Árvore Binária - Aula
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CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
Uma ÁRVORE BINÁRIA é uma estrutura de dados NÃO LINEAR.
Uma estrutura LINEAR tem seus elementos armazenados de forma SEQÜENCIAL. Exemplos: Pilhas, Filas e Listas.
Uma estrutura NÃO LINEAR tem seus elementos armazenados de forma NÃO SEQÜENCIAL. Exemplos: Árvores e Grafos.
Exemplos de estruturas lineares
PILHA: FILO – o primeiro que entra é o último que sai. Inserções e remoções acontecem apenas no TOPO.
Exemplos de estruturas lineares
FILA: FIFO – o primeiro que entra é o primeiro que sai. Inserções acontecem no FIM e remoções acontecem no INÍCIO.
Exemplos de estruturas lineares
LISTA: uma LISTA pode ser ordenada ou não ordenada.
LISTA ORDENADA: as inserções são feitas pelo programa respeitando a ordenação.
LISTA NÃO ORDENADA: as inserções são feitas pela escolha do usuário, no INÍCIO ou no FIM da LISTA.
Uma PILHA e uma FILA são LISTAS ESPECIALIZADAS.
Exemplos de estruturas NÃO lineares
ÁRVORES
Árvore NÃO binária
Árvore binária
Exemplos de estruturas NÃO lineares
GRAFOS
1
5 4
2
3
CONCEITOS DE ÁRVORE
Ilustrações de árvore binária
6(2(1 4(3)) 8)
6
2 8
1 4 3
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
Cada elemento da árvore é denominado NÓ
NÓ
NÓNÓ
NÓ
NÓ
NÓ
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
NÓ RAIZ
NÓRAIZ
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
DEFINIÇÃO: uma árvore binária é um conjunto finito de elementos que está vazio ou é particionado em três subconjuntos disjuntos.1º subconjunto: nó raiz2º subconjunto: sub-árvore esquerda3º subconjunto: sub-árvore direita
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
1º subconjunto
NÓ RAIZ
2º subconjunto
SUB-ÁRVORE
ESQUERDA
3º subconjunto
SUB-ÁRVORE DIREITA
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
A sub-árvore esquerda tem
como raiz o nó 2
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
PROPRIEDADES:
Todos os itens de uma sub-árvore direita são maiores que a raiz;
Todos os itens de uma sub-árvore esquerda são menores que a raiz;
Cada sub-árvore é também uma árvore binária.
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
Uma árvore binária pode ser vazia?
Sim, quando não possui nenhum
elemento
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
Uma árvore binária pode ter sub-árvore direita ou esquerda vazia?
Sim, é necessário olhar o nó raiz da árvore em
questão
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
Considerando a árvore cuja raiz é o nó de número 6, tem-se uma árvore cuja sub-árvore direita é vazia.
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
Considerando a árvore cuja raiz é o nó de número 2, tem-se uma árvore cuja sub-árvore esquerda é vazia.
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
Uma árvore binária pode ter sub-árvore direita e esquerda vazias?
Sim, é necessário olhar o nó raiz da árvore em
questão
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
Considerando a árvore cuja raiz é o nó de número 8, tem-se uma árvore com sub-árvores direita e esquerda vazias.
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
Construir uma árvore binária com os seguintes números:35 18 15 78 90 45 37 8 16
Construir uma árvore binária com as seguintes letras:M C T F D V O
ÁRVORE 1
78
9045
378 16
35
18
15
16
ÁRVORE 2
M
TC
D
OF V
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
O GRAU de um nó representa o seu número de sub-árvores.
Em uma árvore binária o GRAU máximo de um nó é 2.
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
Grau 2
Grau 1
Grau 0
Grau 0
Esta é uma árvore, mas não é binária
Grau 2
Grau 1
Grau 1
Grau 0
Esta é uma árvore, mas não é binária
Grau 3
Grau 1
Grau 0
Grau 0
Esta é uma árvore, mas não é binária
Grau 2Grau 2
Grau 0
Grau 0
Grau 3 Grau 0
Grau 0 Grau 0
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
O GRAU de uma árvore é igual ao máximo dos graus de todos os seus nós.
Uma árvore binária tem GRAU máximo igual a 2.
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
Árvore binária
com grau 2
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
Árvore NÃO binária com
grau 2
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
Árvore NÃO binária com
grau 3
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
Árvore NÃO binária com
grau 3
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
Nó pai: nó acima e com ligação direta a um outro nó.
Nó filho: são os nós raízes das sub-árvores.
Nós irmãos: são os nós que possuem o mesmo nó pai.
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
Nó folha ou terminal: nó que não possui filhos.
Nó ancestral: são os nós que estão acima de um nó, mas possuem ligação.
Nó descendente: são os nós que estão abaixo de um nó, mas possuem ligação.
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
Nós descendentes direito: são os nós que estão abaixo de um nó, possuem ligação e fazem parte da sub-árvore direita.
Nós descendentes esquerdo: são os nós que estão abaixo de um nó, possuem ligação e fazem parte da sub-árvore esquerda.
CONCEITOS DE ÁRVORE BINÁRIA
Nível de um nó: é a sua distância do nó raiz. Logo, o nível do nó raiz é sempre ZERO.
Altura ou profundidade de uma árvore: é o nível do nó mais distante da raiz.
NÓ PAI
Quais os nós pais desta árvore?
Nó 6, pai dos nós 2 e 8
Nó 2, pai dos nós 1 e 4
Nó 4, pai do nó 3
NÓ FILHO
Quais os nós filhos desta árvore?
Nó 8, filho do nó 6
Nó 2, filho do nó 6
Nó 4, filho do nó 2Nó 1, filho do
nó 2Nó 3, filho do
nó 4
NÓS IRMAÕS
Quais os nós irmãos desta árvore?
Nós 2 e 8, irmãos pois são filhos do mesmo nó,
ou seja, filhos do nó 6
Nós 1 e 4, irmãos pois são filhos do mesmo nó,
ou seja, filhos do nó 2
NÓ FOLHA
Quais os nós folha desta árvore?
Nó 8 pois não possui filhos
Nó 3 pois não possui filhos
Nó 1 pois não possui filhos
NÓ ANCESTRAL
Quais os nós ancestrais desta árvore?
O nó 8 possui apenas o nó 6 como ancestral
O nó 2 possui apenas o nó 6 como ancestral
O nó 4 possui o nó 2 e o nó 6 como ancestrais
O nó 3 possui o nó 4, o nó 2 e o nó 6 como ancestrais
O nó 1 possui o nó 2 e o nó 6 como ancestrais
NÓ DESCENDENTE
Quais os nós descendentes desta árvore?
O nó 6 possui como descendentes os nós 2, 8, 1, 4 e
3
O nó 2 possui como descendentes os nós 1, 4 e 3
O nó 4 possui apenas o nó 3 como descendentes
NÓS DESCENDENTES DIREITO
Quais os nós descendentes direito desta árvore?
O nó 6 possui como descendentes direito apenas o nó 8
O nó 2 possui como descendentes direito os nós 4 e 3
O nó 4 não possui nós descendentes direito
NÓS DESCENDENTES ESQUERDO
Quais os nós descendentes esquerdo desta árvore?
O nó 6 possui como descendentes esquerdo os nós 2, 1, 4 e 3
O nó 2 possui como descendentes esquerdo apenas o nós 1
O nó 4 possui como descendentes esquerdo apenas o nó 3
NÍVEL DE UM NÓ
O nó 6 tem nível zero
Os nós 2 e 8 têm nível um
Os nós 1 e 4 têm nível dois
O nó 3 tem nível três
NÍVEL 0
NÍVEL 1
NÍVEL 2
NÍVEL 3
ALTURA OU PROFUNDIDADE DE UMA ÁRVORE
NÍVEL 0
NÍVEL 1
NÍVEL 2
NÍVEL 3
ÁRVORE COM ALTURA OU
PROFUNDIDADE 3
Número máximo de filhosde um nível
Expressão que representa o número máximo de filhos em um nível da árvore binária.
Nº máximo de filhos = 2n
Onde n é nível em questão
Número máximo de filhos de um nível
NÍVEL 0
NÍVEL 1
NÍVEL 2
NÍVEL 3
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
Árvore estritamente binária
Árvore em que todos os nós tem 0 ou 2 filhos.
Árvore binária completa
Árvore em que todos os nós com menos de dois filhos ficam no último e no penúltimo nível.
Árvore binária cheia
Árvore estritamente binária e completa.
Número máximo de nós de uma árvore ESTRITAMENTE binária
Expressão que representa o número máximo de nós de uma árvore estritamente binária.
Nº máximo de nós de uma árvore estritamente binária2n - 1
Onde n é o número de nós FOLHA