材料系物理工学 03.10.15第 2 回　磁石を微細にしていく

と？量子機能工学

佐藤勝昭

復習コーナー第１回で学んだこと• 身の周りにある磁性材料をハードディスクを

例に紹介した。• 磁界、磁化、磁束密度、磁極、磁気モーメン

トなどについて概念を紹介した。• 磁界の測定方法、磁化の測定方法を紹介した。• 軟質 ( ソフト ) 磁性、硬質 ( ハード ) 磁性の磁

化曲線を示した。

前回の問題

• 1m あたり 10000 巻きのコイルに 1A の電流を流したときの磁界の強さは SI 単位ではいくらか。 cgs 単位ではいくらか。– 答え： 10000A/m=126Oe

• ホール素子を使って磁界の大きさを測定できることを説明せよ。– 半導体に電流を流しながら面に垂直に磁界を印加すると、ローレン

ツ力でキャリアの進行方向が曲げられるが、外部回路が開いていると電荷が蓄積しホール電圧が生じる。（正解者：芳澤君のみ）

BneJBvEv

Bv

Bv

E

E

m

ev

v

dtdv

vevm

dt

vdm

xxyy

x

y

y

x

y

x

)/(0

0/

)(

とすると

BE

VH

電子 BEy

Ex

学生からの質問

• 電気双極子モーメントと磁気双極子モーメントに依存性はありますか。 ( 大野君 )– 回答：互いに無関係です。特に、光の周波数にお

いては、電磁界の変化に磁気モーメントは追従できなくなりますが、電気双極子モーメントは追従できます。

– 磁気モーメントが整列していると磁化が生じ、スピン軌道相互作用を通じて、電気双極子モーメントに影響を与えます。これが磁気光学効果です。

学生からの質問

• 講義中で出てきた下のグラフの横軸は何なのですか（小山君）– 図は、第２種超伝導体の相図です。縦軸は、磁界の強さ、

横軸は、絶対温度です。– 第１種超伝導体で電磁石を

つくると、磁界が浸入すると超伝導が破れます。右図のような第２種超伝導体では、超伝導と常伝導の共存状態があります。

磁石を切るとどうなる•磁石は分割しても小さな磁石ができるだけ。•両端に現れる磁極の大きさ ( 単位 Wb/cm2) は小さくしても変わらない。•Ｎ極のみ、Ｓ極のみを単独で取り出せない。

岡山大の HP より（http://www.magnet.okayama-u.ac.jp/magword/domain/）

磁化過程と磁区 (domain)

• (a) は着磁される前、すなわち磁石としての性質を示さない状態を表しています。構造的に、内部のスピンは互いにうち消しあって磁石としての性質がゼロになるような配置をしています。外から磁界を加えると、 (b) のようにその方向を向くものが増え、その体積も増えていきます。 (c) のように全部のスピンが同一方向を向くとこれ以上磁化が増えないので、飽和したといいます。 (a) (b) (c)

磁性体を顕微鏡で見ると

ミリメータサイズ

0.3 mm

• 図は、磁性微粒子の磁性体に塗布して顕微鏡で観察した磁区像である。 ( ビッターパターン )

• 外部磁界を加えないとき、磁性体は全体がいくつかの磁区に分かれ全体としての磁化を打ち消している。

ファラデー効果を用いた磁区イメージング

• ファラデー効果を用いて磁区を画像化

磁性ガーネットの磁化過程を見る

検光子

偏光子

対物レンズ試料

穴あき電磁石 光源

CCD カメラ

B=0G B=4G

B=2G B=20G

磁気力顕微鏡で見ると• 磁気力顕微鏡 (MFM) は、微小

な磁石を尖端部にもつカンチレバーに働く磁気力を測定し画像化する。光学顕微鏡を使っては観測できない小さな磁区もMFM を使えば観測できる。

ミクロンサイズ２ μm

ｘ

ｘｘ

カンチレバー

磁区 磁性体コートチップ

m サイズの磁性体と環流磁区

• 表面に磁極を作らない磁気構造が環流磁区 (closure domain) である。

• 90° 磁壁にそって生じるわずかな磁極のため、 MFM画像が見られる

1μm

90° 磁壁

シリコンに埋め込んだパーマロイ (Ni80Fe20)の MFM 画像（佐藤研松本剛君測定）

ナノ構造磁性体の磁極

• 図は、シリコンに埋め込んだ 100nm×300nmのサイズの磁性体ドットの電子顕微鏡像と磁気力顕微鏡像である。

• 白・黒の対が並んでいるが、白が S 極、黒がN 極である。

0.6μm

走査型電子顕微鏡でみた磁性ドット像

磁気力顕微鏡で見た磁性ドット配列の磁気構造

究極の磁石：原子磁気モーメント• さらにどんどん分割して原子のレベルに達しても磁極はペアで現れる

• この究極のペアにおける磁極の大きさと間隔の積を磁気モーメントとよぶ

• 原子においては、電子の軌道運動による電流と電子のスピンよって磁気モーメントが生じる。

Ｓ　

　　

　　

　　

　　

　Ｎ

r 磁気モーメントm=qr [Wbm]

-q [Wb]

+q [Wb]

-e

r

原子磁石

磁気モーメント

• 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は T=qH r sin=mH sin• 磁気モーメントのもつポテンシャル E は　　 E=Td= mH sin d=1-mHcos E=-mH

(高梨：初等磁気工学講座 ) より

Ｓ　

　　

　　

　　

　　

　Ｎ

r 磁気モーメントm=qr [Wbm]

-q [Wb]

+q [Wb]

rsin

単位： E[J]=-m[Wbm] H[A/m];

qH

-qH

環状電流と磁気モーメント• 電子の周回運動→環状電流

-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[m/s] で周回→１周の時間は 2a/v[s] 　→電流は i=-ev/2πa[A] 。

• 磁気モーメントは、電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ、 =iS=-eav/2 となる。

• 一方、角運動量は =mav であるから、これを使うと磁気モーメントは =-(e/2m) となる。

-e

r

N

S

• 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり、電子軌道の角運動量は l=L である。L は整数値をとる

=-(e/2m) に代入すると

軌道角運動量の量子的扱い

-e

軌道磁気モーメント l=-(e/2m)L=- BL

ボーア磁子 B=e/2m =9.2710-24[J/T]単位： [J/T]=[Wb2/m]/[Wb/m2]=[Wbm]

もう一つの角運動量：スピン

• 電子スピン量子数 s の大きさは 1/2

• 量子化軸方向の成分 sz は ±1/2 の２値をとる。

• スピン角運動量は を単位として s=s となる。

• スピン磁気モーメントは s=-(e/m)s と表される。

• 従って、 s=-(e/m)s=- 2Bs

• 実際には上式の係数は、 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=2.0023) をもつので、 s=- gBs と表される。

スピンとは？

• ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる。

• スピンはどのように導入されたか– Na( ナトリウム ) の D 線のゼーマン効果（磁界をか

けるとスペクトル線が２本に分裂する。）を説明するためには、電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため、導入された量子数である。

• 電子スピン、核スピン

電子の軌道占有の規則

1. 各軌道には最大２個の電子が入ることができる2. 電子はエネルギーの低い軌道から順番に入る3. エネルギーが等しい軌道があれば、まず電子は１個ずつ入り、その後、２個目が入っていく

n=1 K-shell

n=2 L-shell

n=3 M-shell

1s 軌道 最大電子数 2

2s, 2p 軌道 最大電子数 2+6

3s, 3p, 3d 軌道　最大電子数2+6+10=18

主量子数と軌道角運動量量子数• 主量子数　 n

• 軌道角運動量量子数　 l=n-1, .... ,0

n l m 軌道 縮重度

1 0 0 1s 2

20 0 2s 2

1 1 0 -1 2p 6

3

0 0 3s 2

1 1 0 -1 3p 6

2 2 1 0 -1 -2 3d 10

元素の周期表3d遷移金属

３ｄ遷移元素

• WebElementsTM Periodic table （ http://www.webelements.com/）より

[Ar].3d1.4s2 2D3/2

[Ar].3d2.4s2 3F2

[Ar].3d3.4s2 4F3/2

[Ar].3d5.4s1 7S3

[Ar].3d5.4s2 6S5/2

[Ar].3d6.4s2 5D4

[Ar].3d7.4s2 4F9/2

[Ar].3d8.4s2 3F4

[Ar].3d10.4s1 2S1/2

スカンジウム チタン バナジウム クロム マンガン

鉄 コバルト ニッケル 銅

ちょっと量子力学角運動量演算子 L のマジック• L=rp / =(ypz-zpy, zpx-xpz, xpy-ypx) /

• 演算子 L2 の固有値 l(l+1); Lz の固有値 m L2l= l(l+1) l ; Lzm=mm

• 昇降演算子 L+=Lx+iLy, L-=Lx-iLy を導入LzL+m=(m+1) L+m ； LzL-m=(m-1) L-m

L+m は固有値 m+1 をもつ Lz の固有状態m=l ならば、 L+m =0 ；最大の固有値を増加できないすなわち、 L+ l =0 同様に L-m は固有値 m-1 をもつ Lz の固有状態また、 m=-l ならば L--l =0

軌道角運動量量子と電子分布の形

• s, p, d, f 　は軌道の型を表し、それぞれが方位量子数 l=0, 1, 2, 3 に対応する。 s には電子分布のくびれが 0 であるが、ｐには１つのくびれが、ｄには２つのくびれが存在する。

1s 2s 2p 3d

局在した原子 (多電子系 ) の合成角運動量

• 軌道角運動量の加算軌道角運動量 ( 方位 ) 量子数を l とすると、その量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は、 l, l-1 ・・・ -l+1, -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる。

• １原子に２個の p 電子があったとする。p 電子の方位量子数 l は 1 であるから、磁気量子数は m=1, 0, -1 の３つの値をもつ。原子の合成軌道角運動量 L=2 、 Lz=2, 1, 0, -1, -2 をとる。

フントの規則

• 原子が基底状態にあるときの L, S を決める規則1. 原子内の同一の状態 (n, l, ml, ms で指定される状態 )

には 1 個の電子しか占有できない。 (Pauli 排他律 )

2. 基底状態では、可能な限り大きな S と、可能な限り大きな L を作るように、 s と l を配置する。 (Hundの規則 1)

3. 上の条件が満たされないときは、 S の値を大きくすることを優先する。 (Hund の規則 2)

4. 基底状態の全角運動量 J は、 less than half では J=|L-S| 、 more than half では J=L+S をとる。

多重項の表現• 左肩の数字　 2S+1 ( スピン多重度 )

– S=0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2 に対応して、 1, 2, 3, 4, 5, 6– 読み方 singlet, doublet, triplet, quartet, quintet, sextet

• 中心の文字　 L に相当する記号– L=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 に対応して S, P, D, F, G, H, I ・・・

• 右下の数字　 Jz 　• 例： Mn2+(3d5) S=5/2 (2S+1=6), L=0 (→ 記号： S)

6S5/2

遷移金属イオンの電子配置

3d1 3d2 3d3 3d4 3d5

3d6 3d7 3d8 3d9 3d10

2

-2-101

2

-2-101

演習コーナー3価遷移金属イオンの L,S,J を求め多重項の表現を記せ

イオン 電子配置 L S J 多重項Ti3+ [Ar]3d1

V3+ [Ar]3d2

Cr3+ [Ar]3d3

Mn3+ [Ar]3d4

Fe3+ [Ar]3d5

Co3+ [Ar]3d6

Ni3+ [Ar]3d7

3価遷移金属イオンの磁気モーメント

• ここではスピン、軌道ともに寄与するものとせよ。（固体中に置かれたときは、軌道の寄与は消滅する )

• 磁気モーメント =-(L+gS) B-(L+2S) B

　　軌道： l=-(e/2m)L=- BL

　　スピン： s=- gBs

total =- BL- gBs

=-(L+gS)B-(L+2S) B=-gJ BJ

• ここに J は全角運動量、 gJ は Lande の g 因子

• 例： Cr2+(3d4); L=2, S=2, J=0; total =0• Fe2+; L=2, S=2, J=4; gJ=3/2; total =-3 B

2

222

21

J

LSJg J

軌道角運動量とスピン角運動量の寄与• 3d遷移イオン：磁気モーメントの実験値：スピンの

みの値に一致（軌道角運動量の消滅）• 4f希土類イオン：磁気モーメントの実験値：全角運動量による値と一致