หน วยที่ 7 กลศาสตร ของไหลหน วยท 7 กลศาสตร ของไหล ค ณสมบ ต ของของไหล กลศาสตร
บทที่ 2 ของไหลสถิตย (Fluid...
Transcript of บทที่ 2 ของไหลสถิตย (Fluid...
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-1
บทที่ 2 ของไหลสถิตย (Fluid Statics)
ของไหลจะถูกพิจารณาใหอยูในสภาวะ Static เมื่อ
1) ทุกๆ particles ของของไหลอยูในสภาวะ หยุดนิ่งไมมีการเคลื่อนที่ 2) ของไหลเคลื่อนที่ดวยความเร็วสม่ําเสมอ (uniform velocity)
ดังนั้น ในกรณี Fluid Statics จะไมมีการเคลื่อนที่สัมพันธระหวางชัน้ของของไหล ดังนั้น จะไมมี shear stress ; τ จะมีเฉพาะแรงโนมถวงและความดันเทานั้น
ในการศึกษาทางดาน Fluid Mechanics จะเกี่ยวของกับแรง 2 ประเภท คือ Surface forces และ Body forces.
1. Surface forces หมายถึง แรงตาง ๆ ที่กระทําตอ Boundary (เสนแสดงขอบเขต)ของของไหล มีลักษณะสัมผัสโดยตรงกับผิวของ Boundary
2. Body forces หมายถึง แรงที่มีลักษณะไมสัมผัสโดยตรงกับผิวของ Boundary เชน แรงโนมถวง ( Gravitational force) และแรงเนื่องจากสนามแมเหล็กไฟฟา (Electromagnetic force) ที่เกิดขึน้ภายในของไหล
2.1 ความเคนท่ีจุดใด ๆ สําหรับของไหลอยูกับท่ี และการไหลที่ไมมีความหนืด พิจารณาแทงสามเหลี่ยมมุมฉากปรึซึมในสภาวะสมดุลจะไดวา
1. พิจารณาตามแนวแกน X ; ( )∑ = xx maF
=−+− αγβ cos2
cos2231
dxdydzdzdydxPdydzP xadxdydz
2ρ
P2dxdzP1dydz
yx
mg
P2P1
P3
P3 dx+dy .dz2 2
dx
dx
β
α
α
β θ
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-2
แต dx , dy และ dz มีคานอยมาก ดังนั้น 2
dxdydz 0→
22
cosdydx
dy+
=β
∴ P1 = P3 2. พิจารณาตามแนวแกน y ; ( )∑ = yy maF
จะได P2 = P3 สรุป : ความดันที่จุดใด ๆ ในของไหลทีอ่ยูกับที่หรือเคลื่อนที่ดวย Uniform velocity ที่
ไมมีความหนดืจะมีคาเทากนัทุกทิศทาง 2.2 สมการพื้นฐานสําหรับของไหลสถิตย พิจารณา Fluid element ขนาด dxdydz มีมวล dm อยูนิ่งกบัที่เมื่อเทียบกบั Coordinate x , y , z มี 0 เปนจุด center ของ element มีความดันกระทําอยูทุกทิศทาง (P)
• Surface Force : Fsd มีทั้งหมด 6 แรง กระทําตอแตละดานของ element สามารถเขียนแสดงในรูป Vector ไดดังนี้ ( ) ( )idydzdx
xPPidydzdx
xPPsFd −
∂∂
++
∂∂
−=22
( ) ( )jdxdzdyyPPjdxdzdy
yPP −
∂∂
++
∂∂
−+22
( ) ( )kdxdydzzPPkdxdydz
zPP −
∂∂
++
∂∂
−+22
รวมเทอม และจัดเทอมใหมไดวา
dxdydzkPjyPi
xPsFd
∂∂
−∂∂
−∂∂
−=2
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-3
dxdydzkzPj
yPi
xP
∂∂
+∂∂
+∂∂
−=
กําหนดให grad
∂∂
+∂∂
+∂∂
≡∇≡zPk
yPj
xPiPP
Pz
ky
jx
i
∂∂
+∂∂
+∂∂
≡
จะไดวา ( ) ∀−∇=−∇= PddxdydzPsFd
• Body Force: BFd เกิดจากน้ําหนกัของ element dxdydzgdgdmgFd B ρρ =∀== total force ที่กระทําตอ fluid element คือ sFdFd B +
sFdFdFd B += gP
dFd ρ+−∇=∀
∴
แตจากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน dmaFd ⋅=: เมื่อของไหลไมมีการเคลื่อนที่ 0: =a ; 0=∴ Fd
หรือ gPdFd ρ+−∇=∀
∴ = 0
จากสมการ Vector สามารถเขียนแยกเปนสมการยอยในแตละทิศทางไดดังนี ้
0
0
0
=+∂∂
−
=+∂∂
−
=+∂∂
−
z
y
x
gzP
gyP
gxP
ρ
ρ
ρ
ในกรณี Fluid Static : gx = gy = 0 และ gz = -g ซ่ึงจะพบวาในกรณีของ Fluid
Static ความดันจะมีคาเปลี่ยนแปลงตามแกน Z เทานั้น P = P(Z) γρ −=−==
∂∂
∴ gdzdP
zP
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-4
ขอจํากัดของสมการนี ้1) ใชไดในกรณี Fluid Static 2) Body Force มีเฉพาะแรงโนมถวงเทานัน้ 3) แกน Z ตองอยูในแนวดิ่ง และทิศทาง +Z มีทิศขึ้นดานบน
2.3 การเปล่ียนแปลงความดันในของไหลสถิตท่ีมีความหนาแนนคงท่ี จากหวัขอ 2.2 เราพบวาความดันในของไหล จะมีคา ขึ้นอยูกับตําแหนงในแนวแกน Z เทานั้น ซ่ึงเขียนเปน สมการไดวา g
dZdP ρ−=
ถา ρ และ g มีคาคงที่จะไดวา
∫ ∫−=P
Po
z
zo
gdzdP ρ
หรือ ( ) ( ) ghZZogZoZgPoP ρρρ =−=−−=− หรือ ghPoP ρ+= ถา =Po ความดันบรรยากาศ = Patm จะไดวา gPPoP =− : ความดันเกจ (gauge pressure) 2.4 Absolute Pressure and Gauge Pressure คาความดัน จะวัดจากระดับเปรียบเทียบ ระดับเปรียบเทยีบที่วามี 2 ระดับ คือ ความดันบรรยายกาศ และสูญญากาศ
1) ความดันทีว่ัดเปรียบเทียบกบับรรยายกาศ เรียกวา Gauge Pressure 2) ความดันทีว่ัดเปรียบเทียบกบัสูญญากาศ เรียกวา Absolute Pressure
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-5
ตัวอยาง จากรูปที่กําหนด จงหาคา Pgage วิธีทํา
Pa = Patm P2-P1 = γ(z1 - z2) จาก a ⇒ b Pb = Pa + γปรอท(0.6) = Patm + γปรอท (0.6) (1) จาก b ⇒ c Pc = Pb (ของไหลชนิดเดยีวกันทีร่ะดับเดยีวกัน) จาก c ⇒ d1 Pc = Pd1 + γน้ํา h1 Pd1 = Pc - γน้ํา h1 = Patm + γ(rปรอท (0.6) - γน้ํา h1 (2) จาก d1 ⇒ d2 Pd2 = Pd1 จาก d2 ⇒ e Pd2 = Pe + γน้ํา h2 Pe = Pd2 - γน้ํา h2 = Patm +γปรอท (0.6) - γน้ํา h1 – γน้ํา h2 = Patm + γปรอท (0.6) - γน้ํา (h1 + h2) = Patm + γน้ํา ( 13.6 x 0.6 – 3 ) (3) จาก e ⇒ G Pe = PG + γอากาศ (1) PG = Pe - γอากาศ เนื่องจาก γอากาศ มีคานอยมากเมื่อเทียบกับ γน้ํา PG = Pe = Patm + 50,619.6 Pa
Air
water
Gage
1 m
3 m
h 2
h 1 d 2
e
a
b 0.6 m
. . d 1
Patm
c
Hg
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-6
แตความดนัทีอ่านไดเปนความดันเกจ ดังนั้น PG,gauge = PG,absolute - Patm ∴ PG,gauge = 50,619.6 Pa หรือ (N/m2)
____________________________
2.5 การเปล่ียนแปลงความดนัตามระดับสําหรับของไหลสถติยท่ีมีความหนาแนนไมคงท่ี
ความสัมพันธระหวางความดัน และระดบัมีการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมแิบบเชิงเสนตามระดับความสูง T2 = T1 + kz โดยที่ T1 = อุณหภูมิที่ระดับความสูงเปรียบเทียบ z = 0 k = อัตราการเปลี่ยนแปลงอุณหภมูิตามความสูง (Lapse rate) มีคาเปนลบ จาก PV = RT
γPg = RT
γ = RTPg
จาก T2 = T1 + kz
dT = kdz ⇒ dz = KdT
γ−=dZdP
KRTPg
KdTdP 1.−
=−=γ
TdT
KRg
PdP
−=
∫ ∫
−=2
1
2
1
P
P
T
T TdT
KRg
PdP
RKg
kZTT
PP
+
=1
1
1
2
\
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-7
ตัวอยาง อุณหภูมิของอากาศที่ระดับน้ําทะเลมีคา 150C และลดลง 10C ทุกๆ ความสูง 500 เมตร โดยที่คาคงที่ R ของบรรยายกาศมีคา 220 N.m/KgoK จงหาระดับความสูง เมื่อความดันมีคาเปน 30 % ของความดนัที่ระดับน้ําทะเล วิธีทํา จาก T2 = T1 + kZ T2 – T1 = kZ แทนคา -1 = 500 K จะได
5001
=k
จาก RKg
kZTT
PP
+
=1
1
1
2
( )
5001220
81.9
50015273
1527330.0
−
−++
+=
x
Z
Z = 7,570 m
__________________________ 2.6 แรงบนพื้นผิวระนาบที่จมในของเหลว
1) ระนาบในแนวนอน (Horizontal Plane Surface)
- พิจารณาแผนบางที่วางอยูในแนวนอน ในของไหลทีร่ะดับความลึก h - ขนาดของแรงที่กระทําบนดานใดดานหนึ่ง = F = PA
อีกดานหนึ่งมแีรงขนาดเทากันกระทําแตทิศทางตรงกันขาม เนื่องจากแผนมีขนาดบางจึง
ถือวาอยูที่ระดบัความลึก h เดียวกัน ดังนัน้แรงลัพธรวมที่กระทําตอแผนทั้งชิ้นมีคา = 0
h
A
P a tm
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-8
ในระนาบประกอบดวยพื้นทีเ่ล็ก dA ดังนัน้แรงยอยที่กระทําบน dA มีคา = PdA และมีทิศทางตั้งฉากกับ dA
ใหจดุ A คือจดุที่แรงลัพธกระทําตอระนาบและจุด C คือจุด Centroid ของระนาบ (1) โมเมนตรอบแกน y ได
PAxP = ∫ xPdA ถา P คงที่ xP = ∫ xdAA
1 = X
(2) โมเมนตรอบแกน x ได
PAyP = ∫ yPdA yP = ∫ ydAA
1 = Y
สรุปไดวา แรงลัพธจะกระทาํผานจุด C (Centroid) ของระนาบ
2) ผิวระนาบเอียง (Inclined Surface) ความดันจะแปรผันโดยตรงกับระดับความลึกของของเหลวซึ่งลักษณะการกระจาย
ของความดัน แสดงไดดังรูป
y
. .
x
y
C Cp
A xp x
dA
y yp
x
h2
h1
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-9
พิจารณาระนาบเอียงที่จมอยูในของเหลว ผิวของระนาบทาํมุม θ กับแนวระดับ
ให h คือระดับความลึก ที่จุดพิจารณาตางๆ y คือระยะทีว่ดัตามแนวเอยีงของระนาบ และเปนสัดสวนกับ h แรงลัพธที่กระทําผานจุดศูนยกลางความดัน (Center of Pressure , CP) คือจุดที่แรงลัพธ
กระทําผานในกรณีที่ระนาบจมอยูในของเหลว • ในกรณีผิวระนาบอยูในแนวระดับ แนวแรงลัพธจะกระทําผานจุด centroid ของผิวระนาบ
ซ่ึงเปนจุด CP ดวย • ในกรณีผิวระนาบอยูในแนวเอียง แนวแรงลัพธกระทําผานจุดศูนยกลางความดันแตจะไม
ผานจุด centroid ของระนาบ พิจารณาพืน้ที่เล็กๆ ของระนาบ ไดแรงที่กระทําบน dA คือ PdA = γhdA พิจารณาแรงที่กระทําบนพืน้ผิวใด ๆ ที่จมอยูในของเหลว (F)
F = ∫ hdAγ = ∫ dAy θγ sin = γysinθ
Y เปนตําแหนงของจุด Centroid จะไดวา ∫ ydA= AY ∴ F = AY θγ sin = Ahγ
yP = YAYIG +
.. C
Cp
y
xp
dy
dA
yp
x
y
rhA
h
O
hy
O
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-10
ตัวอยาง ใหหาขนาดและตาํแหนงของแรงลัพธที่กระทําตอประตูน้ําทีก่วาง 10 ฟุต และหาขนาดของแรง FB
วิธีทํา กําหนดแกน y ตามแนวของประตูน้ํา จากรูปไดคา Y Y = 5.2
30sin3
+°
= 8.5 ฟุต
= Ahγ F = AY θγ sin = (62.4 lbf/ft3)(8.5 ft) sin30o (10 x 5 ft2) = 13,260 lbf เนื่องจากประตูเปนรูปสี่เหล่ียมผืนผา ได xyI = 0 ดังนั้น xP = X จาก yP = Y
AYIG +
= 5.8)510)(5.8(
12510 3
+
x
IxG
= 8.745 ft
หาขนาด FB โดย take moment รอบจุด O F(8.745 – 6) = FB(5) FB = 7,280 lbf
________________________
3 ft h
F
30o
30o 5 ft
FBy
O
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-11
ตัวอยาง จากรูปที่กําหนด ระดับน้ําตองสูงเทาไร จึงจะทําใหประตนู้ําหมุนลง โดยกําหนดใหประตูกวาง 3 เมตร ไมคิดแรงเสียดทาน และน้ําหนกัของประตู
วิธีทํา แรงลัพธที่เกิดจากความดันน้าํกระทําตอประต ู F = Ahγ = γ h = h/2 กําหนดแกน y ตามแนวของประตูน้ํา ได A = )(
60sindh
°= )3(
60sin °h
F = (9,810)(h/2)(h/sin 60o)(3) = 16,984.5 h2 นิวตัน ตําแหนงแรงลัพธที่กระทํา (yP) yP = Y
AYIG +
= °
+
°
°
°
60sin260sin
360sin2
12)60sin/(3 3
hhh
IhG
= 0.77h ในสภาวะสมดุล ΣMA = 0 36 x 103 x 9 = 16,984.5 h2 ( )77.0
60sinhh
−°
h3 = 49.58 h = 3.67 m
________________________
h
60o
9 m
36 kN
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-12
3) พื้นผิวโคง(Curved Surface) การคํานวณหาคาแรงลัพธ ที่กระทําตอผิวโคงที่จมอยูในของเหลวไมสามารถ
คํานวณไดโดยตรง แตทําไดโดยการหาแรงในแนวดิ่งและแนวระดับกอน
กําหนดให FH = แรงในแนวระดับที่กระทําตอผิวโคง Fv = แรงในแนวดิ่งที่กระทําตอผิวโคง F = แรงลัพธที่กระทําตอผิวโคง FBC = แรงเนื่องจากความดันทีก่ระทําตอกอนของไหลบนดาน BC FAC = แรงเนื่องจากความดันทีก่ระทําตอกอนขนาดใหญ W = แรงเนื่องจากน้ําหนกัของกอนอิสระ
Fv’ = แรงปฏิกิริยาทีผิ่วโคงกระทําตอกอนของไหลอิสระในแนวดิ่ง
( = -Fv) FH
’ = แรงปฏิกิริยาทีผิ่วโคงกระทําตอกอนของไหลอิสระในแนวราบ ( = -FH ) ในสภาวะสมดุลได ΣFx = 0 ⇒ FBC - FH’ = 0 ⇒ FH’ = FBC (*) ΣFy = 0 ⇒ Fv’
’ - W - FAC = 0 ⇒ Fv’ = W + FAC (*) เนื่องจากในกรณี Fluid Static ไมมีความเคนเฉือน ดังนัน้ 1) แรง FH’ และแรง FBC กระทําอยูในแนวเดียวกัน 2) Fv’ มีทิศทางอยูในแนวเดยีวกับแรงลัพธของ W และ FAC
A
B..
.FBC
FAC
AC
B
W
FH
FV
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-13
ตัวอยาง ทรงกระบอกวางขวางน้ําที่มีระดบั ดังรูป โดยเสนผานศูนยกลางทรงกระบอกเทากับ 3 m และยาว 6 m ใหหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ ที่กระทําตอทรงกระบอก
วิธีทํา ฉายภาพผวิโคงไปดานที่มีของไหลอยู - พิจารณาแรงในแนวนอน Fx1 = 11Ahγ = (9,810)(3/2)(3 x 6) = 264.8 kN ทิศ ⇒ Fx2 = 22Ahγ = (9,810)(1.5/2)(3 x 6) = 66.22 kN ทิศ ⇐ ∴ Fx.net = Fx1 – Fx2 = 264.8 - 66.22 = 198.58 kN - พิจารณาแรงในแนวดิ่ง F1 = ABAh1γ = (9,810)(3)(1.5 x 6) = 264.8 kN ทิศ ⇑ F2 = 122Ahγ = (9,810)(1.5)(1.5 x 6) = 132.44 kN ทิศ ⇑ W11= γ∀ABD = (9,810)[(1.5 x 1.5 x 6 – (π x 1.52 x 6)/4)] = 28.38 kN ทิศ ⇓ W12= W21 = W11 = 28.38 kN ทิศ ⇓ Fy,net = F1 + F2 – 3W11 = 264.8 + 132.44 – 3(28.38) = 312.10 kN ทิศ ⇑ F = Fx i + Fyj = 198.58i + 312.10j kN θ =
x
y
FF1tan− =
58.19810.312tan 1− = 57.53o
________________________ 2.7 แรงลอยตัวและการสมดุลของวตัถจุมและวัตถุลอย
แรงลอยตัว (Buoyancy) คือแรงลัพธที่ของไหลกระทําตอวัตถุทีจ่มหรือลอยในของไหล ทิศทางของแรงลอยตัวจะชี้พุงขึ้นในแนวดิง่เสมอ Archimedes กลาววา “ วัตถุที่จมในของไหลมีแรงลอยตัวกระทําขนาดเทากับน้ําหนักของของไหลที่ถูกแทนที่โดยวตัถุนั้น”
ขนาดของแรงลอยตัว จะมีคาเทากับน้ําหนกัของไหลที่มปีริมาตรเทากับปริมาตรของวัตถุที่จมอยูใตของไหล
3 mD = 3 m
1.5 m
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-14
ตัวอยาง ลูกบอลเหล็กมี φ = 4 นิ้ว ลอยอยูในของไหลตามรูปขางลาง โดยลูกเหล็กมีเชือกดึงอยูดานบน ใหหาขนาดของแรงดึงในเสนเชือก สําหรับกรณี (a) , (b) และ (c) กําหนดให γเหล็ก = 487 lbf / ft3
γH2O = 62.4 lbf / ft3 γCCl4 = 99.5 lbf / ft3 γAir = 0.0763 lbf / ft3
วิธีทํา กรณี (a) สมดุลแรงแนวดิ่ง ΣF = 0 Ta + FB - W = 0 (1) W = น้ําหนกัของลูกบอลเหล็ก = γ เหล็ก ∀ = 487 x 3
34 rπ
= 487 x 3)122(
34π
= 9.45 lbf FB = FB,CCl4 + FB,H2O = γ CCl4 2
1 ( 3)122(
34π ) + γH2O 2
1 ( 3)122(
34π )
= 1.57 lbf จาก (1) Ta = W – FB = 9.45 – 1.57 = 7.88 lbf ทิศ ⇑
b
a
cAir
H2O
CCl4
8 in
6 in
.H2O
CCl4
Ta
FB
W
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-15
0
กรณี (b) สมดุลแรงแนวดิ่ง ΣF = 0 Tb + FB - W = 0 (2) โดยที่น้ําหนัก W เทาเดิม FB = FB,CCl4 = γCCl4( 3)
122(
34π )
= (99.5)( 3)122(
34π )
= 1.93 lbf จาก (2) Tb = W – FB = 9.45 – 1.93 = 7.52 lbf ทิศ ⇑
กรณี (c) สมดุลแรงแนวดิ่ง ΣF = 0 Tc + FB - W = 0 (3) โดยที่น้ําหนัก W เทาเดิม FB = FB,Air + FB,H2O = γ
21 ( 3)
122(
34π )
= (62.4) 21 ( 3)
122(
34π )
= 0.61 lbf จาก (3) Tc = W – FB = 9.45 – 0.61 = 8.84 lbf ทิศ ⇑
______________________________________
2.8 เสถียรภาพ ของวัตถุจมหรือลอย (Stability of Submerged and Floating Bodies) เสถียรภาพ(Stability) ของวัตถุจมหรือลอยขึ้นอยูกับตําแหนงของแรงลอยตัวและแรง
เนื่องจากน้ําหนักของวัตถุ - แรงลอยตัวกระทําผานจดุ CB (center of Buoyancy) - แรงเนื่องจากน้ําหนักของวัตถุกระทําผานจุด c.g. (Center of gravity) วัตถุจะมีเสถียรภาพเมื่อโมเมนตคูควบที่เกดิจากแรงลอยตัวและน้ําหนกัมีแนวโนมทาํให
วัตถุคืนกลับ สูตําแหนงเดิม
.CCl4
Tb
FB
W
.Air
H2O
Tc
FB
W
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-16
(1) Submerged body (วัตถุจม) โดยทั่วไป วัตถุจมในของไหลจะมีเสถียรภาพ เมื่อจดุ CB อยูสูงกวาจุด c.g. เชน กรณีของ
บอลลูนหรือเรือดําน้ํา
(2) Floating body (วัตถุลอย)
ในกรณีวัตถุลอย เชน เรือ ที่ลอยในน้ํา จะแตกตางจากกรณวีัตถุจม กลาวคือ วัตถุจะมีเสถียรภาพไมวา CB อยูต่ํากวา c.g. เมื่อ CB อยูสูงกวา c.g. ตราบใดที่ทาํใหโมเมนตคูควบมีแนวโนมทําใหวตัถุกลับคืนที่เดิม
2.9 สมดุลสัมพัทธ (Relative Equilibrium)
ในหวัขอนี้จะศึกษาการเคลือ่นที่ของของไหล ที่มีความเรงคงที่ และการเคลื่อนที่เปนไปในลักษณะ เคลื่อนไปทั้งกอน ซ่ึงสามารถแบงออกไดเปน 2 ลักษณะ คอื
1) เคลื่อนที่ดวยความเรงเชิงเสนคงที่ (Uniform linear acceleration) 2) การหมุนรอบแกนแนวดิ่งดวยความเร็วคงที่ (Rigid – Body rotation)
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-17
เคล่ือนท่ีดวยความเรงเชิงเสนคงที่ (Uniform linear acceleration) - ของไหลบรรจุอยูในภาชนะเปด เคลื่อนทีด่วยความเรงเชิงเสน a ซ่ึงประกอบดวย ax , ay , az = 0) - เมื่อเวลาผานไประยะหนึง่ ของไหลจะคอยๆ ปรับตัวเขากับความเรงจนมีการเคลือ่นที่ไปทั้งกอนคลายของแข็ง - ใหแกน y เปนแกนในแนวดิ่ง และแกน x เปนแกนในแนวขนาน เมือ่พิจารณามวลยอยเล็กๆ ของของเหลว ซ่ึงมีปริมาตรเปนรูปลูกบาศก ขนาด zyx δδδ โดยที่จุด ศนูยกลางของมวลยอยนี้มีความดัน P กระทําอยู จากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตนั ( F = ma ) ไดวา สมดุลแกน x ΣFx = max
xazyxgzyx
xPPzyx
xPP
=
∂∂
+−
∂∂
− δδδγδδδδδδ22
xagxP γ
−=∂∂
และ สมดุลแกน y ΣFy = may
yazyxgzyxzxy
yPPzxx
yPP
=−
∂∂
+−
∂∂
− δδδγδδγδδδδδδδ22
+−=
∂∂
ga
yP y1γ
สมดุลแกน z เนื่องจาก az = 0 ดังนั้น ΣFz = maz ⇒ 0=∂∂zP
P = ( ) Cyag
Xag yx ++−− 1γγ
y
x
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-18
ตัวอยาง ถังเปดบรรจุน้ําถูกเรงลงมาบนพื้นเอียง 15o ดวยความเรง 4.9 m/s2 ใหหามุม θ ของผิวน้ําที่กระทํากบัพื้นราบ วิธีทํา ทิศ ⇒ ax = acos15o ; gx = 0 ทิศ ⇓ ay = -asin15o ; gy = g จาก P = ( ) Cya
gXa
g yx ++−− 1γγ
= -ρaxx - ρ( g + ay ) y + C (1) ที่ x = 0 ,y = 0 ; P = Patm แทนใน (1) Patm = C ⇒ C = Patm ดังนั้น P = -ρaxx - ρ(g + ay)y + Patm = -ρaCos15o x - ρ(g - asin15o )y + Patm (a) ที่ผิวอิสระ P = Patm
∴ tan θ =°−
°15sin
15cosag
a
y
θ = 28.99o
____________________________
4.9 m/s2
15o
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-19
การหมุนรอบแกนแนวดิง่ดวยความเร็วคงที่ การหมุนของของไหลรอบแกนในลักษณะที่มีเสถียรภาพคลายของแขง็เรียกวา “ Forced
Vortex Motion” โดยทุกๆ อนุภาคของของไหลมีความเร็วเชิงมุมเทากัน - พิจารณากอนของไหลที่หมุนรอบแกน y ดวยความเรว็เชิงมุม w - พิจารณาการเคลื่อนที่ของมวลซึ่งมีพื้นทีห่นาตัด dA ยาว dr ทิศทางตั้งฉากกับแกนหมุน
กําหนดให ที่ระยะ r ของไหลมีความดัน = P ที่ระยะ r + dr ของไหลมีความดัน = ( )r
rPP δ
∂∂
+
ความเรงที่เกดิขึ้น มีเฉพาะความเรงเขาหาแกนหมุนเทานั้น = r2ω−= (ติดลบเนื่องจากทิศพุงออกจากแกนหรือศูนยกลางเปนทิศ(+) )
จากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตนั ΣF = ma ∴ ( )rrA
gAr
rPPAP 2ωδδγδδδ −=
∂∂
+−
gr
rP 2γω=
∂∂
ให P = P ( y , r ) dr
rPdy
yPdP
∂∂
+•∂∂
=
ถาหมุนอยูในแนวดิ่ง จะไดวา γ−=∂∂yP
y
ox
r dr
W
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-20
drgrdydP
2γωγ +−=
CgryP ++−=
2
22γωγ
• ในกรณีที่ภาชนะบรรจุของไหลเปนรูปทรงกระบอก
ให yo เปนระดับของของเหลวเมื่อไมมีการหมุนรอบแกนและ Pa เปนความดนัที่ผิวอิสระของของไหล
y = mygr
+2
22ω
ตัวอยาง ทอรูปตัว U บรรจุปรอท (Hg) หมุนรอบแกน O – O ซ่ึงอยูในแนวดิ่ง ดงัรูป คํานวณหาความเร็วเชิงมมุเมื่อความแตกตางจากระดบัปรอทในทอมีคา 8 นิ้ว และใหหาความสูงเดิมของปรอทในทอ (yo)
y
R
ym
yo
ym
W
8 in
.y
yM
yo
ym
O
O
16 in 8 in
y
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-21
วิธีทํา จาก y = myg
r+
2
22ω
ym = mygR
+2
22ω
∴ yM – y = ( )222
2rR
g−
ω
R = 16 in , r = 8 in และ yM – y = 8 in
2.322
128
1216
128
222
×
−
=
ω
ω = 5.675 rad/s
หาความสูงเดมิของ Hg ในทอ (yo) จาก yo = ( )mm yy +
21
แต yM = mygR
+2
22ω และ 0=my
)2
(21 22
gRyO
ω=
yo = 33.5122.322
16675.521 22
′′=
×××
=
________________________ 2.10 เคร่ืองมือวัด
1) Barometer : เปนเครื่องมือที่ใชในการวัดความดันบรรยายกาศ (Atmospheric or Mercury Barometer )
พิจารณา ที่จดุ O จะไดวา (Patm)A – Pvapor A –γAh = 0
หรือ Patm = γh + Pvapor ในกรณีแบบนี ้ความดันไอของของเหลว มีคา 0≈
Patm = γh
hP a tm
P v a p o r
.O
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-22
2) Manometer : เนื่องจากความดนัสามารถแสดงใหอยูในรูปของความสูง ของของเหลวดังนั้นเราจึงสามารถใชความสูงของของเหลวมาวัดความดันได โดยใชหลอดแกวที่มีลักษณะ เปนรูปตัว U ซ่ึงภายในบรรจุ ของเหลวไว ปลายดานหนึ่ง ตอเขากับแหลงที่จะวดัความดัน อีกดานหนึ่งเปดสูบรรยากาศ อุปกรณดังกลาวเรียกวา Manometer ความดันทีว่ัดไดจะเปน คา Gauge Pressure เขียนเปนสมการไดดังนี ้ Pg = γh Manometer ที่นิยมใชโดยท่ัวไปมีหลายชนดิ เชน
• Differential Manometer : จะใชวัดความแตกตางความดนั ระหวาง Pressure Source 2 แหลง
• Inclined Manometer : มีหลักการทํางานเหมือน Simple manometer การเอียงลําของเหลวชวยทําใหการวัดคาความดันต่ํา ไดละเอียดขึ้น ในกรณีนี้ ถา h คือระยะความสูง ของลําของเหลวที่วัดในแนวเอียงจะไดวา
θγhCosP =
3) Bourdon Gage : ประกอบไปดวยทอโลหะซ่ึงดัดโคง เปนรูปวงกลม แลวปดปลายดานหนึ่งจนสนิท แลวตอเขากับกลไกขับเคลื่อนเข็มบอกคาความดัน ปลายอีกดานหนึ่งตอเขากับแหลงทีจ่ะวดัความดันดังแสดงในรูป
Pressuresource
h
Patm
215-241 กลศาสตรของไหล 1
อาจารยผูสอน: ดร.จันทกานต ทวีกุล บทที่ 2 : หนา 2-23
______________________