3. MREŽNO PLANIRANJE

Uvod

Metode mreMetode mrežžnoga planiranja (MP) nastale su krajem noga planiranja (MP) nastale su krajem pedesetih godina propedesetih godina proššloga stoljeloga stoljećća u svrhu laka u svrhu lakššeg i eg i pouzdanijeg prapouzdanijeg praććenja odvijanja projekta, prenja odvijanja projekta, predviđanja edviđanja mogumoguććih izvora problema i koordiniranja aktivnosti u ih izvora problema i koordiniranja aktivnosti u projektu kako bi se izbjeglo kaprojektu kako bi se izbjeglo kaššnjenje. njenje.

Uz pomoUz pomoćć metoda MP metoda MP, s, sve aktivnosti potrebne za ve aktivnosti potrebne za provođenje projekta nastoji se prikazati u preglednome provođenje projekta nastoji se prikazati u preglednome grafigrafiččkom obliku, pazekom obliku, pazećći pritom da se usklade sve i pritom da se usklade sve vremenske zavisnosti između pojedinih aktivnostivremenske zavisnosti između pojedinih aktivnosti..

ProjektPod pojmom projektprojekt podrazumijeva se sveukupnost ekonomskih, organizacijskih i tehničkih mjera usmjerenih na izradu novoga objekta, konstrukciju sustava ili uređaja, obradu znanstveno istraživačke teme ili izvršavanje nekih drugih zadataka. Projekt obuhvaća zadatke iz raznih područja i za njega treba učiniti plan izvođenja.

•• Znanstveno istraZnanstveno istražživaivaččka temaka tema•• Plan realizacije investicijskoga zahvataPlan realizacije investicijskoga zahvata•• Gradnja zgrade, prometnice, mosta, naftovoda, broda, Gradnja zgrade, prometnice, mosta, naftovoda, broda, …… •• Razvoj novoga proizvoda i njegovo uvođenje na tr Razvoj novoga proizvoda i njegovo uvođenje na tržžiišštete•• Provedba reorganizacije poduzeProvedba reorganizacije poduzeććaa•• Organizacija nastaveOrganizacija nastave

•• Snimanje filma itd.Snimanje filma itd.

Primjeri projekta:Primjeri projekta:

Glavni čimbenici uspješnoga upravljanja projektom su: planiranje, terminiranje i koordinacija aktivnosti projekta.

Tu se postavljaju pitanja: – Kako planirati potrebno vrijeme za izvođenje projekta?– Kojim redoslijedom obavljati aktivnosti projekta da bi se izvršile sve

aktivnosti i projekt završio u planiranome vremenu?

AktivnostAktivnost je dio projekta koji se može promatrati kao zasebna cjelina s izvedbenoga i ekonomskoga stajališta.

Primjenom MP projekt se raščlanjuje na pojedine aktivnostikoje imaju zadano vrijeme trajanja i preduvjete određeneutroškom resursa (kadrovi, oprema, prostor, financijskasredstva).

Slijed aktivnosti prikazuje se mreSlijed aktivnosti prikazuje se mrežžom.om.

RjeRješšenje ovih pitanja daje mreenje ovih pitanja daje mrežžno planiranje.no planiranje.

Faze mrežnoga planiranja

Tri su faze u primjeni mreTri su faze u primjeni mrežžnoga planiranja:noga planiranja:

Analiza struktureAnaliza strukture• Utvrđivanje redoslijeda i međusobnih zavisnosti aktivnosti projekta

Analiza vremenaAnaliza vremena• Određivanje minimalnoga vremena za izvršenje projekta

Analiza troAnaliza trošškovakova• Utvrđivanje minimalnih troškova.

1. Analiza strukture•• Analiza struktureAnaliza strukture pri planiranju projekta obuhvaća

ispitivanje i uspostavljanje logičkoga redoslijeda i međusobnih zavisnosti pojedinih aktivnosti, koje treba izvršiti tijekom trajanja projekta.

1. Proces se najprije dijeli u aktivnosti

2. Utvrđuje se zavisnost među aktivnostima.Tu se obično pitamo:

• Koje se aktivnosti moraju završiti do početka neke određene aktivnosti?

• Koje aktivnosti mogu započeti istovremeno s određenom aktivnošću?

Popis aktivnosti, njihov redoslijed i međusobnu zavisnost prikazujemo u obliku strukturalne tablicestrukturalne tablice.

Strukturalna tablica ima dva stupca. U prvome se nalaziopis aktivnosti, a u drugome aktivnosti koje prethode toj aktivnosti, tj. one aktivnosti koje moraju biti završene dabi promatrana aktivnost mogla započeti.

Mrežni dijagram je grafije grafiččki prikaz projekta u obliku mreki prikaz projekta u obliku mrežže e u kojoj slijed grana pokazuje slijed aktivnosti. u kojoj slijed grana pokazuje slijed aktivnosti.

3. Crtanje mrežnoga dijagrama

U okviru planiranja strukture radi se i mrežni model, tj. mrežni dijagram pomoću kojega se projekt prikazuje kao uređeni skup aktivnosti i događaja.

• Grane u mreži predstavljaju pojedine aktivnosti.

• Čvorovi u mreži predstavljaju određeni vremenski trenutak u kojemu počinje ili završava jedna ili više aktivnosti.

• Aktivnosti se jednoznačno označuju svojim početnim i završnim čvorom.

• Slijed grana prikazuje slijed aktivnosti. Ako je neka aktivnost predstavljena izlaznom granom iz čvora, ona ne može započeti, ako nisu završene sve aktivnosti koje ulaze u taj čvor.

i j

Prethodna aktivnost Tekuća aktivnost Sljedeća aktivnost

Vrijeme trajanja aktivnosti (i – j)

Početni događaj aktivnosti (i – j)

Završni događaj aktivnosti (i – j)

Aktivnost koja je određena početnim događajem i i završnim j, označuje ses (i – j). Pritom je i < j. Prikazuje se na sljedeći način:

Aktivnost je predstavljena punom linijom i orijentirana je strelicom.

Svaka aktivnost mora poSvaka aktivnost mora poččeti i zavreti i završšiti događajemiti događajem..

i j

Događaji se simboliziraju krugom.

Detaljniji prikaz:

Fiktivne aktivnosti

• Osim stvarnih aktivnosti mogu se pojaviti i fiktivne (prividne) aktivnosti. Fiktivna aktivnost se prikazuje isprekidanomlinijom i strelicom.

Uvođenje fiktivnih aktivnosti potrebno je kada postoji više aktivnosti koje imaju isti početak i završetak, kao i u nekim drugim slučajevima u kojima se bez njih ne može korektno prikazati mrežni dijagram.

Trajanje fiktivne aktivnosti je 0.

Neke konvencije

• Ako aktivnost B počinje za vrijeme trajanja aktivnosti A, tada je:

A

B

A1

B

A2

Dopustiv prikazDopustiv prikaz

Nedopustiv prikazNedopustiv prikaz

•• Ako su dane aktivnosti s istim poAko su dane aktivnosti s istim poččetkom i zavretkom i završšetkom, tada je:etkom, tada je:

A

B

Nedopustiv prikazNedopustiv prikaz

Dva događaja direktno mogu povezati samo jednu aktivnost Dva događaja direktno mogu povezati samo jednu aktivnost !!

U ovom se slučaju dopustivi prikaz dobiva uvođenjem fiktivneaktivnosti na jedan od sljedećih načina:

B

A

B

A

BAB

A

• Ako imamo sljedeći slučaj ovisnosti aktivnosti:

BDA, BC

PreduvjetAktivnost

A

DB

C

Nedopustiv prikaz Dopustiv prikaz

A C

B D

O

tada je:

Primjer: Izvršimo analizu strukture i izradimo mrežni dijagram projekta specificiranoga u 7 aktivnosti A, B, C, D, E, F, G ako je utvrđeno da: aktivnost B može otpočeti kada završi aktivnost A, aktivnost C kada završi aktivnost B, aktivnost D kada završi aktivnost A, aktivnost E kada završi aktivnost D, aktivnost F kada završi aktivnost E i aktivnost G kada završe aktivnosti C i F.

RjeRješšenje: Strukturna tablica izgleda ovako:enje: Strukturna tablica izgleda ovako:

C, FG

EF

DE

AD

BC

AB-A

PreduvjetiAktivnosti

Mreža koja prikazuje zadani projekt je:

F

A

B

G

E

D

C

Na bazi strukturalne tablice sastavlja se odgovarajući mrežni dijagram. Zatim se vrši eventualna dorada i modifikacija. Tek nakon definitivnog usvajanja mrežnoga dijagrama numeriraju se događaji i određuju polazni podaci za sve aktivnosti.

C, FG

EFDEADBCAB-A

Pred.Akt.

Postoje dva načina numeracije:

• proizvoljna numeracija (jedino se vodi računa da svaki događaj ima različiti broj)

• numeracija po rangu (rastuća numeracija) – Početni događaj se obilježi s 1, završni s n. Numeracija ostalih čvorova treba ispunjavati uvjet i < j kod aktivnosti (i, j).

Sada treba numerirati čvorove.:

Fulkersonovo pravilo

• Numeracija se može jednoznačno provesti primjenom FulkersonovogaFulkersonovoga pravilapravila:

– Najprije se početni događaj (čvor) numerira s 1, a sve aktivnosti (strelice) koje izlaze iz njega se precrtavaju.

– Potom se s narednim cijelim brojevima numeriraju događaji idući odozgo prema dolje i s lijeva na desno i to samo oni kojima prethode jedino precrtane aktivnosti (strelice).

– Dalje se postupak ponavlja na isti način.

U analiziranome primjeru numeracija izgleda ovako:

F

A

B

G

C

E

D

1 2

3

6 7

4 5

2. Analiza vremenaAnaliza projekta dobiva svoj potpuniji značaj kada u model ugradimo vrijeme. Tada mrežnim planiranjem možemo izračunati vrijeme izvršenja projekta, nadzirati vremensko odvijanje projekta i utjecati na izvršavanje rokova.

U polaznu strukturalnu tablicu dodaje se stupac – trajanje aktivnosti u kojemu se u određenim vremenskim jedinicama (minute, sati, dani, tjedni, mjeseci, ...) unosi vrijeme potrebno za ostvarivanje svake aktivnosti. Na mrežnome se dijagramu uz svaku aktivnost dopisuje to vrijeme.

Dvije su osnovne metode za izvšavanje analize vremena:•• CPM metoda CPM metoda * * ii•• PertPert metoda metoda ****

** Program Evaluation and Review Technique

* CPM – Metoda kritičnog puta (Critical Path method)

• CPM metoda je pogodna za planiranje projekata kod kojih se potrebno vrijeme za trajanje pojedinih aktivnosti može precizno odrediti.

• PERT metoda je značajna za planiranje istraživačkih radova, gdje vrijeme trajanja pojedinih aktivnosti nije poznato, zato što ova vremena imaju više karakter slučajnih nego normiranih veličina.

2.1. Analiza vremena po metodi kritičnoga puta (CPM)

R. br.

Najranije vrijeme Najkasnije vrijeme

U mreži s aktivnostima na granama svaki se čvor predstavlja kao krug podijeljen na tri dijela:

Za aktivnost (i – j) koristi se shema

ti(0) ti(1) tj(0) tj(1)

i jtij

gdje je:

ti(0) najraniji početak aktivnosti (i – j)

tj(0) najraniji završetak aktivnosti (i – j)

ti(1) najkasniji početak aktivnosti (i – j)

tj(1) najkasniji završetak aktivnosti (i – j)

tij vrijeme trajanja aktivnosti (i – j)

U skladu s uvedenim oznakama je t1(0) = 0, tj. početnom događajuse dodjeljuje kao najraniji početak aktivnosti – vrijeme 0.

Najraniji završetak cijelog projekta je tn(0).

Maksimalno dozvoljeno trajanje aktivnosti (i – j) je tj(0) – ti(0).

Najranija vremena u čvorovima određuju se prema sljedećem:

tj(0) = ti(0) + tij,

odnosno, ako do događaja j vodi više puteva:

tj(0) = max{ti(0) + tij}i

t1(0)=0 i < j j = 2, 3, …, n

Najkasnija vremena u čvorovima određuju se prema sljedećem:

ti(1) = tj(1) − tij,

odnosno, ako do događaja j vodi više puteva:

ti(1) = min{tj(1) − tij},j i < j, i = n−1, …, 2, 1

tn(0) ≤ Tp= tn(1) ,

tn(1) je najkasnije vrijeme svih aktivnosti, koje neposredno prethodezavršnome događaju.

Najkasnija vremena u čvorovima određuju se prema sljedećem:

Primjer: Traži se minimalno vrijeme projekta razvoja informacijskog sustava, ako su zadana vremena trajanja (u danima) pojedinih aktivnosti i preduvjeti.

C, F3TestiranjeG

E2Obuka korisnikaF

D8Izrada aplikacijeE

A1Generiranje baze podataka

D

B3Instaliranje računalaC

A2Nabava računalaB-3Projektiranje IS-aA

PreduvjetiTrajanje(u danima)

Aktivnost

F

A

B

G

C

E

D

3

2 3

1

8

2

3

1 2

3

6 7

4 5

0 0 3 3

5 11

1714 1714

4 4 12 12t1(0) = 0t2(0) = t1(0) +t12 = 0 + 3 = 3

Rješenje: Radi se o primjeru za koje smo već izvršili analizu strukture. Sada ćemo tu analizu nadopuniti analizom vremena.

t3(0) = t2(0) +t23 = 3 + 2 = 5

t4(0) = t2(0) +t24 = 3 + 1 = 4

t5(0) = t4(0) +t45 = 4 + 8 = 12t6(0) =max( t3(0) +t36, t5(0) +t56 )= max(5+3,12+2) = 14

t7(0) = t6(0) +t67 = 14+3 = 17

t7(1) = 17t6(1) = t7(1) −t67 = 17 − 3 = 14

t5(1) = t6(1) −t56 = 14 − 2 = 12

t4(1) = t5(1) −t45 = 12 − 8 = 4

t3(1) = t6(1) −t36 = 14 − 3 = 11t2(1) = min(t3(1) −t23, t4(1) −t24=min(11−2, 4−1) = 3

t1(1) = t2(1) −t12 = 3 – 3 = 0

Kritični put predstavlja vremenski najdulji put u mrežnome planu od ulaza do izlaza (tj. od događaja 1 do događaja n). Тајput sadrži samo kritične aktivnosti.

Za aktivnost (i – j) kažemo da je kritična aktivnost ako vrijedesljedeće relacije:

ti(0) = ti(1),kao i odnosno tj(0) = tj(1),

tij = tj(1) - ti(0) tj(1) - ti(0) - tij = 0odnosno

Maksimalno dozvoljeno vrijeme trajanja ostalih aktivnosti veće je od dozvoljenog vremena, pa za njih vrijedi relacija:

tj(1) - ti(0) - tij > 0

Tu razliku nazivamo vremenskom rezervom aktivnosti (i – j). Vremenska rezerva kritične aktivnosti jednaka je nuli.

F

A

B

G

C

E

D

3

2 3

1

8

2

3

1 2

3

6 7

4 5

0 0 3 3

5 11

1714 1714

4 4 12 12

Kritični put u promatranom primjeru označen je na slici.

Zаdаnа је sljedeća listа аktivnоsti:

1133257663TrајаnjеG, IE, HDC, FDBAA--Prеthоdnа

JIHGFEDCBAАktivnоst

Odredite kritični put.

Primjer za odrеđivаnjе trајаnjа prојеktа mеtоdоm CPM:

A

B

C

D F

E

H

G

IJ

3

6

7

6

5

2

31

3

1

1A

B

C

D F

E

H

G

IJ

2

3

4

5

6

7 8

3

6

7

6

5

2

31

3

1

Rješenje:

Mrežni dijagram:

Numeriranje čvorova:

01

A

B

C

D F

E

H

G

I J

32

63

104

5

6

7 8

12

13

15 16

3

6

7

6

5

2

31

3

1

i j

ti(0) tj

(0)

tij

tj(0) = ti

(0) + tij

}{max )0()0(ijiij ttt +=

j

i1

i2

i3

ti1(0)

ti2(0)

ti3(0)

tj(0)

(tij)1

(tij)2

(tij)3

Najraniji trenuci događaja:

01

A

B

C

D F

E

H

G

I J

32

63

104

5

6

7 8

12

13

15 16

3

6

7

6

5

2

31

3

1 1615

14

12

10

9

3

0

i j

ti(1) tj

(1)

tij

ti(1) = tj

(1) - tij

}{min )1()1(ijjji ttt −=

i

j1

j2

j3

tj1(1)

tj2(1)

tj3(1)

ti(1)

(tij)1

(tij)2

(tij)3

Najkasniji trenuci događaja:

Kritični put

Kritične aktivnosti: - A, D, F, G, J

Kritični događaji: 1, 2, 4, 5, 7, 8

Kritični put: 1 – 2 – 4 – 5 – 7 – 8.

01

A

B

C

D F

E

H

G

I J

32

63

104

5

6

7 8

12

13

15 16

3

6

7

6

5

2

31

3

1 1615

14

12

10

9

3

0

• Prepoznati aktivnosti • Odrediti redoslijed aktivnosti • Nacrtati mrežni dijagram• Procijeniti potrebno vrijeme za svaku aktivnost• Prepoznati kritični put (najduži put u mrežnome dijagramu)• Ažurirati mrežni dijagram, kako projekat napreduje.

Što treba napraviti kod mrežnoga planiranja

Vremenske rezerve

Želimo li projekt završiti u predviđenome vremenu, aktivnost (i – j) se mora izvršiti u razmaku određenom njezinim najkasnijim završetkom tj

(1) i najranijim početkom ti(0).

Vremenski interval tj(1) - ti

(0) određuje najduže moguće trajanje aktivnosti (i – j), odnosno predstavlja maksimalno dozvoljeno trajanje te aktivnosti. Prema tome, mora biti zadovoljena nejednadžba

tj(1) – ti

(0) ¥ tij

)( )0()1(ijijt tttS

ij+−=

U tome se sluU tome se sluččaju izvraju izvrššavanje aktivnosti avanje aktivnosti ((i i –– jj)) momožže e pomaknuti između pomaknuti između ttii

(0)(0) i i ttjj(1)(1),, a da se ne produa da se ne produžži predviđeno i predviđeno

vrijeme trajanja projekta. vrijeme trajanja projekta.

Sve aktivnosti koje nisu kritiSve aktivnosti koje nisu kritiččne imaju vremensku rezervu. ne imaju vremensku rezervu. Ukupna vremenska rezerva neke aktivnosti se dobiva kao Ukupna vremenska rezerva neke aktivnosti se dobiva kao razlika njezina najkasnijega dopustivog roka i najranijega razlika njezina najkasnijega dopustivog roka i najranijega mogumoguććeg roka.eg roka.

Svaka aktivnost Svaka aktivnost ččije je vrijeme trajanjaije je vrijeme trajanja manje od njezinoga manje od njezinoga maksimalno dozvoljenoga trajanja, (tj. kada u maksimalno dozvoljenoga trajanja, (tj. kada u nejednadnejednadžžbibi vrijedi znak >), imavrijedi znak >), ima određenu vremensku rezervu određenu vremensku rezervu..

• Ukupna (opća)• Slobodna• Nezavisna

Nepravovremeni završetak neke kritične aktivnosti produžit će rok završetka čitavoga projekta.

Kritične aktivnosti nemaju vremenske rezerve.

U analizi vremena pomoću CPM metode, ovisno o odnosu prethodnih i narednih aktivnosti postoje vremenske rezerve, i to:

ijijt tttSij

−−= )0()1(

Ukupna vremenska rezervaUkupna vremenska rezerva

Pokazuje za koliko se vremenskih jedinica moPokazuje za koliko se vremenskih jedinica možže pomaknutie pomaknutipojedina aktivnost od njezina najranijega popojedina aktivnost od njezina najranijega poččetka, a da pritom etka, a da pritom krajnji rok cijelog projekta ne bude ugrokrajnji rok cijelog projekta ne bude ugrožžen.en.

Slobodna vremenska rezervaSlobodna vremenska rezerva

ijijs tttSij

−−= )0()0(

Pokazuje za koliko se vremenskih jedinica moPokazuje za koliko se vremenskih jedinica možže pomaknuti roke pomaknuti roknajranijeg ponajranijeg poččetka aktivnosti etka aktivnosti ((ii –– jj),), a da se time ne ugroze poa da se time ne ugroze poččeci eci svih aktivnosti koje neposredno slijede. svih aktivnosti koje neposredno slijede.

Dobije se ako aktivnosti koje slijede i one koje prethodeDobije se ako aktivnosti koje slijede i one koje prethodepopoččnu nu ššto je prije moguto je prije mogućće.e.

ijijn tttSij

−−= )1()0(

Nezavisna vremenska rezervaNezavisna vremenska rezerva

Dobije se ako sve aktivnosti koje neposredno slijede poDobije se ako sve aktivnosti koje neposredno slijede poččnu nu šštotoje prije moguje prije mogućće, a aktivnosti koje prethode zavre, a aktivnosti koje prethode završše toliko kasnoe toliko kasnokoliko je upravo dopukoliko je upravo dopuššteno. teno.

Pokazuje za koliko se vremenskih jedinica moPokazuje za koliko se vremenskih jedinica možže pomaknuti e pomaknuti rok najranijega porok najranijega poččetka aktivnosti.etka aktivnosti.

U praksi su vaU praksi su važžne samo pozitivne nezavisne rezerve. ne samo pozitivne nezavisne rezerve. Ukoliko je nezavisna rezerva negativna, umjesto njezine Ukoliko je nezavisna rezerva negativna, umjesto njezine stvarne vrijednosti, unosi se podatak kao da je jednaka nuli.stvarne vrijednosti, unosi se podatak kao da je jednaka nuli.

Ona, za razliku od drugih rezervi, moOna, za razliku od drugih rezervi, možže biti i negativna.e biti i negativna.