дм прз-гл-2-алг-рр-12
-
Upload
zhanna-kazakova -
Category
Documents
-
view
132 -
download
2
Transcript of дм прз-гл-2-алг-рр-12
Аль-Хорезми
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ В работе Аль-Хорезми «Китаб
мухтасар аль-джебр на-л-мукабала»
алгебра впервые рассматривается как
самостоятельный раздел математики.
Название операции «аль-джебр»,
состоящей в переносе членов из одной
стороны уравнения в другую с
изменением знака, впоследствии стало
названием раздела математики (алгебра).
ОПЕРАЦИИ И ПРЕДИКАТЫ
Функция f: A B . Пусть А = разn
C...CC
= С n , В = С
Функцию : С n С называют n - арной (n - местной) операцией на С или операцией с n аргументами.
Например, f ( x, y ) = x + y , ( x, y ) = x · y
Предикатом от n аргументов (n - местным предикатом) называется функция Р :
разn
C...CC
{ И, Л }, n 1.
Пусть А = {… ,-2, -1, 0, 1, 2, …} и Р ( х ) : "х – четное число".
Тогда Р ( 2 ) = И, а Р ( 3 ) = Л и т.д.
Пусть С = (-,), А = С×С и Р ( х, у): х у. Тогда Р( 3, 1) = И,
Р( 3, 5 ) = Л и т.д.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА. АЛГЕБРА. МОДЕЛЬ
Алгебраической системой ( АС ) называют непустое множество А с введенными на этом множестве операциями и предикатами:
А = A , F , P , где А ; F – множество операций; P – множество предикатов.
разim
A...AA
iF
A, разjn
A...AA
jP
{И, Л}.
АС A; F , P называется алгеброй, если P = и F . АС A; F, P называется моделью (реляционной системой), если F = и P .
Алгебра – непустое множество А, на котором задана совокупность операций, переводящих элементы из А в А.
= ( m1, m2 ,…, mn ) - тип алгебры.
А = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}, +, × ;
= ( 2, 2 ).
Fi (x1, x2, …,xm ) = y
A
ИЗОМОРФИЗМ АЛГЕБР
Даны однотипные алгебры: А = A; F и В = B; G , где
F = ( F1, F2, …, Fn ), = ( m1, m2 ,…, mn ), mi – число арг. Fi;
G = ( G1, G2, …, Gn ), = ( m1, m2 ,…, mn ), mi – число арг. Gi.
Каждое : А в ( на ) В наз-ем отображением алгебры А в ( на ) алг. В.
Изоморфизмом алгебры А = A; F1, F2, …, Fn в ( на ) однотипную алгебру В = B; G1, G2, …, Gn наз-ся биективное отобр. А в(на) В:
(Fi ( x1, x2, …, xmi )) = Gi ( ( x1 ), …, ( xmi ))
для i, 1 ≤ i ≤ n, и для x1, x2,…, xmi A.
Пусть А = (0,); ×, В = (-,);+ . Отобр. (х) = ln (x) ( 0, ) на ( -, )
является взаимно биекцией и :
(a×b) = ln(a×b) = ln a + ln b = (a) + (b)
т.е. (х) = ln(x) в данном случае является изоморфизмом А на В.
y=ln x
x
ИЗОМОРФИЗМ АЛГЕБР
A , + B , a ( a ) c = a + b ( b ) (b ) b
( b ) A B
ГОМОМОРФИЗМ АЛГЕБР
Гомоморфизмом алгебры А = A; F1, F2, …, Fn в ( на ) однотипную алгебру В = B; G1 , G2 , …, Gn наз-ся отображение А в(на) В:
( Fi ( x1, x2, …, xmi )) = Gi ( ( x1 ), ( x2 ),…, ( xmi
))
для i, 1≤ i ≤ n, и для x1, x2,…, xmi A.
М - множество квадратных n×n матриц действительных чисел и А = M; × , В = (-,);, (С) = det ( С )
( С×D ) = det ( C×D )= det С det D = ( C ) ( D ).
Таким образом, : А В сохраняет операцию. Но это отображение не является изоморфным, так как не биекция. Итак, – гомоморфизм А на В.
ГРУППЫ
Множество G с одной бинарной операций «» наз-ся группой, если:
1) операция ассоциативна: для a, b, c из G: a ( b c) = ( a b ) c;
2) единица e G : для a G: a e = e a = a;
3) для a G обратный элемент a -1 G, что а а -1 = а -1 а = е. Если «» наз-ся умножением, то группа мультипликативная, если «» наз-ся сложением, то группа аддитивная.
Примеры. 1. G = М, × образует группу относительно операции умножения матриц.
2. G = Z, + . 3. М , G = 2M , и А В = А В.
Теорема. Единица группы единственна. Обратный элемент в группе тоже единственен.
Теорема. В группе: 1) (a b) -1 = b -1 а -1; 2) если a b = а с, то b = c; 3) если b a = c a, то b = c; 4) (a -1) -1 = a ;
5) однозначно разрешимо уравнение ax = b. Группа наз-ся коммутативной ( абелевой ), если для a, b G : a b = b a.
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Положим, что если k = 0, то b k = е; если k > 0, то b k = b b … b;
если же k < 0, то b k = b -1 b -1 … b
-1.
Пусть В = { b1 , b2 , …, bn } и для a G : a = b 1k1 b 2
k2 … b nkn,
тогда элементы множества В наз-ся образующими группы.
Группа с одной образующей называется циклической.
Если а – образующая группы, то для b : b = a m. М. б. все степени ak
различны: …, a -2, a -1, a 0 = e, a 1, a 2, … и группа бесконечна.
Либо k и m : a k = a m , k > m > 0 и a k – m = e ( k – m > 0 ),
но все a0, a1, a2, …, an-1 различны.
Наименьшее целое положительное n такое, что a n = e наз-ся порядком элемента а. Если такого n не , то а наз-ся элементом бесконечного порядка.
Подмножество G1 множества G с той же операцией, что и в группе, называется подгруппой, если G1 , является группой.
Теорема. Подгруппа циклической группы является циклической.
k раз
(-k) раз
Эварист Галуа ( 1811 – 1832 )
Известно, что в семнадцать лет Галуа многое сделал для создания раздела математики, который ныне даёт возможность проникнуть в сущность таких различных областей, как теория чисел, кристаллография, физика элементарных частиц, криптология, проектирование баллистических структур спутниковых систем и многое другое.
Известно и то, что в том же возрасте Галуа вторично провалился на экзамене по математике при поступлении в Эколь Политекник. Ему пришлось поступить в Эколь Нормаль, но в девятнадцать лет он был оттуда исключён, дважды арестован и заключён в тюрьму за политическую деятельность.
«В теории уравнений я исследовал, в каких случаях уравнения разрешаются в радикалах, что дало мне повод углубить эту теорию и описать все возможные преобразования уравнения, допустимые даже тогда, когда оно не решается в радикалах.»
КОЛЬЦО
Кольцом наз-ся непустое множество R, на котором введены две бинарные операции + и , ( сложение и умножение ) такие, что:
1) R; + является абелевой группой;
2) умножение ассоциативно: a, b, c R: ( a b ) c = a ( b c );
3) умножение дистрибутивно относительно сложения: a, b, c R:
a ( b + c ) = ( a b ) + ( а c ) и ( а + b ) c = ( a c ) + ( b c ).
Кольцо записываем как R; +, , ( 0 ) - ее аддитивная единица; ( -а ) -
аддитивная обратная для a R. В кольце R : x 0 = 0 и 0 х = 0
для х R. Из x y = 0 не следует, что х = 0 или у = 0.
КОЛЬЦО С ЕДИНИЦЕЙ
Если в кольце R единица относительно умножения, то эту мультипликативную единицу обозначают через 1.
Мультипликативная единица единственна. Мультипликативную обратную для a R обозначают через а -1.
Теорема. Элементы 0 и 1 являются различными элементами ненулевого кольца R. Аддитивная единица, т.е. 0, не имеет мультипликативного обратного.
Кольцо называется коммутативным, если для a, b R: a b = b a.
Если a b = 0, то а называется левым, а b правым делителями нуля. Элемент 0 считается тривиальным делителем нуля.
Коммутативное кольцо без делителей нуля, отличных от тривиального делителя нуля, называют целостным кольцом или областью целостности.
Z – множество всех целых чисел;
Q – множество всех рациональных чисел;
R – множество всех действительных чисел;
С – множество всех комплексных чисел.
Z, Q, R и C образуют кольца с единицей при операциях + и .
ПОЛЕ
Полем называется коммутативное кольцо, у которого ненулевые элементы образуют коммутативную группу относительно умножения.
Поле – это множество P с двумя бинарными операциями «+» и «»:
1) сложение ассоциативно: для a, b, cR: ( a + b ) + c = a + ( b + c );
2) аддитивная единица: 0P, что для a P: a + 0 = 0 + a = a;
3) a P ( - a ) P : ( -a ) + a = a + ( -a ) = 0;
4) сложение коммутативно: для a, b P: a + b = b + a;
5) умножение ассоциативно: для a, b, c P: a ( b c ) = ( a b ) c;
6) мультипликативная единица 1 P: a P : 1 a = a 1 = a;
7) для a ≠ 0 a-1 : a-1 a = a a -1 = 1;
8) умножение коммутативно: для a, b P: a b = b a;
9) умножение дистрибутивно относительно сложения: для a, b, c P:
a ( b + c ) = ( a b ) + ( a c ), ( b + c ) a = ( b a ) + ( c a ).
Примеры: 1) R; +, - поле вещественных чисел;
2) Q; +, - поле рациональных чисел;
3) C; +, - поле комплексных чисел;