Классическая логика высказываний

Горбатов В.В.

Содержание

Язык и семантика КЛВ Основные законы КЛВ Логические отношения между сложными

суждениями Основные способы умозаключений КЛВ Классическое исчисление высказываний

(система субординатного вывода)

1. Язык и семантика КЛВ

Что она изучает?

КЛВ – это теория, изучающая логическую форму сложных суждений без учета логической формы входящих в них простых суждений

Аксиоматизацию КЛВ впервые произвел Г.Фреге

Сложные суждения

Сложными называются такие суждения, в составе которых можно выделить части, в свою очередь являющиеся суждениями

Простые суждения в КЛВ рассматриваются как неделимые элементы, принимающие значение 1 (истина) либо 0 (ложь)

Значение сложного суждения можно рассматривать как функцию от значений простых суждений, входящих в его состав

Алфавит КЛВ

Пропозициональные переменные

p, q, r, s, …Пропозициональные связки

, &, V, V, , Технические символы

Скобки ( , )

Пропозициональные связки

Отрицание (не, неверно что)& Конъюнкция (и, а, но, хотя)V Дизъюнкция (или, либо)V Строгая дизъюнкция (либо- либо, только одно из двух) Импликация (если то, следует) Эквиваленция (равнозначно)

Пример формализации

р – виновен Джонс q – виновен Браун «Они оба виновны»

p & q «Виновен хотя бы один из них»

p V q «Они оба невиновны»

p & q «Джонс без Брауна на дело не ходит»

(p &q), или p q

Табличное определение связок

p q p p&q pVq pVq рq рq

1

1

1

1

0

0

0 0

1

1

1

0

0 0

0

0 0 0

01

1

1

1

1

1

1

1 1

1

0 0

0

1- + =Мат. аналог:

Пример построения таблицы

«Если Джонс без Брауна на дело не ходит, а виновен только один из них, то это Браун»

((p & q) & (p V q)) q

1) Определяем число строк: k = 2n

2) Задаем значение атомарных переменных

3) Вычисляем значение подформул и формулы в целом

Пример построения таблицы

p q q p&q (p&q) p V q … & …

F

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

Общезначимость и выполнимость

Формула называется общезначимой (тождественно-истинной), если она принимает значение 1 во всех строчках

Формула называется выполнимой, если она принимает значение 1 хотя бы в одной строчке

Формула называется логически случайной (собственно выполнимой), если она выполнима, но не общезначима

2. Основные законы КЛВ

Основные законы КЛВ

1) Закон тождестваА A

2) Закон непротиворечия(A & A)

3) Закон исключённого третьего

A V A4) Закон дв. отрицания

А А Аристотель

Вопрос

Директор школы возражает против отмены решения о запрете контроля за прическами

Что он хочет этим сказать? Можно ли ходить с любой прической?

Пусть А – «можно ходить с любой прической»

А

Какой закон нарушен?

Какой закон нарушен?

Или ... Или ...

Или ?

Основные законы КЛВ

5) Закон отрицания антецедента (закон Дунса Скота)

А (А В)Из заведомо ложной мысли

вытекает что угодно!

6) Закон утверждения консеквента

А (В А)Заведомо истинная мысль

вытекает из чего угодно! Дунс Скот

Основные законы КЛВ

7) Закон контрапозиции(А В) (В A)

8) Законы Де Моргана(АVВ) A & B(А&В) A V B

9) Закон транзитивности импликации

(А В)&(В С) (А С)А. Де Морган

Какой закон нарушен?

Если неправда, что они оба виновны,

значит, они оба невиновны

Основные законы КЛВ

10) Законы дистрибутивности

А (В С) (А В) (А C)

А & (В С) (А & В) (А & C)

11) Законы взаимовыразимости связок

(А В) (А В)

(А В) (А В)

(А В) (A В)

((A В) & (B A)) (A ≡ В)

((A В) & (B A)) (А В)

3. Логические отношения

Логические отношения между сложными суждениями

Совместимость по истинностиА(1)В Существует строка А В

1 1Совместимость по ложности

А(0)В Существует строка А В0 0

Логическое следованиеА= В Не сущ. строки А В

1 0

Логические отношения между сложными суждениями

Отношения А(1)В А(0)В А= В В= А

Контрадикторность

Контрарность

Субконтрарность

Независимость

Эквивалентность

А подчиняет В

В подчиняет А

– –

– +

+ –

+ + – –

+ +

+ –

– +

Примеры

А подчиняет В

А и С независимы

А и D контрарны

C подчиняет В

В и D контрадикторны

С и D контрарны

А

0

1

1

0

В

1

1

1

0

С

1

0

1

0

D

0

0

0

1

Логические отношения между тезисами и стратегия спора

А: «Джонс виновен»

В: «Браун виновен»

С: «По крайней мере один из них виновен!»

D: «Они оба невиновны!»

Спорить не о чем! Тезисы

информационно не связаны

Возможно достижение согласия. С

вытекает как из А, так и из В

Согласие невозможно. Но

попарно они могут ошибаться

Классическая модель спора.

Тезисы взаимно отрицают друг

друга

Подберите антитезис к тезису:

Эта книга скучная и глупаяЭта книга нескучная ИЛИ неглупая

Преступник был вооружен или хорошо подготовленПреступник был без оружия И плохо

подготовленЕсли это число кратно трем, то оно

кратно пятиЭто число кратно трем, НО НЕ кратно пяти

4. Способы умозаключений

Основные способы умозаключений КЛВ

Умозаключение – это переход от некоторого множества исходных суждений (посылок) к одному общему заключению

Умозаключение является правильным, если его логическая форма гаранти-рует, что при истинности посылок заключение всегда будет истинным

Условно-категорические

А В, АВ

А В, ВА

Modus ponens (утверждающий способ)

Modus tollens (отрицающий способ)

А В, ВА

А В, АВ

Разделительно-категорические

А V В, А

В

А V В, А

ВModus tollendo-

ponens(Отрицающе-

утверждающий способ)

Modus ponendo-tollens

(Утверждающе-отрицающий способ)

Правильно ли построены эти умозаключения?

Если цветы не поливать, то они засохнут. Цветы засохли. Следовательно, их не поливали

Если я решил эту задачу без ошибок, то результат должен сойтись с ответом. Но он с ответом не сходится. Значит, я решил ее неправильно.

Если у Джонса есть алиби, то он не преступник. У Джонса нет алиби. Следовательно, он преступник.

Людвиг – гражданин Франции или Австрии. Он гражданин Австрии. Следовательно, он не гражданин Франции.

Условно-разделительные

АС, ВС, АVВ

С

АВ, АС, ВVС

АПростая конструктивная

дилеммаПростая деструктивная

дилемма

АВ, СD, АVC

BVD

АВ, CD, ВVD

АVCСложная конструктивная

дилеммаСложная деструктивная

дилемма

Какие дилеммы здесь использованы?

Если цари злы, они заставляют страдать других людей. Если они добры, то страдают сами. Но либо они злы, либо добры. Следовательно, они будут страдать сами или приносить страдания другим людям (Фенелон)

Какие дилеммы здесь использованы?

У тебя есть два пути: жениться или не жениться. Женишься – пожалеешь. Не женишься – все равно пожалеешь. Следовательно, ты пожалеешь о своем решении в любом случае (Сократ)

Какие дилеммы здесь использованы?

Если пациент жалуется на здоровье, значит он еще не умер. Если жалуется на доктора – значит, уже здоров. Этот человек либо очень нездоров, либо уже умер. Ну и хорошо: по крайне мере на что-то одно он жаловаться не будет

5. Исчисление высказываний

Исчисление высказываний(система субординатного вывода)

Исчисление – это формальная теория, в которой все рассуждения строятся как преобразования одних последовательностей символов в другие по определенным правилам

В исчислениях формализовано не только само знание, но и способы его получения

Лейбниц: «Не надо спорить, давайте посчитаем!»

Правила вывода

Введение связок

В, В

С*

А,В

А&В

А

АВ

В

С*В

Исключение связок

А

А

А&В

А

АВ, А

В

АВ, А

В

в

&в

в

в

и

&и

и

и

* Где С – последнее неисключенное допущение

Что такое «вывод»?

Выводом называется непустая конечная последовательность формул, каждая из которых либо является посылкой, либо получена из предыдущих формул по одному из правил вывода

Посылки и допущения помечаются знаком «+»

Пример:1. А..k. А (ВC)..m. C ..n. B

Основные способы построения вывода

«Сведение к абсурду»

Надо: А1. +А цель: ⊥ ⋮n. ⊥n+1. А

(в)

«От противного»Надо: А1. + А цель: ⊥ ⋮n. ⊥n+1. А (в)n+2. А (и)

Прямой вывод Косвенный вывод

Что такое «подвывод»?

Подвывод – это последовательность формул, имеющая в выводе некую вспомогательную цель

Если в выводе применялись правила (в) или (в), то все формулы, начиная с последней посылки и вплоть до результата применения данного правила, исключаются из участия в дальнейших шагах вывода (подвывод закрывается)

Почему нужно закрывать «подвывод»?

Если использовалось правило (в), значит в выводе фигурировало заведомо ложное допущение, которое привело к противо-речию, и в дальней-шем на него (а также на его следствия) опираться нельзя

Пример:

1. А В

2. В

3. В С (2, в)

+ 4. А

5. В (1,4, и)

6. А (2,5, в)

7. С (3,5, и)

Почему нужно закрывать «подвывод»?

Если использовалось правило (в), значит некая формула была получена из опреде-ленного допущения; пока это допущение не будет доказано отдельно, опираться на него (и на его следствия) нельзя

Пример:

1. А В2. В D

3. С В

+ 4. С

5. В (3,4, и)

6. А (1,5, и)

7. С А (6, в)

7. D (2,5, и)

Пример вывода

Алиса долго думала, кого пригласить на свой день рожденья: Если придет Дэвид, то не придет Джулия –

она с ним в ссоре Если на дне рожденья будет Мэри, то придет

и Дэвид, потому что он – ее кавалер А если не придет Мэри, то не придет и Ричард

Поразмыслив, она поняла, что если пригласить Ричарда, то не придет Джулия

Пример вывода

1. d j2. m d3. m r4. + r (цель: j)5. + m (цель: ⊥)6. r (3,5 и)7. m (4,6, в)8. m (7, и)9. d (2,8, и)10. j (1,9, и)11. r j (10, в)

дано; цель: r j

d m

Т.о., мы обосновали выводимость:

d j, m d, m r r j

Что такое «доказательство»?

Доказательством называется вывод из пустого множества неисключенных посылок

Теоремой называется последняя формула в доказательстве

Пример доказательства

Доказать теорему: (pq) (p&q)

1. + (pq) цель: p&q

2. + p цель: ⊥3. pq (2, в)

4. p (1,3, в)

5. + q цель: ⊥6. pq (5, в)

7. q (1,6, в)

8. p&q (4,7 &в)

9. (pq) (p&q) (8, в)

p, потом q

Основные эвристики

Вывод одной и той же формулы можно строить по-разному

Как найти оптимальный вариант построения вывода?

Эвристика – тактический прием, упрощающий процедуру поиска решения

Эвристики, основанные на анализе цели

№ Цель Допущение Новая цель

1 А А противоречие

2 А А противоречие

3 А В А В

4 А & B А, потом В

(или наоборот)

5 А B А, потом В противоречие

Эвристики, основанные на анализе вывода

№

В выводе есть

формула

Постав-ленная цель

Допу-щение

Новая цель

6 А В В А противоречие, чтобы затем получить А, а

из него В

7 (А В) противоречие

А (либо В)

А В, чтобы возник-ло противоречие

8 А В В А противоречие, чтобы затем получить А, а

из него В