Post on 24-Feb-2016
description
Signalbehandling og matematik (Tidsdiskrete signaler og systemer)
Session 7.Analyse af lineare systemer og praktiske eksempler
Ved Samuel Schmidtsschmidt@hst.aau.dk
Agenda
• Amplitude og fase respons plots fortsat.• Fra poler til Fourier plots • Ideelle filtre• Matlab
3
Signaler og systemer i de 3 domænerRepetition
System OutputInput Output
Tids domænet:
][nx ][nh ][*][][ nhnxny
Fourier domænet:
)( jeX )( jeH )()()( jjj eHeXeY
)(zX )(zH )()()( zHzXzY Z-transfomation:
IIR og FIR filter
• IIR– Systemer med uendelige impuls respons har altid
mindst en betydende pol (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler)
• FIR – Systemer med endelige impuls respons har ingen
betydende poler (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler)
111)(
az
zH
11)( bzzH
M
k
kk zbzH
0
)(
M
kk knxbnh
0
][)(
General form:
Invers transformation:
Eksempel:
Repetition
ROC af differentiel funktioner
• Hvis systemet er kausalt
• Hvis systemet er stabilt og dobbelt siddet
1121 211
1)(
zzzH
Re
Im
11
2
23
Re
Im
1
1
2
23
**
**
Repetition
Stabilt system• Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt
inputtet er begrænset”Bounded input Bounded output (BIBO)”
• I tids domænet:
• Vi kan se om ovenforstående gælder i z-transformatione hvis
•
• Derfor skal enhedscirkelen ligge i ROC hvis systemet er stabilt– Dermed skal polerne for et stabilt system ligge indenfor enhedcirkelen
k
khS ][
n
n
znxzX
][)( 1 nz
Amplitude og fase respons
• Amplitude output :
• Fase output :
)()()( jjj eXeHeY
)()()( jjj eXeHeY
Hvor kaldes amplitude responsen eller ”gain”)( jeH
Hvor kaldes fase responsen eller fase skiftet )( jeH
Repetition
Amplitude og fase respons: Ideelle delay system
• Ideelle delay system:
• Frekvens respons
• Amplitude respons
• Fase respons
][][ dnnnh
dnjj eeH )(
1)( jeH
dj neH )(
0 1 2 3 4 5 6 70
0.5
1
n
h[n]
Implus respons
-3 -2 -1 0 1 2 30
1
2
Radian frekvens ()
Am
plitu
de
Amplitude respons
-3 -2 -1 0 1 2 3-10
-5
0
5
10Fase respons
Radian frekvens ()
Rad
iane
r
Repetition
Group delay• Forskydning opgivet i samples (tid)
• Idelle delay:
jeH
dd
0 10 20 30 40-1
-0.5
0
0.5
1
n
=0.1
0 10 20 30 40-1
-0.5
0
0.5
1
n
InputOutput
0 5 100
0.5
1
Input OutputSystemets impus respons
Group delay
Group delay:
dj neH )(
dd nndd
)(
Repetition
Ideelt gruppe delay
• I de fleste systemer vil vi gerne have konstant gruppe delay for interessante frekvenser
• Da
• forsager en lineær fase respons et konstant gruppe delay.
jeH
dd
Repetition
Agenda
• Amplitude og fase respons plots fortsat.• Fra poler til Fourier plots • Ideelle filtre• Matlab
Frekvens respons af LTI systemer
)()()( jjj eXeHeY
)()()(
j
jj
eXeYeH
Outputtet er inputtet foldet med systemets impuls respons
][*][][ nhnxny
Foldning svare til multiplikation i frekvens domænet
Amplitude og fase respons
• Amplitude output :
• Fase output :
)()()( jjj eXeHeY
)()()( jjj eXeHeY
Hvor kaldes amplitude responsen eller ”gain”)( jeH
Hvor kaldes fase responsen eller fase skiftet )( jeH
EKG filteret med et filter med ikke linear fase
2 3 4 5 6 7 8-500
0
500
1000
1500
2000
2500EKG
2 3 4 5 6 7 8-500
0
500
1000
1500
2000Filteret EKG
tid (s)
0 10 20 30 40 500
0.5
1
1.5
Frekvens (Hz)
|H(e
j)|
Frekevns respons af system
0 10 20 30 40 50-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Gru
ppe
dela
y (s
)
Frekvens (Hz)
0 10 20 30 40 50-100
-50
0
H
(ej
)
Frekvens (Hz)
Frekvens respons af rationelle systemer
• Ved at substituere z=ejω
N
k
kjk
M
k
kjk
j
ea
ebeH
0
0)(
N
k
kjk
M
k
kjk
j
eda
ecbeH
10
10
)1(
)1()(
Amplitude respons af rationelle systemer
N
k
jk
M
k
jk
j
ed
ec
abeH
1
1
0
0
1
1)(
Amplitude respons:
Amplitude respons: multiplikation/division af absolutte faktorer
Fase respons af rationelle systemer
N
k
jk
M
k
jk
j edecabeH
110
0 11)(
Fase respons:
Gruppe delay:
N
k
jk
M
k
jk ed
ddec
dd
11
1arg1arg)(
Addering/substrahering af absolutte faktorer
Amplitude respons i dB
• Amplitude respons i dB:
• Der med kan både Amplitude og fase respons beregne ved addering
)(log20)(log20)(log20 101010 jjj eXeHeY
)()()( jjj eXeHeY
)()()( jjj eXeHeY
Generaliseret lineær fase
jjjj eeAeH )()(
Hvor A er en reel funktion til ω
Og hvor det ekspotentielle led beskriver fasen ved den lineære funktion hvor α og β er konstanter
jj
Eksempel på Generaliseret lineær fase
ellersn
nh0
,30,1][
-5 0 5 100
0.5
1
n
h[n]
MA filter
1
43
0
3210
11)(
zzzzzzzzH
n
n
Z transform
5.14
)2/sin()2/4sin(
11)(
j
j
jj e
eeeH
FT transform
Fasen –ω1.5 og gruppe delay er 1.5 sampels
Sidste led er jævnfør bevis side 73
Symmetri af impulsresponser
][]2[ nhnh
Sikkerhed for generel lineær fase hvis
Symmetrisk impuls respons:
][]2[ nhnh
Antisymmetrisk impuls respons:
-10 -5 0 5 10 15 200
0.5
1
n
h[n]
=3
-10 -5 0 5 10 15 20-1
0
1
n
h[n]
=3
Eksempler på symmetriske FIR linear fase systemer
Type I: h[n]=h[m-n] (M Even)
Type II, h[n]=h[m-n] (M odd)
Type III, h[n]=-h[m-n] (M Even)
Type IV, h[n]=-h[m-n] (M odd)
Agenda
• Amplitude og fase respons plots fortsat.• Fra poler til Fourier plots • Ideelle filtre• Matlab
Amplitude respons fra et nul punkt i z-planet (1/2)
• Plot poler, nul punkter og som vektore i z-planet
• Fra vektor matematik ved vi:
• Og da amplitude responsen er
,,1)( 1 jk
j rezzrezH
System z-domæne:
j
jjjjj
ereeereeH
1)(System Fourier domæne
je
213 vvv jj reev 3Derfor
321)( vvvreee
reeeH jj
j
jjj
Nul vektorjev 1
jrev 2
Amplitude respons fra et nul punkt i z-planet (2/2)
09.0 jeb29.0jebjeb 9.0
Polers virkning på amplitude responsen
Et nul punkt og ingen pol:
j
jjjjj
ereeereeH
1)(
jj
j
j
jjjjj
reee
ereeere
eH
11
1)(
1)( 3
1
3 vvveH j
Ingen nul punkt og en pol
33
1 1)(vv
veH j
Så derfor jo mindre v3 (pole vektor) og jo større amplitude
Fase respons fra z-planet nul punkt
• Husk faser fra flere systemer skal adderes:
• Derfor er
• Da
• Er
,,1)( 1 jk
j rezzrezH
System z-domæne:
j
jjjjj
ereeereeH
1)(System Fourier domæne
jjj
j
jjj eree
ereeeH
)(
)()()( jjj eXeHeY
jj reev 3jev 1
313)( vveH j
Fase respons fra et nul punkt i z-planet (2/2)
09.0 jeb29.0jebjeb 9.0
Agenda
• Amplitude og fase respons plots fortsat.• Fra poler til Fourier plots • Ideelle filtre• Matlab
Ideelle filtre
Fjerner uønskede signalerPåvirker ikke det ønskede signal
Implusrespond for ideellet lavpas filter
nnnh c
sin][
Poler og nulpunkter
Fra lavpas til højpas filtere)()( lphp HH
][)1(][][ )( nhnhenh lpn
lpnj
lp
Invers Fourier
M
kk
kN
kk
k knxbknyany11
][)1(][)1(][
Differrens funktion
Digital resonator
• Poler tæt på enhedscirklen
Notch Filter
• Nul punkter tæt på enhedscirklen
o Re
Im
1
1
2
2
3
o
o
All-pass filter
1
1
1*)(
zazzHF.eks.
Agenda
• Amplitude og fase respons plots fortsat.• Fra poler til Fourier plots • Ideelle filtre• Matlab
Test af digitalt system (A)
• Find impuls responsen af system2.m
Test af digitalt system (A)
• Er systemet lineært?• Er det tidsinvariant?• Er det kausalt?• Er det stabilt?• Er det et IR eller FIR system?
Lineært system
Defineret ud fra superposition
][][][][ 2121 nxTbnxTanxbnxaT
Tidsinvariante systemer• Et tidsinvariant system er uafhængigt af eksplicit tid
(Koefficienterne er uafhængig af tid)
• Det vil sige hvis x2[n]=x1[n-n0] så er y2[n]=y1[n-n0]
Det samme i går, i dag, i morgen og om 1000 år
70 år45 år20 årIkke tidsinvariant system
Kausalitet
• Et kausalt system kun afhængig af input fra fortid og nutid.
• y[n1] er kun afhængig af x[n] hvor nn1
Stabilitet
• Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt inputtet er begrænset
• Bounded input Bounded output (BIBO)
• Hvilket kan sikres hvis impulsresponsen kan summers til en endelig værdi
nallfornx ,][ nallforny ,][ Givet
n
nh ][
FIR systemer
• Finite impulse response (FIR)– Endelig antal nonzero samples i
impulsresponsen– Altid stabilt så længe værdierne i
impuls responsen er endelige
-2 0 2 4 60
0.5
1
n
h[n]
M1=1 M2=1
IIR systemer
• Infinite impulse response (IIR)– Uendelig antal nonzero samples i
impulsresponsen– Kan være både stabilt og ustabilt– Eksempel på et stabilt system
-2 0 2 40
0.5
1
n
h[n]
aaSn
k 11
0
1],[][ anuanh n
Test af digitalt system (A)
• Er systemet lineært? Ja• Er det tidsinvariant? Ja• Er det kausalt? Ja• Er det stabilt? Ja• Er det et IR eller FIR system? FIR
Test af digitalt system (B)systemB.m
• System respons
• Bestem poler og nul punkter• Find frekvensen responsen H(ej) analytisk• Find frekvensen responsen H(ej) i fra impuls
responsen
2-1-
-2-1
z 0.6414 z 1.5610- 1.0000z 0.0201 z 0.0402 0.0201)(
zH
Output af system
• Bestem output hvis inputtet er
• Bestem y[n] med ved hjælp af systemet• Bestem y[n] med foldning i mellem• Bestem y[n] med Fourier transform • Bestem y[n] med input output funktion
(Differentiel funktion)
)sin()sin(][ 508 nnnx
2]-y[n 0.6414 -1]-y[n 1.56102]- x[n0.0201 1]- x[n0.0402 x[n]0.0201y[n]