Курс: Статистика у психологији Курс: Статистика у психологији 11 Тема: Вероватноћа-основни појмови Тема: Вероватноћа-основни појмови

Copyright Copyright Лазар ТењовићЛазар Тењовић, , Одељење за психологију, Филозофски факултет, БеоградОдељење за психологију, Филозофски факултет, Београд

Курс: Статистика у истраживању образовањаКурс: Статистика у истраживању образовања Тема: Вероватноћа-основни појмови Тема: Вероватноћа-основни појмови

Copyright Copyright Лазар ТењовићЛазар Тењовић, , Одељење за психологију, Филозофски факултет, БеоградОдељење за психологију, Филозофски факултет, Београд

Теорија вероватноћеТеорија вероватноће

Теорија вероватноће даје средства за долажење до одговора и закључака у ситуацијама неизвесности, тј. у ситуацијама када не располажемо комплетним информацијама.

Теорија вероватноће је математичка дисциплина која даје математичке моделе случајних појава.

Случајна појава: појединачни исход неизвестан али постоји правилност у расподели исхода у великом броју понављања.

Случај не значи хаос, не значи да нема никакве правилности Случај не значи хаос, не значи да нема никакве правилности нити узрочно-последичних односа!нити узрочно-последичних односа!

Теорија вероватноћеТеорија вероватноће Теорија вероватноће представља математичку основу за:

а) случајно узорковање (одабир случајног узорка из популације);

б) статистичко закључивање-закључивање о популацији на основу случајног узорка.

Теорија вероватноће помаже у разумевању психолошких феномена: колика је вероватноћа да било која особа добије ПТСД ако доживи искуство које превазилази уобичајена људска искуства (силовање, пожар, поплава, угрожавање сопственог живота...); колика је вероватноћа да било која особа има КИ (IQ) већи од 150?

Какву улогу теорија вероватноће има у статистици и психологији?Какву улогу теорија вероватноће има у статистици и психологији?

Зачетници теорије вероватноће: Зачетници теорије вероватноће: Паскал Паскал (Blaise Pascal)(Blaise Pascal) и Ферма ( и Ферма (Pierre de FermatPierre de Fermat))

Проблеми који су довели до заснивања теорије Проблеми који су довели до заснивања теорије вероватноће: коцкар вероватноће: коцкар Chevalier de Méré Chevalier de Méré

1. Која је вероватноћа да у четири бацања коцке бар једанпут падне 1?

де Мереово резоновање: ако коцку бацим једном вероватноћа да падне 1 је 1/6, у два бацања 2/6, у четири бацања 4/6.

Тачан одговор: Укупан број подједнако вероватних исхода је 64. Неповољан број исхода је 54. Тражена вероватноћа је:

(64 - 54) / 64= (1296 - 625) / 1296 = 671 / 1296 ≈ 0.5177 ... > 0.5

Проблем 1: де Мере добија погрешно резонујући Проблем 1: де Мере добија погрешно резонујући

Проблеми који су довели до заснивања теорије Проблеми који су довели до заснивања теорије вероватноће: коцкар вероватноће: коцкар Chevalier de Méré Chevalier de Méré

2. Која је вероватноћа да у 24 бацања две коцке бар једанпут падну две 1?

де Мереово резоновање: код једног бацања вероватноћа је 1/36 код 2 бацања 2/36 а код 24 бацања 24/36 или 2/3.

Тачан одговор: У 24 бацања има 3624 могућих исхода. Повољан број исхода је (3624 – 3524). Тражена вероватноћа је:

(3624 – 3524) / 3624= = 1 - (35/36)24 ≈ 1 - 0.5086= 0.4914 < 0.5.

Проблем 2: де Мере губи погрешно резонујући! Проблем 2: де Мере губи погрешно резонујући!

Вероватноћа: основни појмовиВероватноћа: основни појмовиСлучајни експеримент: сваки прецизан (плaниран)

процес посматрања или прикупљања података за који веже следећи услови:

1. може се понављати неограничен број пута у истим условима;

2. у сваком покушају (појединачном извођењу експеримента) може постојати само један исход из скупа свих могућих исхода при чему су сви могући исходи унапред познати;

3. исходи појединачних покушаја нису унапред познати (не могу се унапред предвидети са потпуном извесношћу).

Многе појаве се третирају као случајни експерименти.Примери: експеримент бацања новчића, тестирање интелигенције случајног узоркаПримери: експеримент бацања новчића, тестирање интелигенције случајног узорка

Вероватноћа: основни појмовиВероватноћа: основни појмовиСкуп свих елементарних исхода експеримента:

простор узорка- SПример: 3 бацања новчића

S = {GGG, GGP,GPG,PGG,GPP,PPG,PGP, PPP}

Догађај: сваки подскуп скупа S, тј. скупа свих могућих елементарних исхода експеримента

A= {GGG}, B= {GGG,GGP,GPG,PGG}

Дакле: А S; B S.

Пример: три бацања новчића Пример: три бацања новчића

Алгебра догађаја: основни појмовиАлгебра догађаја: основни појмови

Унија догађаја: А B (A или B или A и B)Пресек догађаја: А B (A и B)Комплемент догађаја А у односу на S: Аc

(обухвата све исходе у S који не припадају догађају А. Према томе: А Аc =

S = {GGG, GGP,GPG,PGG,GPP,PPG,PGP, PPP}

(S је известан или сигуран догађајУзајамно искључиви догађаји A и B: акко А B

=, при чему је немогућ догађај

Алгебра догађаја проистиче из теорије скупова јер је сваки догађај скупАлгебра догађаја проистиче из теорије скупова јер је сваки догађај скуп

Алгебра догађаја-визуелни приказАлгебра догађаја-визуелни приказ

Унија догађаја А и B: збир два круга

Пресек догађаја А и B: преклапање два круга

Комплемент догађаја А у односу на S:

целокупна површина у правоугаонику S изван круга А.

S

А B

Вероватноћа: уопштена дефиницијаВероватноћа: уопштена дефиниција

Вероватноћа је мера могућности дешавања неког догађаја као исхода случајног експеримента до које се долази априорним логичким анализама процеса који води одређеном исходу, претпоставкама или емпиријском проценом.

Вероватноћа се може исказати разломком (1/10), пропорцијом (0.10) или процентом (10%).

Вероватноћа: интерпретације појмаВероватноћа: интерпретације појма

Априорна, класична: Ако неки догађај А обухвата nA исхода од укупно могућих n исхода тада је (ако су сви могући исходи експеримента узајамно искључиви и једнако могући) вероватноћа догађаја А, у ознаци Р(А):

Примери: 1. вероватноћа да ће у једном бацању новчића пасти грб је ½;Примери: 1. вероватноћа да ће у једном бацању новчића пасти грб је ½;2. вероватноћа падања бар једног грба у два бацања новчића:2. вероватноћа падања бар једног грба у два бацања новчића:SS = = {PP, {PP, PGPG,,GPGP,,GG}GG}, , према томе према томе nnAA je 3, n=4, a P( je 3, n=4, a P(AA) = 3/4 ) = 3/4

Рачунање укупног броја исхода:основна Рачунање укупног броја исхода:основна правила комбинаторикеправила комбинаторике

1. Основно правило комбинаторике: Ако један експеримент има n1 могућих исхода, други експеримент n2 могућих исхода,..., а експеримент к има nк могућих исхода тада свих к есперимената имају

n1* n2 *... * nк могућих исхода.

Пример: Ако испитаник одговара на три питања у анкети, при Пример: Ако испитаник одговара на три питања у анкети, при чему на прво питање може да одговори само ДА или НЕ, на другочему на прво питање може да одговори само ДА или НЕ, на другопитање ДА ? НЕ, а на треће питање заокруживањем једног од питање ДА ? НЕ, а на треће питање заокруживањем једног од ПЕТ понуђених одговора тада је укупан број могућих сложајева ПЕТ понуђених одговора тада је укупан број могућих сложајева одговора (исхода) на ова три питања: 2*3*5 = 30одговора (исхода) на ова три питања: 2*3*5 = 30

Рачунање укупног броја исхода:основна Рачунање укупног броја исхода:основна правила комбинаторикеправила комбинаторике

2. Пермутације: пермутације представљају сваки могући поредак од n елемената при чему се унутар једне пермутације одређени елемент може јавити само једанпут.

Број пермутација од n елемената, у ознаци nРn, рачуна се по следећој формули:

при чему је n! (n факторијел) једнак производу целих бројева од 1 до n, а 0! =1.

Пример: Број пермутација од 3 елемента је 3! = 3*2*1=6Пример: Број пермутација од 3 елемента је 3! = 3*2*1=6

Рачунање укупног броја исхода:основна Рачунање укупног броја исхода:основна правила комбинаторикеправила комбинаторике

3. Варијације без понављања представљају сваки могући поредак r елемената од укупно n елемената при чему се r креће од 1 до n а унутар једне варијације одређени елемент се може јавити само једанпут.

Број варијација без понављања, у ознаци nРr, рачуна се по следећој формули:

Рачунање укупног броја исхода:основна Рачунање укупног броја исхода:основна правила комбинаторикеправила комбинаторике

4. Варијације са понављањем представљају сваки могући поредак r елемената од укупно n елемената при чему се унутар једне варијације одређени елемент може јавити више пута.

Број варијација са понављањем, у ознаци nРr, рачуна се по следећој формули:

Рачунање укупног броја исхода:основна Рачунање укупног броја исхода:основна правила комбинаторикеправила комбинаторике

5. Комбинације без понављања представљају сваки подскуп r елемената од укупно n елемената при чему се r креће од 1 до n. Дакле, различити пореци истих r елемената су једна иста комбинација.Број комбинација без понављања, у ознаци nСr, рачуна се по следећој формули:

Број узорака величине Број узорака величине r r који се могу добити (ако се узорковањекоји се могу добити (ако се узорковањеврши без враћања) из популације величиневрши без враћања) из популације величине n. n.

Рачунање укупног броја исхода:основна Рачунање укупног броја исхода:основна правила комбинаторикеправила комбинаторике

6. Комбинације са понављањем представљају сваки подскуп r елемената од укупно n елемената при чему се унутар једне комбинације одређени елемент може јавити више пута.

Број комбинација са понављањем, у ознаци nСr, рачуна се по следећој формули:

Број узорака величине Број узорака величине r r који се могу добити (ако се узорковањекоји се могу добити (ако се узорковањеврши са враћањем) из популације величиневрши са враћањем) из популације величине n. n.

Вероватноћа: интерпретације појмаВероватноћа: интерпретације појма

Статистичка: Вероватноћа догађаја А, у ознаци Р(А):

Практично, када је n велико:

Пример: вероватноћа рађања мушког детета је 0.515.Пример: вероватноћа рађања мушког детета је 0.515.

Аксиоматско одређење вероватноће: Аксиоматско одређење вероватноће: Андреј КолмогоровАндреј Колмогоров

Мера вероватноће на скупу S је функција P из подскупова од S на скуп реалних бројева која задовољава следеће аксиоме:

1. P(S) = 1 (нормираност);2. Ако А S онда P(А) 0

(ненегативност);3. Ако су А1, А2,... узајамно

искључиви догађаји тада

(дисјунктна адитивност)

Аксиоматско одређење не говори о томе како се рачуна вероватноћа већ само даје ограничења начина на који се то може урадити

Својства мере вероватноће која следе из три Својства мере вероватноће која следе из три аксиома у аксиоматском дефинисању вероватноће:аксиома у аксиоматском дефинисању вероватноће:

4. Р (Аc) = 1- P(А);5. Р( ) = 0;6. Ако је А B тада је P(А) P(B);7. P(А B)= P(A) + P(B) – P (А B).

Условна вероватноћаУсловна вероватноћа

Ако су А и B догађаји и P(B) 0 тада је условна вероватноћа догађаја А под условом дешавања догађаја B, у ознаци P(АB):

OOсновне теореме (правила)сновне теореме (правила) вероватноћевероватноће

Адитивна теорема:P(А B)= P(A) + P(B) – P (А B)

Мултипликативна теорема:P(А B)= P(A)*P(BА)= P(B)*P(АB)

Статистичка независност догађајаСтатистичка независност догађаја

Ако је P(АB) = P(A) аP(BА) =P(B) догађаји A и B су статистички независни.

Дакле, дешавање једног догађаја не мења вероватноћу дешавања другог догађаја!

1. Ако су догађаји A и B узајамно искључиви тада адитивна теорема

P(А B)= P(A) + P(B) – P (А B)добија следећи облик:

P(А B)= P(A) + P(B)

2. Ако су догађаји А и B статистички независни тада мултипликативна теорема

P(А B)= P(A)*P(BА)= P(B)*P(АB)добија следећи облик:

P(А B)= P(A)*P(B)

☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺

Формула потпуне вероватноћеФормула потпуне вероватноће

Нека C1, C2, ... ,Cn буду догађаји такви да

1.

2. Cj Ck = за j k, и

3. P(Ci) > 0, за свако i.

Тада, за сваки догађај Тада, за сваки догађај АА::

Бајес-Лапласово правилоБајес-Лапласово правило

Ако су A, B1, B2, …, Bn догађаји такви да:

1. Bj Bk = за j k,

2.

3. P(Bi) > 0 за свако i

тада је:тада је:

Поучан пример рачунања вероватноћеПоучан пример рачунања вероватноће Неколико студија сексуалних партнера особа

инфицираних вирусом HIV показале су да један вагинални однос без заштите има изненађујуће низак ризик инфицирања здравог партнера (1/100 до 1/1000). Узмимо да је у просеку ова вероватноћа 1/500.

Резон новинара који је написао текст: ако се има 100 односа са инфицираним партнером шансе инфицирања расту на 1 у 5. Статистички 500 односа са инфицираним партнером по тој логици води вероватноћи инфекције од 100%.

Поучан пример рачунања вероватноћеПоучан пример рачунања вероватноће

Међутим, ако претпоставимо да су преношења вируса у 500 односа узајамно независни догађаји и да је вероватноћа преношења вируса у било којем односу 1/500, вероватноћа инфицирања у 500 односа је:

1- (1-1/500)500 =1-0.37=0.63.