МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИУПРАВЛІННЯ ОСВІТИ І НАУКИ

ХМЕЛЬНИЦЬКОЇ ОБЛАСНОЇ ДЕРЖАВНОЇ АДМІНІСТРАЦІЇХМЕЛЬНИЦЬКИЙ ОБЛАСНИЙ ІНСТИТУТ ПІСЛЯДИПЛОМНОЇ ПЕДАГОГІЧНОЇ ОСВІТИ

Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2012–2013 н. р.

Завдання

11 клас

1. Розв’яжіть рівняння . (Тут квадратні дужки

означають цілу частину числа).

2. Розв’язати рівняння в натуральних числах

.

3. Діагоналі ділять трапецію на чотири трикутники. Нехай – площа трапеції, та – площі двох трикутників, що містять основи трапеції як

власні основи. Доведіть, що .

4. В тетраедрі всі три плоскі кути при вершині - прямі. Доведіть, що

5. Андрійко і Миколка грають у таку гру: по черзі називають натуральні числа, причому Андрійко першим називає число не більше , а Миколка називає число, яке перевищує число назване Андрійком, але не більше, ніж на . Далі, Андрійко називає число, яке перевищує число назване Миколкою, але не більше, ніж на , і т.д. Виграє той, хто назве число . Хто виграє: Андрійко чи Миколка?

На виконання роботи виділяється 4 години.

Використання записників і калькулятора не дозволяється.

10 листопада 2012 року.