The Cyclic Multi-peg Tower of Hanoi

מעגלי חד-כווני

3סבוכיות הפתרון בגרסאות עם יותר מ-עמודים

השאלה העיקרית

עמודים • בין מעבר מגבלות והטלת עמוד הוספת )בהמשך גרסא בהינתן גרסאות. 'מייצרת' הרבה נגדיר ע"י גרף מכוון( – האם ניתן לפתור, ואם כן או מעריכית עולה המהלכים מספר האם –

תת-מעריכית?

הכללים

בכל מהלך מזיזים בדיוק טבעת אחת •

היא חייבת להיות עליונה •

)עם כוון השעון( ויכולה לזוז רק לעמוד הבא•באף שלב טבעת לא תהיה מונחת על קטנה •

( legal configurations)מצבים חוקיים – ממנה

מהיכן נובע הקושי?

יכולות להיות הרבה אפשרויות לפתרון. • טבעות, הזזה מעמוד לשכנו 2 עמודים, 4לדוגמא, –

מה מענין בגרסא המעגלית?

תחושה שהיא 'הכי קשה' •

ביחד עם הגרסא על הגרף המלא ניתן לתחום •את כל הפתרונות

שאלות

האם מספר המהלכים עולה מעריכית? •

מי המטלה שלפתרונה דרושה סדרת המהלכים •הארוכה ביותר?

האם ההתנהגות רגולרית? •

מציאת חסמי מלרע ומלעיל. •

מה התלות במספר העמודים? •

הגדרות

תאור הבעיה )גרף ועוד קצת נתונים( •

תצורה, גרף התצורות, מטלה •

סדרת פתרון •

שאלות

האם מספר המהלכים עולה מעריכית? •בוודאי לא יותר –נחפש 'מהלך' שאי אפשר להימנע ממנו–

מי המטלה שלפתרונה דרושה סדרת המהלכים •הארוכה ביותר?

האם ההתנהגות רגולרית? •מציאת חסמי מלרע ומלעיל•מה התלות במספר העמודים?•

שאלות

האם מספר המהלכים עולה מעריכית? •מי המטלה שלפתרונה דרושה סדרת המהלכים •

הארוכה ביותר? נראה שממצב רגולרי אחד למצב רגולרי אחר– ובין הכי רחוקים–מהו הקשר בין מטלות שבין מצבים רגולריים? –

האם ההתנהגות רגולרית? •מציאת חסמי מלרע ומלעיל•מה התלות במספר העמודים?•

מי המטלה שלפתרונה דרושה סדרת המהלכים הארוכה ביותר?

1,,1,

,,,

,1,

(1) nknn

lnknlkn

knkn

kaanka

aaa

naa

1, hnn aD

שאלות

האם מספר המהלכים עולה מעריכית? •מי המטלה שלפתרונה דרושה סדרת המהלכים •

הארוכה ביותר? האם ההתנהגות רגולרית? •

קיום חסמי מלרע ומלעיל –תכונת התת-כפליות •התכנסות יותר מהירה •

מציאת חסמי מלרע ומלעיל•מה התלות במספר העמודים?•

האם ההתנהגות רגולרית?קיום חסמי מלרע ומלעיל

nn

nnn

n aa 11

1 inf

האם ההתנהגות רגולרית?

קיום חסמי מלרע ומלעיל - תכונת התת-כפליות

• S Tm ; T ε • for i 1 to |S| do

– if Si ≥ 2 then • T T * )Si+n-1(

– else • T T *Tn

– end if • end for • return T

האם ההתנהגות רגולרית?קיום חסמי מלרע ומלעיל – התכנסות יותר מהירה

1

1(1)

(1)

00

1

nn

n

n

nn

nn

a

aCa

an

האם ההתנהגות רגולרית?קיום חסמי מלרע ומלעיל – התכנסות יותר מהירה

• if n ≤ n0 then

– T MoveFew)n( • else

– S MoveFew)n0( – T ε – for i 1 to |S| do

• if Si ≥ 2 then – T T * )Si+n-n0(

• else – T T * MoveAny)n-n0+1(

• end if – end for

• end if • return T

שאלות

האם מספר המהלכים עולה מעריכית? •מי המטלה שלפתרונה דרושה סדרת המהלכים •

הארוכה ביותר? האם ההתנהגות רגולרית? •מציאת חסמי מלרע ומלעיל •

מלעיל –מלרע –

מה התלות במספר העמודים?•

כיצד לקבל חסם מלעיל?

עמודים, תזוזה מעמוד לשכנו(: 4נבחן פתרון )ל-• 112111 טבעות: 2עם – 112123121212111 טבעות: 3עם –

כיצד לקבל חסם מלעיל?

1כדאי לקבץ מהלכים של טבעת מס' •נגדיר את המטריצה: •

1

1,

(,1),0

h

jk

jknaM

טענה: •1

,0

0

nhnh

כיצד לקבל חסם מלעיל? – הוכחה

• Alg: RevMoveAny)n,k( • if n < n0 then

– T )MoveFew)n((k • else

– T RevMoveFew)k( – If n > n0 then

• S T; T ε • for i 1 to |S| do

– if Si {11, 12, …, 1h-1} then » T T * RevMove Any)n-n0+1, jpeg)Si((

– else » T T * )Si + n-n0(

• return T

כיצד לקבל חסם מלעיל? – הוכחה

1,...,2,1...,2,1()1

,,,

hkndnPbs

jkj

njkjkn

cMbb nnn 10

כיצד לקבל חסם מלעיל? – דוגמא

טבעות 2 עמודים ו-4נבחן כעת את הפתרון ל-•)עבור תזוזה מעמוד לכל אחד משכניו(:

112111 לעמוד הבא: –11122111 שני עמודים: – 1112212111שלושה: –

כיצד לקבל חסם מלעיל טוב יותר?

טבעות h-1נבחן אלגוריתם 'לא רע' עבור •המטריצה שמתקבלת חוסמת את האמיתית •חסם מלעיל ע"ס משפט גרשגורין •

h

hohhh

hj

h

j

h

hh

h

j

h

j

hh

log((1)1)12log

(1)11

2

1

1

1

1

2

כיצד לקבל חסם מלרע?

על 1 עמודים, טבעת 4נבחן את המצב הבא: • . 4עמוד

טבעות מוליך לפתרון n+1פתרון אופטימלי עבור • טבעות nעבור

כיצד לקבל חסם מלרע?

הרחבה: נבחן את כל הסדרות כך שמספר התזוזות של •m על עולה לא הקטנות הטבעות f-ב )נסמן b את

האורך המירבי( :

m

fb

b

1

כיצד לקבל חסם מלרע לא רע? )אבל כנראה לא הכי טוב...(

טבעת חוסמת אחת ••h תזוזות

n

n h

ha

hhhhb

2

3

2

7

61

3

(1)6

7(1,1,)

שאלות

האם מספר המהלכים עולה מעריכית? •

מי המטלה שלפתרונה דרושה סדרת המהלכים •הארוכה ביותר?

האם ההתנהגות רגולרית? •

מציאת חסמי מלרע ומלעיל•

מה התלות במספר העמודים? •מונוטוניות – 1חסמי מלרע ומלעיל שואפים ל-–

מה התלות במספר העמודים?

h+1 עמודים לפתרון ל- hנהפוך פתרון מינימלי ל-•עמודים

1 (1),

11,

(1)

2

1 (1)1,

2

1lim()infinf

n

hnn

nhn

n

nhn

na

h

hSla