Post on 21-Jan-2016
description
Modeling Market Mechanism with Modeling Market Mechanism with Minority GameMinority Game
Damien Challet, Matteo Marsili, Yi-Cheng ZhangDamien Challet, Matteo Marsili, Yi-Cheng Zhang
Modelowanie Mechanizmów Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Rynkowych za pomocą Gry
MniejszościowejMniejszościowej
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Warszawa, 12.01.2005
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
N graczy wybiera niezależnie jedną z dwóch pozycji ( 0 lub 1)
Gracze znajdujący się w mniejszości wygrywają
Gracze posługują się strategiami wynikającymi z przeszłych posunięć
„Pamięć” gracza jest ograniczona – gracz pamięta M poprzednich gier
Gra Mniejszościowa
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Przykład: ilość możliwych strategii przyjęcia jednej z pozycji w zależności od M
Przykładowa strategia: M=3
Gra Mniejszościowa
Pamięć Przewidywanie
000 1
001 0
010 0
011 1
100 1
101 0
110 1
111 0
Mamy 2M = 8 możliwych posunięć w zależności od 3 bitowej pamięci
Przy M=3 strategii jest zatem 22M = 256
Odpowiednio dla M= 2,3,4,5 będzie 16, 256, 65536, 655362 strategii
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Po ustaleniu wielkości „pamięci” graczy losujemy każdemu S strategii
Gracz może „próbować” strategie bądź trzymać się jednej
Strategie mogą być analizowane tj. po każdej grze gracz może analizować która strategia przyniosłaby zysk
Aby grać efektywnie gracz musi analizować cały czas strategie
Gra Mniejszościowa
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
1. Zróżnicowanie strategii - wiele alternatywnych strategii nie występują znaczne korelacje
2. Dwa typy agentów: producenci i spekulanci. Producenci nie maja alternatywnych strategii; spekulanci - standardowy model gracza MG. Producenci dostarczają informacji na rynek
3. Agenci nie są zobowiązane, by grać, jeśli nie widzą możliwości zysku
4. „Kupcy szumiący” – agenci posługujący się przypadkowymi strategiami
5. Są lepsi i gorsi agenci a ich rozkład jest nie Gaussowski
6. Pamięć M każdego z graczy może ulegać zmianom 7. Agentom opłaca się posiadanie wielu strategii choć wykorzystują niewiele z nich
8. Niektórzy agenci mogą dostać nielegalną informację o innych agentach
Modelowanie Rynku – Główne założenia
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Podstawa
N agentów mogących w danej chwili t kupować bądź sprzedawać - kupno
- sprzedaż
Wygrana agenta i-tego będzie dana wzorem:
gdzie
Wzór ten pokazuje podstawową zależność kiedy to wypłata agenta zależy od posunięć wszystkich graczy.Mniejszość graczy zyskuje w ten sposób |A(t)| ; większość traci -|A(t)|
Zawsze jest więcej przegranych niż wygranych
)()()( tAtatg ii
N
jj tatA
1
)()(
1)(
1)(
ta
ta
i
i
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Podstawa
Agenci mają dostęp do danych historycznych – μ(t)
μ(t) – liczba całkowita przyjmująca jedną z P wartości gdzie P = 2M
M w tym przypadku to M wartości znaku A(t)
Czyli np.:
M=2 P=4
Przyjmujemy zapis:
P 1 2 3 4
M -- -+ +- ++
Jeżeli w chwili t mamy do czynienia z historią A(t) w postaci +- to P = 3 czyli μ(t)=3
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Podstawa
W zależności od wartości μ(t) agenci mogą się różnie zachowywać
przez co A(t) zależy także od μ(t) czyli Aμ(t)(t)
Pod wpływem informacji μ(t) agenci rozważają prognozy które dla każdego μ(t) sugerują decyzje aμ
Jest 2P takich prognozowanych strategii
Agenci losują spośród nich S strategii które będą wykorzystywali
Decyzje i-tego agenta można przedstawić jako:
Gdzie si(t) to jedna spośród strategii S
Wygraną można zatem teraz przedstawić jako:
gdzie)()( )()(),( tAatg ttitsi i
N
j
tjts
t
jatA
1
)(),(
)( )(
)(),(titsi
a
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
A co za tym idzie:
Modelowanie Rynku – Podstawa
Reakcja agenta i na historie jest zatem wyrażona:
N
iii
N
iits tsatA
i11
),( )()(
2,,
iii
aa 2
,,
iii
aa
iiiiiii
iiiis sasaaaa
sai
,
,,,,, 22
N
ii
1
Dla uproszczenia przyjmuje się S=2 (↑,↓)
Wprowadzamy nowe zmienne
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Indeks ten mówi agentowi jaką wypłatę otrzymałby gdyby cały czas grał daną strategią.
U(t) – jest skumulowaną wirtualną wypłatą
Agent musi brać jednak pod uwagę że w rzeczywistości grając jedną strategią zmieniło by się A(t)
Modelowanie Rynku – Wypłata wirtualna
W celu przewidywania efektywności strategii agent posługuje się tzw. „indeksem wiarygodności” strategii :
)(,
)(,, )()()1( t
ist
isis atAtUtU
Biorąc pod uwagę wirtualną wypłatę agenci będą posługiwali się najbardziej efektywną strategią czyli tą dla której U(t) będzie największe :
)(maxarg)( ,},{
tUts sis
i
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Alternatywnie w celu wyznaczenia najbardziej efektywnej strategii wprowadza się:
Modelowanie Rynku – Wypłata wirtualna
,,
)(iii UUt
Której zmienność w czasie:
)()( )()()1( ti
tii tAtt
A najefektywniejsza strategia:
)()( tsignts ii
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Zapis średnich stosowany w dalszej części:
Modelowanie Rynku – Notacja Średnich
T
tT
tRT
R1
)(1
lim
),(
1
)(lim t
T
tT
tRT
PR
Pt
1),(
P
RP
R1
1
Uwzględniając historie czyli także zmienną zależną od czasu:
Uśredniając R po historii:
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – wielkości charakteryzujące stany stacjonarne
ji
jiji
N
iiii ssssA
,1
222 2
N
P
i
ig2
Wprowadzamy parametr:
Wyprowadzamy wariancje:
Będzie to całkowita średnia strata wszystkich agentów:
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – wielkości charakteryzujące stany stacjonarne
0A
ji
jiji
N
iiii ssssAH
,1
222
N
iii sH
1
222 )1(
W modelu standardowym MG średnie A będzie wynosić 0, jednak dla pewnych μ zdarza się:
Aby uwzględnić tą asymetrie wprowadzamy:
Na tej podstawie możemy napisać że:
Dla H>0 gra będzie asymetryczna
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – wielkości charakteryzujące stany stacjonarne
Dla długich szeregów czasowych, wcześniej wprowadzony parametr opisujący efektywność strategii przybiera postać:
iii Att 2)()1(
N
iimN
Q1
21
tvii
Gdzie:
Jeżeli teraz vi≠0 to agent będzie się trzymać jednej strategii Jeżeli natomiast vi=0 będzie się posługiwał obiema strategiami na zmianę
Globalną miarą fluktuacji w wyborze strategii przez agentów jest:
ii sm gdzie
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
W modelu standardowym MG agenci wybierają strategie losowo i niezależnie.
Komplikując model przyjmujemy że dla S=2 agent losuje pierwszą strategie natomiast drugą obarcza kryteriami które uważa za najlepsze.
Np. agent może wybrać tylko jedną strategie uważając ją za wystarczającą.
W naszym modelu przyjmujemy że każdy agent wybiera drugą strategie stosując zasadę:
Modelowanie Rynku – Spekulanci z zróżnicowanymi strategiami
cP )(
Gdzie parametr c można określić jako średnią korelację między obiema strategiami
Przypadek gdy c=1/2 to standardowy model MG gdy obie strategie są niezależne
Gdy c=1 agent po prostu wybrał tylko jedną strategie (faza asymetryczna)
Gdy c=0 agent ma dwie przeciwne strategie (faza symetryczna)
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
W zależności od parametru alfa możemy wyznaczyć diagram fazowy
Modelowanie Rynku – Spekulanci z zróżnicowanymi strategiami
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Agentów dzielimy na dwie grupy:
Producenci – agenci posiadający jedną strategie gry, uczestniczą w rynku w celu zabezpieczenia swych inwestycji i nie spekulują na rynku
Spekulanci – uczestniczą w rynku aby wygrać jak najwięcej
Obie grupy żyją w symbiozie: producenci sprawiają że rynek jest bardziej stabilny, dostarczają informacje na rynek, spekulanci zaś wykorzystują informacje jednak znając reguły gry nie podejmują pochopnych decyzji sprawiając że producenci czują się bezpieczniej.
Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
W modelu producenci to agenci o jednej strategii, spekulanci normalni agenci MG
Producenci mają ustalony wzór zachowania się na rynku przez co obserwując ich spekulanci mogą wykorzystywać te informacje do planowania kolejnych ruchów.
W dalszej części przyjmujemy: N spekulantów ρN producentów
Rezultat takiej gry możemy zapisać jako:
Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci
prodspec AAA
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Chcemy sprawdzić zyski agentów gdy c≠0Wprowadzamy:
Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci
1
1
N
Gprod
2 prodspec GG
1
)1)(1()1(
)1(2
QcQcc
N
Gspec
Co pozwala nam wyprowadzić po kilku prostych przekształceniach średnie zyski producentów i spekulantów:
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Ustalamy N=641 c=0 M=8 S=2 α=0.4 i wykreślamy zysk agentów w zależności od liczby producentów
Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Podobnie tworzymy wykresy w zależności od liczby spekulantów: l.prod.=64 c=0 M=8 S=2 l.prod.=256 c=0 M=6 S=2
Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Diagram fazowy zależności α((1+ρ)/(1-c))
Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Diagram fazowy zależności zysku spekulantów w zależności o liczby spekulantów i liczby producentów przy założeniu c=0
Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Średni zysk na agenta w zależności od liczby producentów przy założeniach N=107, M=5, α=0.3, S=2, c=1/2
Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Średnia ilość spekulantów zależności od liczby producentów przy założeniach N=107, M=5, alfa=0.3, S=2, c=1/2
Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Spekulanci, Producenci i „Kupcy szumiący”
„Kupcy szumiący” to tacy spekulanci opierający swoje decyzje zamiast na obserwacjach rynku (tak jak spekulanci) na np. astrologii
Ich decyzje podejmowane są całkowici przypadkowo przez co wariancja σ2 wzrasta, czyli ogólne straty wszystkich agentów zwiększają się
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani
Rozpatrzymy trzy typy uprzywilejowania agenta:
- gdy agent ma do dyspozycji więcej strategii
- gdy agent ma większą pamięć M
- gdy agent ma dostęp do nielegalnych informacji
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani
Agent ma do dyspozycji więcej strategii
Zakładamy że agent ma S’ strategii S’>S
Skupiamy się na fazie asymetrycznej (w fazie symetrycznej nie ma znaczenia ile agent posiada strategii)
Wprowadzamy wirtualny zysk dla każdej strategii agenta:
SsAaP
AauP
sss ,....,11
1
Rozkład Gaussa dla tej zmiennej przy średniej 0 będzie miał wariancje:
P
HAaVar
PuVar
P
ss
2
12
)(1
)(
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani
Średnia liczba wykorzystywanych strategii w funkcji S’
Średnie i rzeczywiste zyski w funkcji S’ dla H/P = 0.5
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani
Średnia liczba wykorzystywanych strategii w funkcji S’
Średnie i rzeczywiste zyski w funkcji S’ dla H/P = 1
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani
Agent z większą pamięć niż pozostali agenci M’>M
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani
Agenci z dostępem do nielegalnych informacji
Zakładamy że agent b zna znak skumulowanych akcji agentów ze zbioru β
Niech B=| β | liczba agentów zbioru β
wtedy
i i tasignts )()(
s
W zależności od znaku agent posiada dla każdej ze swoich strategii dwie możliwości
Jeżeli agent wie ze =+1 wybiera a na tej podstawie wybiera strategie
s)()( ,, tUtU sbsb
s )(, tU sb
)(maxarg)( ,,....,1
tUts sbSs
b
Analogicznie dla =-1s
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani
Wypłaty agentów szpiegującego i pozostałych N=1001 NB=3
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani
Wypłaty agenta szpiegującego w zależności od liczby szpiegowanych agentówN=1001 α=0.15
Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .
Modelowanie Rynku
KONIEC