Post on 18-Apr-2015
TEOREMAS DE HAGA E A DIVISÃO DE UM SEGMENTO
EM n PARTES IGUAIS
DISCIPLINA INTEGRADORA II
A ÁRVORE DAS DOBRADURAS EA ÁRVORE BINÁRIA
Você pode dividir o lado do quadrado de papel em 2 partes iguais?
Sim, é fácil!
E em 4?
Também é fácil!
Agora divida em 3 ...
É possível dividir em 3, ou mesmo em um número inteiro qualquer, somente dobrando. Vamos ver agora...
É difícil?
1º Teorema de Haga:
Dado o quadrado unitário ABCD e P o ponto médio de AB, se T é a intersecção do lado CD com o lado AD, após a dobra que faz coincidir o vértice C com o ponto P, então |DT| = 1/3.
Divisão em 3 partes (trisecção)
P
DC
B A AB P
C D
T
E
2º Teorema de Haga:
Dado o quadrado unitário ABCD e P o ponto médio de AB, se S é o ponto onde se encontra o vértice B, após a dobra CP, e T é o ponto onde inicia a dobra que faz coincidir D com S, mantendo o vértice C fixo, então |DT| = 1/3.
Divisão em 3 partes (trisecção)
A
DDD
B A A
C
PP P
C C
T
S S
T
3º Teorema de Haga:
Dado o quadrado unitário ABCD e P o ponto médio de AB, consideremos a dobra que leva o ponto P sobre o lado BC, ao mesmo tempo que o vértice C é levado sobre o lado AD. Se T é o ponto do lado AD onde o vértice C se encontra após a dobra, então |DT| = 1/3.
Divisão em 3 partes (trisecção)
A AB
C D
PP
D
T
E
Divisão em n partes
A seguir...
Dado um segmento AP qualquer do lado AD do quadrado unitário ABCD, vamos estabelecer dois tipos de dobras: Paralela e Oblíqua
Paralela: é a que faz juntar o vértice A com o ponto P, mantendo o lado AB paralelo ao lado CD do quadrado. Obtemos assim o ponto M, intersecção da dobra com o lado AD.
P
DC
B AM
P
DC
B A
P
DC
B AM
AM = 1/(2m)
AD = 1AP = 1/m
Dado um segmento AP qualquer do lado AD do quadrado unitário ABCD, vamos estabelecer dois tipos de dobras: Paralela e Oblíqua
P
DC
B A
BN = 1/(2m-1)
AD = 1AP = 1/m
Oblíqua: é a que faz juntar o vértice C com o ponto P, tornando o lado BC oblíquo em relação aos outros. Obtemos assim o ponto N, intersecção do lado BC com o lado AB, após a dobra.
P
DC
B AN
P
DC
B AN
PROPOSIÇÃO:
A partir de um segmento inicial de medida 1/m, depois de uma dobradura paralela, ele se reduzirá à metade de seu comprimento, passando o segmento derivado a medir 1/(2m); depois de uma dobradura oblíqua, o segmento derivado passará a medir 1/(2m-1).
|AP| = 1/m
|BN| = 1/(2m-1)
|AM| = 1/(2m)P
O
P
DC
B AN
Demonstração de:
|AP| = 1/m |BN| = 1/(2m-1)x
yE
Ex.: Dividir o lado do quadrado em 14 partes iguais.
14 = 2 x 7 P
7 = 2 x 4 – 1 O
4 = 2 x 2 P 2 = 2 x 1 P
1
1/14
1/7
1/4
1/2
TEOREMA:
Em um número com representação binária, associando a cada dígito 1 uma dobradura paralela e a cada dígito 0 uma dobradura oblíqua, a seqüência de dobraduras que leva do lado do quadrado a 1/n dele é dada pela seqüência dos dígitos da representação binária do número n-1.
A Árvore das Dobraduras
p
O
OO
O
O
OOPP
PP
P
PP
1/71/6
1/3
1/5
1/4
1/2
1
1/111/101/9
1/8
1/141/131/12 1/161/15
1/2k+2
O P1/k+1
1/2k+1 1/2m
O P1/m
1/2m-1
A Árvore Binária
1
0
00
0
0
0011
11
1
1165
2
4
3
1
0
1098
7
131211 1514
2n
2n-1
0 1
2n+1-1
2n-10 1
2k+1
0 1k
2k
1/2P
O
OO
O
O
OOPP
PP
P
PP1/71/6
1/3
1/5
1/4
1
1/111/101/9
1/8
1/141/131/12 1/161/15
A Árvore Binária
A Árvore das Dobraduras
11
0
00
0
0
0011
11
1
11
65
2
4
0
1098
7
131211 1514
3 Representação binária de n-1
Seqüência de dobraduras para obter 1/n
Ex.: (13)10 = (1101)2
Ex.: 1/14 => P P O P
Referências:
Revista do Professor de Matemática: nº 16 e nº 50
http://www.origami.gr.jp