Post on 26-Jan-2016
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Problema Estaticamente Determinado. Determine la ecuacion de la elastica de la viga de rigidez cons-tante, sometida a la fuerza concentrada.
Solucion:1. Analisis del problemaLa ecuacion de la elastica debe estar definida porpartes, debido a que la viga tiene dos tramos decontinuidad.
2. Sistema de referenciaSe elige como origen del sr al punto A.
3. DCL
4. Ecuaciones de equilibrio disponibles
ΣFx = 0 → ⊕Ax = 0
ΣFy = 0 ↑ ⊕Ay − P + NB = 0
ΣMA = 0 � ⊕−P
(L4
)+ NBL = 0
NB =P
4⇒ Ay =
3
4P
4. Metodo de seccionespara 0 ≤ x ≤ L
4
M =3
4Px
para L4≤ x ≤ L
M =P
4(L− x)
5. Integracion de las ED
yI −→
⎧⎪⎨⎪⎩EI d2y
dx2 = −34Px
EI dydx
= −38Px2 + C1
EIy = 324Px3 + C1x + C2
yD −→
⎧⎪⎨⎪⎩EI d2y
dx2 = −P4
(L− x)
EI dydx
= P8
(L− x)2 + C3
EIy = − P24
(L− x)3 + C3x + C4
6. Condiciones de frontera y ecuaciones de continuidad.
y(0) = 0
y(L) = 0
yI (�L/4) = yD (L/4)
dyIdx
∣∣x=L/4 =
dyDdx
∣∣x=L/4
evaluando las condiciones de frontera y ecuaciones de continuidad
y(0) = 0 −→ 0 =C2
y(L) = 0 −→ 0 =C3L + C4
yI (�L/4) = yD (L/4) −→ − 3
24P (
L
4)3 + C1
L
4= − P
24(L− L
4)3 + C3
L
4+ C4
−→ PL2
64+
C1
4= − 3
4C3
dyIdx
∣∣x=L/4 =
dyDdx
∣∣x=L/4 −→ −3
8P (L/4)2 + C1 =
P
8(L− L/4)2 + C3
−→ C1 =3PL2
32+ C3
resolviendo simultaneamente para las constantes de integracion
C3 = − 5
128PL2
C1 =7
128PL2
finalmente, la ecuacion de la elastica es
yI −→ EIy = − 3
24Px3 +
7
128PL2x 0 ≤ x ≤ L
4
yD −→ EIy = − P
24(L− x)3 − 5
128PL2x +
5
128PL3 L
4≤ x ≤ L
Problema Estaticamente Indeterminado 3.4-16 Timoshenko. Una viga doblemente empotrada tiene suempotramiento izquierdo girado un pequeno angulo θ (ver figura). Determine las reacciones para la viga.
Solucion:1. Analisis del problemaSe trata de un problema indeterminado
2. Sistema de referencia Se elige como origen del sral punto A.
3. DCL
4. Ecuaciones de equilibrio disponibles
ΣFy = 0 ↑ ⊕Ay + By = 0 (1.2)
ΣMA = 0 � ⊕−MA + ByL + MB = 0 (1.3)
5. Grado de indeterminacionIncognitas: Ay, By, MA, MB: 4Ecs de eq.: ΣFy = 0, ΣM = 0: 2Grado de indeterminacion: 2
6. Eleccion de las redundantesBy, MB
7. Expresar las demas reacciones en terminos delas redundantes
Ay = −By
MA = ByL + MB
8. Metodo de seccionespara 0 ≤ x ≤ L
M = ByL + MB − Byx
9. Integracion de la ecuacion diferencial de laelastica
EId2y
dx2= Byx−ByL−MB
EIdy
dx=
By
2x2 − ByLx−MBx + C1
EIy =By
6x3 − By
2Lx2 − MB
2x2 + C1x + C2
10. Condiciones de frontera
y(0) = 0 y(l) = 0θ(0) = θ θ(L) = 0
11. Evaluar las condiciones de frontera
y(0) = 0 → 0 =C2
θ(0) = θ → EIθ =C1
θ(L) = 0 → 0 =By
2L2 −ByL
2 −MBL + C1
→ 0 = − By
2L2 −MBL + EIθ (1.4)
y(L) = 0 → 0 =By
6L3 − By
2L3 − MB
2L2 + EIθL
→ 0 = − By
3L2 − MB
2L + EIθ (1.5)
multiplicando (1.5) por -2 y sumando con (1.4)
{0 = −By
2L2 −MBL + EIθ
0 = 2By
3L2 + MBL− 2EIθ
0 =ByL
2
6− EIθ
By =6EI
L2θ
sustituyendo By en (1.2)
Ay = −6EI
L2θ
sustituyendo By en (1.5)
0 = −6EI
3L2L2θ − MB
2L + EIθ
MB
2L = −EIθ
MB = −2EI
Lθ
sustituyendo By y MB en (1.3)
MA =6EI
L2θL− 2EI
Lθ
MA =4EI
Lθ
0.1. Metodo de Area de Momentos
Problema Indeterminado. Para la viga continua de dos claros con un empotramiento mostrada en lafigura determinar todas las reacciones.
Solucion:1. Analisis del problemaSe trata de un sistema hiperestatico
2. DCL y sistema de referencia
3. Ecuaciones de equilibrio disponibles
ΣFx = 0 → ⊕Ax = 0
ΣFy = 0 ↑ ⊕Ay − qL + NB + NC = 0 (1)
ΣMA = 0 � ⊕MA + NB
L2− qL2
2+ NCL = 0 (2)
5. Grado de hiperestaticidadIncognitas: Ay NB NC MA: 4Ecs de eq.: ΣFy = 0 ΣM = 0: 2Grado de hiperestaticidad: 2
6. Eleccion de las redundantesNB, NC
7. Separar la viga original en Estructura primaria yEstructuras secundarias
7. Determinar la funcion M/EI de la estructuraprimaria
para 0 ≤ x ≤ L
M = −q(L− x)2
2
8. Determinar la funcion M/EI de las estructuraecundarias
Estructura secundaria para NB
para 0 ≤ x ≤ L2
M = −NB(L2− x)
para L2≤ x ≤ L M = 0
Estructura secundaria para NC
para 0 ≤ x ≤ LM = NC(L− x)
9. Trazar en un solo diagrama M/EI para las estruc-turas primaria y secundarias.
10. Plantear las ecuaciones de compatibilidad deacuerdo ala geometrıa de deformacion
En la siguiente figura se muestra la viga deformadacon rectas tangentes en B y en C.
se pueden plantear las siguientes ecuaciones decompatibilidad
δB/A = −xAAB = 0
δC/A = −xAAC = 0
desarrollando las ecuaciones de compatibilidad
δB/A = 17L56
( 748
qL3
EI) − 2L
6(12L2NBL2EI
) − L4(L2NCL2EI
)L3(12L2NCL2EI
)
δB/A = 17384
qL− NB
24− 5NC
48(3)
δC/A = 3L4
( qL3
6EI) − (L
2+ L
3)(1
2L2NBL2EI
) − 2L3
(L2NCLEI
)
δC/A = qL8− 5
48NB − NC
8(4)
de (4)
NC = 38qL− 5
16NB (5)
Sustituyendo (5) en (3)
17384
qL− NB
24− 5
48(38qL− 5
16NB) = 0
NB = 47qL
NC = 1156qL
sustituyendo los valores de NB y de NC en (1) y (2)
Ay = qL− 47qL− 11
56qL
Ay = 1356qL
MA = −27qL2 + qL2
2− 11
56qL2 = 0
MA = qL2
56
0.1. Metodo de Superposicion
Para la viga continua de dos claros con un empotramiento mostrada en la figura.
(a) determinar todas las reacciones;
(b) trazar los diagramas de fuerzas internas;
La viga es prismatica y homogenea.
Solucion:1. Analisis del problemaSe trata de un sistema hiperestatico
2. DCL y sistema de referencia
3. Ecuaciones de equilibrio disponibles
ΣFy = 0 ↑ ⊕Ay + NB + NC − wL = 0 (1)
ΣMA = 0 � ⊕−MA + NBL− wL(3
2L) + NC(2L) = 0 (2)
5. Grado de hiperestaticidadIncognitas: Ay, NB, NC , MA: 4Ecs de eq.: ΣFy = 0, ΣM = 0: 2Grado de hiperestaticidad: 2
6. Eleccion de las redundantesNB, NC
7. Definir la Estructura primaria y las EstructurassecundariasEstructura primaria
yP = wLx2
12EI(9L− 2x) 0 ≤ x ≤ L
yP = w24EI
(x4 − 8Lx3 + 24L2x2 − 4L3x + L4) L ≤ x ≤ 2L
Estructura secundaria 1
yS1 = −NBL2
6EI(3x− L) L ≤ x ≤ 2L
Estructura secundaria 2
yS2 = −NCx2
6EI(6L− x) 0 ≤ x ≤ 2L
8. Plantear las ecuaciones de compatibilidad deacuerdo ala geometrıa de deformacion.De la viga original se pueden plantear las siguientesecuaciones de compatibilidad
yT (L) = yP (L) + yS1(L) + yS2(L) = 0
yT (2L) = yP (2L) + yS1(2L) + yS2(2L) = 0
desarrollando las ecuaciones de compatibilidadwL3
12EI(9L− 2L) − NBL2
6EI(3L− L) − NCL2
6EI(6L− L) = 0
7wL4
12EI− NBL3
2EI− 5NCL3
6EI= 0
7wL− 4NB − 10NC = 0 (3)
w24EI
(16L4 − 64L4 + 48L4 − 8L4 + L4) − NBL2
6EI(6L− L) − 4NCL2
6EI(6L− 2L) = 0
41wL24EI
− 5NB
6EI− 8NC
3EI= 0
41wL− 20NB − 64NC = 0 (4)
multiplicando (3) por -5 y sumando con (4)
{−35wL + 20NB + 50NC = 0
41wL− 20NB − 64NC = 0
6wL− 14NC = 0
NC =3wL
7
sustituyendo NC en (3)
NB = 19wL28
qL
finalmente, sustituyendo los valores de NB y deNC en (1) y (2), se llega a
Ay = −3wL
28
MA =wL2
28
2.2 Metodo de Pendiente-Desviacion. Para la viga continua (EI=cte) sujeta a las cargasmostradas en la figura, obtenga:
(a) los momentos de extremo las vigas separadas;
(b) las reacciones en cada claro;
(c) las reacciones totales;
(d) muestre en un DCL las reacciones totales en la viga completa.
Solucion:1. Analisis del problemaSolo hay que aplicar las ecuaciones de pendiente desviacion tres veces porque es el numero declaros.
2. Separar la viga segun su numero de claros
3. Aplicacion de las ecuaciones dependiente-desviacionTramo AB
MA =EI
2(0 + θB − 0)− 16
3
MA =EI
2θB − 16
3(1.2)
MB = −EI
2(0 + 2θB − 0)− 16
3
MB = −EIθB − 16
3(1.3)
Tramo BC
MB = EI(2θB + θC − 0)− 4
3
MB = 2EIθB + EIθC − 4
3(1.4)
MC = −EIθB − 2EIθC − 4
3(1.5)
Tramo CD
MC =2EI
3(2θC + 0)− 3
MC =4EI
3θC − 3 (1.6)
MD = −2EI
3θC − 3 (1.7)
4. Resolver simultaneamente las ecuacionespara MA, MB, MC , MD, θB y θC .Igualando (1.3) y (1.4)
−EIθB − 16
3= 2EIθB + EIθC − 4
3−3EIθB −EIθC = 4 (1.8)
Igualando (1.5) y (1.6)
−EIθB − 2EIθC − 4
3=
4EI
3θC − 3
−EIθB − 10
3EIθC = −5
3(1.9)
Multiplicando (1.9) por -3 y sumando con(1.8) {
−3EIθB − EIθC = 4
3EIθB + 10EIθC = 5
θC =1
EI
sustituyendo θC en (1.9)
−EIθB − 10EI
3
1
EI= −5
3
θB = − 5
3EI
sustituyendo θB en (1.2)
MA =EI
2
(− 5
3EI
)− 16
3
MA = −37
6[kN ·m]
sustituyendo θB en (1.3)
MB = EI
(− 5
3EI
)− 16
3
MB = −11
3[kN ·m]
sustituyendo θC en (1.6)
MC =4EI
3
1
EI− 3
MC = −5
3[kN ·m]
sustituyendo θC en (1.7)
MD = −2EI
3
1
EI− 3
MD = −11
3[kN ·m]
5. Reacciones parcialesEn la siguiente figura se muestran los momentos de extremo y lasreacciones verticales.
haciendo equilibrio para cada una de las vigas separadas se llega a lo siguiente:
ay =69
8[kN ]
nB =59
8[kN ]
by = 5 [kN ]
nC = 3 [kN ]
cy =16
3[kN ]
nD =20
3[kN ]
6. Reacciones totales
Ay =69
8[kN ]
NB =99
8[kN ]
NC =25
3[kN ]
Dy =20
3[kN ]