第 1 章 信號與系統簡介 by 胡興民老師

連續時間信號與離散時間信號 連續時間信號 (continuous-time signal) ：連續時間 信號以函數 x(t) 表示之，其中 t 是連續時間變數。

離散時間信號 (discrete-time signal) ：離散時間信號只定義在離散的時間點上，一般以離散時間變數 n 的序列 (sequence) x[n] 表示之，其中變數 n 為整數。

連續時間信號的例子

離散時間信號的例子

某

某年某地

連續時間信號與其取樣信號

離散時間信號表示方式• 數學函數計算序列的數值：

或

• 由一數值序列 (number sequence) 所組成：

其中箭號↑標示時序 n = 0 時之項次數值，即 x[0] = 0 。當序列未標示箭號↑時表示序列從 n = 0 開始。

0 ,0

0,)3

1(][

n

nxnxn

n},)

3

1(,,

9

1 ,

3

1 ,1 ,0 ,{}{ n

nx

,1,4,3,7}0,1,-1,2{][

nx

• 類比信號 (analog signal) ：信號之振幅大小 ( 強度 ) 用任意區間 [a, b] 之連續數值描述之連續值信號 (continuous-valued signal) ，其中 a 和 b 可以分別為和。

• 數位信號 (digital signal) ：信號之振幅大小用離散 ( 或有限個數 ) 數值描述之離散值信號 (discrete-valued signal) 。

圖 1- 4 數位信號的例子

• 類比信號的數位化過程包含信號取樣 ( 可將連續時間信號轉換成離散時間信號 ) 以及量化 (quantization) 程序 。

圖 1-6 類比信號數位化的例子

圖 1-7 圖 1.6 之量化轉換 ( 輸入與輸出對應 ) 示意圖

• 週期信號 (periodic signal) ：連續時間信號 x(t) 滿足條件

(1.1)

• 非週期信號 (nonperiodic or aperiodic signal) ：任何不滿足上述週期特性的連續時間信號 x(t) 。

• 連續時間信號週期特性可表示成

T0 為週期信號 x(t) 的基本週期 (fundamental period)

• 離散時間信號 x[n] 的週期特性可表示成 。

N0 為週期序列 x[n] 的基本週期

tt x Tt x 所有 ),()(

mtt x mTt x 及任意正整數所有 ),()( 0

mnn xmNn x 及任意正整數所有 ],[][ 0

圖 1-8 週期信號的例子

例 1-1 ：說明一弦波信號為週期信號，基本週期為 1/f0 。

[ 解析 ] 若 x(t) 是週期信號， x(t) 須滿足定義 (1.1) 式

已知

比較以上二式，當 T = m/f0 時 x(t) 可滿足定義 (1.1) 式，故x(t)

是一個週期信號，其基本週期為最小正 T 值，即 T0 = 1/f0 。

)2cos()22cos())(2cos()( 0000 tfTftfTtfTtx

為整數mm ),2cos()cos(

例 1-2: 說明信號 為週期信號，並求其基本週期。

[ 解析 ] 若 x(t) 是週期信號， x(t) 須滿足定義 (1.1) 式

上式要成立，必須 。 (i) 時 ( 直流信號 ) ，

任意值皆可符合條件 (1.1) 式，故是週期信號，但此情況無

法定義最小正 T 值，即無法找到基本週期； (ii) 若 , 當時， ，因此滿足條件 (1.1) 式，故是週期信號，基本週期為最小

正T 值，即 T0 =1/f0 。

102 Tfje 00 f

tfjetx 02)(

tfjTfjtfjTtfj eeeeTtx 0000 222)(2)(

00 f mTf 22 0 12 mje

• 偶信號 (even signal) ：信號 x(t) 或序列 x[n] 滿足條件

• 奇信號 (odd signal) ：信號 x(t) 或序列 x[n] 滿足條件

][ ][

)()(

n x nx

t x tx

][ ][

)()(

nx nx

tx tx

圖 1-9 一個偶信號的例子

圖 1-10 一個奇信號的例子

• 信號可以表示成一個奇信號與偶信號之和

其中

；

][][][

)()()(

n xn x nx

txt x tx

oe

oe

])()([2

1)(

])()([2

1)(

txtxtx

txtxtx

o

e

])[][(2

1][

])[][(2

1][

n x nxn x

n x nxn x

o

e

• 定型信號 (deterministic signal) 是在任何給定時間其數值是可預知的，也就是說定型信號可用已知的函數加以描述或表示。

• 有些信號在任何給定時間的數值是隨機而不可預知，此種不能用已知的數學式描述而必須用機率及統計特性描述的信號稱為隨機信號 (random signal) 。

例 1-4 ：信號 ，求其偶信號部份與奇信號 部份。

[ 解析 ] 利用 (1.9) 式與三角函數公式可求得其偶信號部份與 奇信號部份：

　　

另外，利用三角函數直接改寫原信號：

再配合我們對弦波信號的奇、偶特性的了解 ( 弦波信號 與 分別是偶信號和奇信號 ) ，我們也可以很容易求得知此信號 x(t) 的偶信號部份與奇信號部份，圖 1-11 可加以驗證。

)6/cos()( 0 twtx

)sin(2

1)]

6cos()

6[cos(

2

1)(

)cos(2

3)]

6cos()

6[cos(

2

1)(

000

000

twtwtwtx

twtwtwtx

o

e

)sin(2

1)cos(

2

3)6/cos()( 000 twtwtwtx

)cos( 0tw)sin( 0tw

圖 1-11 範例 1-4 之奇、偶信號解析

例 1-5 ：信號 ，舉例說明 w0 與之特性以分析此信號為定型信號或隨機信號。

[ 解析 ] 若 w0 與是常數則 x(t) 是定型信號 ( 給定任意 t 值皆可

預知 x(t) 值 ) 。反之，若 w0 是常數，而 =/3 或 =/3 的

機率各半，此情況下的 x(t) 則為隨機信號 ( 即使給定 t 值，我

們也無法預知 x(t) 值，因為無法預知 ) 。

)cos()( 0 twtx

信號之功率與能量• 任意連續時間信號 x(t) 的總能量 (total energy) E

及平均功率 (average power) P 分別定義為 :

(1.13)

• 離散時間信號 x[n] 的總能量 E 及平均功率 P 分別定義為：

(joules) )(

2 焦耳

dttxE

(watts) )(1

lim2/

2/

2 瓦特

T

TTdttx

TP

2][nxE

n

2][

12

1lim nx

NP

N

NnN

• 信號 x(t) 的總能量 E 有定義而且為有限值，亦即• ，那麼此信號稱為能量信號。• 如果信號 x(t) 的平均功率 P 有定義而且為有限值，亦即• ，此信號則稱為功率信號。• 假如一信號不符合上述能量及功率特性，則此信號既非

能量信號也非功率信號 。

E0

P0

例 1-6 ：考慮一週期為 T0 的週期信號 ，其中角頻率 ( 角頻率在第 2 章會說明 ) ；是一常數，分析此信號為能量信號或功率信號。

[ 解析 ] 因為是週期信號，利用 (1.17) 式計算 x(t) 的平均功率

上式中之弦波信號積分整數個週期為 0 。因為 x(t) 的平均

功率值有限，此信號為功率信號。一般而言，週期信號是屬於功率信號。

)cos()( 0 twAtx

00 /2 Tw

2)22cos(

22

1

2

)22cos(11)(cos

1)(

1

2

0 00

2

0

2

0

0

02

0

0 022

0

0

2

0

00

000

Adttw

T

AdtA

T

dttw

AT

dttwAT

dttxT

P

TT

TTT

例 1-7 ：信號 ，其中 a > 0 ；說明此信號為

能量信號。

[ 解析 ] 利用 (1.13) 式計算 x(t) 的總能量

因為 x(t) 的總能量有限，此信號為能量信號。

ae

adtedttxE atat

2

1

2

1 )(

0

2

0

2

2

else , 0

0 ,)(

tetx

at

範例 1-8 ：信號 ；說明此信號既非能量信號也非功率信號。

[ 解析 ] 利用 (1.13) 式計算 x(t) 的總能量

利用 (1.14) 式計算 x(t) 的平均功率

由以上計算得知 x(t) 的總能量和平均功率皆為，因此這

個信號既非能量信號也非功率信號。

else , 0

0 ,)(

tttx

0

3

0

2

2

3 )(

tdttdttxE

24

lim3

)2/(1lim

1lim

232/

0

2 TT

Tdtt

TP

TT

T

T

系統數學模型• 為達成某些特定功能或目的，由某些物件單元組成的物

體稱為系統 (system) ，可看成一種描述輸入信號與輸出信號之關係或過程的一種數學模型。 x 表示系統的輸入信號， y 表示系統的輸出信號，那麼系統可看成某種轉換 (transformation) 或映射 (mapping) 將輸入信號 x 轉換成輸出信號 y ，以數學模型描述此轉換為 y = T [x]

圖 1-13 系統數學模型示意圖

• 當輸入信號 x(t) 與輸出信號 y(t) 是連續時間信號時，此系統即為連續時間系統 (continuous time system) 。

• 若輸入信號 x[n] 與輸出信號 y[n] 是離散時間序列的情況，此系統即為離散時間系統 (discrete time system) 。

單一輸入 / 輸出連續時間系統之例子• 考量圖 1-15 所述之一個簡單的 RC 電路，若將電壓源信

號視為一連續時間輸入信號，且將電容之端電壓信號 y(t) 視為一連續時間輸出信號，則此簡單的 RC 電路即是單一輸入 / 單一輸出信號連續時間系統之一個例子。其輸入與輸出之關係可用一階常微分方程式描述為：

)(1

)(1)(

txRC

tyRCdt

tdy

圖 1-15 RC 電路圖

• 若一系統的輸出信號 y(t) 或 y[n] 只與同一時間的輸入信號 x(t) 或 x[n] 有關，此系統即為無記憶系統 (memoryless system) 。

• 若輸出信號 y(t) 或 y[n] 與其他時間的輸入信號 x(t) 或 x[n] 有關，此系統即稱為記憶系統 (memory system) 。

無記憶連續時間系統的例子• 考量圖 1-16 所述之一個簡單的 RC 電路，假設跨於電阻

之電壓為輸出信號 y(t) ，而為輸入電流源信號，那麼此連續時間系統之輸出 / 輸入信號關係可描述為 ：

顯然輸出信號 y(t) 只與同一時間的輸入信號有關，即成比例關係，故此系統為無記憶系統

)()( tRxty

圖 1-16 RC 電路圖

• 考慮上一範例，假設跨於電容之電壓為輸出信號 y(t) ，輸入電流源信號仍設為，那麼以此輸出 / 輸入信號之系統描述為 ：

顯然，輸出信號 y(t) 與時間 t 之前的所有輸入信號 都有關係，故此系統為記憶系統 ( 與我們認知電容為一記憶元件之觀念相符 ) 。

dxC

tyt

)(

1)(

• 一系統的輸出信號 y 只與目前或之前的輸入信號 x 有關，此系統稱為因果系統 (causal system) 。

• 若輸出信號 y 與未來時間的輸入信號 x 有關，此系統即稱為非因果系統 (non-causal system) 。

• 此處所提之「因果」的物理意義與我們平常所說的「前因後果」之因果關係是相同的，其中輸入信號為「因」，輸出信號為「果」，先有因才有果，有輸入信號後才有輸出信號的系統符合此因果概念 , 是以稱為因果系統。換句話說，輸入信號之前便有輸出信號 ( 無中生有 ) 的系統為非因果系統 。

因果系統的例子• 假設一系統之輸入 / 輸出關係描述為 ：

輸出信號 y(t)決定於同一時間的輸入信號 x(t) 及兩 2秒前之輸入信號 x(t2) ，符合因果關係，故此系統為因果系統。

)2()()( txtxty

非因果系統的例子• 假設一系統之輸入 / 輸出關係描述為 ：

系統之輸出信號 y[n]決定於同一時間的輸入信號 x[n] 及兩 2 個時間單位後之輸入信號 x[n+2] ，輸出信號與未來輸入信號有關，不具因果關係，故此系統為非因果系統。

]2[][][ nxnxny

• 線性系統運算元 T[] 符合以下特性： 。 ＊ 加成性 (additivity) ：若 T[x1]= y1 且 T[x2]= y2 則 T[x1+x2]= y1+y2 ，任何 x1 及 x2 皆成立。 ＊ 一致性或等比例 (homogeneity or scaling) ：若 T [x] =

y 則 T [x] = y ，左式對於任何 x 及純量常數皆成立。

整合成疊加特性 (superposition property):

• 若系統符合以上特性者稱為線性系統 (nonlinear system)• 若系統不符合以上特性者稱為非線性系統 (nonlinear syst

em) 。

圖 1-17 線性系統示意圖

範例 1-16 ：假設系統之輸出 / 輸入關係 ， 請說明此系統為一線性系統。

[ 解析 ] 假設將任意兩信號 x1(t) 和 x2(t) 分別輸入此系統，分別產生之輸出信號 y1(t) 和 y2(t) 可表示成

檢驗輸入信號 1x1(t)+2x2(t) 對應之輸出信號

符合疊加特性，故此系統為一線性系統。

)()2()( txtty

)()2()]([)(

)()2()]([)(

222

111

txttxTty

txttxTty

)()(

)()2()()2(

)]()()[2()]()([

2211

2211

22112211

tyty

txttxt

txtxttxtxT

範例 1-17 ：假設系統之輸出 / 輸入關係為 : ，請說明此系統為一非線性系統。

[ 解析 ] 假設將任意兩信號 x1(t) 和 x2(t) 分別輸入此系統，分別產生之輸出信號 y1(t) 和 y2(t) 可表示成

檢驗輸入信號 1x1(t)+2x2(t) 對應之輸出信號

不符合疊加特性，故此系統為一非線性系統。

)()( 2 txty

)()]([)(

)()]([)(2

222

2111

txtxTty

txtxTty

)()(

)()()(2)(

)]()([)]()([

2211

22

222121

21

21

222112211

tyty

txtxtxtx

txtxtxtxT

• 若一系統之輸入信號的輸入時間提前或延後 t0

( 連續時間系統 ) 或 n0( 離散時間系統 ) 時，其對應的輸出信號波形與原輸出信號波形相同，但其輸出信號也提前或延後 t0 或 n0 ，此種系統稱為非時變系統 (time-invariant system) 。

• 不符合以上特性之系統稱為時變系統 (time-varying system) 。

圖 1-18 非時變系統示意圖

• 範例 1-18 ：考慮範例 1-16 之系統 ，請說明此系統為一時變系統

[ 解析 ] 此系統之輸入信號與輸出信號分別為 x1(t) 和 x2(t) ，假設輸入信號之輸入時間延後 t0 ，此時輸入信號為 ，此情況之系統輸出信號為

檢驗原輸出信號輸出時間也平移 t0 之結果為

顯然 與 不相等，故此系統為一時變系統。

)()2()( txtty

)()( 0ttxtxd

)()2()]([)]([)( 00 ttxtttxTtxTty dd

)()2()( 000 ttxtttty

)(tyd )( 0tty

範例 1-19 ：假設系統之輸出 / 輸入關係為 :

，請說明此系統為一非時變系統。 [ 解析 ] 此系統之輸入信號與輸出信號分別為 x1(t) 和 x2(t) ，

假設輸入信號之輸入時間延後 t0 ，此時輸入信號為 ，此情況之系統輸出信號為

檢驗原輸出信號輸出時間也平移 t0 之結果為

與 相等，故此系統為一非時變系統。

))(cos()( txty

))(cos()]([)]([)( 00 ttxttxTtxTty dd )()( 0ttxtxd

))(cos()( 00 ttxtty

)( 0tty )(tyd

• 若一系統之輸入信號的數值有限 (bounded-input) ，其對應的輸出信號值也有限 (bounded-output) ，此種系統稱BIBO (bounded-input/bounded-output)穩定系統 (stable system) ，以數學式之描述為：

• 輸入有限數值的信號而輸出無限值之系統 ( 不符合上述

特性 ) 稱為不穩定系統 (unstable system) 。

為有限值常數和則若 2121 其中 , cccycx

範例 1-20 ：考慮一延遲系統 : ，請說明此系統為 BIBO穩定系統。

[ 解析 ] 顯然若系統之輸入信號 ，則 ，故此系統是 BIBO穩定。ctxty |)5(||)(|

)5()( txty

ctx |)(|

範例 1-21 ：系統之輸出 / 入信號之關係為 ，請說明此系統為一 BIBO 不穩定系統。

[ 解析 ] 假定此系統之輸入信號為

系統的輸出信號為

顯然系統的輸出信號為一時間的遞增函數，其數值可以到無限大，故此系統不穩定

dxtyt

)()(

else ,0

0 ,1)(

ttx

else ,0

0 ,)(

ttty