辽宁省锦州市义县高级中学陈建山2011

—— 用向量法求二面角

一、 引例在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求二面角 C-BD-C1 的大小不用上面的方法，还有其他的方法求二面角吗？

设计意图： 在知识方面为新知学习做好铺垫。 在心理和情绪方面为新知学习做好铺垫。 起到了承上启下的作用。

二、回答引例

方法一 ： 用法向量的夹角求二面角的平面角。方法二 ： 用平面内垂直于棱的向量的夹角求二面角的平面角。

二、回答引例在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求二面角 C-BD-C1 的大小

D1 C1

B1A1

C

A B

D不用上面的方法，还有其他的方法求二面角吗？

设计意图： 增强学生的数学应用意识。 更利于一般步骤的说明。 学生板演，符合“以生为主”原则。 发挥例题的示范作用。

三、探 究 例 3 已知 ABCD为直角梯形， ∠ DAB=∠ ABC=90°, SA垂直平面ABCD， SA=AB=BC=1， AD=1/2，求平面 SAB与 SCD的夹角的正切。

设计意图： 灵活选择运用向量方法与综合方法。 认识到各种方法间的异同。 发挥主动性、创造性。 培养合作意识，交流能力。

A x

z

yC

S

D

B

定义法 射影面积法 向量法

四、探 究 例 1 如图，已知在一个二面角的棱上有两个点 A,B，线段AC,BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB,AB=4cm， AC=6cm， BD=8cm， CD=2cm，求这个二面角的度数。

A B

C

D

练习 A 组第 2 题在 90° 二面角的棱上有两个点A,B ，线段 AC,BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB,AB=5cm ， AC=3cm ， BD=8cm ，求 CD 长。

练习 A 组第 2 题变式：把 90° 改成 60°.教材的例 1

练习 A 组第 2 题变式

练习 A 组第 2 题

五、习题处理练习 A 3. 已知 A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3), 求三个坐标面与平面 ABC 夹角的余弦。

设计意图： 使学生熟练掌握求平面的法向量和通过向量运算求二面角的过程，培养书写的规范性，提高运算能力。

五、习题处理练习 B 2. △ABC 是边长为 1 的三角形， CD ⊥ 平面 ABC ，且 CD=1 ，求二面角 B-AD-C的大小（精确到 0.1 ° ）

设计意图： 使学生经历直观感知，观察发现，归纳类比，空间想象，推理证明等思维过程，提高思维能力。提高学生将前后知识进行整合，解决问题的综合能力。

五、习题处理习题 B 2. 如图， △ ABC 和△ DBC 所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD, ∠CBA= ∠CBD=120 °, 求二面角 A-BD-C 的大小。

设计意图： 通过小组讨论，合作探究的方式完成，这样即可实现掌握知识的目的，又可以培养合作意识，提高交流能力。

A

B C

D

新课程提倡：用教材教，而不是教教材。提倡：对现成的教材进行再加工。