Логика 2-е изд. УП - TPU€¦ · Логика – это наука о...

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Н.М. Панькова

ЛОГИКА

Рекомендовано в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом

Томского политехнического университета

2-е издание, переработанное и дополненное

Издательство Томского политехнического университета

2009

Панькова Н.М. «Логика». Учебное пособие. 2011 г

2

УДК 16(075.8) ББК Ю4я73

П168

П168

Панькова Н.М. Логика: учебное пособие / Н.М. Панькова. – 2-е изд., пере-

раб. и доп. – Томск: Изд-во Томского политехнического универси-тета, 2009. – 88 с.

В данном учебном пособии подробно и в доступной форме рас-

крываются основные понятия и категории логики. После каждой темы приведены вопросы и задания. Автор опирается на учебники и учебные пособия, которые уже рекомендованы для преподавания в высшей шко-ле, и в то же время использует материалы других научных источников.

Пособие подготовлено на кафедре философии и предназначено для студентов ИДО, обучающихся по направлению 031600 «Реклама и связи с общественностью».

УДК 16(075.8) ББК Ю4я73

Рецензенты

Доктор философских наук, профессор кафедры философии ТПУ

А.А. Корниенко

Кандидат философских наук, Доцент кафедры философии СибГМУ

К.А. Семенюк

© Панькова Н.М., 2009 © Томский политехнический университет, 2009


3

ВВЕДЕНИЕ

В соответствии с учебным планом студенты Института дистанци-онного обучения ТПУ изучают курс «Логика».

На данную дисциплину выделяется 108 часов, из них лекции – 72 часа, семинарские занятия – 36 часов. Самостоятельная внеаудитор-ная работа составляет 36 часов. Общая трудоемкость по данному курсу составляет 144 часа.

Изучение дисциплины оканчивается экзаменом во втором семестре. Требования к знаниям и умениям по дисциплине «Логика» Обучающийся должен: • иметь представление о предмете науки логики; • знать основные законы логики и уметь их использовать; • знать и уметь применять правила и язык логики высказываний

к естественному языку, уметь анализировать выражения естественного языка при помощи приемов, предлагаемых логикой;

Для получения соответствующей оценки по курсу «Логика» сту-денту необходимо:

1) выполнить и представить в центр дистанционного образования домашнюю контрольную работу (реферат или тест);

2) в период сессии пройти устное экзаменационное собеседование.


4

Тема 1

ПРЕДМЕТ НАУКИ ЛОГИКИ

1.1. История возникновения логики

Формальная логика – одна из древнейших наук. Отдельные моменты логической науки начинают разрабатываться с VI в. до н. э. в Древней Греции и Индии. Индийская логическая традиция распространилась позд-нее в Китае, Японии, Тибете, Монголии, на Цейлоне и в Индонезии, а греческая – в Западной и Восточной Европе и на Ближнем Востоке.

Первоначально логика разрабатывалась в связи с потребностями ораторского искусства, то есть как часть риторики. Выдающиеся орато-ры пользовались большим уважением. Иногда при определении победи-теля дискуссии мнения присутствующих разделялись. Одни считали победителем одного из споривших, другие – другого. Это показало всю необходимость разработки правил логики, которые бы позволили избе-гать подобных разногласий и приходить к единому мнению. Другим стимулом развития логики были запросы математики.

В Древней Греции проблемы логики исследовали такие философы, как Демокрит, Сократ, Платон. Однако основателем науки логики по праву называют ученика Платона – Аристотеля (IV в. до н. э.), который впервые обстоятельно систематизировал логические формы и правила мышления. Он написал ряд сочинений по логике, которые были впослед-ствии объединены под общим названием «Органон» – 4 трактата.

Логика, основанная на учении Аристотеля, существовала до начала XX в. Она носит название традиционной формальной логики.

В конце XIX – нач. XX в. в науке произошла своеобразная револю-ция, связанная с широким применением методов так называемой симво-лической, или математической, логики. Начался так называемый этап новых открытий и фундаментальных исследований. Идея Г.-В. Лейбни-ца (1646–1716 гг.) о возможности и продуктивности сведения рассужде-ний к вычислениям в течение многих лет не находила развития и при-менения, но в начале нашего столетия заняла важное место в науке. Но-вый этап в логике связан с именами Г. Фреге, Б. Рассела и А. Уайтхеда.

Логика отделяется от философии и в этом качестве занимается формальным анализом мышления и его языков.

Итак, применение методов символической логики к решению про-блем, поставленных традиционной логикой, а также проблем, которые даже не могли быть ею поставлены, вызвало в начале XX в. революцию в логике. Именно использование методов символической логики отли-


5

чает логику современную от традиционной. Вместе с тем в современной логике сохраняются все достижения и вся проблематика традиционной логики.

1.2. Логика как наука о рассуждении

Предмет и функции логического знания Название науки «Логика» происходит от древнегреческого «логос» –

слова, означающего мысль. В буквальном переводе «логика» – это наука о мышлении. Но даже в обыденных разговорах, произнося слово «логика», мы имеем в виду не мышление вообще, а мышление правильное («ты рассуждаешь логично», «твои выводы нелогичны» и т. д.). Поэтому логи-ку зачастую определяют как науку о правильном мышлении.

Но и это определение логики не вполне точно раскрывает суть про-блем, составляющих предмет логического знания. Дело в том, что лю-бая наша мысль имеет определенное содержание, так как в ней содер-жится отражение действительности и различных ее фрагментов. В зависимости от того, верно ли действительность отражена в мысли, ее будут считать либо содержательно правильной (истинной), либо содер-жательно неправильной (ложной, заблуждением). Любой школьник скажет нам, что утверждение «Волга впадает в Каспийское море» явля-ется правильным, а утверждение «Зимой в Сибири жарко» неправиль-ным, имея в виду как раз содержательный аспект правильности мышле-ния (соответствие или несоответствие мыслей действительности). Оп-ределение содержательной правильности мыслей находится в компе-тенции нашего житейского опыта и системы различных наук, которые с помощью специфических средств проверяют истинность различных предположений, непосредственно не выводимых из данных органов чувств.

Логика к проблеме содержательной правильности равнодушна. По большому счету, содержание наших мыслей ее не интересует со-всем. В центре ее внимания их строение, структура, способы связи ме-жду содержательными компонентами мысли или между разными мыс-лями в процессе наших рассуждений о действительности. Эти специфи-ческие, постоянно проявляющиеся в мышлении, независимо от его со-держания, способы построения наших мыслей называются логически-ми формами. Соответственно подход к мышлению, в котором делается акцент не на содержании, а на строении мыслей, называется формаль-ным подходом. В рамках данного подхода правильность или непра-вильность мысли будет определяться уже не тем, верно ли она отражает действительность, а тем – соответствует ли ее построение законам той логической формы, в которой она находится.


6

Например, с формальной точки зрения, утверждения «Волга впада-ет в Каспийское море» и «Волга впадает в Японское море» будут пра-вильными, поскольку оба они построены с учетом законов простого ре-лятивного суждения, с которыми нам еще предстоит познакомиться. Тот факт, что второе утверждение является содержательно ложным, не-возможно установить с помощью формального анализа, поскольку его предмет ограничивается только структурой мысли, без проникновения в ее конкретное содержание. Иное дело – утверждение «Волга впадает». Его построение нарушает законы простого релятивного суждения, что однозначно позволяет оценить его как формально неправильное.

Различение содержательного и формального аспектов мышления, его содержательной и формальной правильности подводит нас к пони-манию того, чем занимается наука логика. Ее предмет – не мышление вообще, а формальная сторона мышления. Ее задача – исследование ло-гических форм, которые в отличие от бесконечного разнообразия из-менчивого содержания наших мыслей неизменны и количественно ог-раничены.

Логика – это наука о формально правильном мышлении, о за-конах построения и преобразования логических форм, в которых протекает наше мышление вне зависимости от его содержания.

Возможность использования логического знания в анализе любых человеческих мыслей обусловлена универсальностью логических форм, таких как понятие, суждение, умозаключение, доказательство, опровер-жение. Они являются основой, базой наших рассуждений, будь то рас-суждения о житейских вещах или о сложных научных проблемах.

Так, например, научное познание дифференцировано на множество конкретных наук, каждая из которых имеет свой предмет, свои задачи, свои методы, свои проблемы. Однако заметим, что в основе дифферен-циации научного знания лежит его содержательное разнообразие. Что же касается форм научного мышления, то они у всех наук одни и те же: любая наука оперирует понятиями, высказывает суждения, умозаклю-чает, доказывает, опровергает. Поэтому логическая теория, раскрываю-щая законы формально-правильного мышления, в любой науке может быть использована как инструмент методологического осмысления – для определения степени соответствия научных рассуждений логиче-ским требованиям.

Конечно, говоря о функциях логики, не следует абсолютизировать ее возможности. Вряд ли, например, можно согласиться с мнением ве-ликого математика ХХ в. Д. Гильберта, который видел в логике «науку наук», научающую человека мышлению, или, тем более, с утверждени-ем одного из создателей математической логики Г. Фреге о том, что ло-


7

гика является источником человеческой разумности, превратившим вульгарного «homo» в «homo sapiens».

Преувеличенность подобных возвышенных определений логики очевидна. Простой пример: предположим, мы знаем, что вчера было воскресенье и что следующий день после воскресенья – понедельник. Согласно логической теории, мы можем с уверенностью утверждать, что сегодня – понедельник. Но, допустим, мы никогда не изучали логи-ческую теорию. Сможем ли на основе имеющихся у нас знаний сказать с уверенностью, какой сегодня день? Безусловно, сможем, поскольку подобные умозаключения мы делаем сотни раз на дню, не задумываясь ни о логической теории, ни о логических законах.

Герой одной из пьес Ж.-Б. Мольера был весьма удивлен, когда профессора ему растолковали, что такое проза – ведь он, оказывается, всю жизнь говорил прозой, не зная, что это такое. Ситуация с логикой аналогична. Рассказывая нам о том, в каких логических формах проте-кает человеческое мышление, логика не способна научить нас мыслить, поскольку мы уже умеем это делать, опираясь на здравый смысл и сти-хийную логику, усвоенную еще в раннем детстве вместе с синтаксисом родного языка. И если бы наука логика с ее описаниями законов мыш-ления вдруг бы исчезла вместе со всеми воспоминаниями о ней, люди продолжали бы мыслить логически, даже не осознавая того, что они мыслят по логическим законам.

С другой стороны, тот факт, что логика не создает мыслительные способности человека, а лишь фиксирует законы строения мыслей че-ловека, уже умеющего мыслить, не означает, что логика является бес-полезной наукой. Такой точки зрения придерживался немецкий фило-соф ХIХ в. Г.-В. Гегель. Справедливо указывая на то, что мышление яв-ляется столь же естественным процессом, как ходьба, дыхание и пище-варение, он недоумевал, зачем людям надо учиться тому, что они и так умеют. Логика, полагал он, не может научить человека мышлению так же, как физиология не может научить его пищеварению. Уязвимость гегелевской позиции обнаружится, если мы зададим вопрос: а какова польза физиологии, которой Гегель уподоблял логику и которая не спо-собна научить наш желудок переваривать пищу? Очевидно, что польза от нее в том, что знание законов пищеварения дает возможность врачам диагностировать болезни пищеварительных органов и успешно лечить их. Но ведь это можно отнести и к логике. Мышление большинства лю-дей протекает на основе стихийной логики, не знающей логических за-конов, и, тем не менее, в основном соответствующей им. В то же время полного соответствия нашего мышления логическим требованиям сти-хийная логика обеспечить не может. Поэтому людей, владеющих только стихийной логикой, у которых мышление не дает сбои, значительно


8

меньше, чем людей со здоровыми желудками. И в ситуации, когда сти-хийная логика отклонилась от логических законов, только опираясь на логическое знание, мы сможем обнаружить ошибку и исправить ее.

Это касается не только наших, но и чужих рассуждений. Ведь очень часто именно наша неспособность заметить логические изъяны в речах наших собеседников позволяла им убеждать нас в том, в чем невозможно убедить при соблюдении элементарных логических зако-нов. Классический пример: логические фокусы софистов, представите-лей одной из древнегреческих философских школ, прославившихся, кстати, тем, что, незаметно нарушая логические нормы, они «доказыва-ли» своим согражданам недоказуемое. Один из самых известных со-физмов называется «Рогатый». «То, что ты еще не терял, – говорил со-фист своему собеседнику, – ты, конечно, имеешь и сегодня. Рога, наде-юсь, ты не терял. Значит, ты рогатый». Собеседнику, покоренному «ло-гичностью» приведенных доводов, оставалось ощупывать свою голову и удивляться отсутствию на ней рогов. Между тем, если бы обманутые софистами греки знали азы логической теории, то они легко бы обнару-жили в приведенном рассуждении вопиющее нарушение одного из ос-новных логических законов – закона тождества.

Весьма показательно, что расцвет популярности софистов прихо-дится на доаристотелевскую эпоху (V – нач. IV в. до н. э.). Благодаря трудам Аристотеля, заложившим основы логического знания, гипноз «логичности» софистических рассуждений развеялся, как туман.

Таким образом, не будучи способной научить нас мыслить и рас-суждать, наука логика может вооружить нас инструментом, с помощью которого мы без особого труда сумеем найти логические изъяны и в своих, и в чужих результатах мышления. Постоянное использование этого инструмента, безусловно, будет способствовать тому, что наши мысли со временем будут более точными, а рассуждения более после-довательными и доказательными.

Естественно, далеко не во всех жизненных ситуациях и сферах со-циальной деятельности точность, последовательность и доказательность имеют актуальность. Эти качества наших рассуждений едва ли понадо-бятся нам при объяснении в любви, поскольку возлюбленные ждут от нас не логичности, а искреннего выражения чувств. Не слишком востребова-ны эти качества в религии, где интуитивная вера в Бога всегда была бо-лее значима, чем самые изощренные доказательства и опровержения его существования. Отнюдь не логика удерживает нас в рамках нравственно-го поведения. Если у человека нет совести, то никто не сможет убедить его в том, что его нравственное самоограничение в его же интересах. Равнодушно к логике и искусство, в котором часто именно благодаря иг-


9

норированию логических законов создаются художественные образы, будоражащие наше воображение и эстетические чувства.

В то же время, есть ситуации и социальные сферы, в которых точ-ность, последовательность и доказательность насущно необходимы. К таким сферам относится, например, юриспруденция. Какую бы ее со-ставляющую мы не взяли, в любой из них только строгое следование логическим нормам может дать удовлетворительные результаты. Не-точно сформулированный закон будет обязательно истолкован так, что его применение приведет к последствиям, совершенно неожиданным для законодателя. Недостаточно обоснованное заключение следователя позволит преступнику избежать обвинительного судебного приговора. Путаная непоследовательная речь адвоката не защитит невиновного в преступлении. Поэтому не случайно, что со времен средневековья до наших дней подготовка юристов обязательно включала в качестве обя-зательного компонента знакомство с логической теорией.

Но не только юристы нуждаются в совершенствовании стихийно-логического мышления. Безукоризненно выверенная с логической точки зрения система рассуждений во все времена была отличительной чертой выдающихся политиков, педагогов, управленцев, словом всех, кто в си-лу специфики своей профессии постоянно должен убеждать других лю-дей в правоте своих позиций.

И, конечно же, испокон веков логическое знание было неотъемле-мой частью методологического инструментария ученого, в какой бы об-ласти научного познания он не проводил свои изыскания. Наука, как специфическая форма знаний, с самого начала своего существования претендовала на точность, последовательность и доказательность своих положений и потому не могла развиваться на основе только стихийной логики. Характерно, что многие из тех, кто закладывал фундамент нау-ки, а затем возводил ее здание (Аристотель, Декарт, Лейбниц, Рассел, Гильберт и др.) внесли серьезный вклад и в развитие логической теории.

Правда, в ХХ в. в методологии науки появились концепции, в ко-торых не только ставится под сомнение значение логики для ученого, но и высказывается мысль о том, что она является оковами, мешающи-ми свободному интуитивному поиску, который только и может привес-ти к научным открытиям.

Оценивая эту точку зрения, заметим, что ее сторонники, безуслов-но, правы в утверждении о том, что новые научные теории обязаны сво-им рождением интуитивным озарениям, а не логике, поскольку полу-чить их путем логического вывода из старого знания невозможно. Ду-мается, что данный факт не является достаточным основанием для от-рицания позитивного влияния логического знания на процесс научного творчества.


10

Во-первых, не участвуя в создании новых идей напрямую, логика, тем не менее, косвенно направляет и корректирует интуитивный поиск ученого. Новая идея – это скачок через логику, но не ее нарушение, по-скольку, будучи, как правило, не выводимой из старых теорий, она не должна противоречить им. Последнее обстоятельство позволяет учено-му, уважающему логические законы, уже в процессе интуитивного по-иска отбраковывать значительную часть гипотез, как не отвечающих требованию логической непротиворечивости. Не будь этого, наука за-хлебнулась бы в море идей, подсказанных интуицией, которая, к сожа-лению, не способна замечать логические изъяны своих продуктов.

Во-вторых, наука – это не только новые идеи, но и постоянная их систематизация. Поэтому новая идея, рожденная интуитивным озарени-ем, обязательно становится затем объектом логического анализа. Из нее извлекаются все возможные следствия, она сама и ее следствия приво-дятся в систему с уже имеющимся знанием. Без всего этого ни одна ги-потетическая идея не будет признана научным сообществом в качестве истинной научной теории. По остроумному замечанию Т. Куна «…ис-тинной идея становится только тогда, когда каждый осел может убе-диться в ее истинности с логическим комфортом»1.

Поскольку систематизация и логическая обработка результатов ис-следований составляют, по данным науковедения, около 80 % объема научной деятельности, постольку значение логики для науки трудно пе-реоценить. Конечно, в реальном творчестве конкретных ученых может преобладать либо интуитивное, либо логическое начала, но если рас-сматривать организм науки как единое целое, то только сочетание этих начал обеспечивает нормальное функционирование науки.

Итак, логику можно понимать как науку о мышлении. Но мышление как объект исследования имеет множество аспектов,

каждый из которых обладает достаточной самостоятельностью. Каждый из этих аспектов изучался сначала внутри философии, а затем оформил-ся в качестве предмета отдельной науки: психологии, физиологии, ло-гики и т. д.

За логикой остался рассужденческий аспект мышления. Как само мышление, так и результаты этого процесса являются не-

которыми идеальными сущностями, которые становятся доступными логическому исследованию только после их материализации в языке.

Таким образом, предметом науки логики является рассуждение, а сама она есть наука о рассуждениях. Задачей логики как науки является установление законов и правил, которым подчиняются рассуждения2.

1 Кун Т. Структура научных революций. – М.: Мысль, 1982. – С. 158. 2 В главе 1 использовался материал учебного пособия: Кирсанов О.И. Тради-

ционная логика. – Северск: СГТИ, 2004. – 207 с.


11

1.3. Феномен человеческого познания

Познание представляет собой отражение объективной реально-сти в сознании человека. По характеру отражения в процессе по-знания выделяются две ступени, которые тесно связаны между со-бой: чувственное познание (или эмпирическое) – 1-я ступень и рацио-нальное мышление (или абстрактное) – 2-я ступень.

Начинается познавательный процесс с отражения окружающего мира органами чувств, дающих непосредственное знание о действи-тельности. Осуществляя прямую связь с внешним миром, живое созер-цание является источником всех наших знаний о мире.

Чувственное (эмпирическое) познание протекает в трех основ-ных формах: ощущение, восприятие и представление.

Ощущение – это отражение отдельных, чувственно воспринимаемых свойств предметов материального мира: цвета, формы, запаха, вкуса.

Целостный образ предмета, возникающий в результате его непо-средственного воздействия на органы чувств, называется восприятием.

Более высокой формой чувственного познания является представ-ление. Представление – это сохранившийся в сознании чувственный образ предмета, который воспринимался раньше. Если восприятие воз-никает лишь в результате непосредственного воздействия предмета на органы чувств, то представление имеется тогда, когда такое воздействие уже отсутствует.

Представления могут быть не только образами предметов, сущест-вующих реально, часто они формируются на основе описания предме-тов, не существующих в действительности (Пегас, Кентавр, ведьмы, ан-гелы и т. д.). Такие представления образуются на основе ряда воспри-ятий, являются их комбинацией, объединением в одно целое образов нескольких предметов действительности.

Ощущение, восприятие и представление – формы чувственного познания. Но чувственное познание дает нам знание лишь о внешних свойствах предметов, об отдельных конкретных вещах. Такими знания-ми человек ограничиться не может, так как с помощью этих форм отра-жения невозможно познать внутренние, существенные стороны вещей и явлений, законы их функционирования и развития. Человек стремится к обобщению восприятий и представлений, к проникновению в сущ-ность вещей, к познанию их законов.

А это невозможно без абстрактного мышления, которое состав-ляет вторую ступень познания действительности (от лат. abstractio – от-влечение).

Абстракция – результат процесса абстрагирования, т. е. процесса отвлечения от свойств и связей объекта для выделения его общих или универсальных свойств в «чистом виде». Это один из механизмов по-


12

знавательного процесса. При помощи абстрактного мышления, т. е. пу-тем логической переработки чувственных данных, мы можем познавать то, чего не наблюдаем непосредственно.

Абстрактное мышление – оперирующее абстракциями, представ-ляет собой обобщенное отражение мира.

Мышление человека – продукт не только биологической эволю-ции, это одновременно и продукт общественного развития. В отличие от чувственного познания мышление отражает внешний мир в абстракци-ях. Отвлекаясь от конкретного в вещах и явлениях, от их индивидуаль-ных особенностей, абстрактное мышление способно обобщать множе-ство однородных предметов, выделять наиболее важные свойства.

Особенностью мышления является его неразрывная связь с языком. Язык – это средство формирования мыслей, в языке закрепляются ре-зультаты мышления, посредством языка происходит обмен мыслями между людьми.

Мышление является активной и целенаправленной деятельностью. В процессе мышления ставятся определенные цели и формируются за-дачи, для решения которых осуществляются мыслительные действия.

Все перечисленные особенности мышления обусловлены примене-нием определенных логических методов и приемов познания, отраже-нием мира в определенных логических формах.

Основными логическими формами, в которых выражаются мысли, являются: понятие, суждение, теория и т. д.

Основными формами, в которых происходит развитие знания, яв-ляются: умозаключение, проблема, гипотеза и т. д.

Контрольные вопросы

1. Как возникла логика и кто ее основатель? Назовите основные этапы формирования логики как науки.

2. В чем заключается феномен человеческого познания? Объясните на примере теории отражения.

3. Что является предметом науки логики? Какой аспект мышления является предметом логики как науки?

4. Как можно определить язык? Что называется искусственным языком, а что – естественным?


13

Тема 2

КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

2.1. Язык классической логики высказываний

Мы знаем, что в грамматике русского языка сложными считаются предложения, в которых два или более предложения связаны союзами. Из грамматики мы и возьмем идею союза. В логике сложные суждения составляются из простых при помощи логических союзов.

Для того чтобы выявить логическую форму некоторого языкового выражения необходимо перевести это выражение на некоторый форма-лизованный язык. Уровень выявления логической формы выражения зависит от выбранного формализованного языка, что обусловлено ле-жащей в основе языка системой семантических категорий.

Один из формализованных языков современной символической ло-гики – язык логики высказываний.

Итак, язык логики высказываний: А. Исходные символы (алфавит):

1. p, q, r, s, ... – пропозициональные переменные. 2. ⎤, &, \/, ⊃, ≡ – логические константы. 3. (,) – технические знаки (скобки).

Б. Определение формулы: 1. Пропозициональная переменная есть формула (атомарная). 2. Если А и В – формулы, то (А ≡ В), (А ⊃ В), (⎤ А), (А&B), (А\/B)

и (А\/ْB) – формулы. 3. Ничто иное не является формулой.

Элементарное высказывание – это такое высказывание, которое не содержит логических союзов.

Элементарным (простым) высказываниям естественного языка при переводе на язык логики высказываний соответствуют атомарные фор-мулы.

Сложным высказываниям соответствуют неатомарные формулы. Логическим союзам соответствуют логические константы: 1. Конъюнкция («и, а, но, да») – &. Например: Платон мне друг, но истина дороже.

p – Платон мне друг, q – истина дороже. Ответ: (p & q).

2. Дизъюнкция («или») – \/, строгая дизъюнкция («или…, или…», «либо…, либо…») – \º/.


14

Например: Утром я пью чай или кофе. p – утром я пью чай, q – утром я пью кофе. Ответ: (p \/ q).

Например: 1. Быть или не быть – вот в чем вопрос! p – быть – вот в чем вопрос, q – не быть – вот в чем вопрос. Ответ: (p \º/ q). 2. Либо я найду путь, либо проложу его! p – я найду путь, q – я проложу путь. Ответ: (p \º/ q).

(Следует указать на то, что строгая дизъюнкция не предполагает равноценного существования двух вариантов, необходимо следует сде-лать выбор.)

3. Импликация («если..., то...») – ⊃. Например: Когда вода в море остывает, к берегу приплывают ме-

дузы. p – вода в море остывает, q – к берегу приплывают медузы. Ответ: (p ⊃ q).

При этом следует четко фиксировать свое внимание на причинно-следственной связи, которую выражает импликация. Выражение, отра-жающее причину, называется антецедент, а следствие – консеквент. В языке классической логики высказываний (ЯКЛВ) антецедент всегда стоит слева от знака импликации, а консеквент – справа. В предложении естественного языка консеквент может оказаться на первом месте.

Давайте попробуем подробнее рассмотреть такой вариант связи как импликация. Например, когда мы говорим: Если дует ветер, то листья на деревьях колышутся (p ⊃ q), разве не имеется в виду, что ветер – причина колыхания листьев. Но может ведь быть тому и другая причина – кто-то трясет дерево? Но импликативная связь высказываний не все-гда говорит о том, что p выражает причину того, о чем говорится в вы-сказывании q. Можно сказать и так: Если Анна смеется, то она весела, хотя не смех – причина веселья, а наоборот.

Еще примеры: Если на стеклах ледяные узоры, то на улице мороз. p – на стеклах ледяные узоры, q – на улице мороз. Ответ: (q ⊃ p).

При переводе такого рода предложений на язык логики высказыва-ний приходится менять местами консеквент и антецедент, чтобы при-вести высказывание к стандартной форме.


15

Если верно, что Солнце, вставая каждый день на востоке, дарует жизнь всему живому и никогда не завершит свой путь, то моя любовь к тебе никогда не угаснет. Можно ли и в этом примере найти причину и следствие или достаточное основание для прочности чувств героя?

То общее, что можно выделить во всех высказываниях, содержа-щих импликацию, следует искать не в области смысла, а в области зна-чения. И это общее заключается в том, что при истинности антецедента консеквент истинной импликации всегда истинен. При ложном антеце-денте импликация истинна независимо от того, какое значение прини-мает консеквент.

Отрицание («не» или «неверно, что...») – ⎤. Пример: Неверно, что он храбр и силен.

p – он храбр, q – он силен. Ответ: ⎤ (p & q).

Выражение заключено в скобки, а отрицание стоит перед скобками, по-казывая тем самым, что отрицание относится ко всей скобке в целом.

Тождество («тождественно», «тогда и только тогда») – ≡. Пример: Утро наступает тогда, когда всходит солнце.

p – утро наступает, q – солнце всходит. Ответ: (p ≡ q).

Не следует принимать связку «тогда» за тождество в любых случа-ях. Иногда она «маскирует» импликацию:

Пример: Я пойду на лекцию тогда, когда у меня будет хорошее на-строение. p – я пойду на лекцию, q – у меня будет хорошее настроение. Ответ: (q ⊃ p).

(Другими словами – Если у меня будет хорошее настроение (причина), то я пойду на лекцию (следствие). А если его (настроения) не будет?)

Используя символы логических союзов, можно выделить логиче-скую форму любого сложного высказывания с точностью до состав-ляющих его простых высказываний, то есть не входя в их внутреннюю структуру. Этого вполне достаточно для решения многих задач, стоя-щих перед логикой.

Пример сложного суждения: Я уже освободился и, если меня не за-держат, скоро приеду.

p – я уже освободился, q – меня не задержат, r – я скоро приеду. Ответ: (p & (q ⊃ r)).


16

Пока мы научились решать только одну задачу: выявлять при по-мощи языка логики высказываний логическую форму высказываний.

Лучшее представление о свойствах классических пропозициональ-ных союзов дают табличные (или матричные) определения. Они на-глядно отражают зависимость значения сложного высказывания от зна-чений составляющих его простых высказываний, в частности, зависи-мость значения импликации от значений антецедента и консеквента.

2.2. Табличные определения логических констант

Принцип двузначности – один из фундаментальных принципов классической логики: каждое высказывание либо истинно, либо ложно, третьего не дано. Перейдем к конъюнкции:

р q p & q 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0

Как мы видим из таблицы, выражение истинно, только в том слу-

чае, когда обе переменные принимают значение «истина». Каждая из четырех строк этой таблицы соответствует одному из

возможных случаев распределения значений пропозициональных пере-менных. Таблица из четырех строк перебирает все возможные комбина-ции истинностных значений двух различных переменных. Если мы бу-дем строить таблицу для формулы, содержащей 3 различные перемен-ные, нам потребуется 8 строк.

Существует общая формула, по которой определяется число строк истинностной таблицы для формулы, содержащей n различных пропо-зициональных переменных: 2n (два в степени n). В качестве основания берется число 2, так как 2 – это число истинностных значений.

Давайте построим таблицу истинности для импликации:

р q р ⊃ q 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0


17

Построим таблицу значений для дизъюнкции:

р q p ∨ q 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0

Построим таблицу значений для строгой дизъюнкции:

р q p \º/ q 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0

Таблица для отрицания состоит всего из двух строк, поскольку

формула, образованная при помощи отрицания и не включающая дру-гих логических констант, содержит только одну пропозициональную переменную, а 2(1) = 2.

р ⎤р1 0 0 1

И наконец, таблицу истинности для тождества:

p q p ≡ q 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0

Теперь, когда мы познакомились с определениями логических кон-

стант, нам стало доступно решение еще одной задачи: мы можем, зная истинностные значения простых высказываний, определить значение построенного из них сложного высказывания и, наоборот, по значению сложного высказывания установить возможные значения всех входящих в него простых.

Например, если известно, что у берега было много медуз, но штор-ма не было, и вода в море остыла, то истинно ли высказывание:


18

Если у берега много медуз, то был шторм или вода в море остыла. Прежде всего, необходимо записать это выражение на языке логи-

ки высказываний: 1. р ⊃ (q \/ r) Затем подпишем под переменными заданные значения: раз медуз

было много, то высказывание р – истинно; шторма не было, значит q – ложно, а r – истинно, поскольку вода – остыла.

2. р ⊃ (q \/ r) и л и Осталось вычислить значения логических констант. На этом этапе

следует учитывать, что любая формула классической логики высказы-ваний содержит всегда только один главный знак. В нашем случае – это импликация. Ее антецедент – р, а консеквент – не q, а (q \/ r), что следу-ет из расстановки скобок. Поэтому прежде чем вычислять значение им-пликации, мы вычислим значение ее консеквента.

3. р ⊃ (q \/ r) и л и и И последний этап – значение всего высказывания: 4. р ⊃ (q \/ r)

и и л и и Давайте попробуем решить обратную задачу. Возьмем такой пример: Я уже освободился и, если не сломается машина, скоро буду дома. Предположим, что человек говорит правду. Перед нами сложное

высказывание, которое состоит из трех простых. Обозначим первое из них – Я уже освободился как р, второе – ма-

шина сломалась – q, а последнее – через r. Задача заключается в том, чтобы перечислить все возможные наборы значений, которые могут принимать переменные p, q и r, при условии, что высказывание истин-но, т. е. при условии, что мы рассматриваем ту строку истинностной таблицы, в которой формула, соответствующая данному высказыванию, принимает значение «истина».

Формула p & (⎤ q ⊃ r) представляет собой конъюнкцию. Конъюнк-ция истинна только в одном случае – когда оба ее конъюнкта – истин-ны: p и (⎤ q ⊃ r). Первая часть – простое высказывание, а вторая – им-пликация, которая истинна в трех случаях. Итак, возможны три случая, когда формула истинна, причем во всех трех случаях истинно р:

1. Человек освободился на тот момент, когда говорил это, его ма-шина не сломалась, и он был дома вовремя.

2. Человек освободился, и, несмотря на то, что его машина слома-лась, успел к ужину домой.


19

3. Он освободился, но, из-за поломки машины, все-таки опоздал. Полная истинностная таблица для данной формулы будет выглядеть следующим образом:

p q r p & ⎤q ⊃ r 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0

Итак, мы рассмотрели, как находится значение истинности сложно-

го высказывания. Возьмем еще один пример. Найдем значение истинности сложного высказывания вида

p ⊃ (q ⊃ p). Прежде всего распишем интерпретации под пропозициональными

буквами: p ⊃ q ⊃ p 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0

Затем определим значение истинности составляющих и запишем

в таблицу под соответствующим оператором:

p ⊃ q ⊃ p 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0

Для получения истинности всего высказывания сравним значение

истинности антецедента p с уже полученными значениями истинности консеквента (q ⊃ p):

p ⊃ q ⊃ p 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0


20

Итак, во всех интерпретациях высказывание p ⊃ (q ⊃ p) получает значение «истина». Такие высказывания называются тождественно-истинными или тавтологиями.

Еще один вид высказываний получил название тождественно-ложных или противоречий.

Высказывание, принимающее в одних строках своей истинностной таблицы значение «истина», а в других «ложь», называются выполни-мыми.

Проиллюстрируем данное определение, построив полную таблицу истинности высказывания ((p & q) ⊃ r) & (p & (q & ⎤ r).

Цифры над операторами указывают порядок определения значения истинности.

4 5 6 3 2 1 p & q ⊃ r & p & q & ⎤ r 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

2.3. Метод сокращенных таблиц

Метод полных таблиц истинности достаточно громоздкий (например, при четырех различных пропозициональных буквах, входящих в сложное высказывание, в таблице будет 16 строк, при пяти – 32 и т. д.), механич-ность расчетной работы также достаточно утомительна. Все это заставляет искать упрощения этого метода и повышения его эффективности.

В большинстве случаев нам необходимо дать ответ только на один вопрос – является данное высказывание общезначимым или нет. В этих целях предлагается метод сокращенных таблиц.

В качестве начального выступает положение, что искомое выска-зывание не является общезначимым. Исходя из такого положения, на основании таблиц истинности определяют значения истинности пропо-зициональных букв (простых высказываний). Если обнаруживают, что одна и та же буква получает в результате противоположные значения истинности, это будет означать, что исходное предположение неверно и, следовательно, искомое высказывание оказывается общезначимым.

Возьмем сложный пример и разберем ход рассуждений по шагам. Предположим, что высказывание не является общезначимым, что

обозначается символом «0» под главным знаком высказывания:


21

((А & В) ⊃ C) ⊃ (А ⊃ (В ⊃ С)) 0

Такое высказывание представляет собой импликацию, а имплика-ция ложна только в одном случае – когда антецедент истинный, а кон-секвент – ложный, т. е.

((А & В) ⊃ C) ⊃ (А ⊃ (В ⊃ С)) 1 0 0

В данном случае рассмотрение антецедента затруднено, так как это так-же импликация со значением «1» (что может быть в трех случаях), поэтому мы обратимся к консеквенту. Повторяем рассуждение второго шага:

((А & В) ⊃ C) ⊃ (А ⊃ (В ⊃ С)) 1 0 1 0 0

Аналогично рассмотрим подформулу (В ⊃ С) консеквента:

((А & В) ⊃ C) ⊃ (А ⊃ (В ⊃ С)) 1 0 1 0 1 0 0

Итак, мы уже определили значения истинности А, В и С (А – ис-тинно, В – истинно и С – ложно).

Подставим одно из полученных значений (пусть С), продолжая рассмотрение антецедента исходного высказывания:

((А & В) ⊃ C) ⊃ (А ⊃ (В ⊃ С)) 1 0 0 1 0 1 0 0

Поскольку (А & В) ⊃ С есть истинная импликация, а С в ней – лож-но, то А & В не может быть истинным, т. е.

((А & В) ⊃ C) ⊃ (А ⊃ (В ⊃ С)) 0 1 0 0 1 0 1 0 0 Подставим значение А, известное из ее второго вхождения в исход-

ную формулу, в ее первое вхождение:

((А & В) ⊃ C) ⊃ (А ⊃ (В ⊃ С)) 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 И рассмотрим подформулу (А & В). Известно, что она ложна, а А –

истинно. По таблице истинности легко определить, что В в данном слу-чае должно быть ложно:

((А & В) ⊃ C) ⊃ (А ⊃ (В ⊃ С)) 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 В результате мы получили: В принимает значение как «истинно»,

так и «ложно», что противоречит определению. Следовательно, наше


22

первоначальное предположение неверно и данное высказывание являет-ся общезначимым.

Описание процедуры занимает больше места, чем ее реальное осу-ществление. Объединим описание и получим

((А & В) ⊃ C) ⊃ (А ⊃ (В ⊃ С)) 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0

Следует сказать, что общезначимые высказывания играют в логике высказываний особую роль, так как представляют собой законы логики высказываний.


1. По какой формуле определяется количество строк в таблицах ис-тинности? На каком принципе эта формула основывается?

2. Какие способы установления общезначимости формулы класси-ческой логики высказываний (КЛВ) вы знаете?

Практические задания

1. Установить логическую структуру следующих предложений и записать их на языке логики высказываний:

а) Если металл нагревается, он плавится. б) Неправда, что философские споры неразрешимы. в) Деньги – продукт стихийного развития товарных отношений, а

не результат договоренности или какого-либо иного сознательного акта. 2. Построить истинностную таблицу для следующих формул и оп-

ределить, какие из приведенных формул являются противоречиями: а) (p ⊃ (q & r)) \/ ⎤p б) (a ∨ b) ≡ (b ∨ a) в) (a & b) ≡ (b & a) г) (a ⊃ b) ⊃ (b ⊃ a)

3. Установить при помощи сокращенных таблиц истинности, явля-ется ли данная формула общезначимой:

а) (a ⊃ b) & ((b ⊃ c) ⊃ (a ⊃ c)) б) ((a ∨ b) ⊃ c)) ⊃ ((a ⊃ c) & (b ⊃ c)) в) (a ⊃ (b ⊃ c)) ⊃ (a & (b ⊃ c)) г) (a ⊃ b) & (b ⊃ a) ≡ (a ≡ b)


23

Тема 3

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЛОГИКИ

3.1. Образование понятия, его объем и содержание

Итак, разберемся, что такое понятие. Давайте возьмем такой предмет, как стул. Для образования понятия о стуле нужно выделить какие-либо ха-рактеристики стула, которые принадлежат всем стульям и помогают отли-чить их от всех других предметов – скамеек, табуретов, кресел и т. д.

Итак, понятие выделяет какое-то интересующее нас множество предметов при помощи каких-то признаков.

Понятие – это мысль, которая обобщает объекты некоторого множе-ства и выделяет это множество по отличительному для него признаку.

Но понятие выполняет еще одну важную функцию. Оно делает ин-тересующий нас предмет понятным, сообщает нам о нем какую-либо существенную информацию.

В самом начале рассуждения перед нашим умственным взором был некоторый умственный образ стула, который мы дополнили нашим воспоминанием об отдельных стульях, которые мы видели ранее. Сна-чала образ какого-нибудь стула мы разложили на отдельные признаки: деревянный, имеющий спинку, с четырьмя ножками и т. д.

Этот этап образования понятия называется анализ (от греч. analysis – разложение, расчленение).

Далее мы приступили к рассмотрению выделенных признаков по отдельности. Этот этап очень важен. Согласно исследованиям швейцар-ского психолога Жана Пиаже, маленький ребенок, примерно в возрасте 10–11 лет, не способен рассматривать признаки сами по себе, а только вместе с предметами, которым эти признаки присущи. Отвлечение от предмета и превращение его в объект самостоятельного рассмотрения называется абстрагированием, или абстракцией (от лат. abstractio – отвлечение).

Затем мы рассматриваем различные виды стульев для того, чтобы, сравнивая их, выделить общие признаки и отбросить признаки, присущие только отдельным предметам. Эта операция называется сравнением.

Итак, выделив отдельные признаки и сравнив предметы по этим признакам, мы соединяем все выделенные общие признаки в единое це-лое, в один мысленный образ. Операция соединения признаков всех предметов данного множества в единый признак, выделяющий рассмат-риваемое множество объектов из всех остальных, называется синтезом (от греч. syntesis – соединение, сочетание). В результате синтеза мы по-лучаем сложный признак.


24

Соединив в единое целое все признаки, мы объединяем в одной мысли все объекты, имеющие выделенные признаки. Назовем эту опе-рацию обобщением. В результате всех этих операций мы получили по-нятие.

Две важнейшие логические характеристики понятия – его объем и содержание.

Признак, при помощи которого выделяются и обобщаются предме-ты интересующего нас множества, называется содержанием понятия. Таких признаков может быть сколько угодно.

Например, «человек – это существо, наделенное разумом, волей, чувствами, имеющее мягкую мочку уха, два глаза, бесхвостое и т. д.» Но, работая с понятием, мы не мыслим все эти признаки одновременно. Признак, достаточный для того, чтобы выделить интересующее нас множество объектов из всех остальных, назовем основным содержани-ем понятия.

Вторая логическая характеристика каждого понятия – объем – это те мыслимые в понятии объекты, ради выделения которых из всех дру-гих объектов и образуется содержание понятия. Так, например, объем понятия «студент» – все те предметы, для которых характерны такие признаки «быть учащимся» и «учиться в высшем учебном заведении».

Важным шагом в характеристике понятия как мыслительной фор-мы является обнаружение внутри класса понятий их различных разно-видностей.

Типология понятий строится на основе анализа их объемных и со-держательных особенностей.

Анализ различий в объеме позволяет разделить понятия на три ви-да: пустые, единичные и общие.

Пустые понятия – понятия, не имеющие в своем объеме ни одного элемента. Примерами пустых понятий являются понятия «русалка», «вечный двигатель», «живой труп» и др. Гносеологическая природа пустых понятий может быть различной. В одном случае их пустота слу-чайна и устранима в будущем (например, «юбилейный рубль в моем кармане»), в другом она неустранима без нарушения законов природы (например, «кентавр») или логики (например, «круглый квадрат»).

Единичные понятия – понятия, в объеме которых содержится ровно один элемент. Например: «Луна», «самое высокое здание в Том-ске», «американский президент, убитый в Далласе» и др. Языковой формой единичных понятий – и это видно из примеров – являются либо имена собственные, либо дескрипции, фиксирующие индивидуальные признаки конкретного предмета.

Общие понятия – понятия, в объеме которых содержится более одного элемента. Например: «человек», «атом», «квадратный предмет»,


25

«город, насчитывающий более 1 млн жителей» и др. В языке общие по-нятия выражаются дескрипциями, фиксирующими признаки класса предметов, или общими именами (существительными, прилагательны-ми, причастиями).

Внутри класса общих понятий можно выделить подкласс универ-сальных понятий (категорий). В основе этого выделения деления – от-ношение объема некоторых понятий к универсуму (предельно широко-му классу предметов, изучаемому в той области знания, к которой при-надлежит данное понятие).

Большая часть общих понятий не исчерпывает своими объемами универсум. Например, если универсумом является множество людей, то в отношении этого универсума понятие «женщина» не является универ-сальным.

Универсальные понятия – понятия, объем которых исчерпывает универсум. В отношении к множеству людей универсалией будет поня-тие «человек».

Во многих случаях понятия не могут быть однозначно квалифициро-ваны как универсалии или простые (без анализа) отношения их объема к конкретным универсумам. Так, понятие «женщина», бывшее в нашем примере не универсальным, окажется универсальным, если мы выделим женщин как самостоятельный универсум. Безотносительно универсаль-ными понятиями являются только бессодержательные абстракции («то», «нечто» и т. п.) и философские категории («предмет», «явление» и др.). Поскольку объем этих понятий охватывает всю сферу бытия, они универ-сальны в отношении сколь угодно широкого универсума.

Другие существующие в логике деления понятий (на собиратель-ные и разделительные, конкретные и абстрактные, положительные и отрицательные, эмпирические и теоретические) учитывают, главным образом, особенности их содержания.

Разделительные и собирательные понятия отличаются друг от друга тем, что в содержании первых не фиксируется признак структу-рированности отражаемых предметов, вследствие чего они мыслятся как нерасчлененные целостности («дерево», «студент», «звезда» и др.). В содержании вторых изначально присутствует мысль о том, что пред-мет состоит из других однородных предметов («лес», «студенческая группа», «созвездие» и др.). Различение разделительных и собиратель-ных понятий, введенное в логику еще Аристотелем, в значительной сте-пени условно и зависит от контекста их использования. Например, по-нятие «человек», обычно считающееся разделительным, окажется соби-рательным, если представить человека как сложную структуру взаимо-связанных органов (голова, руки, ноги и т. д.). С другой стороны, пред-меты, отраженные в собирательных понятиях (например, созвездия),


26

могут быть мыслимы как некоторые существующие раздельно друг от друга целостности, без акцента на их структурированность.

Деление понятий на конкретные и абстрактные базируется на различении предметов и их признаков.

Конкретные понятия – понятия о предметах, которые существуют сами по себе как некоторые фрагменты реальности («дорога», «здание», «книга» и др.). Содержание этих понятий – признаки данных предметов.

Абстрактные понятия – понятия о признаках (свойствах и отноше-ниях) предметов, которые сами по себе вне предметов реально не сущест-вуют (например, «белизна», «глубина», «храбрость», «скорость» и др.). Со-держанием этих понятий являются, таким образом, признаки признаков.

Так же как и в предыдущем делении, разделение понятий на кон-кретные и абстрактные носит во многом условный характер. Если ка-кое-то свойство предмета становится объектом специального исследо-вания, оно превращается в предмет, обладающий своими собственными свойствами. Следовательно, и понятие, отражающее это свойство, из абстрактного трансформируется в конкретное («квадратность» – «квад-рат» и т. д.). Конкретные понятия (по крайней мере, общие) так же, при желании, можно переформулировать как абстрактные. Ведь в большин-стве понятий предмет мыслится как совокупность признаков, делающих данный предмет самим собой. Заменив название предмета названием его важнейшего признака, мы получим абстрактное понятие («логика» – «логичность», «вещество» – «вещественность» и т. д.).

Различие в содержании положительных и отрицательных понятий состоит в том, что положительные понятия фиксируют признаки, имеющиеся у предметов, а отрицательные понятия – признаки у предметов отсутствующие. Положительные и отрицательные понятия легко различимы, когда их языковой формой выступают дескрипции (например, «человек, умеющий писать стихи» и «человек, не умеющий писать стихи»). Если же понятие выражено одним словом, то, вопреки бытующему мнению3, по наличию или отсутствию в нем отрицательной частицы («не», «без» и др.) однозначно оценивать его как положитель-ное или отрицательное не всегда представляется возможным. Возьмем, например, понятие «нездоровый человек». Хотя в языковой оболочке этого понятия имеется отрицательная частица, совсем не исключено, что ею будет фиксироваться положительное понятие (если, думая о не-здоровых людях, мы будем мыслить имеющиеся у них признаки: высо-кая температура, учащенное сердцебиение и др.).

Раскрытие содержания понятия является зачастую необходимым условием и определения его эмпирического или теоретического харак-тера. Эмпирические понятия объединяют предметы в классы по их

3 Курбатов В.И. Логика. – Ростов-на-Дону: Изд-во «Феникс», 1996. – С. 51.


27

чувственно воспринимаемым («видимым») признакам, теоретические – по признакам, недоступным чувственному восприятию, обнаруживае-мым в процессе мыслительного анализа. Как и в случае с предыдущим делением, отдельное слово, например, «вода» может оказаться фиксато-ром и эмпирического, и теоретического понятий в зависимости от того, мыслим ли мы воду как жидкость без цвета, без запаха и вкуса (эмпири-ческое понятие), или как химическое соединение, молекулы которого содержат два атома водорода и один атом кислорода (теоретическое по-нятие).

3.2. Отношения между понятиями

Отношения между объемами понятий удобно проиллюстрировать при помощи графических схем, в которых множества представляются в виде кругов, и предполагается, что в данных кругах заключены все элементы данного объема понятия. Такие круги называются кругами Эйлера, по имени немецкого математика Леонардо Эйлера, который в 1762 г. приспособил эту геометрическую фигуру для логических целей.

Например, изобразим множество стульев.

Отдельный элемент будем обозначать точкой в круге, единичное

множество – кругом. Характеристика логических отношений между понятиями является

важным, а иногда и необходимым условием для определения правомер-ности их использования в конкретных познавательных ситуациях.

Так же, как и в типологии понятий, в описании отношений между понятиями мы будем опираться на анализ главных логических парамет-ров понятия – объема и содержания.

Начальный пункт в определении отношения между конкретными по-нятиями – установление возможности их сравнения. Сравнивать и соотносить друг с другом можно только сравнимые понятия – понятия, в содержании которых имеются общие признаки. Сравнимыми являются, например, понятия «студент» и «спортсмен», «трактор» и «кофемолка»,

А


28

«президент» и «высший государственный чиновник». Хотя объемы поня-тий, входящих в приведенные пары, как легко заметить, находятся в раз-ных отношениях друг с другом, любая из этих пар – сравнимые понятия, поскольку в их содержании есть общие признаки (например, и «трактор», и «кофемолка» являются техническими устройствами).

Несравнимые понятия – понятия, в содержании которых нет ни одного общего признака. Примерами несравнимых понятий являются пары таких понятий, как «любовь» и «картошка», «коза» и «гипотену-за», «конституция» и «севрюжина с хреном» и др.

Сравнение несравнимых понятий в принципе возможно, но лишь на уровне предельно абстрактного философского анализа, позволяюще-го обнаружить, что даже любовь и картошка имеют общий признак: и та, и другая существуют как реальные явления. Однако в обычной по-знавательной деятельности столь абстрактные признаки в расчет не принимаются и понятия, подобные приведенным, не сравниваются.

Несравнимые понятия относятся к столь далеким друг от друга об-ластям действительности, что установить нечто общее в их содержании оказывается проблематичным. Поэтому отношения между понятиями, о которых пойдет речь ниже, – суть отношения между сравнимыми по-нятиями.

Сравнимые понятия могут находиться в отношениях совместимо-сти или несовместимости.

Понятия совместимы, если в их объемах есть хотя бы один общий элемент. Совместимость между понятиями может выражаться в трех формах: пересечение, подчинение и равнообъемность.

Пересечение имеет место в том случае, когда объем одного из поня-тий частично входит, а частично не входит в объем другого понятия. Пе-ресекаться могут только общие понятия, например: «женщина» и «инже-нер», «лошадь» и «домашнее животное», «белый предмет» и «рояль» и др. Во всех этих парах понятия совместимы частично: часть женщин является инженерами, но часть женщин имеют другую профессию, часть инжене-ров – женщины, но есть и инженеры – мужчины и т. д.

Фиксируются следующие виды отношений: 1. Совпадение объемов, ко-

торое означает, что объем одного понятия равен объему другого по-нятия. Такие понятия называют равнообъемными, или взаимоза-меняемыми.

А = В


29

Равнообъемность (равнозначность) – отношение между поня-тиями, которые, отличаясь содержанием, имеют одинаковый объем, то есть выделяют один и тот же класс предметов. Равнообъемными могут быть как общие понятия (например, «равноугольный ромб» (А) и «рав-носторонний прямоугольный четырехугольник» (В)), так и понятия единичные (например, «автор романа «Война и мир» и «автор романа «Анна Каренина»). Если в объемах сравнимых понятий нет ни одного общего элемента, то их следует считать несовместимыми. Имеются два вида несовместимости: отношение противоречия и отношение сопод-чинения.

2. Подчинение, или вклю-

чение объемов. В этом отноше-нии находятся понятия, когда объем одного из них включен полностью в объем другого. Пусть В – «человек», а А – «жи-вое существо».

Подчинение имеет место в том случае, если объем одного из поня-

тий полностью входит в объем другого, составляя его часть. В отноше-нии подчинения могут находиться общие понятия (например, «рыба» и «форель»). Этот случай принято называть родовидовым отношени-ем, имея в виду то, что класс, выделенный более широким общим поня-тием А, является родом, к которому как вид принадлежит класс, выде-ленный понятием В, меньшим по объему (рыбы – род, одним из видов которого является форель). Кроме родовых и видовых общих понятий, в отношении подчинения может находиться также общее понятие с еди-ничным, например «астроном» и «Кеплер».

3. Исключение

объемов – случай, в ко-тором нет ни одного предмета, который на-ходился бы в обоих объ-емах.

А

В

В А


30

4. Пересечение объемов, или частичное совпадение объемов. На-пример, в отношении «студент» и «отличник». Зона пересечения – это множество тех элементов, которые одновременно принадлежат множе-ствам А и В.

5. Противоречие – отношение

между понятиями, которые будучи не-совместимыми исчерпывают суммой своих объемов объем более общего, родового по отношению к ним поня-тия. В отношении противоречия будут находиться два понятия, в одном из которых отрицаются признаки пред-мета, зафиксированные в другом поня-тии, то есть: (В = не-А).

Например: «здоровый человек» и «нездоровый человек», «инже-

нер» и «человек, инженером не являющийся» и др. Поскольку, согласно закону исключенного третьего, между А и не-А не существует промежу-точного звена, положительные и соответствующие им отрицательные понятия всегда исчерпывают объем понятия, которому они подчинены (все люди либо инженеры, либо не-инженеры, «третьего не дано»).

6. Соподчинение имеет место тогда, когда два (или более) несо-

вместимых понятия, не имея общих элементов в объемах, не исчерпы-вают объем родового для них понятия, которому они подчинены. Со-подчиненными являются, например, понятия «телевизор» (В) и «экска-ватор» (С).

Особым отношением является отношение соподчинения, когда объемы двух понятий, исключающие друг друга, входят в объем третье-го понятия. Например, понятия «автобус» и «трамвай» попадают в одну категорию – «городской транспорт».

В А

А не-А


31

Иногда соподчиненные понятия внешне выглядят как противоре-

чивые. Это касается тех случаев, когда понятия выделяют классы пред-метов, находящихся как бы на противоположных краях объема родово-го понятия, которому они подчинены. Возьмем, например, понятия «от-личник» и «двоечник». На первый взгляд, они противоречивы, посколь-ку отрицают друг друга. Однако анализ их отношения с родовым для них понятием «учащийся» показывает, что отношения противоречия между ними нет. Последнее имело бы место, если бы объем понятия «учащийся» равнялся сумме объемов наших двух понятий. Но в дейст-вительности среди учащихся есть еще троечники, хорошисты. Поэтому рассмотренный случай является разновидностью отношения соподчи-нения, а не противоречия4.

3.3. Операции с понятиями

Обобщение и ограничение понятия являются двумя взаимообрат-ными логическими операциями, позволяющими на основе одного поня-тия построить (найти) другое – новое понятие.

Обобщение – операция, посредством которой совершается переход от понятия с меньшим объемом к понятию с большим объемом.

В основе обобщения понятия лежит поиск родового понятия по от-ношению к исходному путем отбрасывания видового признака исходно-го понятия.

Допустим, мы в качестве исходного имеем понятие «студент». От прочих учащихся студенты отличаются тем, что они учатся в выс-ших или средних специальных учебных заведениях. Отбросив этот ви-

4 В логической литературе этот случай иногда выделяется в особый вид отношения

между понятиями – отношение противоположности.

С

В А


32

довой отличительный признак, мы получим понятие «учащийся» – ро-довое для исходного понятия. В свою очередь, понятие «учащийся» может быть обобщено в родовое уже для него понятие «человек». Для этого надо отбросить видовые признаки учащегося, отличающие его от других людей. Понятие же «человек» можно обобщить по тому же ал-горитму в понятие «млекопитающее», а последнее понятие – в понятие «животное» и т. д.

Нетрудно заметить, что, отбрасывая видовые признаки обобщае-мых понятий, мы каждый раз создаем (находим) понятие, объем которо-го больше по сравнению с предыдущим. Очевидно, в расширении объе-ма понятия при его обобщении должен наступить предел, дальше кото-рого обобщать невозможно. В нашем примере этот предел будет дос-тигнут, когда, обобщив понятие «животное» в понятие «элемент био-сферы», мы затем перейдем от него к понятию «явление», которое не поддается дальнейшему обобщению, так как его содержание состоит из одного признака – быть существующим. Отбрасывание этого единст-венного признака приведет к уничтожению понятия, поскольку абсо-лютно бессодержательных понятий не существует. Таким образом, пре-делом обобщения понятий являются философские категории – «пред-мет», «вещь», «явление» и др., которые безграничны по объему, а сле-довательно, не поддаются дальнейшему обобщению.

Ограничение понятия – логическая операция, обратная обобще-нию. Посредством ограничения совершается переход от понятия с боль-шим объемом к понятию с меньшим объемом (от родового к видовому).

Ограничение понятия производится путем прибавления к содер-жанию понятия видообразующего признака. Например, нам надо огра-ничить понятие «здание». Прибавив к содержанию этого понятия при-знак «кирпичный», мы получим видовое в отношении к исходному – понятие «кирпичное здание». Дополнив содержание полученного поня-тия признаком «трехэтажный», мы получим новое понятие «трехэтаж-ное кирпичное здание» и т. д. Поскольку пределом сужения является один его элемент, постольку пределом ограничения является единичное понятие, в объеме которого находится один из конкретных предметов класса, выделяемого исходным понятием. В нашем примере мы выйдем на предел ограничения, если укажем адрес конкретного трехэтажного кирпичного здания.

Обратим внимание на то, что в логических операциях обобщения и ограничения четко прослеживается связь между содержанием понятия и его объемом. Обобщая понятие, мы последовательно обедняем его со-держание, и это неуклонно ведет к расширению его объема. Ограничи-вая понятие, мы видим обратную картину – обогащение содержания по-нятия ведет к уменьшению его объема. Все это позволяет сформулиро-


33

вать важный логический закон обратного отношения между объемом и содержанием понятий: если понятия находятся в отношении под-чинения друг к другу, то понятие с большим объемом будет беднее по содержанию, и наоборот, понятие с более богатым содержанием будет уже по объему.

Для того чтобы корректно производить обобщение и ограничение понятий, надо руководствоваться простым правилом: понятия, полу-чаемые в результате обобщения (ограничения), должны находиться в отношении подчинения с исходными обобщаемыми (ограничи-ваемыми) понятиями. В соответствии данному правилу, например, в корректности обобщения понятия А в понятие В, можно убедиться, если мы утвердительно ответим на два вопроса: 1) все ли А являются В; 2) есть ли В, которые не являются А. Обобщение понятия «металл» в понятие «химический элемент» безусловно правильно, поскольку все металлы являются химическими элементами (утвердительный ответ на первый вопрос) и среди химических элементов есть химические элемен-ты, металлами не являющиеся (утвердительный ответ на второй во-прос).

Нарушения правила обобщения (ограничения) – это пересечение при обобщении (ограничении), равнообъемность при обобщении (огра-ничении) и несовместимость при обобщении (ограничении).

Пересечение при обобщении (ограничении) – наиболее часто встречающаяся ошибка, возникающая вследствие недоучета возможного неполного совпадения родового признака с предметами обобщаемого (ограничиваемого) понятия. Ограничив, например, понятие «молодой человек» в понятие «студент», мы совершим данную ошибку, поскольку не учтем, что в реальности не все студенты являются молодыми людьми.

Равнообъемность при обобщении (ограничении) – ошибка, воз-никающая вследствие иллюзорного несовпадения объемов некоторых равнообъемных понятий. Пример такой ошибки – обобщение понятия «правнучка» в понятие «женщина». Поскольку признак быть правнуч-кой является более конкретным по сравнению с половым признаком женского пола, постольку возникает иллюзия, что первое понятие по объему уже второго. В действительности же они равнообъемны: все правнучки – женщины, и все женщины – чьи-то правнучки.

Несовместимость при обобщении (ограничении) (например, обобщение понятия «квартира» в понятие «дом» или ограничение поня-тия «книга» в понятие «страница») – наиболее грубое, хотя, увы, до-вольно распространенное нарушение правила обобщения (ограничения), являющееся следствием полного непонимания того, что части предме-тов, входящих в объем понятия, не являются элементами объема данно-


34

го понятия (ни одна квартира не является домом, и ни одна книга не яв-ляется страницей).

2.6.3. Деление понятия Деление понятия – логическая операция, раскрывающая объем

общего понятия путем перечисления его видов. Сущность деления состоит в том, что элементы объема общего по-

нятия распределяются по группам. Исходное делимое понятие рас-сматривается при этом как родовое, а понятия, полученные в результате деления (делители), должны быть соподчиненными видами, сумма объ-емов которых равна объему исходного делимого понятия.

Деление понятия производится на основе определенного признака (основание деления), который позволяет выявить различия внутри элементов объема делимого понятия и сгруппировать их в однородные группы.

Например, если делимым понятием выступает понятие «студент», мы можем взять в качестве основания деления курс, на котором обуча-ется студент. С учетом этого признака мы получим шесть делителей: понятия «студент I курса», «студент II курса» … «студент VI курса». Объем делителей в сумме будет равен объему делимого понятия.

Вполне очевидно, что результаты деления любого понятия зависят от выбора основания деления, который в свою очередь определяется целями деления, его практическими задачами. Но в любом случае, при-ступая к делению, мы должны четко сформулировать признак, лежащий в основании деления. В противном случае неизбежны логические ошиб-ки, снижающие результативность этой логической операции.

Надо также помнить, что деление понятия отнюдь не тождественно мысленному расчленению элемента объема этого понятия на части. Нельзя, например, делить понятие «человек» на понятие «рука», «нога», «туловище» и т. д., поскольку последние понятия не являются видовы-ми в отношении исходного понятия. При делении понятия «человек» мы обязательно должны получить «людей»: умных, глупых, хороших, плохих, партийных, беспартийных (в зависимости от основания деле-ния), но только людей, а не части, на которые можно расчленить чело-веческое тело.

Есть два вида деления понятия: дихотомическое и деление по ви-доизменению признака.

Дихотомическое деление – деление объема понятия на два под-класса, элементы одного из которых обладают, а другого не обладают признаком, избранным основанием деления. Дихотомическими являют-ся деления понятий «цвет» на «красный цвет» и «не красный цвет», «книга» на «полезная книга» и «бесполезная книга» и т. д.


35

Деление по видоизменению признака – деление объема понятия с учетом того, как конкретно проявляется у элементов класса признак, избранный основанием деления. Приводившийся выше пример деления понятия «студент» на понятия «студент-первокурсник», «студент-второкурсник» и т. д. является примером деления данного вида, по-скольку студенты в этом делении разбиваются в зависимости от того, на каком конкретном курсе они обучаются. Главным образом, с этим вто-рым видом определения сопряжены сложности, преодолеть которые можно, следуя четырем правилам.

Деление должно быть соразмерным. Суть этого правила – в тре-бовании равенства объема делимого понятия сумме объемов делителей. В результате деления ничего не должно пропасть, и тем более ничего не должно появиться нового, чего не было в объеме исходного понятия.

Типичными нарушениями этого правила являются: а) пропуск делителя; б) деление с лишними членами (лишний делитель). В первом случае объем понятий, полученных в результате деления,

оказывается меньшим по сравнению с объемом делимого понятия. Например, «людей можно разделить на неграмотных, с начальным,

средним и высшим образованием». В этом делении пропущены, как ми-нимум, два делителя: «люди с незаконченным средним образованием» и «люди с незаконченным высшим образованием», в результате чего часть элементов объема делимого понятия исчезла.

Ошибки второго типа влекут увеличение объема делимого понятия по сравнению с исходным понятием. Например, «стаканы бывают круг-лыми, граненными и с ручками». Здесь отнесение предметов «с ручка-ми» к стаканам привело к увеличению объема делимого понятия.

Деление должно вестись по одному основанию. Как уже отмеча-лось, признак, с учетом которого мы производим деление, определяет результаты последнего. Нечеткое определение этого признака, явная или неявная его подмена в ходе деления неизбежно влекут ошибочные результаты. Примерами нарушения данного правила (подмена основа-ния) являются: деление книг – на хорошие, русские и в твердых пере-плетах; людей – на рабочих, крестьян, женщин и пенсионеров и т. д. Иллюстрацией абсурда, к которому иногда приводит нарушение этого правила, может служить и такая своего рода классическая фраза: «Шли два студента: один – в институт, а другой – в галошах, один ел пирожок с мясом, а другой – с аппетитом».

Делители должны быть несовместимыми понятиями. Это пра-вило запрещает получать в результате деления понятия с пересекающи-мися объемами. Каждый элемент объема исходного понятия должен войти в объем одного и только одного из делителей. Деление, например,


36

предложений на простые и сложные является правильным, поскольку исчерпывает объем понятия «предложение» (кроме простых и сложных, других предложений нет) и дает в результате деления несовместимые понятия (ни одно простое предложение не является сложным, и наобо-рот). Деление же людей на обедающих в столовых, в кафе, ресторанах и дома является логически некорректным, поскольку, очевидно, суще-ствуют люди, которые обедают и дома, и в кафе, и в столовой, и в рес-торане и т. д. Здесь ошибка – совместимость делителей.

Деление должно быть непрерывным. В одном акте деления нель-зя получать сразу понятия о видах и подвидах делимых предметов (на-пример: среди людей есть мужчины, симпатичные, малосимпатичные и несимпатичные женщины). Нарушение четвертого правила деления называется скачком в делении.

Классификация – последовательное многоразовое деление какого-либо понятия. При классификации делители, полученные в результате первого деления, делятся вновь, а результаты этого деления могут стать делимыми понятиями для дальнейших делений. Например, разделив ли-тературу на научную и художественную, мы, затем, делим художест-венную литературу на прозаическую и поэтическую, а научную – на ли-тературу по математике, астрономии, физике, химии и др., оставляя возможность последующих делений (прозаическую художественную литературу – на романы, повести, новеллы и рассказы; научную литера-туру – на литературу по химии, на литературу по химии неорганической и химии органической и т. д.).

Основное назначение классификаций – систематизация информа-ции об объектах научной или повседневной деятельности. Классифика-ция позволяет сделать эту информацию хорошо обозримой и установить направление дальнейшего информационного поиска.

Следует упомянуть две операции с понятиями. Одна, которая назы-

вается ограничение понятия, предписывает переход от понятия с большим объемом к понятию с меньшим объемом. Пределом ограни-чения является единичное понятие.

Обратная операция называется обобщение понятий, в процессе ко-торой осуществляется переход от некоторого понятия к понятию с боль-шим объемом, но меньшим содержанием. Например, результатом обоб-щения понятия «млекопитающее животное, обитающее на суше» (А), яв-ляется понятие «млекопитающее животное» (В), а результатом обобщения последнего – «животное» (С).


37

3.4. Суждение

В традиционной логике суждение определяется таким образом. Суждение – это мысль, с помощью которой выражается присущность или неприсущность признака предмету (или классу предметов) и кото-рая может быть охарактеризована как истинная или ложная.

Суждение и понятие сходны в том, что и то и другое есть мысль. Отличаются они тем, что понятие выделяет и обобщает объекты при помощи признаков. Суждение не выделяет и не обобщает. Суждение говорит, что состояние мира таково, что данный признак присущ дан-ному объекту или, наоборот, не присущ данному объекту. Однако мир не всегда отвечает нашим ожиданиям. Он может соответствовать или не соответствовать ситуации, описываемой в суждении, а это означает, что суждение может быть истинным или ложным.

Логическая структура суждения включает в себя три элемента: субъект, предикат и связку. Субъект – это та часть суждения, в которой отражается предмет мысли, иначе говоря, то, о чем идет речь в данном суждении. Предикат – та часть, которая отражает свойство предмета. Связка устанавливает отношения между субъектом и предикатом суж-дения. Обычно связка устанавливается словами «есть» или «не есть». Субъект и предикат суждения называются терминами суждения.

Суждения подразделяются по своим качественным и количест-венным характеристикам.

В зависимости от того, утверждается ли присущность предиката субъекту суждения, или отрицается, выделяют утвердительные и от-рицательные суждения.

Между утверждением и отрицанием существует определенная взаимосвязь. Утверждение в одном отношении есть отрицание в другом. Утверждение «эта картина превосходна» означает одновременно отри-цание «эта картина не является не-превосходной»; отрицание «Ростов не является центром России» есть утверждение «Ростов является не-центром России».

В суждении нечто утверждается или отрицается об одном предме-те, о части предметов класса, обо всех предметах класса. В зависимости от этого суждения подразделяются на единичные, частные и общие.

Единичными называются суждения, в которых нечто утверждает-ся или отрицается об одном предмете.

Например: Аристотель был учителем Александра Македонского. Гегель написал книгу «Феноменология духа». Суждения, в которых говорится о принадлежности или непринад-

лежности признака некоторым предметам определенного множества предметов, называются частными.


38

Они имеют форму «Некоторые S есть P» или «Некоторые S не есть P». Например:

Некоторые русские философы являются учеными мирового значения. Многие из логиков получили философское образование. Общие суждения – это такие суждения, в которых выражается

принадлежность или непринадлежность признака всему классу рас-сматриваемых предметов.

Они имеют форму «Все S есть P» или «Все S не есть P». Например: Все люди пользуются равными правами. Никто из неандертальцев не знал периодической системы элементов. Обобщенной характеристикой суждений по качеству и количест-

ву является выделение следующих четырех видов суждений: А. Общеутвердительные высказывания, начинающиеся с «все»

(всякий). Е. Общеотрицательные высказывания, начинающиеся с «ни один»

(никакой). I. Частноутвердительные высказывания, начинающиеся с «некоторые». O. частноотрицательные высказывания, начинающиеся с «некото-

рые – не суть». Краткая система записи, используемая для обозначения четырех

видов высказываний, представляет собой буквы алфавита – гласные из латинских слов affirmo – утверждаю, соответственно А, I – для утвер-дительных и nego – отрицаю, соответственно Е и О – для отрицающих.

Для запоминания некоторых логических отношений между сужде-ниями вида A, E, I и O используется схема, которая называется логиче-ским квадратом. Она построена таким образом, что, зная истинность од-ного из суждений, можно сделать вывод об истинности трех остальных.

Логический квадрат


39

3.5. Отношения между суждениями

Любые два суждения по своей логической форме могут быть сравни-мыми и несравнимыми. Сравнимыми являются суждения, имеющие оди-наковые термины и различающиеся по качеству и количеству. Несравни-мыми будут суждения, в которых субъекты и предикаты различны.

Например: «В огороде бузина» и «В Киеве дядька». Среди сравнимых суждений различают совместимые и несовмес-

тимые. Совместимость суждений включает три вида отношений: экви-валентность (полная совместимость), субконтрарность (частичная со-вместимость) и логическое подчинение (следование).

Несовместимость имеет две разновидности: противоположность (контрарность) и противоречие (контрадикторность).

Отношение контрарности: суждения вида А-Е не могут быть од-новременно истинными, но могут быть одновременно ложными.

Отношение субконтрарности: суждения вида I-О могут быть од-новременно истинными, но не могут быть одновременно ложными.

Отношение контрадикторности: суждения вида А-О, а так же Е-I не могут быть одновременно ни истинными, ни ложными: если одно из них – истинно, то другое – ложно, и наоборот.

Отношение подчинения: если суждения А или Е – истинны, то, соответственно, истинны и подчиненные им суждения O или I (соответ-ственно), а из ложности частных суждений I (O) следует ложность соот-ветствующих им суждений А (Е).

Еще одной из возможных классификаций суждений может служить следующая.

Выделяют атрибутивные, экзистенциональные (суждения суще-ствования) и суждения об отношениях (реляционные).

Атрибутивные категорические суждения – суждения, в которых указывается на наличие или отсутствие у предмета каких-либо призна-ков, свойств, состояний, видов деятельности и т. п.

Они имеют форму «S есть P». Например: Аристотель – автор «Поэтики». Неучастие в политике не оберегает от ее последствий. Экзистенциональные суждения – это суждения, в которых ут-

верждается или отрицается сам факт существования или несуществова-ния некоторого материального или идеального объекта.

Суждения об отношениях – суждения, в которых говорится о ка-ких-либо отношениях между предметами, при этом отношения могут быть самыми разными.

Например: Иван – отец Петра. Ростов южнее Москвы. 3 больше 2.


40


1. Что такое понятие? 2. Каковы отношения между понятиями? 3. Какие типы суждений вы знаете? Каковы отношения между ними? 4. Охарактеризуйте отношения между понятиями на примере логи-

ческого квадрата.


1. Представьте с помощью круговых схем отношения между объе-мами понятий:

а) адмирал – английский адмирал – адмирал Нельсон – русский адмирал – адмирал Ушаков;

б) дедушка – отец – сын – внук; в) картина – реалистичная картина – сюрреалистичная картина –

картина Репина – картина Дали. 2. Определите, является ли понятие единичным, общим или пустым: а) крупный город; б) Эверест; в) самая высокая вершина Кавказа; г) время года между осенью и зимой; д) время года; е) вампир, живший в Трансильвании; ж) королева Англии; з) кентавр.

3. Укажите, в каком соотношении находятся объемы этих понятий: а) квадрат – плоская замкнутая геометрическая фигура с четырь-

мя равными сторонами; б) лыжник – спортсмен; в) Венера – вторая по расстоянию от Солнца планета; г) бьющийся предмет – небьющийся предмет; д) европейская страна – азиатская страна.


41

Тема 4

ЗАКОНЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

4.1. Основные законы классической логики

Закон мышления – это внутренняя, необходимая, существенная связь между мыслями.

Среди множества законов классическая логика выделяет четыре основных закона: тождества, непротиворечия, исключенного третье-го и достаточного основания. Эти законы называются основными, по-тому что выражают коренные свойства логического мышления: его оп-ределенность, непротиворечивость, последовательность и обоснован-ность. Они действуют во всяком процессе мышления независимо от того, в какой форме оно протекает.

Формально-логические законы сложились в результате многовековой практики человеческого познания как своеобразное отражение определен-ных свойств и отношений предметов действительности. В самом деле, ка-ждый предмет, несмотря на происходящие с ним изменения, остается от-носительно определенным предметом с присущими ему признаками, по-зволяющими отличать его от других предметов, рассматривать как качест-венно определенный предмет. Вместе с тем он существует не сам по себе, его существование обусловлено другими предметами.

4.2. Закон тождества

Рассуждая о каком-либо предмете, необходимо мыслить именно этот предмет с присущими ему существенными признаками. Мысль о предмете должна иметь определенное, устойчивое содержание, сколь-ко бы раз она ни повторялась. Это важнейшее свойство мышления – его определенность – выражает закон тождества, согласно которому всякая мысль в процессе рассуждения должна быть тождественной самой себе.

Закон тождества обычно формулируется как А есть А, или всякий предмет есть то, что он есть, где под А понимается любая мысль.

Данный закон содержит в себе несколько основных правил. Из закона тождества вытекает важное требование: нельзя отожде-

ствлять различные мысли, нельзя тождественные мысли принимать за нетождественные.

Данное требование представляется очевидным, хотя в процессе рассуждения нередко нарушается. Это связано с тем, что любая мысль


42

выражается в языке, причем одна и та же мысль может быть выражена по-разному.

С другой стороны, употребление многозначных слов и слов-омонимов может привести к отождествлению различных мыслей. Ото-ждествление различных мыслей может произойти в результате того, что разные люди в зависимости от профессии, жизненного опыта и т. д. вкладывают в одно и то же понятие разный смысл.

Отождествление различных понятий представляет собой логиче-скую ошибку – подмену понятия, сущность которой состоит в том, что вместо данного понятия и под видом его употребляют другое понятие. Причем эта подмена может быть как неосознанной, так и сознательной.

Подмена понятия означает подмену предмета рассуждения. Рассу-ждение в этом случае будет относиться к разным предметам, хотя они будут ошибочно приниматься за один.

4.3. Закон непротиворечия

Закон непротиворечия выражает одну из самых существенных особенностей логического мышления – непротиворечивость. Он содер-жит в себе запрет мыслить и рассуждать противоречиво, квалифицирует противоречие как серьезную логическую ошибку, несовместимую с ло-гическим мышлением. Противоречия затрудняют мысль, разрушают процесс познания.

В общем виде противоречие может быть описано следующей фор-мулой: неверно, что А и не-А, т. е. неверно, что могут быть вместе ис-тинными две мысли, одна из которых отрицает другую.

Закон противоречия действует в отношении всех несовместимых суждений – и противоположных (контрарных) и противоречивых (кон-традикторных). Он указывает, что два несовместимых суждения не мо-гут быть одновременно истинными, одно из них необходимо ложно. Что касается другого суждения, то оно может быть как истинным, так и ложным. Так, из двух каких-либо контрарных суждений одно может быть истинным, другое – ложным.

Однако ложными могут быть оба контрарных суждения. Существует несколько форм противоречий. Логическое противоречие представляет собой соотношение взаи-

моисключающих суждений, взятых в одном контексте. Строго говоря, логическое противоречие есть противоречие между фрагментами за-фиксированного знания.

К примеру, суждение «Иванов – отличник» и «Иванов – задолж-ник», если в контексте не оговорено, что речь идет об одном и том же субъекте, противоречием не является.


43

Диалектическое противоречие – противоречие развивающегося (изменяющегося) знания.

Противоречие-парадокс – особый вид противоречия. Известен парадокс Бертрана Рассела о парикмахере, который бреет только тех мужчин, которые не бреются сами. В итоге на вопрос о том, кто бреет парикмахера, нет ответа. Ибо если он бреет сам себя, то его не должен брить парикмахер (а он и есть парикмахер), и наоборот, если его бреет парикмахер, то он не должен брить сам себя. В шутливой форме здесь заложено противоречие-парадокс, которое подвело мину под фундамент математики – теорию множеств, так как, говоря о парикмахере и прочей публике, Б. Рассел имел в виду различные множества и подмножества. Тем самым данный парадокс выявил бессилие теории множеств. Любое противоречие-парадокс, несмотря на внешне деструктивный характер, содержит в себе элемент утверждения. Парадокс показывает, что есть факты, добытые наукой, которые не укладываются в рамки существую-щих теорий. Это требует смены и развития теории.

Закон непротиворечия действует по отношению ко всем несовмес-тимым друг с другом суждениям – и противоположным, и противоречи-вым. Он устанавливает, что одно из них необходимо ложно. Вопрос о втором суждении остается открытым – оно может быть как истинным, так и ложным.

4.4. Закон исключенного третьего

Закон исключенного третьего действует только в отношении противоречащих (контрадикторных) суждений и формулируется сле-дующим образом: два противоречивых (контрадикторных) суждения не могут быть одновременно ложными, одно из них необходимо истин-но. Этот закон выражается формулой А есть либо В, либо не-В.

Объединив закон исключенного третьего с законом непротиворе-чия, получим следующее положение: два противоречащих суждения не могут быть вместе истинными и не могут быть вместе ложными; одно из них необходимо истинно, другое необходимо ложно. Рассужде-ние ведется по формуле: или – или (либо – либо). Третьего не дано.

Закон исключенного третьего формулирует важное требование к нашим мыслям: нельзя уклоняться от признания истинным одного из двух противоречащих друг другу суждений и искать нечто третье меж-ду ними. Если одно из них признано истинным, то другое необходимо признать ложным, а не искать третье, несуществующее, суждение, так как третьего не дано.

Конечно, закон исключенного третьего не может указать, какое именно из данных суждений истинно. Этот вопрос решается при помо-щи практики, устанавливающей соответствие или несоответствие суж-


44

дения объективной действительности. Значение закона состоит в том, что он указывает направление в отыскании истины: возможно только два решения вопроса, причем одно из них (и только одно) необходимо является истинным. Всякое среднее, третье, решение исключено.

4.5. Закон достаточного основания

Наши мысли о каком-либо факте, явлении, событии могут быть ис-тинными или ложными. Высказывая истинную мысль, мы должны обосновать ее истинность, то есть доказать ее соответствие действи-тельности. Выдвигая какой-либо тезис, необходимо привести веское до-казательство, чтобы обосновать истинность своего утверждения.

Требование доказанности, обоснованности мыслей выражает закон достаточного основания, который формулируется следующим образом: всякая мысль признается истинной, если она имеет достаточное осно-вание. Формула закона: Если есть В, то есть и его основание А.

Рассмотренные выше законы мышления имеют в логике такое же значение, какое в математике имеют аксиомы или постулаты. Они так же очевидны, как и то, что целое больше части или то, что между двумя точками можно провести только одну прямую.

Законы логики можно нарушать и их часто нарушают. Однако здесь есть одно важное условие: если мы стремимся к истинности суж-дений и правильности рассуждений, то законы логики мы обязаны со-блюдать. Соблюдение законов логики еще не гарантирует нам истинно-сти наших мыслей и, следовательно, не является достаточным основа-нием для истинности суждений, поскольку истинность требует соответ-ствия того, что утверждается или отрицается в суждении, положению в мире вне суждения. Однако без соблюдения законов логики не может быть и речи об истинности рассматриваемых суждений.

4.6. Софизм и паралогизм

Как мы уже сказали выше, законы логики можно нарушать по двум основаниям: а) сознательно, б) невольно.

Софизм – это нарушение законов логики сознательно с целью введения собеседника в заблуждение. В качестве примера можно при-вести знаменитый софизм «Рогатый» из которого следует, что человек имеет в наличии то, чего он не терял. «Если ты не терял рогов, то, сле-довательно, ты рогат». Теперь мы можем сказать, что был нарушен за-кон тождества, требующий постоянства используемых понятий на про-тяжении всего рассуждения. В этом софизме происходит подмена поня-тий: вместо понятия «то, что ты не потерял, из того, что имеешь» ис-


45

пользуется понятие «то, что не потерял» независимо от того, имел ты это или нет.

Подобные софизмы были сформулированы еще в древности. Свое название они ведут от школы софистов – профессиональных учителей мудрости, которые брались обучать молодых людей искусству государ-ственного управления и судоговорения. Главный тезис софистов заклю-чался в следующем: истина не имеет отношения к государственному управлению, побеждает тот, кто сумел убедить народное собрание или суд. Поэтому они брались обучать юношей убеждать других людей во всем, в чем им будет угодно. Даже в явной чепухе. Софизмы служили примерами того, что человека можно убедить в чем угодно, были бы использованы подходящие средства. В некоторой степени логика была построена с целью разоблачения и критики софизмов, вводящих собе-седника в заблуждение.

Паралогизм – нарушение законов логики, допускаемое неволь-

но. По своей логической сути паралогизм не отличается от софизма. Его отличие только в мотиве. Но мы знаем, что «незнание законов не осво-бождает от ответственности за их нарушение».


1. Что называется логическим законом? 2. Сформулируйте закон непротиворечия. 3. Сформулируйте закон тождества. 4. Сформулируйте закон исключенного третьего. 5. Сформулируйте закон достаточного основания. 6. Что называется софизмом? Приведите примеры.


1. «Ручаюсь, – сказал продавец в зоомагазине, – что этот попугай будет повторять любое услышанное слово». Обрадованный покупатель приобрел эту птицу, но, придя домой обнаружил, что попугай молчит. Тем не менее продавец не лгал. Как объяснить данное противоречие?

2. Известно, что Ф.М. Шаляпин писал стихи, и они публиковались в сборниках начала века. Вот одно из них:

Я помню раз во время оно Бродил я по лесам Цейлона. И как-то утренней зарею С очковой встретился змеею.


46

Из пасти высунувши жало, Она ко мне уж подползала, И был момент, когда, поверьте, Я был готов к ужасной смерти. Но я рассудка не теряю, Очки в осколки разбиваю. Ослепла, бедная, понятно И с плачем поползла обратно.

Какая именно ошибка обыгрывается в этом тексте Шаляпиным?


47

Тема 5

УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

5.1. Общая характеристика умозаключений

Как мы уже говорили, мы можем получать новые суждения, поль-зуясь исключительно собственным умом. Этот вид деятельности назы-вается умозаключением: мы заключаем своим умом.

Умозаключение – это последовательность суждений, в которой последнее суждение выводится из предыдущих.

Мы помним, что суждение – это мысль. Следовательно, умозаклю-чение – это последовательность мыслей. Мы переходим к исследованию более сложных объектов. До сих пор мы имели дело с отдельными мыс-лями, теперь перейдем к их последовательности.

Например: Записка написана на японском или китайском языке. Это – не китайский язык. Следовательно, это – японский язык.

Мы видим, что здесь приведена последовательность из трех сужде-ний, причем последнее суждение «это – японский язык», выводится из первых двух.

Умозаключение – это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений выводится новое суждение.

5.2. Структура и классификация умозаключений

Давайте рассмотрим структуру умозаключения. Мы можем разли-чить в умозаключении:

1. Суждения, из которых выводится последнее суждение – посылки. 2. Суждение, которое выводится из предыдущих суждений –

заключение. 3. Логическая связь между ними. Третий элемент умозаключения явно в нашей речи не выражен, но

именно он соединяет в мышлении все суждения в единое целое. Исходя из характера логической связи между посылками, можно

выделить, по крайней мере, три вида рассуждений: от общего к част-ному, от частного к общему и от частного к частному.

Идея первого типа рассуждений (а далее мы рассматриваем именно его) основывалась на том явном для людей положении, что если общее положение верно, то должны быть верными и частные утверждения, оп-ределяемые этим общим положением. Такого типа рассуждения назы-ваются дедуктивными.


48

Название «дедуктивные умозаключения» происходит от латин-ского слова deductio – «выведение». В дедуктивных умозаключениях связи между посылками и заключением представляют собой формаль-но-логические законы. При истинных посылках заключение всегда ока-зывается истинным.

Дедуктивным называется умозаключение, в котором истин-ность посылок должна гарантировать истинность заключения.

Остальные виды рассуждения с точки зрения корректности вывода куда менее ясны. Рассуждения от частного к общему отражают наш путь постижения мира и нас самих в нем. Общие утверждения возника-ют на пути обобщения частных, отражающих совокупность наших еди-ничных опытных фактов. Такие рассуждения получили наименование индуктивных.

Название «индуктивные умозаключения» происходит от латин-ского слова inductio – «наведение». Между посылками и заключением в этих умозаключениях имеют место такие связи по формам, которые обеспечивают получение только правдоподобного заключения при ис-тинных посылках. Посредством дедуктивных умозаключений выводят некоторую мысль из других мыслей, а индуктивные умозаключения лишь наводят на мысль.

Недедуктивным называется умозаключение, в котором истин-ность посылок не гарантирует истинности заключения.

Истинность общего результата подобных рассуждений для людей становится очевидной, если частных утверждений, подтверждающих данный результат, довольно много, а опровергающих утверждений нет.

Еще более сложная ситуация складывается при переходе от одних частных утверждений к другим частным, связанным каким-то образом с исходными. Такие рассуждения называют иногда правдоподобными.

Можно выделить два вывода: 1. Исходные посылки рассуждения являются истинными. 2. Правильно применяемые приемы перехода от посылок к другим

вытекающим из них утверждениям и из посылок и ранее полученных утверждений к новым утверждениям должны сохранять истинность всех получаемых утверждений, т. е. истинные посылки должны по-рождать только истинные заключения.

Именно таким свойством обладает аристотелевская система логи-ческого анализа и воспроизведения схем рассуждений, именуемая сил-логистикой.


49

Умозаключения ↓ ↓ дедуктивные индуктивные

↓ ↓ выводы из выводы из простых суждений сложных суждений ↓ ↓ непосредственные: условные, разделительные и обращение условно-разделительные превращение умозаключения противопоставление предикату выводы по логическому квадрату ↓ опосредованные: простой категорический силлогизм


1. Что называется умозаключением? 2. Какова структура умозаключения? 3. Какие виды умозаключений вы знаете?


Определите, какие из данных умозаключений являются непосред-ственными, а какие – опосредованными:

1. Все книги имеют страницы, значит, неверно, что некоторые кни-ги не имеют страниц.

2. Все планеты вращаются вокруг своей оси, значит, неверно, что некоторые планеты не вращаются вокруг своей оси.

3. Все дельфины – плавают, а все плавающие живут в воде, значит, некоторые живущие в воде – дельфины.


50

Тема 6

НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

6.1. Умозаключение по логическому квадрату

Учитывая свойства отношений между категорическими суждения-ми А, Е, I и О, которые представлены схемой логического квадрата, можно строить выводы, устанавливая следование истинности или лож-ности одного суждения из истинности или ложности другого суждения.

Умозаключение противоречия (A – O, E – I) основывается на ло-гическом законе исключенного третьего, согласно которому если ут-верждение чего-либо истинно, то отрицание этого ложно, и наоборот.

Например: Все стулья мягкие. (А) – истина. Некоторые стулья не являются мягкими. (О) – ложь. Предположим, необходимо установить истинность общеотрица-

тельного суждения. Это возможно сделать, если нам удастся установить ложность частноутвердительного суждения. Если желательно устано-вить истинность частноотрицательного, например, суждения, то при не-возможности сделать именно это устанавливается ложность общеутвер-дительного и на основании логического квадрата говорят о требуемом.

Умозаключение противоположности (A – E) также основано на логическом квадрате и происходит на базе закона противоречия. Из истинности одного суждения следует ложность другого суждения, но из ложности одного из них не следует истинность другого. Ложными мо-гут быть оба суждения.

В умозаключениях противоположности вывод делается либо о ложности общего суждения, либо о ложности единичного суждения.

Например: Ни один человек не является машиной. (I) – истина. Все люди – машины. (А) – ложь. Умозаключение субконтрарности (I – O) дает возможность полу-

чить истинные частноутвердительные или частноотрицательные сужде-ния. Из ложности одного суждения следует истинность другого, но из истинности одного из них может следовать как истинность, так и лож-ность другого. Истинными могут быть оба суждения.

Например: Некоторые врачи не имеют медицинского образования. (О) – ложь. Некоторые врачи имеют медицинское образование. (I) – истина.

или Некоторые свидетели допрошены. (I) – истина. Некоторые свидетели не допрошены. (O) – как истина, так и ложь.


51

Таким образом, субконтрарные суждения не могут быть вместе ложными; по крайней мере, одно из них необходимо истинно.

Последний подвид умозаключения по логическому квадрату – умо-заключения подчинения (A – I, E – O), которые позволяют получить истинные частноутвердительные или частноотрицательные суждения. Из истинности подчиняющего суждения следует истинность подчинен-ного суждения, но не наоборот: из истинности подчиненного суждения истинность подчиняющего не следует, оно может быть как истинным, так и ложным.

Например: Из истинности суждения «Все философы так или иначе интересовались проблемой смысла жизни» можно сделать вывод «Не-которые философы интересовались проблемой смысла жизни» – истин-ное суждение. (Если верно, что все философы интересовались пробле-мой смысла жизни, то верно и то, что, по крайней мере, некоторые из них также интересовались этой проблемой).

Но, вместе с тем, из истинности подчиненного суждения I «Неко-торые свидетели допрошены» нельзя с необходимостью вывести истин-ное суждение «Все свидетели допрошены».

6.2. Другие виды умозаключений

Под умозаключениями модальности имеют в виду отношение между суждениями, характеризуемыми некоторыми логическими мо-дальностями.

Выделяют следующие принципы умозаключений модальности: 1. Что необходимо, то действительно. Если необходимо, чтобы все птицы умели летать, то действи-

тельно все птицы умеют летать. 2. Что необходимо, то возможно. Если необходимо, чтобы все птицы умели летать, то возможно

все птицы умеют летать. 3. Что действительно, то возможно. Если действительно все птицы умеют летать, то возможно

все птицы умеют летать. 4. Что невозможно, то недействительно. Если невозможно, чтобы все птицы умели летать, то не дейст-

вительно, чтобы все птицы умели летать. 5. Что невозможно, то не необходимо. Если невозможно, чтобы все птицы умели летать, то не необ-

ходимо, что все птицы умеют летать. 6. Что недействительно, то не необходимо. Если недействительно, чтобы все птицы умели летать, то не

необходимо, что все птицы умеют летать.


52

Более подробно изучение умозаключений модальности происходит в так называемых модальных логиках, особенно бурно развивающихся в последние несколько десятилетий.

Умозаключение превращения есть такое изменение качества су-ждения, которое производится на основания того, что истинно суждение о принадлежности субъекту либо данного предиката Р, либо противоре-чащего eмy предиката не-Р. По сути дела, умозаключения превращения имеют одну из следующих схем:

1. Если S есть Р, то S не есть не-Р. Например: Если этот стул деревянный, то он не может быть не

деревянным. 2. Если S не есть Р, то S есть не-Р. Например: Если этот стул не является деревянным, то он являет-

ся не деревянным. 3. Если S есть не-Р, то S не есть Р. Например: Если этот стул является не деревянным, то он не явля-

ется деревянным. 4. Если S не есть не-Р, то S есть Р. Например: Если этот стул не является не деревянным, то он явля-

ется деревянным.

В умозаключениях обращения в посылке выражается зависи-мость между отношением субъекта к предикату и предиката к субъекту, то есть зависимость между категорическими (атрибутивными) сужде-ниями одинакового качества, отличающимися местоположением субъ-екта и предиката. При этом то, что было предикатом, становится субъ-ектом, а то, что было субъектом, – предикатом.

Схемы умозаключений обращения таковы: 1. Если «все S есть Р», то «некоторые Р есть S». Например: Если все розы – цветы, то некоторые цветы – розы. 2. Если «ни один S не есть Р», то «ни один Р не есть S». Например: Если ни одна роза не является цветком, то ни один цве-

ток не является розой. 3. Если «некоторые S есть Р», то «некоторые Р есть S». Например: Если некоторые розы – цветы, то некоторые цветы –

розы.

Противопоставлением предикату называется такое непосредст-венное умозаключение, в результате которого в выводном суждении субъектом становится понятие, противоречащее предикату исходного суждения, а предикатом – субъект исходного суждения. Схемами умо-заключения противопоставления предикату являются:


53

1. Если «все S есть Р», то «ни один не-Р не есть S». Например: Если все ёжики колючие, то ни один не колючий зверь

не является ёжиком. 2. Если «ни один S не есть Р», то «некоторые не-Р есть S». Например: Если ни один ёжик не является колючим, то некоторые

не колючие звери являются ёжиками. 3. Если «некоторые S не есть Р», то «некоторые не-Р есть S». Например: Если некоторые ёжики не являются колючими, то не-

которые не колючие звери являются ёжиками.


1. Охарактеризуйте умозаключения по логическому квадрату. 2. Какие еще виды умозаключений вы знаете?


1. Сделайте вывод путем превращения: а) Любая истина является конкретной. б) В некоторых странах разрешено многоженство. в) Ни одна захватническая война не является справедливой. г) Некоторые материалы не проводят электрический ток.

Пример: (А) Все бабочки имеют крылья. (Р)_____________ (Е) Ни одна бабочка не является бескрылой. (не-Р)

2. Сделайте вывод путем обращения: а) Все студенты юридических вузов изучают логику. б) Некоторые дома оказались разрушенными. в) Все православные – христиане. г) Ни один вегетарианец не ест мяса.

3. Проверьте, правильно ли произведено превращение: а) Ни один из подсудимых не виноват; значит, все подсудимые

невиновны. б) Все необходимое для лечения уже было сделано; значит, нечто

необходимое для лечения не было не сделано. в) Некоторые ответы не являются правильными; значит, некото-

рые ответы являются правильными. г) Некоторые грибы не являются съедобными, значит, некоторые

грибы являются несъедобными.


54

4. Проверьте, правильно ли произведено обращение: а) Все спортсмены – здоровые люди; значит, все здоровые люди

– спортсмены. б) Некоторые школьники – шахматисты; значит, некоторые

шахматисты – школьники. в) Ни один пейзажист не является баталистом; значит, ни один

баталист не является пейзажистом.

5. Осуществите вывод путем противопоставления предикату сле-дующих суждений:

а) Ни один невиновный не должен быть наказан. б) Все млекопитающие – позвоночные животные. в) Некоторые преступления не удается раскрыть. г) Все фрукты содержат витамины.

Пример: Некоторые школьники не занимаются спортом. Некоторые не занимающиеся спортом являются школьниками.


55

Тема 7

ОПОСРЕДОВАННЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

7.1. Общая характеристика силлогизма

Логика исторически началась с силлогистики, то есть теории сил-логизмов. Автором этой теории был древнегреческий ученый и фило-соф Аристотель. Как мы уже говорили, Аристотель был отцом логики. Силлогистика и была его главным детищем. Ядро его силлогистики в той или иной степени сохранилось до наших дней. Это связано с тем, что относительная простота и элегантность силлогистики среди многих других логических систем и теорий делают ее особенно удобным сред-ством ознакомления с дедуктивными понятиями и приобщения людей к элементарной логической культуре.

Некоторые дополнения были внесены позднее такими философами, как Зенон, Цицерон, Боэций, а так же средневековыми авторами – Петр Абеляр, Дунс Скот и Уильям Оккам.

Давайте рассмотрим это понятие более подробно, что же такое – силлогизм?

Силлогизм – это дедуктивное умозаключение, в котором вывод совершается на основе соотношения терминов в одном или более категорических суждениях.

7.2. Простой категорический силлогизм

Простым категорическим силлогизмом называется опосредство-ванное умозаключение, посылки и заключение которого представляют собой категорические, или атрибутивные, суждения. Такой силлогизм состоит из двух посылок и заключения.

Например: Все планеты имеют форму шара. Земля – планета. Следовательно, Земля имеет форму шара.

Все понятия, входящие в посылки силлогизма, называются терми-нами силлогизма. Так, в примере содержатся следующие термины: «планета», «форма шара» и «Земля». Отсюда можно заключить, что термины могут выражаться не только словами, но и словосочетаниями. Термины получают особые наименования: являющийся субъектом за-ключения называется меньшим термином, а являющийся предикатом заключения – большим термином. И наконец, термин, присутствую-щий в посылках, но отсутствующий в заключении, получил название среднего термина; он выступает в силлогизме в качестве посредника


56

между посылками и заключением. Меньший и больший термины силло-гизма называются крайними терминами.

В соответствии с тем, содержит посылка больший или меньший термин, ее называют соответственно большей или меньшей посылкой.

В приведенном примере первая посылка оказывается большей, вто-рая – меньшей. Стандартно принимается, что при записи силлогизма первой пишется большая посылка. Когда силлогизмы записаны на есте-ственном языке, это может и не соблюдаться, но при записи (переводе) данного силлогизма в схему большая посылка должна быть записана первой.

Что касается небольших и не вызывающих затруднений обозначе-ний, то обычно больший термин обозначается буквой Р, меньший – бу-квой S, средний термин – буквой М. Так, приведенный силлогизм мож-но записать в виде следующей схемы:

M – P S – M S – P

Здесь черта отделяет посылки от заключения и служит в качестве обозначения логического следования. При переходе от посылок к за-ключению средний термин как бы исчезает, осуществив свою роль свя-зующего звена между крайними терминами.

При переходе от посылок к заключению средний термин как бы исчезает, осуществив свою роль связующего звена между крайними терминами.

Простой категорический силлогизм – это дедуктивное умозак-лючение, в котором из двух категорических суждений выводится новое категорическое суждение.

Пример 1. Все люди смертны. Сократ – человек. Следовательно, Сократ – смертен.

Традиционная логика утверждает, что все рассуждения являются либо простыми, либо силлогистическими. Она предполагает, что любой вывод, который кажется более сложным, нежели силлогизм, может быть сведен к силлогизму или ряду силлогизмов.

7.3. Фигуры силлогизма

В зависимости от того, какие положения в посылках занимает средний термин, выделяют четыре фигуры силлогизма. Фигурами на-зываются типы силлогизмов, выделяемые на основе способов располо-жения средних терминов в посылках.


57

Каждое из суждений, входящих в силлогизм, может относиться

к одному их четырех видов суждений с точки зрения их качественной и количественной характеристики, то есть быть общеутвердительным, общеотрицательным, частноутвердительным и частноотрицательным (А, Е, I, О). Таким образом, различные сочетания видов суждений в силлогизме называются модусами силлогизмов.

Общие правила силлогизма таковы: В силлогизме должно быть три и только три термина. Средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из по-

сылок. Термин, не распределенный в посылке, не может быть распределен

и в заключении. Из двух посылок категорического силлогизма хотя бы одна обяза-

тельно должна быть утвердительным суждением, или, другими словами, из двух отрицательных посылок заключение с необходимостью не сле-дует.

Если одна из посылок – частное суждение, то и заключение должно быть частным.

Если одна из посылок – отрицательное суждение, то и заключение должно быть отрицательным.

По меньшей мере, одна из посылок обязательно должна быть об-щим суждением.

Правила силлогизма позволяют, например, восстановить в нем пропущенное заключение или одну из пропущенных посылок. Пусть одна из посылок – частноутвердительное суждение, а другая – общеот-рицательное суждение. На основании правил силлогизма можно ска-зать, что заключение должно быть частноотрицательным суждением. Или известно, что одна из посылок – общеутвердительное суждение, а заключение – частноотрицательное. Ясно, что вторая посылка пред-ставляет собой частноотрицательное суждение.

Нарушение правил силлогизма ведет к тому, что из посылок невоз-можно сделать заключение.

M

M

M

M

P P

S S

M

M

P

S

M

M

P

S

I II III IV


58

Возвращаясь к модусам силлогизма, скажем, что легко получить общее количество модусов по четырем фигурам, их число равно 256 (4 3 = 64; 64 ⋅ 4 = 256). Однако число ограничивается тем, что заключе-ние должно следовать из посылок. Из 256 сочетаний посылок одни обеспечивают достоверность заключения, другие дают заключения лишь с той или иной степенью вероятности.

7.4. Правильные модусы

Общие правила силлогизма в сочетании с правилами фигур силло-гизма ограничивают число приемлемых модусов (т. е. модусов, обеспе-чивающих достоверность заключения). Не говоря подробно о том, как это получено, можно сказать, что число таких модусов равняется 19; они называются правильными модусами. По фигурам силлогизма правильные модусы «распределены» неравномерно:

I фигура: ААА, AII, EAE, ЕIO. II фигура: АЕЕ, АОО, EAE, ЕIO. III фигура: AAI, ЕАО, IAI, ОАО, AII, ЕIO. IV фигура: AAI, АЕЕ, IAI, ЕАО, ЕIO. Таким образом, проверка силлогистического умозаключения сво-

дится к установлению фигуры и модуса силлогизма, и в том случае, ес-ли этот модус совпадает с правильным модусом данной фигуры, заклю-чение силлогизма с необходимостью следует из посылок.

Средневековые ученые изобрели мнемонику, которая сделала рас-познавание 19 сильных достоверных форм более легким. Каждая строка представляет фигуру. Первые три гласных звука в каждом слове пред-ставляют модус.

1. BARBARA, CELARENT, DARII, FERIOQUE – достоверные мо-дусы первой фигуры: AAA, EAE, AII, EIO.

2. CESARE, CAMESTRES, FESTINO, BAROCO – достоверные модусы второй фигуры: EAE, AEE, EIO, AOO.

3. DARAPTI, DISAMIS, DATISI, FELAPTON, BOCARDO, FERISON – достоверные модусы третьей фигуры: AAI, IAI, AII, EAO, OAO, EIO.

4. BRAMANTIP, CAMENES, DIMARIS, FESAPO, FRESISON – достоверные модусы четвертой фигуры: AAI, AEE, IAI, EAO, EIO.

Запомнить эту мнемонику нелегко. Кажется, что перед нами слова на чужом языке, возможно – на латыни, но на самом деле это лишь профессиональный латинообразный жаргон. Существует и мнемоника современного образца. Руководствуемся следующим правилом: «4 де-вочки, 4 мальчика посетили эти места и встретили этих знаменитых лю-дей».


59

5. Четыре девочки BARBARA, BERNADETTE, HERMIONE и LAVINIA – достоверные модусы первой фигуры: AAA, EAE, AII, EIO.

6. Встретили четырех мальчиков ALPHONSO, ELIOTT, GERVASE, LAWRENSE – достоверные модусы второй фигуры: AOO, EIO, EAE, AEE.

7. Они посетили шесть мест: ATLANTIC, PACIFIC, EQUATOR, а потом ETHIOPIA, MIAMI и MONACO – достоверные модусы третьей фигуры: AAI, AII, EAO, EIO, IAI, OAO.

8. Там они видели пятерых знаменитых людей: CLARENSE в вин-ной бочке, короля MELCHIOR, пророков ISАIAH и MALACHI, а еще ученого MELANCTHON – достоверные модусы четвертой фигуры: AEE, EIO, IAI, AAI, EAO.

Пример: Ни один аспирант – не студент. Все студенты обязаны сдавать экзамены. Следовательно, некоторые лица, обязанные сдавать экзамены, не аспиранты. Установим фигуру силлогизма и определим модус ЕАО.

Р – М М – S S – P

Это четвертая фигура, и полученный модус (FESAPO) входит в число правильных модусов данной фигуры. Это означает, что анализируемое силлогистическое умозаключение корректно, а вывод – истинный.


1. Что называется силлогизмом? Какие виды силлогизмов вы знаете? 2. Какие модусы называются правильными?


1. Составьте схему следующих силлогизмов и определите, какие из них являются правильными:

а) Все летающие имеют крылья. Все птицы – летающие. Все птицы имеют крылья.

б) Все писатели пишут романы. Все писатели – мужчины. Некоторые мужчины пишут романы.

в) Все события имеют начало и конец. Все события происходят во времени. Все, происходящее во времени, имеет начало и конец.


60

Тема 8

ВЫВОДЫ ИЗ СЛОЖНЫХ СУЖДЕНИЙ

8.1. Условные, разделительные и условно-разделительные умозаключения

Мы разобрались с простым категорическим силлогизмом. Попро-буем усложнить задачу. Кроме простых категорических силлогизмов выделяют так же условные, разделительные и условно-разделительные силлогизмы.

Условными силлогизмами называются силлогизмы, в которых одна или обе посылки – условные суждения. Они обычно соответствуют следующей схеме:

Если А, то В. Если В, то С. Следовательно, если А, то С. Разделительными силлогизмами называются силлогизмы, в ко-

торых первая посылка – разделительное суждение. Вторая посылка и вывод представляют собою разделительные и категорические суждения.

В них присутствуют суждения, соответствующие схеме: А или В. В условно-разделительном силлогизме одна посылка является

условным суждением, а вторая – разделительным. В зависимости от комбинаций, содержащихся в суждении этого

силлогизма, он называется дилеммой, трилеммой и тетралеммой. Наиболее часто в практике мышления встречается дилемма. Название этих умозаключений происходит от греческих слов д» – дважды и лем-ма – предположение. Она бывает простой, сложной, конструктивной и деструктивной.

Приведем их схемы. 1. Простая конструктивная дилемма: Если А, то В. Если С, то В. А или С. Следовательно, В.

2. Простая деструктивная дилемма: Если А, то не-В. Если С, то не-В. А или С. Следовательно, не-В.


61

3. Сложная конструктивная дилемма: Если А, то В. Если С, то D. А или С. Следовательно, В или D.

4. Сложная деструктивная дилемма Если А, то не-В. Если С, то не-D. А или С. Следовательно, не-В или не-D.

Дилеммы очень часто используются в спорах и дискуссиях. Необ-

ходимо уметь отвечать на дилемматические аргументы. Рассмотрим не-сколько примеров:

1. Приведем рассуждение Сократа из диалога Платона «Апология Сократа». Приговоренный к смерти Сократ, отказываясь от побега, рас-суждает о смерти так:

«А рассудим-ка еще вот как – велика ли надежда, что смерть – это благо? Умереть, говоря по правде, значит одно из двух: или перестать быть чем бы то ни было, так что умерший не испытывает ощущения от чего бы то ни было, или же это есть для души какой-то переход, пересе-ление ее отсюда в другое место… И если бы это было отсутствием вся-кого ощущения, все равно, что сон, когда спят так, что даже ничего не видят во сне, то смерть была бы удивительным приобретением (…) Так если смерть такова, я со своей стороны назову ее приобретением… С другой стороны, если смерть есть как бы переселение отсюда в другое место и если правду говорят, что там все умершие, то есть ли что-нибудь лучше этого? (…) Что меня касается, то я желаю умирать много раз, если все это правда; для кого другого, а для меня было бы удиви-тельно вести там беседы…».

Если убрать все изящество стиля Платона, то схема рассуждения будет такой:

Если смерть похожа на сон, это благо. Если смерть есть переселение в другой (лучший) мир, это благо. Смерть есть сон или переселение в другой (лучший) мир. Следовательно, смерть – это благо. Ответить на подобную простую конструктивную дилемму можно

тем, что разделительная посылка не исчерпывает всех возможностей и, скажем, смерть может быть полным «растворением», уничтожением, и в этом нет блага. Если же смерть может быть переселением в худший мир, то и в этом нет блага.


62

Еще один пример. Молодой афинянин, желая заняться политикой, пришел посовето-

ваться со своей матерью. Она хотела отговорить его от этого намерения и рассуждала так:

Если ты будешь справедлив, тебя будут ненавидеть (люди). Если ты не будешь справедлив, тебя будут ненавидеть (боги). Ты будешь справедлив или не справедлив. Следовательно, тебя будут ненавидеть (люди или боги). 1. Ответом сына было построение контрдилеммы – и это еще один

способ ответа на дилемму: Если я буду справедлив, меня будут любить (боги). Если я не буду справедлив, меня будут любить (люди). Я буду справедлив или не справедлив. Следовательно, меня будут любить (люди или боги).

Воспроизведем и сравним схемы дилеммы и контрдилеммы: Если А, то В. Если А, то не-В. Если не А, то В. Если не А, то не-В. А или не-А. А или не-А. Следовательно, В. Следовательно, не-В.

И еще один пример. По Древней Греции в определенный период ее истории разъезжали

платные учителя, которые предлагали всех желающих научить высту-пать в суде и побеждать, доказывая свою правоту. Одним молодым че-ловеком был заключен договор с таким учителем. Согласно договору плата за обучение должна быть внесена учеником тогда, когда он выиг-рает свое первое судебное дело. Обучение закончилось, прошло еще не-которое время, а ученик все еще не вносил плату. Учитель подал на него в суд, рассуждая таким образом:

Если он проиграет, то заплатит по решению суда. Если он выиграет, то заплатит по договору. Он выиграет или проиграет. Следовательно, он все равно вынужден будет заплатить. Ученик же возражал и привел свое рассуждение: Если я выиграю, то не буду платить по решению суда. Если я проиграю, то не буду платить по договору. Я выиграю или проиграю. Следовательно, я не буду платить в любом случае. Как мы с вами выяснили, построение и анализ умозаключений –

дело весьма тонкое и требует не только соблюдения формы рассужде-ния, но и тщательного анализа его содержания.


63

8.2. Сокращенные и сложносокращенные силлогизмы

В ходе рассуждения люди иногда пропускают одну из посылок ли-бо пропускают заключение (которые возможно восстановить при анали-зе), или строят цепочки простых силлогизмов, или сочетают эти два способа рассуждения. В силлогистике это воспроизводится с помощью сокращенных или сложносокращенных силлогизмов.

Умозаключение, в котором несколько силлогизмов соединяются таким образом, что заключение предшествующего силлогизма (именуе-мого просиллогизмом) становится посылкой последующего силлогизма (эписиллогизма), называется полисиллогизмом. Выделяют два их вида: прогрессивный и регрессивный.

В прогрессивном полисиллогизме заключение просиллогизма стано-вится большей, а в регрессивном – меньшей посылкой эписиллогизма?

M – P S – P S – M H – S S – P H – P

Слева находится просиллогизм, справа – эписиллогизм. Умозаключение, в котором пропущена одна из его частей (посылка

или заключение), называется сокращенным умозаключением, или энтимемой. Наиболее распространена энтимема с пропущенной боль-шей посылкой.

Примеры энтимем: 1. Иванов – студент. Следовательно, он должен получать стипендию. 2. Я активно занимаюсь спортом, и поэтому вынослив. При анализе легко восстановить недостающие части. Обычным явлением оказывается пропуск в полисиллогизмах про-

межуточных заключений и в формулировании заключения последнего силлогизма.

Одним из таких сложносокращенных силлогизмов является сорит. Различают прогрессивный и регрессивный сорит. Их схемы с общими посылками соответственно таковы:

Все А есть В Все А есть В Все С есть А Все В есть С Все Д есть С Все С есть Д Все Е есть Д Все Д есть Е Все Е есть В Все А есть Е


64

Приведем пример сорита: Все научные законы имеют объективное содержание. Все законы естествознания – научные законы. Все законы физики – законы естествознания. Все законы квантовой физики – физические законы. Следовательно, все законы квантовой физики имеют объективное

содержание.


1. Что называется условным и условно-разделительным умозаклю-чением?

2. Что называется сложным, сокращенным и сложносокращенным умозаключением?


1. Являются ли данные дилеммы правильными? Постройте к дан-ным дилеммам контрдилеммы:

Если философ – дуалист, то он не материалист. Если философ – диалектик, то он не метафизик. Он материалист или метафизик. Следовательно, он не дуалист или не диалектик.

2. Несколько лет назад Британское адмиралтейство обратилось к министру финансов с просьбой выделить 18 шиллингов в месяц на пи-тание кота, охраняющего документы от мышей. Министр ответил так: «Если в адмиралтействе есть мыши, то деньги на питание кота не нуж-ны, поскольку он может питаться мышами. Если мышей нет, то деньги тоже не нужны, поскольку незачем тогда держать кота». Закончите дан-ное рассуждение.

3. Молодой афинянин обратился к Сократу за советом: стоит ли ему жениться или нет?

Сократ ответил: «Если тебе попадется хорошая жена, то ты будешь счастливым исключением, если – плохая, то ты будешь, как и я, фило-софом. Тебе попадется хорошая или плохая.»

Присутствовавший при разговоре пожилой афинянин заметил: «Но моя жена и ни хорошая, и ни плохая». «Значит хорошая», – ответил Сократ.

4. Во время пожара один человек рассуждал так: «Если я пойду по лестнице, то сгорю. Если я выпрыгну из окна, то разобьюсь. Я не пойду по лестнице и не выпрыгну из окна. Значит, я не сгорю и не разобьюсь».


65

5. Восстановите следующие энтимемы в полные силлогизмы: а) У квадрата все стороны равны, поскольку он – ромб. б) Число 18 делится на 6, так как 18 делится на 2 и на 3. в) Чрезмерная гордость заслуживает порицания, как и все, что

ведет к самоизоляции человека. г) Ртуть несжимаема, как и всякая жидкость.


66

Тема 9

ИНДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

9.1. Общее определение индукции

Для того чтобы подробно рассмотреть индукцию, нам нужно вспомнить пройденный материал.

Как мы уже говорили, умозаключение – это последовательность суждений, в которой последнее суждение выводится из предыдущих.

Умозаключение – это процесс получения знания или правдоподоб-ного утверждения, выраженного в суждении, из одного, двух или более суждений, принимаемых за истинные или правдоподобные, на основе специфики логических форм исходных и получаемого суждений с ис-пользованием или без использования особых методологических средств, а также на основе мысленного оперирования предметами и т. д.

Исходные суждения, как мы помним, называются посылками умо-заключения, а получаемое суждение – заключением.

Умозаключения делятся на дедуктивные и индуктивные. В отличие от дедуктивных умозаключений, в которых между по-

сылками и заключением имеет место отношение логического следова-ния, индуктивные умозаключения представляют собой такие связи ме-жду посылками и заключением по логическим формам, при которых посылки лишь подтверждают заключение. Отношение подтверждения обозначается символом « ⇒ ».

Выражение «А ⇒ В» следует читать: множество высказываний А подтверждает высказывание В. Если высказывания А истинны, то сте-пень правдоподобия В при наличии А выше, чем при отсутствии А.

Дедуктивная логика (учение о дедуктивных умозаключениях) – логика формальная, то есть логика, в которой исследуются связи между высказываниями (понятиями и т. д.) по их логическим формам.

Индуктивная логика (учение об индуктивных умозаключениях) – тоже формальная логика, поскольку отношение подтверждения – это тоже отношение между высказываниями по их логическим формам. Вместе с тем индуктивная логика не является только формальной логи-кой. В процессе индуктивных рассуждений обычно используются спе-циальные методологические средства, повышающие степень правдопо-добия умозаключений.

В зависимости от типа методологических средств, применяемых в индуктивных рассуждениях, выделяют два вида индуктивных умозак-лючений: ненаучную (популярную) индукцию и научную. В процессе


67

ненаучной индукции применяется методология здравого смысла или же методологические средства не используются совсем. Научная ин-дукция сопровождается научной методологией.

9.2. История возникновения индукции

Индуктивная логика, как и дедуктивная, имеет длинную историю. По свидетельствам древних авторов, не дошедшее до нас сочинение Демокрита «Канон», или «О логике» содержало элементы индуктивной логики. Индуктивную логику разрабатывали Сократ, Платон и Аристо-тель.

Индукция по Сократу – это способ уточнения понятий этики, за-ключающийся в следующем: берется первоначальное определение како-го-либо понятия, например понятие «мужество», анализируются раз-личные случаи употребления данного понятия. Если этот анализ приво-дит к необходимости уточнить понятие, то оно уточняется, затем про-цедура повторяется.

Платон понимал под индукцией так называемую обратную дедук-цию: если А ⇒ В, то и В ⇒ А.

Аристотель – обобщающую индукцию, то есть переход от знания о некоторых предметах класса к знанию обо всех предметах класса.

В средние века индукция практически не разрабатывалась, по-скольку на первый план выдвигалось изучение способов выведения зна-ний из высших (божественных) истин, а также согласование знаний с догмами церкви, опытное же знание всячески принижалось.

Бурное развитие опытного естествознания в эпоху Возрождения и Новое время обусловило разработку индуктивной логики. В книге «Новый органон» Ф. Бэкон заложил основы так называемых методов установления причинной связи между явлениями. Идеи, высказанные Ф. Бэконом, развили Гершель и Дж. Ст. Милль. Методы установления причинных связей между явлениями обычно называют методами Бэкона – Милля.

В рамках современной логики проблемы индукции разрабатывают-ся с использованием теории вероятности.

9.3. Виды индукции

Обобщающая индукция – это умозаключение, в котором осуще-ствляется переход от знания об отдельных предметах класса или о под-классе класса к знанию обо всех предметах класса или о классе в целом. Схема общая для полной и неполной индукции такова:


68

Предмет S1 обладает свойством Р. Предмет S2 обладает свойством Р. - - - Предмет Sn обладает свойством Р. Предметы S1, S2 … Sn – элементы класса К. Все предметы класса К обладают свойством Р. Очевидно, что заключение, получаемое посредством неполной ин-

дукции, может оказаться ложным. Для повышения степени правдоподо-бия заключения при применении неполной индукции используется спе-циальная методология. В зависимости от применяемой методологии различают два вида неполной индукции.

Неполная индукция называется популярной, если при ее примене-нии не используется научная методология, то есть не используются ни-какие методологические средства, или же используется методология здравого смысла. К методологии здравого смысла относятся следую-щие принципы:

• Исследовать как можно больше предметов • Разнообразить выбор предметов для исследования. Например: При опросе студентов с целью выяснения, освоили они

или нет ту или иную тему, в соответствии с методологией здравого смысла, нужно опросить как можно больше студентов разных катего-рий. Соблюдение этих правил несколько повышает степень правдопо-добия заключения, но всё же не позволяет считать заключение доста-точно правдоподобным.

Второй вид неполной индукции – научная неполная индукция. Она бывает двух типов.

Первая – индукция через отбор случаев, исключающих случайные обобщения.

Вторая – неполная индукция, в процессе которой при установле-нии принадлежности предметам свойства не используются какие-либо индивидуальные признаки этих предметов (индукция на основе обще-го); чаще всего этот тип индукции представляет собой какую-либо тео-рию. Применение индукции на основе общего при исследовании соци-альных явлений связано с большими трудностями, поскольку в этом случае не всегда удается исключить индивидуальные особенности лю-дей, социальных групп, специфические условия их деятельности. Этим и объясняется недостаточная обоснованность выводов, получаемых в результате социальных экспериментов.

Известно, например, что такой ученый, как Роберт Оуэн, провел социальный эксперимент в колонии Нью-Ланарк, блестяще подтвер-


69

дивший его концепцию перестройки общества. Однако все дальнейшие попытки Оуэна повторить эксперимент не увенчались успехом.

9.4. Умозаключения по аналогии

Умозаключением по аналогии называется рассуждение, в кото-ром из сходства двух объектов в некоторых признаках делается заклю-чение об их сходстве в других признаках. Сравниваемыми объектами могут быть как отдельные предметы, так и системы предметов. Слово «аналогия» греческого происхождения. Его смысл может быть истолко-ван как «сходство объектов в каких-то признаках».

Схема умозаключения по аналогии такова: Объект А имеет признаки a, b, c, d. Объект B имеет признаки a, b, c. Объект B имеет признак a. Например: После того как на Солнце при помощи спектрального

анализа обнаружили новый химический элемент, рассуждали так. Солнце и Земля сходны во многих признаках: они относятся к одной и той же планетарной системе, имеют сходный химический состав (это тоже было установлено при помощи спектрального анализа) и т. д. Сле-довательно, химический элемент, найденный на Солнце должен быть и на Земле. Затем этот химический элемент действительно был найден на Земле и назван гелием.

Различают ненаучную (нестрогую) аналогию и научную (стро-гую) аналогию.

Нестрогая аналогия представляет собой рассуждение указанной формы, возможно, дополненное методологией здравого смысла. Она включает в себя следующие принципы:

Нужно обнаружить как можно большее число сходных признаков у сравниваемых предметов.

Общие признаки должны быть существенными для сопоставляе-мых предметов.

Общие признаки должны быть по возможности отличительными для этих предметов, то есть должны принадлежать только сравнивае-мым предметам или, по крайней мере, сравниваемым и еще некоторым предметам.

Названные признаки должны быть как можно более разнородными, то есть характеризовать названные предметы с разных сторон.

Общие признаки должны быть тесно связаны с переносимым при-знаком.

Выполнение перечисленных требований повышает степень прав-доподобия заключения, но не намного.


70

Строгая аналогия бывает двух видов. В аналогии первого вида в качестве научной методологии используется теория, объясняющая связь признаков a, b, c с переносимым признаком d. Этот строгий вид аналогии сходен с научной индукцией на основе общего. На строгой аналогии первого вида базируется метод моделирования, применяемый как в естествознании, так и в социальном познании.

При научной аналогии второго вида в качестве общей методологии, кроме перечисленных выше методологических принципов здравого смысла, применяются следующие требования:

Общие признаки a, b, c должны быть в точности одинаковыми у сравниваемых предметов.

Связь признаков a, b, c с признаком d не должна зависеть от спе-цифики сравниваемых предметов.

В социальном познании эти требования дополняются специальной методологией исследования той или иной сферы общественной жизни.

Основными функциями аналогии являются: Эвристическая – аналогия позволяет открывать новые факты. Объясняющая – аналогия служит средством объяснения явления. Доказательная – строгая аналогия может выступать в качестве до-

казательства или же в качестве аргументации, приближающейся к дока-зательству.

Гносеологическая – аналогия выступает в качестве средства познания.


1. Что такое индукция? 2. Какие виды индукции вы знаете? 3. В чем заключается смысл умозаключений по аналогии?


1. В каких из следующих индуктивных умозаключений их заклю-чения достаточно правдоподобны:

а) Земля движется вокруг Солнца. Марс движется вокруг Солнца. Значит, все планеты Солнечной системы движутся вокруг Солнца.

б) Меркурий движется вокруг Солнца. Значит, все планеты Солнечной системы движутся вокруг Солнца.

в) Плутон и Нептун движутся вокруг Солнца. Значит, все планеты Солнечной системы, включая малые, а так

же все астероиды движутся вокруг Солнца.


71

2. Железо – хороший проводник электричества. Медь, олово, платина, золото, серебро – хорошие проводники

электричества. Железо, медь, олово, платина и т. д. – металлы. Значит все металлы – хорошие проводники электричества.

3. Спаржа, цикорий, артишок, лук – многолетние растения. Спаржа, цикорий, артишок, лук – овощные культуры. Значит, все овощные культуры – многолетние растения. Насколько правдоподобно данное заключение?

4. «Что мне в тебе не нравится, – говорит молодая жена мужу, – так это твое непостоянство.

В понедельник тебе понравилась жареная картошка, во вторник тебе понравилась жареная картошка, в среду тебе понравилась жареная картошка, в четверг тебе понравилась жареная картошка, в пятницу тебе понравилась жареная картошка, в субботу тебе понравилась жареная картошка, а в воскресенье ты вдруг заявил, что она тебе не нравится!» Принято считать, что чем обширнее база индукции, тем более

правдоподобным является индуктивное заключение. Можно ли сказать, что если человек с удовольствием ел картошку шесть дней подряд, он с не меньшим удовольствием будет есть ее на седьмой день и в после-дующие дни? Какова вероятность такого индуктивного заключения?


72

Тема 10

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

10.1. Общая характеристика доказательств

Цель науки – получение истины, обогащение истинами, получение верной информации. Логической основой научных знаний является до-казательное рассуждение.

Что такое доказательство? Как возможно доказать некоторое поло-жение? Какие вообще доказательства возможны? Эти вопросы мы с ва-ми и рассмотрим в нашей лекции.

Есть несколько путей установления того, является ли истинным то или иное суждение. Два из них наиболее известны.

Один основывается на том, что суждение, истинность которого ус-танавливается, непосредственно сопоставляется с действительностью. Истинно ли суждение «Я пишу эти строчки теплым осенним вечером»? Достаточно выглянуть за окно или выйти на улицу – и истинность или ложность приведенного суждения будет сразу же установлена с помо-щью органов чувств. Подобного рода непосредственный путь установ-ления истинности суждений включен в процесс практических действий, когда в нем находит свое место сопоставление некоторого суждения с действительностью.

Второй способ состоит в том, что истинность некоторого суждения определяется на основе его связи с другими суждениями, истинность которых установлена прежде. В современной науке вновь открываемые истины не принимаются, как правило, без логического обоснования, в процессе которого в достаточной мере устанавливается, насколько то или иное суждение соответствует объективной действительности.

Обоснованность мышления является одним из важнейших условий, способствующих правильному отражению действительности в сознании человека. Требование обоснованности знаний находит свое отражение в одном из основных логических законов – законе достаточного основания.

Таким же образом можно сказать, что в процессе обучения не все-гда возможно установить истинность какого-либо положения непосред-ственно. В этом случае прибегают к опосредованному пути, тем более что обучающиеся подходят к изучению чего-либо нового не как «tabula rasa», а с уже имеющимся багажом знаний, полученных ранее.

Установление истинности суждения опосредованным путем есть определенная логическая операция, которая в логике получила название логического доказательства.

Следует разделить два различных хода доказательства – прогрес-сивный и регрессивный.


73

При прогрессивном не известно, что именно мы получим в ходе доказательства. Имеется некоторое число истинных суждений, относя-щихся к той или иной области знания. Их сопоставление, установление между ними определенных логических связей дают некоторое другое истинное суждение.

При регрессивном ходе доказательства четко известно, истинность какого суждения или положения необходимо установить. Осуществля-ется это поиском других истинных суждений и наличием логических связей между последними суждениями и тем, истинность которого ус-танавливается.

10.2. Структура доказательства

Доказательное рассуждение включает три взаимосвязанных эле-мента, которые называются тезисом доказательства, аргументами до-казательства (или доводами) и демонстрацией.

Тезис доказательства – это суждение, истинность которого обосновывается в процессе аргументации. Он является главным элементом доказательства и отвечает на вопрос: что доказывается?

Именно в таком смысле употребляется данный термин, когда гово-рят о тезисах какой-либо статьи или доклада. В этом случае подразуме-вается, что приводятся только некоторые положения, истинность кото-рых будет установлена в тексте доклада или статьи.

Тезис играет в доказательстве центральную роль. Весь ход доказа-тельства упорядочивается тезисом и предопределяется им. Подбор, ана-лиз и связывание аргументов ведутся применительно к тезису.

Аргументы, доводы или основания доказательства – это исходные теоретические или фактические положения, с помощью которых обос-новывают тезис. Они выполняют роль логического фундамента и от-вечают на вопрос: чем, с помощью чего ведется обоснование тезиса?

В качестве аргументов могут быть использованы ранее доказанные суждения: определения, утверждения о фактах и т. п. Факты играют большую роль в доказательстве, так как служат началом научного ис-следования, основой всякого теоретического обобщения.

Факт – это знание о фрагменте действительности, выявленное с помощью непосредственного восприятия или экспериментального изучения предмета науки. Методически правильным является изуче-ние фактов во всем многообразии и связях. Методичность требует так-же рассмотрения фактов не по отдельности, а поэтапно, когда просле-живается цепочка фактов и ее связь с другими наборами фактов.

Демонстрация – это логическая связь между аргументами и те-зисом. Она представляет собой одну из форм условной зависимости.


74

Логический переход от аргументов к тезису протекает в форме умозаключения. Это может быть отдельное умозаключение, но чаще – цепочка рассуждений.

Продемонстрировать – значит, что тезис логически следует из принятых аргументов по правилам соответствующих умозаключений.

Обоснование тезиса может принимать форму дедуктивных умозак-лючений, индукции или аналогии, которые применяются самостоятель-но или в различных сочетаниях.

10.3. Способы доказательства

По способу обоснования тезиса различают две разновидности дока-зательств: прямое и косвенное.

Прямым называется доказательство, в котором тезис обосно-вывается аргументами, без использования противоречащих тезису аргументов.

Логический переход от аргументов к тезису может быть выражен одним умозаключением, но чаще это цепочка последовательно связан-ных умозаключений.

Прямое доказательство применяется в тех случаях, когда обоснова-ние строится путем подведения единичного события или явления под общее положение.

Например, выраженный в судебном решении тезис о том, что кон-кретная сделка купли-продажи жилого дома является недействительной, получает прямое обоснование следующими доводами:

• во-первых, сделка, не соответствующая требованиям закона, считается недействительной;

• во-вторых, предусмотрено, что в личной собственности гражда-нина может находиться только один жилой дом;

• в-третьих, установлено, что покупатель, заключивший сделку, уже имеет в личной собственности жилой дом.

Приведенные доводы служат достаточным основанием для призна-ния сделки недействительной, как не соответствующей требованиям за-кона.

Однако нередко бывает так, что прямое доказательство невозможно или неудобно построить. В таких случаях прибегают к косвенным до-казательствам.

Косвенным (непрямым) называется доказательство, в котором истинность тезиса обосновывается с использованием противореча-щего тезису допущения (антитезиса).

В качестве посылки, таким образом, берется утверждение, проти-воположное искомому тезису (антитезис), а в ходе демонстрации либо


75

устанавливается его ложность, либо осуществляется поиск противоре-чий в рассуждениях. Последнее показывает ложность антитезиса и, сле-довательно, истинность тезиса.

Среди косвенных доказательств выделяют, в свою очередь, апаго-гическое доказательство, называемое иначе «сведением к абсурду» (reductio ad absurdum), и разделительное доказательство.

Апагогическим называют косвенное обоснование истинности тезиса путем установления ложности противоречащего ему допу-щения.

Ложность антитезиса устанавливается следующим образом: из имеющихся аргументов и антитезиса выводится противоречие и, отсю-да, делается вывод о ложности антитезиса.

Например: Известный русский ученый А.Ф. Лосев в своей книге «Диоген Лаэрций – историк античной философии» опровергает утвер-ждение, что Диоген Лаэрций придерживается взглядов тех философов, о которых пишет наиболее подробно.

Профессор Лосев рассуждает так: Допустим, что это утверждение – верно. Тогда Диоген Лаэртский разделяет взгляды Платона, стоиков, скептиков, эпикурейцев, так как о философах этих школ он пишет наи-более подробно. Но эти школы слишком отличаются друг от друга, что-бы философ мог принадлежать ко всем из них. Ясно, что таким спосо-бом нельзя определить собственные философские воззрения Диогена Лаэртского.

Апагогический вид косвенного доказательства применяется лишь в том случае, если тезис и антитезис находятся в отношении противоре-чия, когда между ними действует принцип «третьего не дано». При дру-гих видах несовместимости, включая противоположность, апагогиче-ское обоснование становится несостоятельным.

Разделительным доказательством называют косвенное обосно-вание тезиса, выступающего членом дизъюнкции, путем установ-ления ложности и исключения всех других членов дизъюнкции.

10.4. Понятие опровержения и его виды

Рассмотрение понятия опровержения следует начать с понятия кри-тики. Критика – это деятельность, противоположная аргументации.

Если целью аргументации является выработка убеждения в истин-ности или, по крайней мере, частичной обоснованности какого-либо по-ложения, то целью критики является разубеждение людей в обоснован-ности того или иного положения и убеждение их в ложности этого по-ложения. Конечная цель при критике достигается не всегда. Иногда удается лишь объяснить необоснованность утверждения, а иногда уста-навливается ложность утверждения или малой степени правдоподобия утверждения.


76

Опровержением называется логическая операция, направлен-ная на разрушение доказательства, путем установления ложности или необоснованности ранее выдвинутого тезиса.

Поскольку операция опровержения направлена на разрушение ра-нее состоявшегося доказательства, то в зависимости от целей критиче-ского выступления оно может быть выполнено следующими тремя спо-собами:

• критикой тезиса; • критикой аргументов; • критикой демонстрации. Опровержение тезиса – очень эффективная по критической силе

операция, цель которой – показать несостоятельность (или лож-ность) выявленного оппонентом тезиса.

Опровержение тезиса может быть либо простым, либо косвенным. Критика аргументов. Поскольку операция доказательства – это

обоснование тезиса с помощью ранее установленных положений, сле-дует пользоваться доводами, истинность которых не вызывает сомне-ний. Если нам удается показать сомнительность или ложность аргумен-тов, то существенно ослабляется позиция оппонента, так как такая кри-тика показывает необоснованность его тезиса.

Критика демонстраций – третий способ опровержения. В этом случае показывают, что в рассуждениях оппонента нет логической связи между аргументами и тезисом. Когда тезис не вытекает из аргу-ментов, он как бы повисает в воздухе и считается необоснованным. На-чальный и конечный пункты рассуждения оказываются вне логической связи друг с другом.

Указанные способы опровержения применяются не только в каче-стве самостоятельных операций, но и в сочетаниях. Прямое опроверже-ние тезиса может быть дополнено критическим разбором аргументов. В гуманитарных науках аргументация собственной концепции чаще всего сочетается с критикой противоположных взглядов.

Единый процесс аргументации и критики, рассматриваемый как процесс развития знания, состоит из ряда этапов:

• Логически безупречной формулировки выдвигаемой концепции: ее непротиворечивости, ясности и т. д.

• Нахождения аргументов в ее защиту, критики конкурирующих концепций.

• Оценки концепции в свете найденных аргументов. • Объяснения на основе концепции всех имеющихся фактов, не

принятых во внимание при ее формулировке. • Предсказания новых явлений. • Всесторонней оценки концепции.


77


1. Что такое доказательство? Каковы его элементы? 2. Какие виды доказательства вы знаете? 3. Что такое факт? Каково его место в доказательстве. 4. Что такое опровержение? 5. В чем заключается понятие критики?


1. Можно ли считать доказательствами соответствующих тезисов следующие рассуждения:

а) Лук – оружие дикарей. Это растение – лук. Следовательно, это растение – оружие дикарей.

б) Если завтра будет холодно и сыро, мы пойдем в кино или в цирк. Но завтра не будет ни холодно, ни сыро. Значит, мы не пойдем ни в кино, ни в цирк.

в) Все бессмертные существа бесплотны. Привидения бесплотны. Следовательно, привидения бессмертны.

2. Какие из приведенных рассуждений можно считать доказатель-ствами соответствующих тезисов:

а) Если действие обязательно, то оно разрешено. Не запрещенное – разрешено. Значит, если действие – обязательно, оно разрешено.

б) Лучше прийти раньше, чем опоздать. Значит, опоздать хуже, чем прийти раньше.

в) Красный закат хуже, чем желтый. Значит, желтый закат лучше, чем красный.

3. В одном старом софизме доказывается, что глаза не являются необходимыми для зрения:

«Для того, чтобы видеть, не обязательно иметь глаза. Без правого глаза мы видим. Без левого глаза мы тоже видим. Поскольку кроме левого и правого глаз других глаз у нас нет, ока-

зывается, что ни один глаз не является необходимым для зрения». В чем ошибка данного рассуждения?


78

Тема 11

КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

11.1. Алфавит языка логики предикатов

Рассмотренная ранее классическая логика высказываний является весьма бедной логической теорией. С ее помощью мы можем выделить только узкий класс логически истинных высказываний, в рамках КЛВ можно обосновать правильность лишь достаточно ограниченного числа дедуктивных умозаключений.

Причиной такой ограниченности являются недостаточные выра-зительные возможности ее языка. Действительно, решая в рамках КЛВ вопросы о логической истинности высказываний, о правильности или неправильности умозаключений, мы отвлекаемся от внутренней структуры простых высказываний, заменяя их пропозициональными переменными. Но во многих случаях логическая истинность высказы-вания и правильность умозаключения как раз и обуславливаются осо-бенностями внутренней структуры простых высказываний.

Примером подобного логически истинного высказывания может быть следующее:

1. Всякий школьник не остроумен, или некоторые школьники остроумны.

Данное высказывание состоит из двух отличных друг от друга про-стых высказываний, которые связаны союзом «или». Поэтому, если при выявлении его логической формы мы будем полностью абстрагироваться от содержания простых высказываний, то получим следующее выражение:

1а. p или q, где р – всякий школьник не остроумен,

а q – некоторые школьники остроумны. На основании данного преобразования мы можем установить, что

выражение «p или q» не относится к числу логических законов. Выявим теперь логическую форму выражения 1 другим способом,

учитывая внутреннюю структуру простых высказываний, замещая об-щие термины «школьник» – S и «остроумный человек» – Р. Получим

1б. Всякий S не есть Р, или некоторый S есть Р. Данное выражение является логическим законом, поскольку любое

высказывание этой формы – истинно. Следовательно, высказывание 1 – логически истинно, но для установления данного факта требуется дос-таточно глубокий уровень анализа его логической формы.

Адекватный логический анализ высказываний и умозаключений такого типа может быть осуществлен только в рамках таких ло-


79

гических теорий, которые строятся с использованием формализо-ванных языков с большими выразительными возможностями. Необ-ходимо, чтобы данные языки позволяли выражать логические формы простых высказываний, раскрывая при этом их внутреннюю структуру, – то есть, указывая на то, какого типа логические и нелогические тер-мины входят в состав высказывания и каким образом эти термины со-единяются между собой.

Рассмотрим еще один формализованный язык логики предикатов. С помощью этого языка можно детально выражать внутреннюю структуру простых высказываний. В рамках построенного формали-зованного языка сформулирована логическая теория – классической логики предикатов (КЛП).

Построение любого формализованного языка начинают с алфавита – совокупности исходных символов, которые обычно подразделяются на нелогические, логические и технические.

В логике предикатов выделяют 3 основные типа нелогических терминов – это имена, предметные функторы и предикаторы.

Именем называется термин, обозначающий отдельный объект (ин-дивид). Выделяют простые и сложные имена. Простые имена не содер-жат никакой полезной информации об обозначаемых ими индивидах, являются как бы «метками» данных объектов. Их называют собствен-ными именами. Например: «Луна», «Аристотель», «Москва».

Сложные имена не только обозначают предмет, но и указывают на какое-либо его свойство, характеристику. Например: Сложное имя «ес-тественный спутник Земли» не просто обозначает Луну, но и содержит определенную информацию об этом небесном теле: оно вращается во-круг Земли.

Наиболее распространенный вид функций – это так называемые предметные функции. К предметным функциям относятся, например, арифметические операции над числами – извлечение квадратного корня сопоставляет отдельным числам – отдельные числа, например, индиви-ду 4 – индивида 2, индивиду 9 – индивид 3.

К разряду предметных функций относятся не только операции над числами. Например, функция, сопоставляющая каждому государству его столицу, тоже является предметной: «Россия – Москва», «Франция – Париж», так как она сопоставляет индивидам (государствам) – индиви-ды (города).

Рассмотренные операции представляют собой функции от одного аргумента, или одноместные функции. Операция сложения, например, является двухместной, так как двум индивидам (паре) сопоставляется один. Не числовая двухместная предметная функция – это функция, со-поставляющая, например, парам населенных пунктов – расстояние ме-жду ними: городам Москва и Санкт-Петербург – величину длины, рав-


80

ную 650 км. Термины, с помощью которых в языке представляются предметные функции, называются предметными функторами. Напри-мер, функция извлечения квадратного корня представляется знаком «√», функция сложения – знаком «+». Итак, n-местный предметный функтор – это знак n-местной предметной функции.

Предметные функторы играют в естественном языке определенную синтаксическую роль, с их помощью можно из одних выражений стро-ить другие выражения языка. Посредством присоединения предметного функтора к именам может быть получено новое более сложное имя. На-пример: Соединяя функтор «√» с именем «4», получаем сложное имя «√4». Его значением является число 2.

Еще пример: соединяя предметный функтор «столица» с именем «Россия», получаем новое сложное имя «столица России». Его предмет-ным значением является Москва.

Предикаторы – это третий тип нелогических терминов. Это знаки свойств и отношений, представляющие то, что может соотноситься с предметом. Термины, представляющие свойства (например, «крас-ный», «способный изучать логику» и др.) являются одноместными пре-дикаторами. Термины представляющие отношения между предметами – многоместные предикаторы («больше», «старше»).

Значениями предикаторов можно так же считать множества, эле-ментами которых являются либо отдельные предметы, либо последова-тельности предметов (пара и т. д.). Например, значение одноместного предикатора «красный» – все множество красных предметов.

С этой точки зрения такие термины, как «человек», «государство», следует также отнести к одноместным предикаторам, так как их значе-ниями являются множества индивидов (людей, государств).

Итак, приступим к заданию алфавита языка логики предикатов. Нелогическими символами данного формализованного языка являют-ся параметры нелогических терминов естественного языка – параметры имен, предметных функторов и предикаторов.

Первую группу символов составляют предметные (индивидные) константы – параметры имен естественного языка. В качестве сим-волов будем использовать буквы латинского алфавита – a, b, c, d без индексов или с индексами:

a, b, c, d, a1, b1, c1, d1 и т. д. При переводе выражений естественного языка на язык логики пре-

дикатов простые имена заменяются предметными константами, причем одинаковые имена – одинаковыми символами.

Вторая группа нелогических символов – n-местные предметно-функциональные константы (n > 1):

f, g, h, f, g, h и т. д.


81

Верхний индекс указывает наместность константы. Одноместный предметный функтор «столица» может быть заменен константой f1, а двухместный «расстояние от... до...» – параметром g2.

Третья группа – n-местные предикаторные константы (n > 1): Pn, Qn, Rn, Sn, Pn1, Qn1 ... Верхний индекс указывает на местность константы. Например, од-

номестный предикатор «человек» обозначается предикаторной констан-той P1. Иногда верхние символы предметно-функциональных и преди-каторных констант опускают.

Еще одна группа – предметные (индивидуальные) переменные: x, y, z, x1, y1, z1, ... Такие переменные используются в ЯЛП для формальной записи

выражений, содержащих кванторы общности и существования. Логические символы ЯЛП – двух типов. Первый тип – пропози-

циональные связки – &, \/, ⊃, ⎤ и второй тип – кванторные символы: ∀ – квантор общности (в естественном языке «для всякого..») и ∃ – квантор существования («существует...»).

Технические символы – скобки и запятые. Построение языка логики предикатов завершено.

11.2. Правила построения выражений в логике предикатов

Следующий этап в построении формализованного языка – задание правил построения его выражений из символов алфавита. В ЯЛП име-ются два типа правильно построенных выражений – это термы и фор-мулы.

Результатом символической записи как простых, так и сложных выражений естественного языка являются термы, а результатом записи высказывания – формулы.

Определение терма: • Произвольная предметная константа является термом. • Произвольная переменная константа является термом. • Если Ф – n-местная предметно-функциональная константа,

а t1, t2, t3,... tn – термы, то выражение Ф(t1, t2, t3, ... tn) – является термом. • Ничто иное термом не является. Например, символы а, в1, с3 – термы (согласно пункту 1) и симво-

лы x2, z10, y – термы (согласно п. 2), а символы f1, P2 и ∀ – не термы, так как не относятся ни к числу предметных констант или предметных переменных, ни к числу выражений вида Ф(t1, t2, t3, ... tn).

Попробуем перевести на язык логики предикатов имена естествен-ного языка:

• пусть простому имени «4» соответствует предметная кон-станта α;

• а простому имени «5» – b;


82

• одноместному предметному функтору «√» сопоставим одноме-стную предметную функциональную константу f1 (или просто f);

• а двухместному функтору «+» – двухместную предметно-функциональную константу g2 (или просто g).

Тогда при переводе на ЯЛП сложным именам будут соответство-вать следующие термы:

имени «√4» – терм f(a); имени «4+5» – терм g(a, b); имени «5+4» – терм g(b, a); имени «√4+5» – терм g (f(a), b); имени «√4+5» – терм f (g (a, b)); имени «(4+4) + (5+5)» – терм g(g (a, a), g(b, b). Давайте разберем еще один пример: Пусть имени Москва соответствует константа a, имени Киев – кон-

станта b, имени Россия – c, имени Украина – d, столицу обозначим f, а «расстояние от … до …» – обозначим g. Тогда, при переводе на язык логики высказываний, сложным именам будут соответствовать сле-дующие термы:

Столица России – f (c). Расстояние от Москвы до Киева – g (a,b). Расстояние от Москвы до столицы Украины – g (a, f(d)). Расстояние от столицы России до Киева – g (f(c), b). Дадим определение формулы: 1. Если П – n-местная предикаторная константа, а t1, t2, t3 …, tn –

термы, то выражение П (t1, t2, t3 …, tn) – является формулой. 2. Если А – формула, то ⎤А – тоже формула. 3. Если А и В – формулы, то (А&В), (А∨В), (А⊃В) – формулы. 4. Если А – формула, а а – предметная переменная, то ∀аА и ∃аА –

формулы. 5. Ничто иное формулой не является. Каким образом осуществляется перевод высказываний естествен-

ного языка на язык логики предикатов? Начнем с высказываний, кото-рые не содержат утверждений об отдельных предметах и в состав кото-рых не входят кванторные слова.

Простые высказывания, в которых утверждается наличие свойства отдельного предмета, записываются в ЯЛП посредством формулы вида П1(t), где t – терм, соответствующий имени предмета, а П1 – одномест-ная предикаторная константа, соответствующая знаку свойства.

Например, переводом высказывания на ЯЛП выражений: 1. Ромео – юноша может быть формула Р(а),

где предметная константа а – соответствует имени «Ромео», а одноме-стная предикаторная константа Р – знаку свойства – «юноша».


83

2. Отец Ромео – храбр – Q (f (a)), где а – Ромео, f – отец, а знаку свойства «храбрый» соответствует одно-местная предикаторная константа – Q.

3. Отрицание наличия свойства у отдельных предметов переводит-ся на ЯЛП посредством формул вида⎤ П1 (t).

Например, Отец Ромео не является юношей – ⎤ Р (f (a)). 4. Наличие отношения между двумя предметами записывается

в виде формул вида П2 (t1, t2). Например, выражение Ромео любит Джульетту – R (a, b), Джульетта любит своего отца – R (b, f (b)). 5. Высказывание о наличии отношения между n предметами записы-

вается в виде формулы Пn (t1, t2, … tn), где Пn – n-местная предикаторная константа, которая соответствует предикатору n-местного отношения.

Джульетта любит Ромео больше, чем своего отца – R1 (b, a, f(b)), где R1 – трехместная предметная константа, которая соответствует трехместному отношению любит больше, чем.

6. Запись высказывания, содержащего кванторы, в ЯЛП происхо-дит с помощью формул вида ∃а А (а), где а – предметная переменная.

Кто-то является храбрым – ∃x Q (x). Кто-то любит Джульетту – ∃x R (x, b). Джульетта любит кого-то – ∃x R (b, x). Кто-то не любит самого себя – ∃x ⎤R (x, x). 7. Простые высказывания могут содержать несколько кванторов: Каждый любит кого-нибудь – ∀x ∃y R (x, y). Кто-то кого-то не любит – ∃x ∃y ⎤R (x, y).


1. Что в ЯЛП называется именами? Какие виды вы знаете? 2. Что такое функторы? Какова их роль в языке? 3. Что такое предикаторы? 4. Из чего состоит язык логики предикатов?


Переведите на язык логики предикатов: 1. Все являются храбрыми. 2. Всякий любит Джульетту. 3. Никто не любит отца Ромео. 4. Отец Ромео не любит никого. 5. Кто-то любит Ромео больше, чем кого-либо. 6. Некоторый юноша любит Джульетту.


84

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Общая литература 1. Бочаров В.А., Маркин В.И. Основы логики: учебник. – М.: Космопо-

лис, 1994. – 272 с. 2. Брюшинкин В.Н. Практический курс логики для гуманитариев: учеб-

ник. – М.: Интерпракс, 1994. – 360 с. 3. Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Т. Логика: учебник для вузов. – М.:

ВЛАДОС, 1998. – 528 с. 4. Логика: логические основы общения. Хрестоматия / сост. В.Ф. Бер-

ков, Я.С. Яскевич, И.И. Дубинин. – М.: Наука, 1994. – 333 с. 5. Курбатов В.И. Логика: учебное пособие для студентов вузов. – Рос-

тов-на-Дону: Феникс, 1997. – 384 с. 6. Ивлев Ю.В. Логика: учебник. – М.: Наука, 1994. – 283 с. 7. Никифоров А.Л. Общедоступная и увлекательная книга по логике, со-

держащая объемное и систематическое изложение этой науки профессором фи-лософии: учебное пособие. – М.: Дом интеллектуальной книги, 1998. – 240 с.

Дополнительная литература 1. Аристотель. Никомахова этика // Сочинения в 4 т. – М., 1983. – Т. 4. 2. Арно А., Николь П. Логика, или искусство мыслить, где помимо

обычных правил содержатся некоторые новые соображения, полезные для развития способности суждения. – М.: Наука, 1997. – 330 с.

3. Ахманов А.С. Логическое учение Аристотеля. – М.: СОЦЕКГИЗ, 1960. – 315 с.

4. Библер В.С. Мышление как творчество (Введение в логику мыслен-ного диалога). – М.: Политиздат, 1975. – 399 с.

5. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. – М.: Изд-во МГУ, 1984.

6. Брюшинкин В.Н. Логика, мышление, информация. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1988.

7. Буева Л.П. Человек: деятельность и общение. – М., 1978. 8. Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Т. Логика как часть теории познания и

научной методологии: фундаментальный курс: учебное пособие в 2-х книгах. – М.: Наука, 1994.

9. Гетманова А.Д. Логика: словарь и задачник: учебное пособие. – М.: ВЛАДОС, 1998. – 334 с.

10. Гетманова А.Д. Учебник по логике. – М.: ВЛАДОС, 1995. – 303 с. 11. Горский Д.П., Ивин А.А., Никифоров А.Л. Краткий словарь по логи-

ке. – М.: Просвещение, 1991. 12. Грановская Р.М., Березная И.Я. Интуиция и искусственный интел-

лект. – Л.: ЛГУ, 1991. – 272 с. 13. Грязнов Б.С. Логика, рациональность, творчество. – М.: Наука, 1982.


85

14. Делёз Ж., Фуко М. Логика смысла. – М.: Екатеринбург: Раритет: Де-ловая книга, 1998. – 480 с.

15. Жоль К.К. Логика в лицах и символах: научно-популярная книга. – М.: Педагогика-Пресс, 1993. – 256 с.

16. Иванов Е.А. Логика: учебник. – М.: БЕК, 1998. – 309 с. 17. Ивин А.А. Логика: учебное пособие. – М.: Знание, 1997. – 240 с. 18. Ивин А.А. Искусство правильно мыслить: книга для учащихся. – М.:

Просвещение, 1986. – 223 с. 19. Кант И. Логика. Пособие к лекциям // Трактаты и письма. – М.: Нау-

ка, 1980. – С. 319–444. 20. Кузина Е.Б. Практические вопросы логики. – М.: Изд-во МГУ, 1992.

– 108 с. 21. Кулик Б.А. Логические основы здравого смысла. – СПб.: Политех-

ника, 1997. – 131 с. 22. Кэррол Л. История с узелками. – М.: Мир, 1983. 23. Кэррол Л. Логическая игра. – М.: Наука, 1991. 24. Логика: наука и искусство. – М.: Высш. шк., 1992. – 333 с. 25. Логика: психология и семиотика: аспекты взаимодействия: сборник

научных трудов. – Киев: Наукова думка, 1990. – 160 с. 26. Лойко О. Т. Логика и теория аргументации: учебное пособие. –

Томск: Изд. ТПУ, 1999. – 93 с. 27. Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения совре-

менной формальной логики. – М.: Изд-во Современной иностранной литера-туры, 1959.

28. Парахонский Б. А. Язык культуры и генезис знания. – Киев, 1988. 29. Пиаже Ж. Логика и психология // Избранные психологические тру-

ды. – М.: Просвещение, 1969. 30. Поппер К. Логика и рост научного знания. – М.: Прогресс, 1983. 31. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. – М., 1986. – 432 с. 32. Светлов В.А. Практическая логика: учебное пособие. – СПб.: МиМ,

1997. – 576 с. 33. Смаллиан Р. Как же называется эта книга? – М., 1981. 34. Смаллиан Р. Принцесса или тигр. – М., 1985. 35. Смаллиан Р. Алиса в стране смекалки. – М.: Мир, 1987. 36. Суздалев Е.Н., Фатиев Н.И. Логика: учебно-методическое пособие

для студентов заочного отделения. – СПб., 1993. – 31 с. 37. Тульчинский Г.Л. Проблема осмысления действительности: логико-

философский анализ. – Л., 1986. – 177 с. 38. Фатиев Н.И. «Возможные миры» в философии и логике. – Иркутск:

Изд-во Иркутского ун-та, 1993. – 148 с. 39. Философия. Логика. Язык. – М.: Прогресс, 1987. – 336 с.


86

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ........................................................................................................................ 3 Тема 1. ПРЕДМЕТ НАУКИ ЛОГИКИ ......................................................................... 4

1.1. История возникновения логики ..........................................................4 1.2. Логика как наука о рассуждении ........................................................5 1.3. Феномен человеческого познания ....................................................11 Контрольные вопросы ..............................................................................12

Тема 2. КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ ................................... 13

2.1. Язык классической логики высказываний ......................................13 2.2. Табличные определения логических констант ...............................16 2.3. Метод сокращенных таблиц .............................................................20 Контрольные вопросы ..............................................................................22 Практические задания...............................................................................22

Тема 3. СНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЛОГИКИ................................................................ 23

3.1. Образование понятия, его объем и содержание..............................23 3.2. Отношения между понятиями ..........................................................27 3.3. Операции с понятиями ......................................................................31 3.4. Суждение.............................................................................................37 3.5. Отношения между суждениями........................................................39 Контрольные вопросы ..............................................................................40 Практические задания...............................................................................40

Тема 4.ЗАКОНЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ ...................................................... 41

4.1. Основные законы классической логики ..........................................41 4.2. Закон тождества .................................................................................41 4.3. Закон непротиворечия .......................................................................42 4.4. Закон исключенного третьего...........................................................43 4.5. Закон достаточного основания .........................................................44 4.6. Софизм и паралогизм.........................................................................44 Контрольные вопросы ..............................................................................45 Практические задания...............................................................................45

Тема 5. УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ...................................................................................... 47

5.1. Общая характеристика умозаключений ..........................................47 5.2. Структура и классификация умозаключений..................................47 Контрольные вопросы ..............................................................................49 Практические задания...............................................................................49

Тема 6. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ....................................... 50

6.1. Умозаключение по логическому квадрату ......................................50 6.2. Другие виды умозаключений............................................................51 Контрольные вопросы ..............................................................................53 Практические задания...............................................................................53


87

Тема 7. ОПОСРЕДОВАННЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ........................................... 55 7.1. Общая характеристика силлогизма ..................................................55 7.2. Простой категорический силлогизм.................................................55 7.3. Фигуры силлогизма............................................................................56 7.4. Правильные модусы...........................................................................58 Контрольные вопросы ..............................................................................59 Практические задания...............................................................................59

Тема 8. ВЫВОДЫ ИЗ СЛОЖНЫХ СУЖДЕНИЙ ................................................... 60

8.1. Условные, разделительные и условно-разделительные умозаключения ....................................60

8.2. Cокращенные и сложносокращенные силлогизмы ........................63 Контрольные вопросы ..............................................................................64 Практические задания...............................................................................64

Тема 9. ИНДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ .................................................... 66

9.1. Общее определение индукции ..........................................................66 9.2. История возникновения индукции ...................................................67 9.3. Виды индукции...................................................................................67 9.4. Умозаключения по аналогии ............................................................69 Контрольные вопросы ..............................................................................70 Практические задания...............................................................................70

Тема 10. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ..................................................................................... 72

10.1. Общая характеристика доказательств............................................72 10.2. Структура доказательства ...............................................................73 10.3. Способы доказательства..................................................................74 10.4. Понятие опровержения и его виды ................................................75 Контрольные вопросы ..............................................................................77 Практические задания...............................................................................77

Тема 11. КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ ......................................... 78

11.1. Алфавит языка логики предикатов.................................................78 11.2. Правила построения выражений в логике предикатов ................81 Контрольные вопросы ..............................................................................83 Практические задания...............................................................................83

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ .................................................... 84


88

Учебное издание

ПАНЬКОВА Наталья Михайловна

ЛОГИКА

Учебное пособие

Редактор А.А. Цыганкова Верстка Л.А. Егорова

Подписано к печати 14.07.2009. Формат 60×84/16.

Бумага «Снегурочка». Печать Xerox. Усл. печ.л. 5,12. Уч.-изд.л. 4,63. Заказ . Тираж 200 экз.

Томский политехнический университет Система менеджмента качества

Томского политехнического университета сертифицирована

NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO 9001:2000

. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30.

Логика 2-е изд. УП - TPU€¦ · Логика – это наука о...

Documents

Transcript of Логика 2-е изд. УП - TPU€¦ · Логика – это наука о...