља линијом а сваки

чвор кружићем назива се граф ел. кола

• Ако су усвојени смерови ел. струја,

линије које представљају приступе ће

бити усмерене и такав граф се зове

усмерени граф или диграф


Грана

• Грана је линија (дуж или лук) којим се

представља приступ у графу ел. кола

• Смер гране је једнак смеру ел. струје

• Смер ел. напона је стандардан –

усаглашен са смером ел. струје

• Гране се обележавају узастопним

природним бројевима почев од један


Граф елемента:

идеални напонски појачавач

а

0

p7 p8

0

p7 p8



p7

p3

p1

p2

p9

p8

0

p6

p4 p5


Граф електричног кола са

изабраним стаблом

p7

p3

p1

p2

p9

p8

0

p6

p4 p5


Потпуна матрица инциденције

грана и чворова

a

1 1 1 0 0 0 1 0 1

0 0 1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 1 0

0 0 0 0 1 1 0 0 0

1 1 0 0 0 1 1 1 1

А

1 2 3 ....... 7 8 9

1

2

....

0


Сведена матрица инциденције

грана и чворова

a

1 1 1 0 0 0 1 0 1

0 0 1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 1 0

0 0 0 0 1 1 0 0 0

1 1 0 0 0 1 1 1 1

А

1 2 3 ....... 7 8 9

1

2

....

0


Матрица инциденције грана и

чворова

1

2

3

4

1 1 1 0 0 0 1 0 1

0 0 1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 1 0

0 0 0 0 1 1 0 0 0

А

1 2 3 ....... 7 8 9


Максималан независни систем

једначина КЗС за чворове

0iА

T

1 2 3 4 5 6 7 8 9i i i i i i i i i i


Интерпретација матрице инциденције

као матрице независних пресека –

чворник пресека

ν1 ν2 ν3

p7

p3

p1

p2

p9

p8

0

p6

p4 p5

ν4


Напон првог (независног) пресека

p7

p3

p1

p2

p9

p8

0

p6

p4 p5

ν1


Напон другог (независног) пресека

p7

p3

p1

p2

p9

p8

0

p6

p4 p5

ν2


Напон трећег (независног) пресека

p7

p3

p1

p2

p9

p8

0

p6

p4 p5

ν3


Напон четвртог (независног) пресека

ν4

p7

p3

p1

p2

p9

p8

0

p6

p4 p5


Напони грана, КЗН

1 1

2 1

3 1 2

4 2 3

5 3 4

6 4

7 1

8 3

9 1

u

u

u

u

u

u

u

u

u

TАu

T

1 2 3 4 5 6 7 8 9u u u u u u u u u u

1

2

3

1

4

2

5

3

6

4

7

8

9

1 0 0 0

1 0 0 0

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

0 0 0 1

1 0 0 0

0 0 1 0

1 0 0 0

u

u

u

u

u

u

u

u

u


КЗН

TАu

T4321

1

2

3

1

4

2

5

3

6

4

7

8

9

1 0 0 0

1 0 0 0

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

0 0 0 1

1 0 0 0

0 0 1 0

1 0 0 0

u

u

u

u

u

u

u

u

u

T

1 2 3 4 5 6 7 8 9u u u u u u u u u u


Граф ел. кола, КЗС, КЗН За коло приказано у претходном задатку

1) Конструисати орјентисани граф ако je

чвор 0 референтни за коло

2) Изабрати једно стабло и одредити

фундаменталне пресеке


једначина КЗС, као и одговарајући

систем једначина КЗН, на основу

матрица фундаменталних пресека1

2

a3

4

1R 2C

3R 4C

5R

6L)(g ti

1p 2p

3p 4p

5p

6p9p7p 8p

0 0000



p7

p3

p1

p2

p9

p8

0

p6

p4 p5


Субграф, Стабло, Спојница

• Субграф је део графа

• Стабло је повезани субграф без контура који садржи све чворове

• Спојница је грана која не припада стаблу

• Граф је планаран ако се може нацртати у равни тако да се гране не секу

• Граф је неповезан ако постоје бар два чвора између којих не постоји пут




p7

p3

p1

p2

p9

p8

0

p6

p4 p5


Фундаментални пресеци

• Фундаментални пресек (ф-пресек,

главни пресек) је пресек који садржи

само једну грану стабла

• Број фундаменталних пресека једнак је

броју грана стабла

• Фундаментални пресеци су значајни за

постављање једначина електричног кола

• Смер пресека је једнак смеру гране

стабла од кога је пресек настао


Први фундаментални пресек

p7

p3

p1

p2

p9

p8

0

p6

p4 p5

ν1


Други фундаментални пресек

p7

p3

p1

p2

p9

p8

0

p6

p4 p5

ν2


Трећи фундаментални пресек

p7

p3

p1

p2

p9

p8

0

p6

p4 p5

ν3


Четврти фундаментални пресек

p7

p3

p1

p2

p9

p8

0

p6

p4 p5

ν4


Фундаментални пресеци

p7

p3

p1

p2

p9

p8

0

p6

p4 p5

ν4

ν3

ν1ν2


Матрица фундаменталних пресека

f

0 0 1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 0 0 0

1 1 0 1 0 0 1 0 1

0 0 0 1 0 1 0 1 0

Q

1 2 3 ....... 6 7 8 9

1

2

3

4


Матрица ф-пресека, КЗС

f f S f KSQ Q Q

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

f S 4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Q I

f 0Q i

f

0 0 1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 0 0 0

1 1 0 1 0 0 1 0 1

0 0 0 1 0 1 0 1 0

Q

s stablo

ks kostablo


Напон првог независног пресека

ν1

p7

p3

p1

p2

p9

p8

0

p6

p4 p5

ν1


Напон другог независног пресека

ν2

p7

p3

p1

p2

p9

p8

0

p6

p4 p5

ν2


Напон трећег независног пресека

ν3

p7

p3

p1

p2

p9

p8

0

p6

p4 p5

ν3


Напон четвртог независног пресека

ν4

p7

p3

p1

p2

p9

p8

0

p6

p4

p5

ν4


Напони грана, КЗН

1 3

2 3

3 1

4 1 3 4

5 2

6 2 4

7 3

8 4

9 3

u

u

u

u

u

u

u

u

u

T

fu Q

1

2

3

1

4

2

5

3

6

4

7

8

9

0 0 1 0

0 0 1 0

1 0 0 0

1 0 1 1

0 1 0 0

0 1 0 1

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 1 0

u

u

u

u

u

u

u

u

u


Ф-контуре, КЗС, КЗН За граф кола и изабрано стабло из

претходног задатка

1) Одабрати фундаменталне контуре


једначина КЗН

3) Проверити везу једначина КЗС и КЗН

писаних према независним контурама




p7

p3

p1

p2

p9

p8

0

p6

p4 p5


Фундаменталне контуре

• Фундаментална контура (ф-контура,

главна контура) је контура образована из

стабла додавањем једне спојнице

• Број фундаменталних контура једнак је

броју спојница

• Фундаменталне контуре су значајне за

постављање једначина електричног кола

• Смер контуре је једнак смеру спојнице



μ1

μ2μ4

μ3

μ5


Матрица фундаменталних контура

f

0 0 1 1 0 0 1 1 0

0 0 0 0 1 1 0 1 0

0 1 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 1

B

1 2 3 4 5 6 7 8 91

2

3

4

5


Матрица ф-контура, КЗН

f KS 5

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

B I

f f S f KSB B B f 0B u

f

0 0 1 1 0 0 1 1 0

0 0 0 0 1 1 0 1 0

0 1 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 1

B

1 2 3 4 5 6 7 8 91

2

3

4

5

s stablo

ks kostablo


1 4

2 3

3 1

4 1

5 2

6 2

7 1 3 4 5

8 1 2

9 5

i j

i j

i j

i j

i j

i j

i j j j j

i j j

i j

1

2

13

24

35

46

7 5

8

9

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

1 0 0 0 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 1 0 0 0

1 0 1 1 1

1 1 0 0 0

0 0 0 0 1

i

i

ji

ji

ji

ji

i j

i

i

T

fi B j

μ1 → ј1

μ2 → ј2

μ3 → ј3

μ4 → ј4

μ5 → ј5

Контурне струје : ј1, ј2, ј3 , ј4, ј5

Струје грана, КЗС


Пример графа електричног кола

p3

p7 p8

p1p2

p4 p6

5

p5


Ф-контуре, КЗС, КЗН За дати граф изабрати једно стабло, а затим

1) Одабрати фундаменталне контуре


једначина КЗН

3) Проверити везу једначина КЗС и КЗН

писаних према независним контурама


Стабло графа ел. кола

p3

p7 p8

p1p2

p4 p6

5

p5



p3

p7 p8

p1p2

p4 p6

5

p5

μ2

μ1

μ4

μ3


Матрица фундаменталних контура

f

1 0 1 1 1 0 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

0 1 1 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0 0 1

B

1 2 3 4 5 6 7 81

2

3

4


Матрица ф-контура, КЗН

f

1 0 1 1 1 0 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

0 1 1 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0 0 1

B

f KS 4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

B I

f f S f KSB B B

1 2 3 4 5 6 7 81

2

3

4

f 0B u

s stablo

ks kostablo


Струје грана, КЗС

48

27

36

43215

14

43213

432

211

ji

ji

ji

jjjji

ji

jjjji

jji

jji

4

3

2

1

8

7

6

5

4

3

2

1

1000

0010

0100

1111

0001

1111

1100

0011

j

j

j

j

i

i

i

i

i

i

i

i

T

fi B j

μ1 → ј1

μ2 → ј2

μ3 → ј3

μ4 → ј4

Контурне струје : ј1, ј2, ј3 , ј4

Теорија електричних кола 2015tek.etf.rs/TeorijaEKola01_Uvod_Vezbe.pdf ·...

Documents

Transcript of Теорија електричних кола 2015tek.etf.rs/TeorijaEKola01_Uvod_Vezbe.pdf ·...