Teste de Hipótese

Usada para se validar ou não uma hipótese, H0, através de medidas realizadas com uma amostra.

Exemplo: Uma empresa diz que um componente eletrônico tem 1500 horas de vida, H0. Para se testar, vão ser feitas medidas com uma amostra e se a média das medidas da amostra for menos que 1450 horas, será dito que a empresa não está falando a verdade, e H0

será rejeitado. Se, por outro lado, a média da amostra for maior do que 1450, será dito que não se tem base suficiente para se rejeitar H0.

Teste de Hipótese

Portanto há um valor crítico que determina se a hipótese H0 será rejeitada ou não.

Média da amostra > 1450 hipótese H0 aceita

Média da amostra < 1450 hipótese H0 rejeitada

Existem duas possibilidades de erro:

H0 é verdadeira e a amostra apresenta uma média < 1450 a hipótese será erroneamente rejeitada Erro tipo I (risco α)

H0 é falsa e a amostra apresenta uma média > 1450 a hipótese será erroneamente aceita Erro tipo II (risco β)

Teste de Hipótese

Questões:

1) Como o valor crítico pode ser escolhido?

2) Como as probabilidades de Erro tipo I e II podem ser calculadas?

Exemplo 1

Exemplo 1: H0: uma pessoa ingere 2000 calorias por dia.

valor crítico 2100 calorias

amostra de medidas: n =30 dias

desvio padrão por dia: σ = 350 calorias

Questão: qual é o risco α, isto é, a probabilidade de erro tipo I. Em outras palavras, qual a probabilidade de rejeitar erroneamente uma hipótese correta?

Exemplo 1

Desvio padrão da amostra = σ/√ n = 350/√30 = 63,9

Z-score de 2100: (2100-2000)/63,9 = 1,56

Para se calcular a probabilidade, deve-se recorrer à área da curva normal, dada pela Tabela A. Para z-score=1,56, a área é 0,4406.

Portanto, a probabilidade de se rejeitar H0 mediante as medidas desta amostra é 0,5-0,4406=0,0594

Exemplo 2

Exemplo 2: um certo governo afirma que média mensal de precipitação é de 15 mm com um desvio padrão de 12 mm. H0 = 15 mm

σ = 12 mm

Medidas serão tomadas ao longo de 3,5 anos n=42 meses.

Valor crítico se a média da amostra diferir em mais de 2 mm de H0

Questão: qual a probabilidade de se rejeitar erroneamente H0 (supondo-a correta)?

Exemplo 2

A probabilidade será dada pelas áreas correspondentes a x >15 + 2 =17 e x < 15 – 2 =13

Desvio padrão da amostra: σ/√ n = 12/√42 = 1,85

Z-score de 17: (17-15)/1,85 = 1,08

Z-score de 13: (13-15)/1,85 = -1,08

Da tabela A: área para z-score=1,08 0,3599

Portanto a área para z>1,08 0,5-0,3399= 0,1401

Probabilidade total: 2 x 0,1401 = 0,2802

Nos exemplos anteriores a partir do valor crítico se determinou o risco-α.

Pode-se também determinar o valor crítico a partir do risco-α. A escolha do risco-α é chamado nível de significância do teste.

Nível de Significância

Exemplo 3

Exemplo 3: Um produtor de carro diz que seus carros terão um desempenho de 50 mpg (miles per galon) H0

Medidas serão feitas em 30 carros n = 30

Desvio padrão σ = 2,3 mpg

Questão: determine o valor crítico para um teste com 5% de nível de significância.

Exemplo 3

Desvio padrão da amostra: σ/√ n = 2,3/√30 = 0,42

Da tabela A, o z-score correspondente a 0,05 é -1,645.

Em termos de mpg, o z-score fica:

(50 – valor crítico)/0,42 = 1,645

Valor crítico = 50 – 1,645*0,42 = 49,3

Portanto, se a média da amostra for menor que 49,3 mpg, H0 terá de ser rejeitada.