二次函数复习 1二次函数复习 1

回顾与复习

形如 y=ax2+bx+c （ a≠0,a,b,c 为常数）的

函数叫 x 的二次函数 .

二次函数概念：

二次函数的图象关系：

y=a(x-h)2+k（ a≠0 ， a,h,k 为常数）

y=ax2 （ a≠0 ） y=a(x-h)2

（ a≠0 ， a,h 为常数）

y=ax2+k ( a≠0,a,k 为常数 )

1. 二次函数的定义： ⑴ 下列函数中，二次函数的是（ ） A ． y=ax2+bx+c B.y=x2-(x+2)(x-2) C. D.y=x(x-1)

⑵ 当 k= 时，函数 为二次函数 .

xxy

12

1)1(2

kkxky

D

-2

(2) 二次函数的图像与性质： 二次函数 y=-x2+6x+3 的图象开口方向 ,顶点坐标为 _________, 对称轴为 _________,当 x= 时 , 函数有 值，为 .当 x______ 时， y 的值随 x 的增大而增大 .它是由 y=-x2 先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到的．

抛物线 y=-x2+6x+1 与 x 轴的交点有 个 ; 抛物线 y=2x2+3x+4 与 x 轴的交点有 个 ; 抛物线 y=x2+2x+1 与 x 轴的交点有 个。总结：抛物线与 x 轴的交点个数由 ___ 决定

向下(3,12)

3 大 12≤3

右 3 上12

(3) 抛物线与 x 轴的交点个数：20

1b2-4ac

① 如图是 y=ax2+bx+c 的图象，则 a______0 , b______0 , c______0 , b2-4ac________0 .

o

y

xA B

<< > >

(4) 抛物线的图象与 a 、 b 、 c 及 b2-4ac 的关系 :

总结：抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与 a 、 b 、c 及 b2-4ac 的关系是： a: 开口方向； b ：结合 a 看对称轴； c ：与 y 轴交点坐标； b2-4ac ：与 x 轴的交点个数。

② 二次函数 y=ax2+bx+c 与一次函数 y=ax+c在同一直角坐标系中图象大致是 （ ）

A B C D

xx

xxo

yyyy

o o o

A

(5) 求二次函数解析式： 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．① 已知二次函数的图象经过点 A （ 0 ， -1 ）、B （ 1 ， 0 ）、 C （ -1 ， 2 ）；② 已知抛物线的顶点为（ 1 ， -3 ），且与 y轴交于点（ 0 ， 1 ） .

总结：（ 1 ）一般式： y=ax2+bx+c ，给出三点坐标可利用此式来求．（ 2 ）顶点式： y=a(x-h)2+k ，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．

把抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标为 (-2,1),且 a-b+c=0, 求 a 、 b 、 c 的值 .

设抛物线的解析式为 y=a(x+2)2+1解 :又 a-b+c=0故抛物线过点 (-1,0) 代入求 a

1a

例 1. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过点 （ 1 ，0 ）（ 0 ， 3 ），对称轴是直线 x= -1.

① 求此函数解析式 ;

② 若图象与 x 轴交于 A 、 B （ A 在 B 左）与y 轴交于 C, 顶点 D ，求四边形 ABCD 的面积 .

例题欣赏 ☞☞

y=-x2-2x+3

o

y

xB(1,0)

A

C(0,3)

D

E

(-3,0)

(-1,4)

例 2. 已知如图，△ ABC 中， A （ -1 ， 0 ），C （ 0 ， 4 ），点 B 在 x 轴正半轴上，且△ ABC 的面积为 6. 试求 :

① 点 B 的坐标 ;

② 求过 A 、 B 、 C 三点的抛物线的解析式 .

o

y

xA(-1,0) B

C(0,4)

例题欣赏 ☞☞

(2,0)

y=-2x2+2x+4

例 3. 探索： 如图，抛物线的对称轴是直线 x=1 ，它与x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，点A 、 C 的坐标分别是（ -1 ， 0 ）（ 0 ， 1.5 ）（ 1 ）求此抛物线的函数关系式 ;

o

y

xA(-1,0) B

C(0,1.5)

x=1

21( 1) 22

y x 例题欣赏 ☞☞

(3,0)

（ 2 ）若点 P 是此抛物线上位于 x 轴上方的一个动点，求△ ABP 面积的最大值 ;

o

y

xA(-1,0)

B

C(0,1.5)

交流讨论

（ 3 ）问：此抛物线位于 x 轴的下方是否存在一点 Q, 使△ ABQ 的面积与△ ABP 的面积相等？如果有，求出该点坐标，如果没有请说明理由 .

Q Q

P

D

21( 1) 22

y x

4

(3,0)

已知抛物线过点（ -2 ， 5 ），（ 4 ， 5 ），且有最小值为 y=3. 求出对应的二次函数的关系式．