Θέματα πανελληνίων 2011 και απαντήσεις στα Μαθηματικά...

www.mathschool-online.com


∆ιαδικτυακό Φροντιστήριο Μαθηµατικών

Πανελλήνιες εξετάσεις Γ΄ Τάξης Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου

και ΕΠΑΛ (Β΄ Οµάδας)

14 Μαίου 2011

Εξεταζόµενο µάθηµα

Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής

Αναλυτική παρουσίαση των απαντήσεων από το


Θέµατα και απαντήσεις

Θέµα Α

Α1. Για δυο ενδεχόµενα Α και Β του δειγµατικού χώρου

Ω να αποδειχθεί ότι :

P(A-B)=P(A)- P(A∩B)

Απάντηση

Θεωρώ τα ενδεχόµενα Α-Β και Α∩Β που είναι

ασυµβίβαστα δηλαδή

(A B) (A B)− ∩ ∩ =∅

A B−

Ω

B A

http://mathschool-online.pblogs.gr




Γνωρίζω ότι για δύο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα ισχύει

P((A B) (A B)) P(A B) P(A B) (I)− ∪ ∩ = − + ∩

Όµως

(A B) (A B) A− ∪ ∩ =

Εποµένως η (Ι) γίνεται

P(A) P(A B) P(A B)= − + ∩

Άρα

P(A B) P(A) P(A B)− = − ∩

Α2. Πότε δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω

λέγονται ασυµβίβαστα;

Απάντηση

∆ύο ενδεχόµενα Α και Β του δειγµατικού χώρου Ω

λέγονται ασυµβίβαστα

όταν

A B−

Ω

B A



δεν µπορούν να πραγµατοποιηθούν συγχρόνως, αφού

δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο.

Στην περίπτωση αυτή

A B∩ =∅

Α3. Τι εκφράζει η σχετική συχνότητα fi µιας

παρατήρησης xi ενός δείγµατος ;

Aπάντηση

Η σχετική συχνότητα εκφράζει το πηλίκο της

συχνότητας νi δηλαδή του φυσικού αριθµού που δείχνει

πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή

ix

της εξεταζόµενης µεταβλητής Χ στο σύνολο των

παρατηρήσεων προς το µέγεθος ν του δείγµατος

∆ηλαδή

iif , i 1, 2,...,

ν= = κν

A BI = ∅

5

3 1

6

4

2

Ω

B A



∆ηλαδή εκφράζει το ποσοστό εµφάνισης της µεταβλητής

xi

Α4. α) Η διακύµανση εκφράζεται στις ίδιες µονάδες

µέτρησης µε τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις.

Λάθος

Το σωστό είναι ότι :

Μονάδα µέτρηση της διακύµανσης είναι η µονάδα

µέτρησης που εκφράζονται οι παρατηρήσεις υψωµένη

στο τετράγωνο

β) Σε µια κανονική κατανοµή το εύρος ισούται περίπου

µε έξη φορές τη µέση τιµή ,δηλαδή R≅6

Λάθος


Tο εύρος ισούται περίπου µε έξι τυπικές αποκλίσεις,

δηλαδή sR 6≈

γ) Για την παράγωγο µιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει :

f(g(x))΄=f ΄(g(x))g΄(x)

Σωστό

δ) Πάντοτε ένα µεγαλύτερο δείγµα δίνει πιο αξιόπιστα

αποτελέσµατα από ένα µικρότερο δείγµα.

Λάθος




∆εν εξαρτάται µόνο από το µέγεθος του δείγµατος αλλά

από το αν το δείγµα είναι αντιπροσωπευτικό ή όχι.

ε) Ένα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής είναι οµοιογενές

αν ο συντελεστής µεταβλητότητας δεν ξεπερνά το 10%

Σωστό

Στο παραπάνω ερώτηµα Α4 δεν µας ζητούν να

αιτιολογήσουµε γιατί είναι λάθος οι προτάσεις.

Αυτό έγινε από το mathschool-online για να βοηθήσει

τους µαθητές να κατανοήσουν καλύτερα.

Θέµα Β

Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και µαύρες

σφαίρες. Παίρνουµε τυχαία µια σφαίρα. Η πιθανότητα

να είναι µαύρη είναι P(M)=1/4, η πιθανότητα να είναι

άσπρη είναι P(A)=4λ2 και η πιθανότητα να είναι κόκκινη

είναι P(K)=-5λ+7/4, όπου λ ∈ R. Αν για το πλήθος Ν(Ω)

των σφαιρών που υπάρχουν ισχύει 64< Ν(Ω)<72 τότε

Β1. Να δείξετε ότι Ν(Ω)=68

Β2. Να υπολογισθεί η τιµή του λ

Β3. Να βρείτε πόσες άσπρες, πόσες µαύρες και πόσες

κόκκινες σφαίρες υπάρχουν στο κουτί.

Β4. Παίρνουµε τυχαία µια σφαίρα. Να βρεθεί η

πιθανότητα αυτή να είναι άσπρη ή µαύρη.



Απάντηση

Β1. Γνωρίζω ότι σε ένα πείραµα η πιθανότητα εµφάνισης

του ενδεχοµένου Α είναι :

Πλήθος Ευνοϊκών Περιπτώσεων N(A)P( )

Πλήθος ∆υνατών Περιπτώσεων N( )Α = =

Ω

Εποµένως :

1 N(M) 1P(M) N( ) 4N(M) (Ι)

4 N( ) 4= → = → Ω =

Ω

Η σχέση

64< Ν(Ω)<72

λόγω της (Ι) γίνεται

64/4<4Ν(Μ)<72/4

16<Ν(Μ)<18

Όµως το Ν(Μ) εκφράζει το πλήθος τον ευνοϊκών

περιπτώσεων να είναι η σφαίρα που θα πάρω µαύρη.

∆ηλαδή είναι ένας φυσικός αριθµός.

Επιπλέον

16<Ν(Μ)<18

Εποµένως

Ν(Μ)=17

Άρα



Από την (Ι) έχω :

Ν(Ω)=4.17=68

Β2. Γνωρίζω ότι :

P(M)+P(A)+P(K)=1→

2

2

2

2

2

2 2

1 74 5 1

4 4

1 74 5 1 0

4 4

84 5 1 0

4

4 5 2 1 0

4 5 1 0

4, 5, 1

4 ( 5) 4.4.1

25 16 9 0, άρα έχω

δύο άνισες και πραγµατικές λύσεις

+ λ − λ + = →

λ − λ + + − =

λ − λ + − = →

λ − λ + − = →

λ − λ + =

α = β = − γ =

∆ = β − αγ = − −

∆ = − = >

1,2

1,2

2

( 5) 9

2.4

−β± ∆λ = →

α

− − ±λ = →



1,2

1

2

1

2

5 3

8

5 3

8

5 3

8

1

2 1

8 4

±λ = →

+ λ = →

− λ =

λ = λ = =

Β3. Για λ=1 η P(A)=4λ2 γίνεται :

P(A)=4 αδύνατη

διότι για κάθε ενδεχόµενο ενός δειγµατικού χώρου

ισχύει

0< P(A)<1

Εποµένως η τιµή λ=1 απορρίπτεται.

Για λ=1/4

έχω :

2 21 1P(A) 4 4( ) 4

4 16

1P(A)

4

= λ = = →

=



7 1 7P( ) 5 5

4 4 4

2 1P( ) P( )

4 2

Κ = − λ + = − + →

Κ = → Κ =

Έλεγχος

επαλήθευσης:

Πρέπει :

P(M)+P(A)+P(K)=1→

1 1 11

4 4 2

2 11

4 2

1 11

2 2

21 1 1

2

+ + = →

+ = →

+ = →

= → =

Εποµένως :

( )

( )

N( )P Α

N( )

N( ) P Α .N( )

1N( )

N( )

84

17

6

Α= →

Ω

Α = Ω →

Α =

Α =

→



( )

( )

N( )P Κ

N( )

N( ) P Κ .N( )

1N( ) 68

4

1N(

N( )

)

34

682

Κ= →

Ω

Κ = Ω →

Κ = →

Κ =

Κ =

→

Εποµένως :

Ν(Μ)=Ν(Α)=17 και Ν(Κ)=34

∆ηλαδή το κουτί περιέχει :

17 µαύρες σφαίρες , 17 άσπρες και 34 κόκκινες.

B5 . To ενδεχόµενο να είναι η σφαίρα άσπρη ή µαύρη

εκφράζεται συνολοθεωρητικά ως εξής :

A∪Μ

Όµως

Α∩Β=∅

∆ηλαδή τα ενδεχόµενα είναι ασυµβίβαστα

εποµένως ισχύει

P(A∪Μ)=P(A)+P(M)=1/4+1/4=2/4=1/2



Θέµα Γ

Οι πωλήσεις , σε χιλιάδες ευρώ , που έγιναν από τους

πωλητές µιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους

οµαδοποίηθηκαν σε πίνακα συχνοτήτων µε κλάσεις ίσου

πλάτους.Το αντίστοιχο πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων

fi % έχει διαδοχικές κορυφές τις

Α(8,0), Β(10,10), Γ(12,20), ∆(14,y∆), Ε(16,yΕ), Ζ(18,10),

Η(20,0)

Όπου y∆ και yΕ οι τεταγµένες των κορυφών ∆ και Ε του

πολυγώνου ΑΒΓ∆ΕΖΗ.

Γ1. Να υπολογισθούν οι τεταγµένες y∆ και yΕ των

κορυφών ∆ και Ε , αν επιπλέον γνωρίζουµε ότι η µέση

τιµή των πωλήσεων στη διάρκεια του έτους είναι 14200

ευρώ και το ευθύγραµµο τµήµα ∆Ε είναι παράλληλο

προς τον οριζόντιο άξονα.

Γ2. Να σχεδιαστεί το πολύγωνο των σχετικών

συχνοτήτων fi % .

Γ3. Να κατασκευασθεί ο πίνακας των σχετικών

συχνοτήτων fi % της κατανοµής των πωλήσεων που

έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια

ενός έτους.

Γ4. Η διεύθυνση της εταιρείας αποφάσισε τη χορήγηση

ενός επιπλέον εφάπαξ ποσού σε όσους πωλητές έχουν

κάνει ετήσιες πωλήσεις τουλάχιστον 15000 ευρώ.



Να υπολογισθεί το ποσοστό των πωλητών που θα

λάβουν αυτό το ποσό.

Γ5. Το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το

πολύγωνο συχνοτήτων της κατανοµής των πωλήσεων οι

οποίες έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη

διάρκεια ενός έτους και του οριζοντίου άξονα είναι 80.

Να βρείτε τον αριθµό των πωλητών που δικαιούνται το

εφάπαξ ποσό που αναφέρεται στο Γ4 ερώτηµα.

Απάντηση

Γ1. Γνωρίζω ότι :

Εάν στο ιστόγραµµα σχετικών συχνοτήτων %

θεωρήσουµε δυο ακόµη υποθετικές κλάσεις ,στην αρχή

και το τέλος, σχετικής συχνότητας % µηδέν, και στη

συνέχεια ενώσουµε τα µέσα των άνω βάσεων των

ορθογωνίων,δηλαδή τα σηµεία

( )i i x , f %

όπου xi η κεντρική τιµή της κλάσης i και fi % η

αντίστοιχη σχετική συχνότητά της % , τότε η γραµµή

που προκύπτει ονοµάζεται πολύγωνο σχετικών

συχνοτήτων %.

Εποµένως :

1.Τα σηµεία Α(8,0) και Η(20,0) δηλαδή η αρχή και το

πέρας του πολυγώνου σχτικών συχνοτήτων %



ΑΒΓ∆ΕΖΗ είναι τα σηµεία µηδενικής σχετικής

συχνότητας % των υποθετικών κλάσεων.

2. Οι τεταγµένες των σηµείων

Α(8,0), Β(10,10), Γ(12,20), ∆(14,y∆), Ε(16,yΕ),

Ζ(18,10), Η(20,0)

εκφράζουν τη σχετική συχνότητα % έκαστης κλάσης

ενώ οι τετµηµένες των σηµείων αυτών εκφράζουν τις

κεντρικές τιµές των αντίστοιχων κλάσεων.

Εποµένως µπορώ να σχηµατίσω τον ακόλουθο πίνακα

Κεντρικές τιµές των

κλάσεων :

xi

Σχετική συχνότητα %

fi %

8 0

10 10

12 20

14 y∆

16 yΕ

18 10

20 0

Σύνολο 100%




Παρατηρώ ότι οι κεντρικές τιµές των κλάσεων (εκτός

των δύο υποθετικών της αρχής και του τέλους) είναι 5.

Εποµένως και ο αριθµός των κλάσεων είναι 5. ∆ηλαδή

κ=5

Το εύρος του δείγµατος είναι

R=Μεγαλύτερη τιµή-µικρότερη τιµή

R=18-10=8

Εποµένως το πλάτος της κάθε κλάσης είναι

c=R/κ→c=8/5=1,6 ≅ 2

Εποµένως σχηµατίζω τον ακόλουθο πίνακα :

Κλάσεις Σχετική

συχνότητα %

fi %

[9,11) 10

[11,13) 20

[13,15) y∆

[15,17) yΕ

[17,19) 10

Σύνολο 100%




Eποµένως :

f1%+f2%+f3%+f4%+f5%=100%→

10%+20%+ y∆%+ yΕ%+10%=100%→

40%+ y∆%+ yΕ%=100% (I)

Όµως ∆Ε//xx΄

Αυτό σηµαίνει ότι οι τεταγµένες των σηµείων ∆ και Ε

είναι ίσες.

∆ηλαδή : y∆= yΕ

Εποµένως η (Ι) γίνεται :

40%+ 2y∆%=100% →2y∆%=100%-40%=60%→

y∆%=30%→ y∆=30

Άρα

yE = y∆=30

Β΄ τρόπος

Γνωρίζω ότι :

5 5i

i i i

i 1 i 1

x x x f= =

ν= =

ν∑ ∑

Όµως

x 14200 14, 2 ά ώ= = χιλι δες ευρ



Eποµένως :

5

i i

i 1

14, 2 x f=

= →∑

y y14, 2 10.0,1 12.0, 2 14 16 18.0,1

100 100

y y y y9 14 16 9 7 8

100 100 50 50

450 7y 8y (i)

∆ Ε

∆ Ε ∆ Ε

∆ Ε

= + + + + →

= + → = + →

= +

Όµως

y∆= yΕ

Εποµένως η (i) γίνεται :

450 7y 8y

450=15y

y 450 /15

y 30

∆ ∆

∆

∆

∆

= + →

→

= →

=

Άρα

y∆= yΕ=30

www.mathschool

www.mathschool

Κλάσεις

[9,11)

[11,13)

[13,15)

[15,1

[17,19)

Σύνολο

www



Γ2 . Γ3.

Κλάσεις Σχετική συχνότητα

fi %

[9,11) 10

[11,13) 20

[13,15) 30

[15,17) 30

[17,19) 10

Σύνολο 100%


Σχετική συχνότητα%



Γ4.

Από τον πίνακα σχετικών συχνοτήτων % παρατηρώ ότι

το ποσοστό των υπαλλήλων που έκανε ετήσιες πωλήσεις

τουλάχιστον 15 χιλιάδες ευρώ είναι :

30%+10%=40%

Β΄ τρόπος

(λιγότερο σύντοµος)

Ο πίνακας των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων %

εκφράζει το ποσοστό των πωλητών που αναλογεί σε

ορισµένο αριθµό πωλήσεων.

Εποµένως για να υπολογίσουµε το ποσοστό των

υπαλλήλων που έκανε ετήσιες πωλήσεις τουλάχιστον 15

Κλάσεις Σχετική συχνότητα%

fi %

[9,11) 10

[11,13) 20

[13,15) 30

[15,17) 30

[17,19) 10

Σύνολο 100%




χιλιάδες ευρώ αρκεί να κατασκευάσουµε το πίνακα

αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων %.

Από τον πίνακα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων %

παρατηρώ ότι το ποσοστό των υπαλλήλων που έκανε

ετήσιες πωλήσεις τουλάχιστον 15 χιλιάδες ευρώ είναι :

100%-60%=40%

Γ5. Επειδή οι κλάσεις είναι ίσου πλάτους το πλάτος

θεωρείται ως µονάδα µέτρησης στον οριζόντιο άξονα,

ενώ το ύψος κάθε ορθογωνίου είναι ίσο µε τη συχνότητα

της αντίστοιχης κλάσης.

Κλάσεις Σχετική


fi %

Αθροιστική

σχετική


Fi%

[9,11) 10 10

[11,13) 20 30

[13,15) 30 60

[15,17) 30 90

[17,19) 10 100

Σύνολο 100%




Εποµένως το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το

πολύγωνο συχνοτήτων της κατανοµής των πωλήσεων

και του οριζοντίου άξονα εκφράζει το σύνολο των

πωλητών οι οποίοι ειναι 80 .

Εποµένως :

ν=80

Ζητώ να βρω τον αριθµό των πωλητών που δικαιούνται

το εφάπαξ ποσό που αναφέρεται στο Γ4 ερώτηµα.

Εποµένως:

Στους 100 πωλητές δικαιούνται το εφάπαξ οι 40

Στους 80 πωλητές πόσοι το δικαιούνται x ;

100 40

80 x

100x 80.40

80.40x

100

x 8.4

x 32

= →

= →

= →

= →

=

Άρα το εφάπαξ δικαιούνται 32 πωλητές.

Θέµα ∆

∆ίνεται η συνάρτηση

( )21 11 2x x x

53 10f x e , x R

− += ∈



∆1. Να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία.

∆2. Αν Α,Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω

µε A B⊆ και P(A) , P(B) είναι οι θέσεις των τοπικών

ακροτάτων της συνάρτησης f , να υπολογισθούν οι

πιθανότητες

( ) ( ) ( ) ( )P A B ,P A B ,P A B ,P B A∩ − ∪ −

∆3. ∆ίνεται η συνάρτηση

( )

21 3x 1x x5 2 3

h x e , x R

− −

= ∈

α) Να λυθεί η εξίσωση

( ) ( )f x h x=

β) Αν x1 < x2 < x3 oι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και

νi=2xi+1, i=1,2,3 οι συχνότητες των παρατηρήσεων xi

Τότε να βρείτε τη µέση τιµή των παρατηρήσεων.

Απάντηση

∆1. ( )21 11 2x x x

53 10f x e

− +=

Θέτω

21 11 2 x x x3 10 5

κ = − +



Εποµένως :

( )f x eκ=

Άρα

( ) ( )f x e e .κ κ′′ ′= = κ

Υπολογίζω πρώτα τη παράγωγο του κ και έχω :

21 11 2 x x x

3 10 5

′ ′κ = − +

2

2 2

2

2 2

2

2

1 11 2 x x x

3 10 5

1 11 2 1 11 2x x x x x x

3 10 5 3 10 5

1 11 2 1 11x x x 2x

3 10 5 3 10

1 11 2 2 11x x x

3 30 15 3 30

3 1 2x 22 x

3 30 15

11 2x x

15 15

′ ′κ = − + →

′ ′ ′κ = − + + − + →

′κ = − + + − →

′κ = − + + − →

′κ = − + →

′κ = − +



Θέλω :

( )

( )

f x 0

e 0

e . = 0

e 0,αδύνατη, διότι το e 0, κάθε x R

= 0

κ

κ

κ

κ

′ = →

′ = →

′κ →

= > για ∈

′κ

Εποµένως πρέπει να λύσω την εξίσωση κ΄=0

2

2

= 0

11 2x x 0

15 15

15

15x 11x 2 0

′κ →

− + =

ΕΚΠ =

− + =

( )

2

2

2

15x 11x 2 0

15, 11, 2

4

11 4.15.2

121 129

1 0 έχει δύο άνισες

και πραγµατικές ρίζες

− + =

α = β = − γ =

∆ = β − αγ →

∆ = − − →

∆ = − →

∆ = >



Εποµένως :

1,2

1,2

1

2

x2

11 1x

30

10 1x

30 3

12 4 2x

30 10 5

−β± ∆= →

α±

= →

= = = = =

Το α=15 > 0 και η διακρίνουσα ∆ > 0

Εποµένως το τριώνυµο f ΄(x) =15x2-11x+2 είναι

οµόσηµο του α εκτός των ριζών του x1=1/3 και x2=2/5

και ετερόσηµο εντός των ριζών του.

∆ηλαδή :

x -∞ 1/3 1/3 2/5 2/5 +∞

f ΄(x) + - +

f(x) ↑ ↓ ↑




Εποµένως :

η f(x) είναι αύξουσα στο διάστηµα (-∞, 1/3)

η f(x) είναι φθίνουσα στο διάστηµα (1/3, 2/5)

η f(x) είναι αύξουσα στο διάστηµα (2/5, +∞)

∆2. Για τα ενδεχόµενα Α,Β του δειγµατικού χώρου Ω

ισχύει A B⊆

Εποµένως και :

P(A) < P(B)

όπου τα P(A) , P(B)

είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f

Άρα

P(A) =1/3 και P(B) =2/5

Εφόσον

A B⊆

Α∩ Β =Α (ii)

Και

( )P A B P(A) 1/ 3∩ = =

( )P A B P(A) P(A B)− = − I



Λόγω (ii)

( )P A B P(A) P(A) 0− = − =

Εφόσον

A B⊆

A∪ B=B

και

( )P A B P(B) 2 / 5∪ = =

( )P B A P(B) P(B A)

και λόγω της (ii) έχω

− = − I

( )( )

( )

( )

P B A P(B) P(A)

P B A 2 / 5 1/ 3

15

6 5P B A

15 15

1P B A

15

− = − →

− = −

ΕΚΠ =

− = − →

− =

∆3. α) ( ) ( )f x h x= →



22

22

22

22 1 3x 11 11 2 x xx x x

5 2 353 10

1 11 2 1 3x 1x x x x x

3 10 5 5 2 3

EK 15

11 2 3x 15x x x 3x x

10 5 2 3

11 2 3x 15x x x 3x x

10 5 2 3

e = e

− −− +

− + = − −

Π =

− + = − −

− + − − − =

22

22

22

22

2 2

2 2

0

11 2 3x 1x 5 x x 3 x 0

10 5 2 3

11 2 3x 1x 0 ή 5 x x 3 x 0

10 5 2 3

11 2 3x 15 x x 3 x 0

10 5 2 3

11 2 3x 15x 5 x 5 3 3x 3 0

10 5 2 3

11 95x x 2 x 3x 1 0

2 2

9 115x x x 3x 3 0

2 2

EK

− + − − − = →

= − + − − − =

− + − − − =

− + − + + =

− + − + + =

− − + + =

2Π =



2 2

2

2

10x 9x 11x 6x 6 0

x 5x 6 0

1, 5, 6

4 25 24 1 0

το τριώνυµο έχει δύο άνισες και

πραγµατικές ρίζες

− − + + =

− + =

α = β = − γ =

∆ = β − αγ = − = >

2,3

2,3

3

2

x2

5 1x

2

x 3

x 2

−β± ∆= →

α±

= →

=

=

Εποµένως οι ρίζες της εξίσωσης

( ) ( )f x h x=

Είναι οι :

x1=0, x2=2 , x3=3

Β) νi = 2xi+1, i=1,2,3 είναι οι συχνότητες των

παρατηρήσεων xi

Eποµένως :

ν1=2.0+1=1



ν2=2.2+1=5

ν3=2.3+1=7

Άρα

1 1 2 2 3 3x x xx

13

0 10 21x

13

31x 2,3846

13

ν + ν + ν= →

+ += →

= =

Καλή Ανάγνωση !



Θέματα πανελληνίων 2011 και απαντήσεις στα Μαθηματικά...

Education

Transcript of Θέματα πανελληνίων 2011 και απαντήσεις στα Μαθηματικά...