„Termodinamika I. főtételének megfogalmazása hővezetésre és konvekcióra”

Széchenyi István EgyetemMűszaki Tudományi KarKörnyezetmérnöki TanszékEnergiatudatos tervezés

Dr. Tóth Péter PhDegyetemi docens

A termodinamika I. főtételének megfogalmazása hővezetésre

Az energiamegmaradás tétele szerint:

Mi lehet a változás oka?

A rendszerbe belépő hőáram sűrűségösszege eltér a kilépő hőáramsűrűség összegétől. A rendszer belső energiája nő, ha több energia lép be, mint ki.

Az egyenlet jobb oldalára alkalmazva a Gauss-Osztogradszkij tételt:

A V

dA div dV

0

V A V

du dudV qdA q dV

d dt

0

V V A

dudV q dV qdA

d

Egy térfogati integrálba írva az egészet:

Tetszőleges térfogatra, illetve zárt felületre igaz kell hogy legyen:

Ha elmozdulás is van, akkor totális derivált kell!

0

V

du q divq dV 0

dt

0

d udivq q

d

Szilárd testre az energiaegyenlet

Ez az I. főtétel megfogalmazása hővezetésre. Ebből tudunk elindulni, hogy a hőmérséklet eloszlást leíró diff. egyenletet meg tudjuk határozni.

Ismerni kell továbbá, hogy a rendszer belső energiája hogyan függ a hőmérséklettől.

Lokális egyensúly:

Vdu c d

0

udivq q

Kinetikai egyenlet:

Ezek behelyettesítésével kapjuk a hőmérséklet eloszlás egyenletét:

q0 : térfogati hőforrás sűrűsége

Parciális inhomogén, nem lineáris differenciál egyenlet.

Alakítsuk át ezt az egyenletet úgy, hogy a div műveletet elvégezzük.

q q gradTq gradT

0

cTdiv gradT q

2 0

T dc T divgradT gradT q

dT

Nabla operátor

Laplace operátor

Az anyagjellemzőket (δ,ρ,c) vegyük úgy, hogy nem függenek a hőmérséklettől.

Ekkor írható:

2divgrad

:

:2 2 2

22 2 2

T T TT

x y z

20

Tc T q

q0 : térfogati hőforrás

Bevezetve a már megismert hőmérsékletvezetési együttható tényezőt, írható:

Lineáris, inhomogén differenciál egyenlet, ez a hővezetés differenciál egyenletének legismertebb alakja.

2 0qTa T

c

2 2m ma ,

c h sec

Nézzük meg ezt különböző esetekre:

1. Nincs térfogati hőforrás sűrűség: q0 = 0 Ekkor a Fourier-féle differenciál egyenletet kapjuk:

Hővezetés diff. egyenlete

2. Egy térdimenziós esetre:

Parabolikus típusú diff. egyenlet

2Ta T

2

2

T Ta

x

FOURIER FÉLE DIFFERENCIÁL EGYENLETEK

ALKALMAZÁSA INSTACIONER FOLYAMATOKRA

A Q hőmennyiség, amely t idő alatt áramlik a rúdon (ha nincsenek oldalirányú veszteségek), egyenesen arányos a t időtartammal, az A keresztmetszettel és a hosszegységre eső hőmérsékletváltozással ,

stacionárius hővezetésnél fennáll

ahol: :az időegység alatt átáramló hőmennyiség,

hőáram [W]

:hőáram sűrűség

l

TT 21

Q0

t

qA

2

W

m

1 2T TQA

t l

Az előbbi egyenlet általánosabb, differenciális alakban is megfogalmazható. Alkalmazva egy homogén és izotróp test belsejében képzelt kis ΔA keresztmetszetű és ΔX magasságú hengerre

amelynek véglapjai a vizsgált időpontban, időpillanatban:

T1=T és T2= T+ΔT

„egyenlő hőmérsékletűfelületek” vagy „izotermák” részei

A ΔA keresztmetszeten igen kis Δt idő alatt az X irányban átáramló

hőmennyiség legyen ΔQ. Ekkor a -nek a hőmérséklet

esés felel meg, amely a csökkenő hőmérséklet irányában pozitív.

Ez az egyenlet a hővezetés alaptörvénye, amely időben változó

hőáramra, azaz instacioner hővezetésre is érvényes.

Ez a Fourier-Kirchoff egyenlet. (Fourier, 1822)

l

TT 21 T

x

Q Q TA

t x

q gradT

q gradT

NEM STACIONÁRIUS EGYDIMENZIÓS HŐVEZETÉS

A T hőmérséklet nem csak a helytől és az x koordinátától, hanem a τ

időtől is függ.

T= T(x, τ )

A test belsejében egy ΔA(dy*dz) keresztmetszetű és Δx magasságú

hengert vagy rudat tekintve

Az 1. illetve a 2. véglapokon igen kis Δτ idő alatt az x irányban

hőmennyiség megy át, ahol a a hőmérsékletesés az 1. illetve

a 2.véglapnál. A rúdban felhalmozódott hő(sorfejtés alkalmazásával):

azaz

,1 2

T

x

11

TQ A

x

22

TQ A

x

1 22 1

T T TQ Q Q A A x

x x x x

2

2

TQ A x

x

Ez a hőmennyiség a ρ sűrűségű tömegű henger hőmérsékletét (az állandó nyomáson vett) c fajhő definíciója szerint

akkora ΔT-vel növeli, amelyre nézve

A határátmenet figyelembevételével –

egydimenziós esetre – a hővezetés differenciálegyenlete:

m A x

Q c A x T

T T

2 2

2 2

T T Ta

c x x

Háromdimenziós esetre:

Ha ismeretes a testben a hőmérséklet eloszlás, a τ=0 pillanatban (kezdeti feltétel) továbbá a test határfelületén a környezettel való hőcsere mértéke (határfeltétel) akkor ennek az egyenletnek a megoldása szolgáltatja a hőmérséklet eloszlást bármely későbbi időpillanatban.

A hőmérséklet időbeli és térbeli változásaira speciálisan pl. a hőmérséklet kiegyenlítődés gyorsaságára az

hőmérsékletvezetési tényező a mérvadó, nem pedig a hővezetési tényező, ugyanis míg a fémek -ja sokkal nagyobb a gázokénál, addig az

tényezők közel egyenlőek, azaz a hőmérsékletek a gázokban és a fémekben azonos sebességgel egyenlítődnek ki.

2 2 2

2 2 2

T T T Ta

x y z

2ma

c h

ac

Ilyen esettel a gyakorlatban nehéz találkozni. Nézzük a speciális esetek alaptulajdonságait!

STACIONÁRIUS – IDŐBEN ÁLLANDÓSULT – HŐVEZETÉS

DIFFERENCIÁL EGYENLETE a. Van hőforrás, de nincs időbeli hőmérsékletváltozás

Stacioner, hőforrásos hővezetés differenciál

egyenlete, ún. Poisson egyenlet

b. Hőforrásmentes, időbeli hőmérsékletváltozás nincs. Laplace differenciál egyenlet

(elliptikus diff. egyenlet)

Síkbeli esetre:

2 0qa T 0

c

2T 0

2 2

2 2

T T0

x y

2 0qT

EGY DIMENZIÓS, STACIONÁRIUS – IDŐBEN ÁLLANDÓSULT ÁLLAPOT, HŐFORRÁSMENTES ESET

0

50

100

1.n.év

3.n.év

Kelet

Dél

Észak

Matematikailag ez egy egyenes egyenlete,

mivel a görbülete 0.

Hogy néz ki ez a gyakorlatban?

Hőmérséklet eloszlás a falban:

geometriailag is értelmezhető, mint a hőmérséklet hely szerinti változásának az iránytangense, gradiense.

2

2

T0

x

1 2t tq

Mi lenne ha lenne?

Ekkor a hőmérséklet eloszlás a falban:

2

2

Táll.

x

Pl. félvezető szalag

egyenárammal fűtve.

Állandó hőforrás

sűrűség esete.

PEREMFELTÉTELEK

A vizsgált tartomány szélén mit ismerünk?Osztályozás:

I. fajú peremfeltétel

T=T[L(x,y,z)] Nem a tér minden pontjában, hanem csak a felületen ismerjük a hőmérséklet eloszlást

pl. T1, T2 ismert

II. fajú peremfeltétel

Matematikai értelemben: ismert a vizsgált tartomány felületén, peremén a függvény első diff. hányadosa

Hőtanilag: ismert a vizsgált tartomány peremén a hőáramsűrűség

q q L x, y, z 1 2T Tq gradT

x

, a hőmérséklet hely szerinti változásának iránytangense (gradiens)

Előírt értékű hőáramsűrűség lép be a falba, a test belsejében vezetés van.

Hőmérséklet lefutási görbe érintője.

1 2T Tqtg

x

W

Tq

x

W

T q

x

III. fajú peremfeltétel

Matematikai értelemben: a vizsgált tartomány peremén a keresett függvény értéke és a derivált hányadosa adott.

Hőtanilag: a tartomány peremén az α hőátadási tényező adott.

α= α[L(x,y,z)]

A szilárd test peremén a közegnek átadott hőmennyiség:

, hőátadás

Wq T T

q T

(felületnél az iránymenti derivált)

TW: fal hőmérséklete

T∞: külső hűtőközeg

hőmérséklete

III. fajú peremfeltétel

W

Tq

n

WW

TT T

n

W

W

T T

Tn

Egydimenziós hőtranszport szemléltetése:

W

W

T TT

x

KONVEKCIÓ A hő terjedésének folyadékokban és gázokban előforduló módja,

amelynél a hőt a közeg részecskéi viszik magukkal a melegebb helyekről a hidegebbek felé.

A hővezetés és a konvekció (és gyakran a hősugárzás) együttesen játszanak szerepet pl. egy T hőmérsékletű A felületű szilárd test, fal, és az ettől távolabb már T1 hőmérsékletű gáz (levegő) hőcseréjénél. A hőtechnikában ennek a fontos, de részleteiben igen bonyolult jelenségnek a közelítő jellemzésénél

egyenletet veszik alapul, melyben ΔQ a fal felületén (ΔA) Δτ idő alatt

átadott hőmennyiség, 0 a megfelelő hőáram,

α pedig a hőátadási tényező

1

QA T T

2

W

m K

Modell → labor mérések → vizsgált jelenséget befolyásoló méretek, anyagjellemzők és mennyiségek kiválasztása → ezekből mértékegység nélküli „számok” ún. „hasonlóság számok” képzése

Reynolds-szám:

Prandtl-szám:

Grashof-szám:

Nu=f(Re, Pr)Nu=f(Re, Gr)

Nusselt- szám:

e

vdR

3 2

R 2

L g TG

K1 0 1T T T T e

r

cP

u

LN

Egy szabadban álló, környezeténél melegebb test lehűlésekor a testhőmérsékletének időbeli változását megadó T=T(τ)függvény bizonyosmegközelítéssel a

egyenlet alapján határozható meg.

A C hőkapacitású testnél , tehát

Ez a Newton-féle lehűlési törvény, T1 a környezetállandónak feltételezett hőmérséklete. (T∞)

1

QA T T

Q cm T c T

1

C T AA T T K

C

1

dTK T T

d

Ha a τ=0-nál a test hőmérséklete T0 , akkor a

megoldás

Ez azt jelenti, hogy a test és a környezete közt (T-T1)

hőmérsékletkülönbség (T0-T1)-ről exponenciálisan

csökken zérusra.

K1 0 1T T T T e

Köszönöm a figyelmet!