Post on 05-Feb-2018
BAB IV
VIBRASI KRISTAL
MATERI :Getaran (Vibrasi) Kristal• 4.1.persamaan dispersi untuk kristal
berbasis satu atom.
• 4.2.kecepatan kelompok
(group velocity)
• 4.3 persamaan dispersi untuk kristal
berbasis dua atom.
• 4.4.cabang optik
• 4.5.cabang akustik.
INDIKATOR
• menentukan persamaan dispersi untuk kristal berbasis satu atom.
• menghitung kecepatan kelompok untuk sebuah gelombang.sebuah gelombang.
• menentukan frekuensi/energi untuk cabang optik.
• menentukan frekuensi /energi untuk cabang akustik.
TIK : Menentukan frequensi Gelombang elastik dalam bentuk
(sebagai fungsi ) Vektor gelombang (k) ,
Atau dapat dinyatakan : W = f (k )
Gelombang Elastik dan PHONON
VIBRASI KRISTAL
MONOATOMIK
DIATOMIK
Getaran atom dapat disebabkan oleh :
Zat padat yang menyerap energi panas.
Gelombang yang merambat pada kristal.
Dari bab sebelumnya,telah dibahas bahwa kristal tersusun oleh atom atom yang diam pada posisi di titik kisi.Sesungguhnya atom-atom tersebut tidaklah diam, tetapi bergetar pada posisi kesetimbangnya.
Ditinjau dari panjang gelombang yang Ditinjau dari panjang gelombang yang digunakan dan dibandingkan dengan jarak antar atom dalam kristal,dapat dibedakan menjadi :
- pendekatan gelombang pendek
- pendekatan gelombang panjang
Disebut pendekatan gelombang pendek apabila :
• Apabila panjang gelombang yang digunakan memiliki panjang gelombang yang lebih kecil dari jarak antar atom.
• Dalam keadaan ini gelombang akan • Dalam keadaan ini gelombang akan “melihat” bahwa kristal merupakan susunan atom atom diskret, sehingga pendekatan ini sering disebut pendekatan kisi diskret.
• Sebaliknya , bila diapakai gelombang yang panjang, gelombangnya lebih besar dari jarak antar atom,kisi akan “nampak” malar (kontinue) sebagai suatu media (kontinue) sebagai suatu media perambatan gelombang. Oleh karena itu, pendekatan ini sering disebut sebagai pendekatan kisi malar.
GELOMBANG ELASTIK
regangan pada batang : .............................(1)du
Gelombang mekanik
regangan pada batang : .............................(1)dx
du
tegangan σ yang memenuhi hukum Hooke sebagai berikut:.....................................................(2) E
menurut hukum kedua Newton, tegangan yang bekerja padaelemen batang dx menghasilkan gaya sebesar :
......................................(3)(x)}-dx)(x{A F
)}()({2
2
xdxxAt
uAdx
dxud
E
dxdx
du
xE
dxdx
E
dxx
2
……………………. (4)
……………………. (5)dxdx
udE
2
Adxx
uE
t
u.Adx
2
2
2
2
2
2
2
2
t
u
Ex
u
……………………. (6)
……………………. (5)
Substitusikan persamaan (5) ke persamaan (4), sehingga diperoleh :
Fonon
Fonon adalah fenomena yang muncul dari kuantisasi sistem
Fisika.
Fonon dapat ditemui dalam sistem kristal. Jadi, Fononadalah partikel yang terdapat dalam gelombang elastik.
Contoh : nitrogen vacancy center (NV Center) in diamond, konfigurasi elektron nya membentuk energi level 'ground state' dan 'excited state' yang perbedaan energinya sebesar 637 Nm.
Persamaan Gerak
GrafikMONOATOMIK Grafik
Kecepatan Group
MONOATOMIK
GETARAN KRISTAL YANG BERBASIS SATU ATOM (MONOATOMIK)
Pembahasan ini kita mulai dengan kasus yang paling sederhana yaitu kasus yang melibatkan getaran kristal akibat adanya gelombang elastis yang merambat dalam arah 111;011;001
[1 1 1]
Untuk setiap vektor gelombang terdapat 3 model getaran, yaitu :1 buah longitudinal
2 buah transversal.
k
[1 0 0]
[ 1 1 0]
Y
ARAH RAMBAT (SB.X)
US (ARAH SIMPANGAN)
1 Buah Gelombang LongitudinalZ
X
Y
Y
X
Simpangan
SimpanganZ
2 Buah Gelombang Transversal
Arah Rambat
Jadi : s1ss1ss UUcUUcF
2Us-UUcF 1-s1ss .............. (1)
Persamaan gerak bidang kristal ke s adalah :
s
Persamaan gerak bidang kristal ke s adalah :
..............(2)
aF m:Newton Hukum xc.F:HookeHukum
xc.m
:diperoleh atasdipersamaan keduaDari
a
2Us)-Uc(UUd
m 1-s1s2s
2
dt
Solusi dari persamaan gerak ini tergantung pada waktu (t), dinyatakan oleh :
Karena persamaan (2) merupakan turunan hanya terhadap waktu, maka :
ti-e2ωtie2dt
2d2dt
sU2d
ti es
U
Jadi :
s2
2s
2
Uωdt
Ud
2dt2dt US
Sehingga, persamaan (2) dapat ditulis :
s
2U1s
U1s
Ucs
mU2ω
:berikutsebagaiditulisdapat ties
U:Solusi
t λ
2πi-
eti2π-eti-eU λeti2π-eti-es
U
iksaeikxes
U
Secara lengkap, Us dapat ditulis sebagai berikut :iksaUeUs
ika.eiksaU.e1)aik(sU.e1s
U
:ituKarena
)5(...........................................ikaes
U1s
U
:ditulisdapat (3)dan (5)Persamaan :ditulisdapat (3)dan (5)Persamaan
)s
2Uikas
Uikaes
(Ucs
mU2ω e
(6)...................2)ikaeika(ec m 2ω
ka2cosikaeikae:maka
θsin iθcosiθe
Karena :
Sehingga persamaan (6) menjadi :
2kacos2cm2ω
kacos1m
2c2ω
21
kacos1m
2cω …………(7)
Solusi persamaan (7) menjadi:Solusi persamaan (7) menjadi:
ka
2
122sinm
2c2ω
…………..(8)ka2
1sin
m
c2ω
A
Persamaan (8) Persamaan dispersi
k
Menyatakan hubungan antara frekuensi sudut ω
terhadap vektor gelombang
)(fω k
Persamaan (8) merupakan Persamaan Dispersi. Persamaan (8) menyatakan hubungan antara frekuensi sudut (ω) terhadap vektor gelombang (k). ω = f(k)
Bila dinyatakan dengan grafik
Sin π/2 = sin 90o → max = 1
Sin 2
/2= sin 45o = ½ √2
Sin 2
/3 = sin 30o = ½
Daerah Brillovin I
Bila dinyatakan dengan grafik, maka:
.
dk
dωg
v Gradien atau arah
KECEPATAN GROUP /KECEPATAN KELOMPOK (Vg)
2
kacos
2
a
m
c2
ka2
1sin
m
c2
dk
d
………………(9)
2aλπaλ
2πPada saat ka =
02
πcos
m
ca
gv
Artinya tidak ada gradien /kemiringan
π2π
2
πka 4aλ
2
πa
λ
2πPada saat
m
ca0,74
4
πcos
m
ca
gv
Artinya ada gradien /kemiringan
Persamaan Gerak
GrafikdiATOMIK Grafik
Kecepatan Group
diATOMIK
VIBRASI KRISTAL DIATOMIK
Persamaan gerak : F = m.a = c. ΔxPersamaan gerak : F = m.a = c. ΔxUntuk
m1 → m1 2
2
dt
Ud s = c {( Vs- Us)+( Vs-1-Us)
m12
2
dt
Ud s = c { Vs + Vs-1 - 2 Us}.........(1)
Untukm2 → m2 2
2
dt
Ud s = c {( Us+1- Vs)+( Us-Vs)
m22
2
dt
Ud s = c { Us+1 + Us - 2 Vs}.........(2)
M1
a
M2 M1 M2
PERSAMAAN GERAK
s
U1s
Vs
Us
Vc2
sU2d
1m
1m Untuk
sU
1sV
sU
sVc
2dt1m
1m Untuk
s
Vs
Us
V1s
Uc2dt
sV2d
2m
2m Untuk
s
2Vs
U1s
Uc2dt
sV2d
2m ............................ (2)
s
2U1s
Vs
Vc2dt
sU2d
1m .................... (1)
ωtksai
eUs
U
ωtksai
eVs
V
ikaeωtksai
eU1s
U
ikaωtksai
ωtksai
ei(-ω(Udt
sdU
ωtksai
e2ωUdt
sU2d
Solusinya :
.............. (3)
ikaeωtksai
eV1s
V
ωtksai
2Ueωtksai
Veωtksai
Vecωtksai
e2ωU1
m
2cUika-e1cVU2ω1
m
Persamaan (3) disubstitusikan ke persamaan (1) diperoleh :
.............................. (4)
2cV-ikae1cUV2ω2
m
................................... (5)
Determinan dari persamaan (4) dan (5)
)ikaec)(1(
ωm2c-
ωm2c
)ec)(1( 22
21
ika
U
V0
)ikaec)(1(
ωm2c-
ωm2c
)ec)(1( 22
21
ika
=0
)ωm{(2c 21 )}ωm(2c 2
2 )ikaec)(1{(- 0)}ikaec)(1(
)m2(m
ka)cos)(1)(2cm4(m)}m{2c(m)m2c(m
21
221
22121
(m1m2)ω4-{2c(m1+m2)}ω
2-c2(2+ eika+ e-ika)=0
(m1m2)ω4-{2c(m1+m2)}ω
2+2c2(1- cos ka)=0
Rumus abc:
(12)2 =
Persamaan cabang optik (gelombang elektromagnetik)
21
11
mm )
2(sin
4)
11( 2
21
2
21
ka
mmmm(ω1)2 =c( )+c
21
11
mm )
2(sin
4)
11( 2
21
2
21
ka
mmmm(ω1)2 =c( )-c
Persamaan cabang akustik (bunyi)
2
2
m
cBila m1‹ m2 →
1
2
m
c›
Cabang optik
Daerah terlarang(tidak ada energi yang dilalui)
√(2c/m1)
√(2c/m2)
ωop={2c()}1/2
0 π/aπ/2a-π/2a-π/a
Cabang akustik
2
2
m
cBila m1 › m2 →
1
2
m
c‹
Yang terjadi adalah tidak ada celah terlarang yangartinya untuk setiap energi selalu menghasilkan getaran
Cabang optik
√(2c/m1)ωop={2c()}1/2
Grafik ω terhadap k pada vibrasi kristal diatomik
0 π/aπ/2a-π/2a-π/a
Cabang akustik
Daerah terlarang(tidak ada energi yang dilalui)
√(2c/m2)
Bila m1 › m2 makaYang terjadi adalah tidak ada celah terlarang yang artinya untuk setiap energi selalu menghasilkan getaran.
k
ω untuk vibrasi kristal diatomik
2
2 21,2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 4( ) sin
2
kaC C
m m m m mm
Untuk cabang optik1
1 22 2
1 1 1 1 2 2
Untuk cabang akustik
1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 2 2 cosC C ka
m m m m mm mm
11 2
2 2
21 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 2 2 cosC C ka
m m m m mm mm
KECEPATAN GROUP
11Vg
k
1Vgk
11 2
2 21 1 1 1 2 2
cosC C kam m m m mm mm
Untuk cabang optik
1Vgk
1 2 1 2 1 2 1 2
cosC C kam m m m mm mm
11 222
11 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 2 2sin cos
2
aVg C ka C C ka
mm m m m m mm mm
12 2
1 2 1 2 1 2
1 1 2 2coska
m m mm mm
22Vg
k
1
1 22 2
21 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 2 2 cosVg C C ka
k m m m m m m m m
Untuk cabang akustik
11 2
1
1 222
1 2 1 2 1 2 1 2
221 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 2 2cos
sin
21 1 2 2
cos
C C kam m m m m m m maC ka
Vgm m
kam m m m m m
ANIMASI PHONON
LATIHAN SOAL :
1.Jelaskan persamaan dispersi untuk kristal berbasis satu dan dua atom.
2.Hitung kecepatan kelompok untuk sebuah gelombang pada kristal monoatomik dan gelombang pada kristal monoatomik dan diatomik.
3.Tentukan frekuensi/energi untuk cabang optik.
4.Tentukan frekuensi /energi untuk cabang akustik.
Latihan soal1.Sebuah gelombang elastis merambat didalam
krital monoatomik satu dimensidengan konstanta kisi sebesar 2 A0.Tentukan :
a. w (k) dan kecepatan group (vg ) pada energi :1 eV dan 0,8.10-18 Joule1 eV dan 0,8.10 Joule
b. Batas nilai k dan panjang gelombang ( λ )max yangmembatasi daerah Brillouin-I
c. Buatlah grafik sebagai fungsi (k), untuk kasus diatas.
Latihan soal :
2.a.Jelaskan tentang konsep vibrasi kristal,
b.Jelaskan 4(empat) karakteristik dari
kristal monoatomik
c.Jelaskan 4(empat) karakteristik dari
kristal di atomik.
3. Turunkan kecepatan group untuk kristal di
atomik untuk cabang
a. optik
b. akustik
Test Unit I :
Selasa : 7 April 2009Materi : Bab I – III
Test Unit II : Selasa 02 Juni 2009Selasa 02 Juni 2009Materi : Bab IV- VI
Test Unit III : Di jadwal TentamenMateri : Bab : VII - X
TUGAS TIAP KELOMPOK DIKUMPULKAN : PADA SAAT TU-I
A. Print-Out Tugas Kelompok 1-3: Soal di Kittel (bab I)Buku b’wien ( Modul 1-2 )Semua latihan soal ( selama kuliah )
B. Print-Out Tugas Kelompok 4-6: Soal di Kittel (bab 2)Buku b’wien ( Modul 3-4 )Buku b’wien ( Modul 3-4 )Semua latihan soal ( selama kuliah )
C. Print-Out Tugas Kelompok 7-10: Soal di Kittel (bab 3)Buku b’wien ( Modul 5-6 )Semua latihan soal ( selama kuliah )