基于探究的立体几何考查研究

莆田六中 林金沂

2010 年 4 月 3 日

　　 1949 年教科书编审委员会成立，1954 年拟订教学大纲，并开始编写新的教材； 1966 年部分学科的教科书停用，之后使用上海版“暂用教材”，北京版“试用教材”； 1978 年出版各科教材，随后几经修改，从“一纲一本”向“一纲多本”变革，到 1997 年高中实验教材出版 , 并于 2000 年陆续在全国推广， 2004 年秋季课程标准（实验）开始试验、推广 .

　　从 1949 年起，高考经历了单独招生、联合招生、统一招生、废除高考到 77 年恢复高考（ 27 万人，录取率 4.7% ），随后定向生，自费生，到 1999 年高校扩招，到 2009 年招生规模突破 600 万．　　高考命题也经历了高校自主命题、统一招生、分省命题、自主招生，…．

　　高考数学科试卷的命制，也经历了以考查知识为主，到能力立意，关注交汇、关注探究、重视数学的应用与创新意识（过程与方法）等一系列的发展和变化．随着课程改革的深入，福建省高考数学科命题研究课题组做了大量有益的研究，并在近几年福建省课题成果及高考数学试卷中充分展示 .

立体几何

传统几何法与向量法试题

1984 年全国卷 • 理四 已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行．

1993 年全国卷 • 理 26 已知：平面 α∩ 平面 β= 直线 a ．α ， β 同垂直于平面 γ ，又同平行于直线 b ．求证： ( )Ⅰ a⊥γ ； ( )Ⅱ b⊥γ ．

2000 年全国（新课程）卷 • 理 18甲 如图，直三棱柱 ABC － A1B1

C1 的底面 ΔABC 中， AC=BC=1 ，∠ ACB=900 ，棱 AA1=2 ， M 、 N分别是 A1B1 、 A1A 的中点．（ I ）求 BN 的长；（ II ）求 cos ；（ III ）求证 A1B C⊥ 1M ．

1 1,BA CB ����������������������������

2000 年全国（新课程）卷 • 理 18 乙 如图，已知平行六面体 ABCD － A1

B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形，且∠ BCC1= C∠ 1CD= BCD=60∠ 0 ．( )Ⅰ 证明： C1C BD⊥ ；( )Ⅱ 假定 CD=2 ， CC1=3/2 ，求二面角 C － BD － C1 的平面角的余弦值； ( )Ⅲ 当 CD ： CC1 的值为多少时，能使 A1C⊥平面 BC1D ？请给出证明．

A

BC

D

O

E

2006 年福建卷 • 理 18如图，四面体 ABCD 中， O 、 E 分别是 BD 、 BC 的中点， AC=BC=CD=BD= (I) 求证： AO⊥平面 BCD ；(II) 求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；(III) 求点 E 到平面 ACD 的距离．

2.

2009 年福建卷 • 理 17如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，DM⊥平面 ABCD ， BN⊥平面 ABCD ，且MD=NB=1 ， E 为 BC 的中点．( )Ⅰ 求异面直线 NE 与 AM 所成角余弦值；( )Ⅱ 在线段 AN 上是否存在点 S ，使得 ES⊥平面 AMN ？若存在，求线段 AS 的长；若不存在，请说明理由．

高考试卷

数学创新型试题与探究性试题

1996 年全国卷 • 理 22 如图，在正三棱柱 ABC － A1B1C1

中， E∈BB1 ，截面 A1EC⊥侧面 AC1 ．( )Ⅰ 求证： BE=EB1;( )Ⅱ 若 AA1=A1B1; 求平面 A1EC 与平面 A1B1C1

所成二面角 ( 锐角 ) 的度数．注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为 (Ⅰ)的完整证明，并解答 (Ⅱ)．

( )Ⅰ 证明：在截面 A1EC内，过 E作 EG⊥A1C ， G 是垂足． ①∵ _______________________________∴EG⊥侧面 AC1; 取 AC 的中点 F ，连结 BF ， FG ，由 AB=BC 得 BF⊥AC ，

②∵ ______________________________∴BF⊥侧面 AC1; 得 BF∥EG ， BF 、 EG确定一个平面，交侧面 AC1 于 FG ．

③∵ ______________________________ ∴BE∥FG ，四边形 BEGF 是平行四边形， BE=FG ，

④∵ ______________________________ ∴FG∥AA1 ，△ AA1C∽△FGC ，

⑤∵ ______________________________ FG=AA∴ 1/2=BB1

/2 ，即 BE=BB1/2 ，故 BE=EB1 ．

　　 1996年立体几何试题设问方式的改革，对数学语言的阅读理解提出了更高的要求．九十年代的高考数学试题：　　在呈现方法上，出现了折叠、投影、截面、三视图等多种方式；　　在知识的交汇上，出现了与轨迹、函数等知识综合的试题；　　在设问方式上，出现了探究性、开放性的试题．　　到 21世纪，特别是高中数学课程标准的实施，赋于高考数学试题新的活力 .

1997 年全国卷 • 理 19　　已知 m ， l 是直线， α 、 β 是平面，给出下列命题：①若 l 垂直于 α内的两相交直线，则 l

α⊥ ；②若 l 平行于 α ，则 l 平行于 α内所有直线；③若 mα ， l β ，且 l

m⊥ ，则 α β⊥ ；④若 l β ，且 l α⊥ ，则 α β⊥ ；⑤若 mα ， l β ，且 α β∥ ，则m∥l ．其中正确的命题的序号是 _______ ．

1998 年全国卷 • 理 18　　如图，在直四棱柱 A1B1C1D1 － ABCD中，当底面四边形 ABCD 满足条件 _____时，有 A1 C⊥B1D1 ．

1999 年全国卷 • 理 18 α 、 β 是两个不同的平面， m 、n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线，给出四个论断：①m n⊥ ；②α β⊥ ；③ n β⊥ ；④m α⊥ ．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： _______________ ．

2009 年福建卷 • 文 5如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 1/2 ．则该几何体的俯视图可以是

2005 年上海卷 • 理 11 ． 有两个相同的直三棱柱，高为 2/a ，底面三角形的三边长分别为 3a 、 4a 、5a(a>0) ．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的一个是四棱柱，则 a 的取值范围是 ____ ．

5a

3a4a

2009 年省质检 • 理 18 ． 四棱锥 P － ABCD 的底面与四个侧面的形状和大小如图所示． （Ⅰ）写出四棱锥 P － ABCD 中四对线面垂直关系（不要求证明）； （Ⅱ）、（Ⅲ）略．

2002 年高考全国卷 • 文 22 ．(I) 给出两块相同的正三角形纸片 ( 如图 1 ，图 2) ，要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图 1 、图 2 中，并作简要说明； (II) 试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；(III) 如果给出的是一块任意三角形的纸片 ( 如图 3) ，要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等。请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图 3 中，并作简要说明。

如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，DM⊥平面 ABCD ， BN⊥平面 ABCD ，且MD=NB=1 ， E 为 BC 的中点．( )Ⅰ 求异面直线 NE 与 AM 所成角余弦值；( )Ⅱ 在线段 AN 上是否存在点 S ，使得 ES⊥平面 AMN ？若存在，求线段 AS 的长；若不存在，请说明理由．

　 在研究某空间几何体的三视图时，发现该几何体上有两个动点 P ， Q在正视图和俯视图中的射影长恒为 3和 4 ，下列关于线段 PQ 长的取值范围的判定中，正确的是 ( )A ． |PQ| (0,4] B∈ ． |PQ| (0,5]∈C ． |PQ| [4,5] D∈ ． |PQ| [4,5 ∈ ]

2

　 试题的母题： 2008 年海南与宁夏卷•理 12 ．　　某几何体的一条棱长为　 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b的线段，则 a+b 的最大值为（ ） A ． B ． C ． 4 D ．

7

6

2 2 2 32 5

n

m

k

　　考察极端的情况：当 PQ与侧视图对应的平面平行时， |PQ|长取到最大值 5；当 |PQ|与正视图对应的平面平行时， |PQ|=3 ，与 PQ在俯视图中的射影长为 4矛盾；当 PQ与俯视图对应的平面平行时， |PQ|=4 ，据此判定 B正确．

P

Q

P1

Q1

P2

Q2

P3

Q3

3

4

　　应用长方体模型计算判定：设PQ 在侧视图中的射影长为 x ，在三个视图中按“长宽高”构造 Rt△，并记长宽高依次为 a ， b ， c ．　　则 a2+c2=9 ，①　　且 a2+b2=16 ，　　所以 |PQ|2=a2+b2+c2=16+c2 ．　　由①得 0≤c2≤9 ，　　所以 4 ≤ |PQ| ≤5 ．

　　高中数学新课程中“立体几何”部分新增加了一些内容：平行投影、中心投影，三视图等，这些内容与义务教育阶段“空间与图形”中的“视图与投影”紧密衔接，突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索研究几何的过程．

　　此类试题的背景比较新颖，需要实际操作和巧妙设计，能根据题目的条件和结论进行观察、分析、探索、决策，是一种解题策略开放与发散的题型．

谢　谢