Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel HanzlíkObchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace.Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám,registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.

Pravděpodobnost nezávislých jevů9. května 2013 VY_32_INOVACE_110220_Pravdepodobnost_nezavislych_jevu_DUM

obr. 1

Pravděpodobnost nezávislých jevů• Dva náhodné jevy považujeme za nezávislé, jestliže se navzájem neovlivňují, tj. nezávisí-li výsledek jednoho na výsledku druhého. • Přitom se budeme zajímat o pravděpodobnost jejich průniku, tj. o pravděpodobnost, že nastanou oba.

obr. 1

Klasická definice pravděpodobnostiI v tomto výukovém materiálu si připomeňme znovu klasickou definici pravděpodobnosti, pomocí níž budeme řešit matematické úlohy i ve výukovém materiálu o nezávislých jevech.Pravděpodobnost jevu v náhodném pokusu s konečnou množinou všech výsledků, které jsou stejně možné, je rovna podílu počtu výsledků příznivých jevu a počtu všech možných výsledků pokusu:

• Pravděpodobnost libovolného jevu je nezáporné číslo nejvýše rovno jedné: obr. 1

Pravděpodobnost nezávislých jevůJevy jsou nezávislé, je-li pravděpodobnost jejich průniku rovna součinu jejich pravděpodobností:

Z předpokladu nezávislosti jevů platí:

Jsou-li dva jevy nezávislé, jsou nezávislé i jevy k nim opačné.

obr. 2

Pravděpodobnost nezávislých jevů – praktická část

Následující čtyři matematické úlohy se blíže zabývají problematikou pravděpodobnosti nezávislých jevů.Příklady jsou zasazeny do reálné situace z běžného života – např. při házení kostkou, při výběru barevné kuličky z osudí nebo při střelbě na terč.V jedné úloze si povšimneme, že se nejedná o dva nezávislé jevy, a proto při výpočtu pravděpodobnosti průniku těchto jevů použijeme vzorec z klasické definice pravděpodobnosti. obr. 2

Nabídka úloh a jejich řešeníÚloha 1 Řešení úlohy 1

ShrnutíÚloha 2Řešení úlohy 2

Úloha 4 Řešení úlohy 4

Řešení úlohy 3

Úloha 3

Úloha 1 Určete pravděpodobnost, že ve dvou hodech kostkou padne v prvním hodu šestka a ve druhém nepadne.

zpět do nabídky úloh

obr. 3

Řešení úlohy 1Označíme jev „padnutí šestky v prvním hodu“, a jev , „nepadnutí šestky v 1. hodu“ . Oba jevy jsou nezávislé, protože výsledek 2. hodu není ovlivněn výsledkem prvního hodu (jedná se o zcela nový hod, kostka si „nepamatuje“, které číslo padlo v 1. hodu).Počet všech možných výsledků je 6 (čísla 1, …, 6), tj. .Počet výsledků příznivých jevu je 1 (pouze šestka), tj. .Počet výsledků příznivých jevu je 5 (1, 2, 3, 4, 5), tj. .Odtud plyne pro pravděpodobnost obou jevů:Pravděpodobnost průniku obou nezávislých jevů odpovídá součinu pravděpodobností: Pravděpodobnost, že ve dvou hodech kostkou padne v 1. hodu šestka a ve 2. hodu nepadne, je asi .

zpět do nabídky úloh

obr. 3

Úloha 2Z osudí, ve kterém jsou tři kuličky modré a dvě červené, vytáhneme postupně, tj. nikoli najednou, dvě kuličky. Určete pravděpodobnost, že v prvním tahu to bude modrá kulička a ve druhém tahu taky, jestliže:a) kuličku vytaženou v 1. tahu před 2. tahem vrátíme,b) kuličku vytaženou v 1. tahu do osudí nevrátíme.

zpět do nabídky úloh

obr. 4

Řešení úlohy 2a)Označme jev ,„vytažení modré kuličky v prvním tahu“, a jev „vytažení modré kuličky v druhém tahu“. Jevy jsou nezávislé (vrátíme-li kuličku taženou v 1. tahu zpátky, není tím výsledek 2. tahu ovlivněn).Počet všech možných výsledků je 5 (celkem 5 kuliček), tj. .Počet výsledků příznivých jevu je 3 (3 modré kuličky), tj. .Počet výsledků příznivých jevu je 3 (3 modré kuličky), tj. .Pro pravděpodobnost obou jevů platí: Určíme pravděpodobnost průniku obou jevů, tj. pravděpodobnost, že v prvním i ve druhém tahu bude vytažena modrá kulička. Pro nezávislé jevy platí:Pravděpodobnost, že v 1. tahu vytáhneme modrou kuličku a ve 2. tahu taky, když kuličku vytaženou v 1. tahu před 2. tahem vrátíme, je 0,36 (36 %).

pokračování

obr. 4

Řešení úlohy 2b) Označme jev ,„vytažení modré kuličky v 1. tahu“, a jev „vytažení modré kuličky ve 2. tahu“ . Na rozdíl od předchozího případu nejsou jevy a nezávislé vzhledem k tomu, že kuličku vytaženou v 1. tahu do osudí nevrátíme, a tím je výsledek 2. tahu ovlivněn.Vytváříme tak uspořádané dvojice z pěti prvků (všech kuliček), přičemž prvky v nich jsou různé (díky tomu, že kuličku vytaženou v 1. tahu do osudí nevrátíme).Počet všech možných případů odpovídá počtu variací 2. třídy z pěti prvků bez opakování. Platí:Počet výsledků příznivých průniku jevů a odpovídá pouze výběru těch uspořádaných dvojic, které v sobě obsahují 3 modré kuličky. Jedná se o trojice: .Pro pravděpodobnost průniku jevů a platí:Pravděpodobnost, že v 1. tahu vytáhneme modrou kuličku a ve 2. tahu taky, jestliže kuličku vytaženou v 1. tahu do osudí vrátíme, je 0,3 (30%).

zpět do nabídky úloh

obr. 4

Úloha 3Střelci A, B střílejí nezávisle na sobě do terče. Střelec A má pravděpodobnost zásahu 0,7, střelec B zasahuje cíl s pravděpodobností 0,6. Určete pravděpodobnost, že při jednom výstřelu každého z nich: a) zasáhli cíl oba, b) žádný nezasáhl cíl, c) aspoň jeden zasáhl cíl, d) střelec A nezasáhl cíl.

zpět do nabídky úloh

obr. 5

Řešení úlohy 3Označme jev ,„střelec A zasáhne cíl“, tj. . Označme jev ,„střelec A nezasáhne cíl“, tj. . Označme jev ,„střelec B zasáhne cíl“, tj. . Označme jev ,„střelec B nezasáhne cíl “, tj. .a) Pravděpodobnost jevu, že zasáhnou cíl oba střelci, odpovídá pravděpodobnosti průniku dvou nezávislých jevů a , neboť střelec B neovlivňuje výsledek střelce A: Pravděpodobnost jevu, že zasáhnou cíl oba střelci, je 0,42 (42 %).b) Pravděpodobnost jevu , že žádný střelec nezasáhl cíl, odpovídá pravděpodobnosti průniku dvou nezávislých jevů a : (12 %) Pravděpodobnost jevu, že žádný střelec nezasáhl cíl, je 0,12 (12 %).

pokračování

obr. 5

Řešení úlohy 3c) Pravděpodobnost jevu , že aspoň jeden střelec zasáhne cíl(tj. pouze střelec A nebo pouze střelec B nebo oba současně), odpovídá opačnému jevu k předchozímu průniku dvou nezávislých jevů: Pravděpodobnost jevu, že aspoň jeden střelec zasáhne cíl, je 0,88 (88 %).d) Pravděpodobnost jevu , že střelec A nezasáhne cíl, je dána součtem dvou dvojic vzájemně nezávislých jevů (tj. střelec A nezasáhne cíl a současně střelec B zasáhne cíl nebo střelec A nezasáhne cíl a střelec B taky nezasáhne cíl): Pravděpodobnost jevu, že střelec A nezasáhne cíl, je 0,3 (30 %).

zpět do nabídky úloh

obr. 5

Úloha 4Student k maturitní zkoušce ovládá učivo z jazyka českého na 87 %, z jazyka anglického na 83 %, z matematiky na 93 % a z ekonomických předmětů na 97%. Jaká je pravděpodobnost, že studenta) prospěje ve všech předmětech,b) neprospěje ani z jednoho předmětu,c) neprospěje z jazyka českého a z ostatních předmětů prospěje.

zpět do nabídky úloh

obr. 6

Řešení úlohy 4Označme jev , „student ovládá učivo z CJL“, tzn. .Označme jev ,„student ovládá učivo z ANJ“, tzn. .Označme jev ,„student ovládá učivo z MAT“, tzn. Označme jev ,„student ovládá učivo z EKP“, tzn. .Pravděpodobnosti jevů opačných k jevům , , , jsou: a)Pro určení pravděpodobnosti jevu, že student prospěje ve všech předmětech, využijeme vzorce pro pravděpodobnost průniku čtyř nezávislých jevů .Výsledek jednoho jevu neovlivňuje výsledek libovolného dalšího jevu. Pravděpodobnost, že student prospěje ve všech čtyřech předmětech, je asi (65,14 %).

pokračování

obr. 6

Řešení úlohy 4b)Při určení pravděpodobnosti, že student neprospěje ani z jednoho předmětu, použijeme vzorec pro pravděpodobnost průniku 4 nezávislých jevů (jedná se o opačné jevy k původním čtyřem jevům).Pravděpodobnost, že student neprospěje ani z jednoho předmětu, je asi (jedná se o téměř nemožný jev).c) Pravděpodobnost, že student neprospěje z jazyka českého a z ostatních předmětů prospěje, je dána průnikem čtyř nezávislých jevů . Pravděpodobnost, že student neprospěje z jazyka českého a z ostatních předmětů prospěje, je asi 0,097 3 (9,73 %).

zpět do nabídky úloh

obr. 6

ShrnutíČtyři matematické úlohy z různých oblastí popisují problematiku pravděpodobnosti nezávislých jevů. Při výpočtu aplikujeme vzorec pro pravděpodobnost průniku těchto jevů.Tento výukový materiál je současně zakončením série materiálů, která pojednávala o základech teorie pravděpodobnosti v rámci středoškolského učiva.

obr. 2

CITACE ZDROJŮPoužitá literatura:1) HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 214, 218. ISBN 80-7196-165-5. 2) CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU, 3. díl. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r. o., 2000, s. 207, 218 – 219, 222 – 224. ISBN 80-7196-109-4.

CITACE ZDROJŮ Použité obrázky:1) KJELL, André. File:Hexahedron.gif - Wikimedia Commons [online]. 6 January 2005 [cit. 2013-05-09]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hexahedron.gif 2) KARWATH, André. File:Tetraeder animation with cube.gif - Wikimedia Commons [online]. 17 February 2005 [cit. 2013-05-09]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tetraeder_animation_with_cube.gif 3) File:Dado castanho com o número 6 visível.jpg - Wikimedia Commons [online]. 8 December 2008 [cit. 2013-05-09]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dado_castanho_com_o_n%C3%BAmero_6_vis%C3%ADvel.jpg 4) IAMS, Michael. File:USMC-120601-M-QN491-036.jpg - Wikimedia Commons [online]. 2 December 2010 [cit. 2013-05-09]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:USMC-120601-M-QN491-036.jpg

CITACE ZDROJŮ Použité obrázky: 5) File:Air-rifle-shooting.jpg - Wikimedia Commons [online]. 24 May 2005 [cit. 2013-05-09]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Air-rifle-shooting.jpg 6) File:Testtakingstudent.jpg - Wikimedia Commons [online]. 9 May 2006 [cit. 2013-05-09]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Testtakingstudent.jpg Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint.

Konec prezentace. Děkuji Vám za pozornost.

Mgr. Daniel Hanzlík