クボタの水処理システム事業 - IGES...クボタの水処理システム事業クボタの水処理システム事業 2012.02 久保田環保科技(上海)有限公司
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信号処理システム特論
20150514
本日の内容
○ (固定係数)ディジタルフィルタ
‐Z領域表現と周波数特性
○ フィルタの構成法
○ フィルタの分類
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•Z 変換 – 離散的な時系列の特性を解析する手法の一つ
– は離散時間信号
∑∞
−∞=
−⋅=n
nznxzX )()(
)(nx})(...,),1(),0(),1(),...,({)( ∞−−∞= xxxxxnx ←実数
↑ 複素数
は1サンプル時間遅れを表す演算子 1−z
∫ ⋅= −c
n dzzzXj
nx 1)(21)(π
準備)Z変換
mサンプルの時間遅れ : 時間領域での畳み込み演算 = Z領域での積演算
)()()()()()( zHzXzYnhnxny ⋅=⇔∗=
mzzXmnx −⇔− )()(
Z変換と逆Z変換の定義
Z変換の性質
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ディジタルフィルタの概要
フィルタ: 様々な信号の中から,所望の信号を取り出すもの 用途:雑音除去,信号の帯域制限など 構成要素:加算器,乗算器,遅延器
ディジタル フィルタ x(n) y(n)
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ディジタルフィルタの構成
IIRディジタルフィルタの直接型構成
∑∑==
−−−=N
ll
M
ii lnybinxany
10)()()(
a x(n)
(a) 乗算器 y(n) = a x(n)
y(n) z –1 x(n)
(c) 遅延器 y(n) = x(n–1)
y(n)
入出力差分方程式
フィルタの構成要素
:, li ba フィルタ係数 (ここでは実数と仮定する)
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伝達関数と周波数特性(1)
( )( )
( )
( )
( )
( )∏
∏
∏
∏
∑
∑
=
=
=
−
=
−
=
−
=
−
−
−=
−
−=
+== N
ll
j
M
ii
j
N
l
jl
M
i
ji
N
l
jll
M
i
jii
j
jj
e
eC
e
eC
eb
ea
eBeAeH
1
1
1
1
1
0
1
1
1)(
β
α
β
α
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ωω
∑∑==
−−−=N
ll
M
ii lnybinxany
10)()()(
( )
( )
( )
( )∏
∏
∏
∏
∑
∑
=
=−−
=
−
=
−
=
−
=
−
−
−=
−
−=
+== N
ll
M
ii
MNN
ll
M
ii
N
l
ll
M
i
ii
z
zzC
z
zC
zb
za
zBzAzH
1
1)(
1
1
1
1
1
0
1
1
1)()()(
β
α
β
α
差分方程式
伝達関数
周波数特性
:iα 零点, :lβ 極, :C 定数
Z変換
Tjez ω=1/1 == fsT(ただし,ここでは を仮定)
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伝達関数と周波数特性(2)
( ){ } ( ) ∑∑==
−+−−==M
ii
M
ii
j NMeH11
arg)( ψφωωθ ω
+−−=
∑
∑
∑
∑
=
−
=
−
=
−
=
−
N
l
jll
N
l
jll
M
i
jii
M
i
jii
eb
elb
ea
eia
1
1
0
0
1Re)(
ω
ω
ω
ω
ωτ
振幅特性
位相特性
群遅延特性
( )( )
( )
( )
( )
( )∏
∏
∏
∏
∑
∑
=
=
=
−
=
−
=
−
=
−
−
−=
−
−=
+== N
ll
j
M
ii
j
N
l
jl
M
i
ji
N
l
jll
M
i
jii
j
jj
e
eC
e
eC
eb
ea
eBeAeH
1
1
1
1
1
0
1
1
1)(
β
α
β
α
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ωω
ijii
j eAe φω α =− ijii
j eBe ψω β =−ここで, と置くと,
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Z平面の意味
大きさは1
Tω
Tωcos
Tj ωsin
0
TjTez Tj ωωω sincos +==Z平面
1ωje
TωRe
Im
1 -1
j
の軌道
0=ω
2/πω =T
πω =T
2/πω −=T
πω −=T
fsfT /2πω =
Tjez ω=
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フィルタの周波数特性
Tje ω
TωRe
Im
( )0jeH
単位円上のH(z)の値が 周波数特性
( )2/πjeH
( )πjeH
( )2/πjeH −
( )πjeH −
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極・零点と周波数特性の関係
Re
Im
( )( )
( )
( )
( )
( )∏
∏
∏
∏
∑
∑
=
=−−
=
−
=
−
=
−
=
−
−
−=
−
−=
+== N
ll
j
M
ii
j
MNjN
l
jl
M
i
ji
N
l
jll
M
i
jii
j
jj
e
eeC
e
eC
eb
ea
eBeAeH
1
1)(
1
1
1
0
1
1
1)(
β
α
β
α
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ωω
周波数特性
○×
○:零点,×:極
×
ijii
j eAe φω α =−lj
llj eBe ψω β =−
1α
2α
1β
2β∏
∏
=
== N
ll
M
ii
j
B
ACeH
1
1)( ω
○
1φ
2φ
1ψ
2ψ
1A
2A2B
1B
( ) ∑∑==
−=N
ll
M
ii
11ψφωθ
振幅:各極・零点と単位円までの距離の比
位相:偏角の総和
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極 : 分母=0の解 ⇒ H(z)の山
零点: 分子=0の解 ⇒ H(z)の谷
1
○
×
○
零点 極
f→
対数振幅特性
)( ωjezH =
極と零点の意味
•極の配置とシステムの安定性
– 極の位置が単位円内 ⇒ システムは安定
単位円外 ⇒ システムは不安定
– 極が単位円に接近 ⇒ 周波数特性上に強いピーク
×
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分母1次のIIRフィルタ(単一極フィルタ)の例
Y(z) X(z) )1(
11
1−− zβ
)()1(
1)( 11
zXz
zY −−=
β)()()1( 1
1 zXzYz =− −β
)()()( 11 zYzzXzY −+= β )1()()( 1 −+= nynxny β
フィードバック信号は 倍(極倍)される ⇒ だと発散する
(振動する場合もある) 1β
y(n) x(n) +
1β 1−z
1|| 1 ≥β
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フィルタの安定判別法
)1()1()()( 110 −−−+= nybnxanxany
)2()1()2()1()()(
21
210
−−−−−+−+=
nybnybnxanxanxany
∑∑==
−−−=N
ll
M
ii lnybinxany
10)()()(
1次のフィルタ 2次のフィルタ
3次以上のフィルタでは?
1|| 1 <b1
-1 2 -2
(安定三角形)
1b
2b安定な係数の範囲 安定な係数の範囲
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N次フィルタの安定条件
( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )
112
21
1
1
0
11
0
112
11
112
11
1
1
1
1
111
1
111111
1
1)(
−−−−
=
=−
−
=
−−−
−−−
=
−
=
−
−++
−+
−+=
−+=
−−−−−−
=−
−=
∑
∑∑
∏
∏
zD
zD
zDzC
zDzC
zzzzzzC
z
zCzH
N
NiM
ii
N
l l
liM
ii
N
MN
ll
M
ii
βββ
β
βββααα
β
α
フィルタが安定である(発散や振動しない)条件は, 伝達関数H(z)のすべての極 の絶対値が を満たすこと
),...,2,1( Nll =β
Nll ,...2,1,1|| =<β
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フィルタの安定判別の必要性
X(z) H(z) X(z)
)(zH
X(z) H(z) X(z) )(
1)(zH
zG =
伝送路(ヘッドホン,スピーカー,室内,通信など)
元信号
伝送路の影響 を受けた信号
伝送路の影響を受けた信号H(z)X(z) 元の信号X(z)を復元したい
得られるのは この信号
G(z)は安定か? *安定でないフィルタは基本的には使い物にならない!
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フィルタの構成法
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0a
1a
2a
Ma
1b−
2b−
Mb−
)(nx )(ny 0a
1a
2a
Ma
1b−
2b−
Mb−
)(nx )(ny
)(nx )(ny01a
11a
21a
11b−
21b−
02a
12a
22a
12b−
22b−
Na0
Na1
Na2
Nb1−
Nb2−
IIRフィルタの代表的な構成法
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各種構成法の特徴
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係数語長の影響(1)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Frequency [Hz]
Mag
nitude R
esp
onse
[dB
]
フィルタ係数を6ビットで表現した際の振幅特性 黒:直接形(無限語長),青:バイクワッド従属形(6ビット) 赤:バイクワッド並列(6ビット), 黄緑:直接形(6ビット)
【設計仕様】 ・サンプリング周波数:1000Hz ・Low 通過域端周波数:200Hz ・High通過域端周波数:300Hz ・通過域リプル:1dB ・阻止域減衰量:40dB
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係数語長の影響(2)
66
55
44
33
22
11
66
55
44
33
22
110
1)( −−−−−−
−−−−−−
++++++++++++
=zbzbzbzbzbzb
zazazazazazaazH
223
113
223
11303
222
112
222
11202
221
111
221
11101
111)( −−
−−
−−
−−
−−
−−
++++
⋅++++
⋅++++
=zbzb
zbzaazbzb
zbzaazbzbzbzaazH
直接形構成では,ある係数の変化が, すべての極(あるいは零点)に影響 ⇒ 特性に影響
バイクワッド縦続形では,ある段の係数が変化しても,他の段の極(あるいは零点)には影響を与えない ⇒ 特性への影響が少ない
直接形
バイクワッド従属形
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信号処理システムにおける主な劣化要因
入力信号の量子化
係数値の 有限語長化
乗算結果の 丸め・切り捨て量子化
加算器の オーバフロー
雑音の発生
周波数特性の理論値から
の偏移
不安定化 (発振)
要因 劣化現象
*
*
*
*:IIRフィルタのみで発生
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フィルタの色々な分類
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FIRフィルタの場合 IIRフィルタの場合
インパルス応答が有限長で0に
収束
インパルス応答が無限に続く
)(nx )(ny-3 -2 -1 0 1 2 3 → n
≠=
=0001
)(nn
nx
フィルタ
インパルス応答によるフィルタの分類
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極・零点によるフィルタの分類
( )
( )∏
∏
=
−
=
−
−
−= N
ll
M
ii
z
zCzH
1
1
1
1
1
1)(
β
α
( )∏=
−−= N
ll z
CzH
1
11)(
β
( )∏=
−−=M
ii zCzH
1
11)( α
極・零フィルタ
全極フィルタ
全零フィルタ
極によるスペクトル表現 ピークの表現 ⇒共振系の表現に適合 音声生成のモデル AR(Auto Regressive)モデル
零点によるスペクトル表現 高次数で急峻な特性も実現可 MA(moving Average)モデル
極と零点によるスペクトル表現 極と零点を上手く使うことで 低次で急峻な特性を実現可
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極・零と周波数特性の関係(ノッチフィルタを例として)
サンプリング周波数:1000Hz ノッチ周波数:50Hz
0 100 200 300 400 500
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
周波数 (Hz)
振幅
(dB
)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1
-0.5
0
0.5
1
実部
虚部
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0 100 200 300 400 500
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
周波数 (Hz)
振幅
(dB
)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1
-0.5
0
0.5
1
実部
虚部 2
0 100 200 300 400 500
-10
-5
0
5
10
15
20
25
周波数 (Hz)
振幅
(dB
)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1
-0.5
0
0.5
1
実部
虚部 2
極・零と周波数特性の関係(ノッチフィルタを例として)
零点のみの特性 極のみの特性
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40 45 50 55 60-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
周波数 (Hz)
振幅
(dB
)
0 100 200 300 400 500
-25
-20
-15
-10
-5
0
周波数 (Hz)
振幅
(dB
)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1
-0.5
0
0.5
1
実部
虚部
極・零と周波数特性の関係(ノッチフィルタを例として)
極と零点を近づけると 急峻な特性を実現できる
![Page 27: 信号処理システム特論 - asplab.orgasplab.org/LECTURES/05_2015_M_ASP.pdf · 信号処理システム特論. 20150514 . 本日の内容 (固定係数)ディジタルフィルタ](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062223/5b22ab2c7f8b9adb628b4635/html5/thumbnails/27.jpg)
0 100 200 300 400 500-50
-40
-30
-20
-10
0
周波数 (Hz)
振幅
(dB
)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1
-0.5
0
0.5
1
実部
虚部
極・零と周波数特性の関係(Combフィルタを例として)
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振幅特性の形状(リプルの有無)による分類
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位相特性の種類による分類
直線位相(線形位相) FIRフィルタでのみ実現可,位相歪みなし 零点は,単位円に対して鏡像関係
近似的直線位相 直線位相フィルタよりも低遅延で同等の振幅特性を実現可。 位相歪みはわずか
最小位相 遅延時間は最小。遅延歪みは大 極・零点とも単位円内に存在 最小位相系 遅延時間は最小位相よりも大きい。遅延歪みは大 極・零点とも単位円内に存在
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FIR (Finite Impulse Response)
IIR (Infinite Impulse Response)
インパルス応答の継続時間
有限 無限
差分方程式
伝達関数
安定性 常に安定 注意が必要 直線位相 実現可能 困難
次数 高い次数が必要 比較的低い次数でOK
FIRフィルタ vs IIRフィルタの比較
∑=
−=M
ii inxany
0)()( ∑∑
==
−−−=N
ll
M
ii inybinxany
10)()()(
∑=
−=M
i
ii zazH
0)(
∑
∑
=
−
=
−
+= N
l
ll
M
i
ii
zb
zazH
1
0
1)(
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直線位相フィルタの例
0 100 200 300 400 500-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
周波数 (Hz)
振幅
(dB
)
0 100 200 300 400 50014.5
15
15.5
周波数 (Hz)
群遅
延 (
サン
プル
)
-2 -1 0 1 2
-1
-0.5
0
0.5
1
実部
虚部 30
0 5 10 15 20 25 30-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
n (sample)
振幅
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直線位相となる条件
インパルス応答が対象性をもつこと 対象となるパターンは以下の4つ
偶対象,M が偶数
偶対象,M が奇数
奇対象,M が偶数
奇対象,M が奇数
0a Ma0a Ma
0a Ma0a Ma
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直線位相のメリット(1)
位相歪みがない 線形位相
ローパスフィルタ
非線形位相 ローパスフィルタ
=
線形位相のフィルタでは,異なる周波数成分の信号もすべて同じ時間だけ遅れて出力される。 ⇒歪みなし 非線形位相のフィルタでは,各周波数成分によって遅れ時間が異なる ⇒歪みの原因
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直線位相のメリット(2)
ノイズリダクションAの回路(遅延器なし)
ノイズリダクションBの回路(遅延器あり)
ノイズリダクションAの出力
ノイズリダクションBの出力
システム間の同期が取りやすい
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直線位相のメリット:位相歪みを生じない。
データ伝送,画像処理,脳波計測等では重要!
直線位相が重要でない場合もある 電話などでは最小位相フィルタ ⇒ 遅延時間重視
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最小位相FIRフィルタの例
0 100 200 300 400 500
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
周波数 (Hz)
振幅
(dB
)
0 100 200 300 400 5000
5
10
15
20
周波数 (Hz)
群遅
延 (
サン
プル
)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1
-0.5
0
0.5
1
実部
虚部 50
サンプリング周波数:1000Hz 通過域端周波数:100Hz
0 10 20 30 40 50-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
n (sample)