Vlnová funkce jako pravděpodobnost ve fázovém prostoru

str.

1

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

Vlnová funkce jako pravděpodobnost ve

fázovém prostoru

lekce (IX - XI)

str.

2

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

Obsah:

Cohenova třída distribucíVýznam Wignerovy distribuce jako

pravděpodobnosti Interference a snaha o jejich odstraněníEvoluční rovnice a operátory pro Wignerovu

distibuciStacionární Schrödingerova rovnice ve

fázovém prostoruZpětná transformace z Wignerova prostoru k

vlnové funkciWKB teorie z Wignerova prostoruWignerova metodaMetoda difúzní Monte Carlo ve fázovém

prostoru

str.

3

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

Cohenova třída distribucí

• představa: pokoušíme se změřit pravděpodobnost, že kvantový systém má polohu q a hybnost p.

• kvantová neurčitost [q,p]: operátory q a p nekomutují, takže obě veličiny v principu nelze měřit současně.

• „smysluplné měření“ – např. měření q a p v rámci minimální neurčitosti konkrétní definice takového měření určuje výsledné asociační pravidlo dané distribuce ve fázovém prostoru.

• nejpoužívanější asociační pravidla:– Weylovo … Wignerova distribuce– antinormální … Husimiho distribuce– normální– standardní a antistandardní

str.

4

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


• Weylovo asociační pravidlo je dáno pomocí posuvného operátoru D:

• asociační pravidla distribucí Cohenovy třídy jsou obecně dána pomocí dvou posuvných operátorů:

2

1ˆ ˆ, ,4

ˆ ˆ ˆ, exp

ˆ ˆ, tr ,

i Pq QpW

W W

q p dQdPD Q P e

D Q P iQp iPq

q p q p

2

1ˆ ˆ ˆ,4

ˆ ˆ ˆ ˆ, exp

ˆ ˆ ˆ ˆ, exp

,

i Pq Qpf A B

A A A A A

B B B B B

A B A B

q p dQdPD D e

D D Q P iQ p iP q

D D Q P iQ p iP q

Q Q Q P P P

Wignerova distr.

str.

5

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


• konkrétní definice:

P00Qantistandardní

antistandardní

0QP0standardní

standardní

normálnínormální

Husimihoantinormální

00PQWignerova

Weylovo

PBQBPAQADistribuceAsociační pravidlo

1

2iP Q 1

2P iQ 1

2iP Q 1

2P iQ

1

2iP Q 1

2P iQ 1

2iP Q 1

2P iQ

**

* *

ˆˆ2 *2

ˆ ˆ2 *2

1ˆ ˆ ˆ,2

1ˆ ˆ ˆ,2

1ˆ ˆ ˆ

2ˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ,

iA a aiA a aan

iA a a iA a an

st

as

q p d A e e a a a a

q p d A e e a a a a

a q ip

q p q q p p

q p p p q q

str.

6

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


• transformační relace mezi operátory pro asociační pravidla (ty přímo souvisejí s transformačními relacemi mezi distribucemi)– každá distribuce je dána také charakteristickou

funkcí f, kde platí:

– odvození transformačních relací pomocí charakteristické funkce :

výchozí vztah:

ˆ ˆ ˆ ,

, exp2

A B

A B A B

D D D f Q P

if Q P Q P P Q

2

1ˆ ˆ, ,4

i Pq Qpf q p dQdPD f Q P e

str.

7

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


• integrální transformace:

– dosazení

2 22

12 2

1ˆ ˆ, ,4

ˆˆ , ,

i Pq Qpf

i Pq Qpf

q p dQdPD f Q P e

D f Q P dq dp q p e

1 12

122

2

22

1

2

1ˆ ˆ, ,4

,1 ˆ ,4 ,

1 ˆ , ,4

,,

,

i Pq Qpf

f

i Pq Qp i Pq Qp

f

i P q Q p

q p dQdPD f Q P e

f Q PdQdP dq dp q p

f Q P

e e

dq dp q p g q q p p

f Q Pg q p dQdP e

f Q P

str.

8

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


• diferenciální transformace

– z toho vyplývá:

1

2

1

2

1

2

,,

,

,

,

,

,

,

i P q Q p

i P q Q p

f Q Pg q p dQdP e

f Q P

f i ip q

g q p dQdP e

f i ip q

f i ip q

q p

f i ip q

1

1 2

2

,ˆ ˆ, ,

,f f

f i ip q

q p q p

f i ip q

str.

9

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

Wignerova distribuce

• odvození běžné definice Wignerovy distribuce z formalismu pro Cohenovu třídu distribucí– úprava Weylova operátoru– využijeme identity:

– dosazení do předchozí definice:

– operace posuvným operátorem:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2ˆ iQp iPq iQp iPq iQpD e e e e

ˆ ˆˆ2 22

1ˆ ,4

i iQp QpiP q qiQp

W q p dQe e dPe e

2 q q

ˆ ˆ2 2 a

2 2

i iQp QpQ Q

e q q q e q

str.

10

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


– Wignerova distribuce z Weylova operátoru

• symetrická definice v p-reprezentaci

1ˆ ,2 2 2

1

2 2 2

iQpW

iQp

Q Qq p dQe q q

Q QdQe q q

*1,

2 2 2iQp

W

Q Qq p dQe q q

pozn.: symetrická definice v p-reprezentaci

*1,

2 2 2iPq

W

P Pq p dPe p p

str.

11

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


• fyzikální porozumění Wignerově distribuci:– pravděpodobnost ve fázovém prostoru

související s minimální neurčitostí– přesněji: „kvazipravděpodobnost“,

protože se vyskytují záporné hodnoty

str.

12

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


• Aproximace Wignerovy distribuce 2. řádu:– pro pochopení významu definice

Wignerovy distribuce rozvineme matici hustoty podle Q do II. řádu (např. pro Gaussiáln vyjadřující částici s minimální neurčitostí tento rozvoj platí přesně)

2

2 2

* 2 2

*

2 2 2 2

24

2

2

2 2

Q i QA q q

Q i QA q q

Q Q i Q QA q A q q q

Q iA A Q

Qq e

Qq e

Q Qq q

e

e

str.

13

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


– aproximativní Wignerova distribuce jako Fourierova transformace matice hustoty pro aproximaci II. řádu:

– z naznačené aproximace vidíme, že Wignerova distribuce má význam jako pravděpodobnost ve fázovém prostoru:

– pravděpodobnost v q je dána amplitudou

– pravděpodobnost v p je lokalizována v phi’, která má význam průměrné hybnosti (viz definice průtoku níže), přičemž šířka aproximované distribuce v p je dána minimální neurčitostí (srovnej případ Gaussiánu níže)

– průměrný tok

22

2, expW

q pq p q

A q

* *1ˆ ˆ

2j x p p

str.

14

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


– význam A’’ jako minimální neurčitost v p na příkladu Gaussiánu:

2

ˆi

A x xp x i i e

x xi

i A x x

j x x x

20

02

2

0

0 0

12

x q ixp

x e

x qA A

xp p

2 20 0

22

2, expW

q q p p

x pq p q

A x

e

str.

15

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


• oscilační vzor díky interferenci vzdálených částí:– rozvoj do II. řádu ukázal na význam

pravděpodobnosti, nicméně po přidání vyšších řádů funkce nabývá také záporných hodnot (kvazi-pravděpodobnostní distribuce).

– Wignerova distribuce bývá oscilační, přičemž důvodem je interference vzdálených obsazených částí klasického fázového prostoru pro případ čistého stavu (viz níže).

– Pro případ teplotního rozdělení či ztráty koherence dojde ke zmizení záporných částí a Wignerova distribuce koresponduje s klasickou distribucí, přičemž zahrnuje také kvantovou neurčitost (viz příští lekce).

str.

16

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


• interference dvou Gaussiánů– Příklad: zákl. stav dvojité jámy– jednoduchý případ dvou identických

Gau. rozložených po obou stranách středu:

– matice hustoty:

– Wignerova distribuce je dána součtem W.d. obou Gaussiánů + interferenční člen (viz níže)

x

psi(

x)

-q0 q0

2

0

2

x q

x e

2Re

str.

17

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


– úprava cross-matice hustoty

– FT matice hustoty ... cross člen Wignerovy distr.

2 20 0

2 22 2

0 0 0 0

22 202 2 0

0

2 2

2 2

1 1

2 4 2 4

21

4 4

2 2

q Q q q Q q

Q Qq q Q q q q q Q q q

Q qQqQ qq q

q Q q Q

e e

e e

e e e e

220

2 2 2 2

0

2

4

20

2Re

22Re 2 cos

Q qq iQp

q p i q pq p

dQ e e e

q pe e e

str.

18

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


– nákres Wign. distribuce:

– rychlejší oscilace pro větší q0

– integrací přes p získáme téměř nulové hodnoty v místě cross-termu (tj. tento člen nemá význam pravděpodobnosti)

– oscilace vždy kolmé k obsazeným částem prostoru:

q

p

-q0 q0

cross-term

q

p

str.

19

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

Husimiho (antinormální) distribuce

• pozitívně definitní– má význam pravděpodobnosti– zahrnuje 2x větší neurčitost než

Wignerova distribuce (tj. 2x větší než je minimální neurčitost)

– její cross-termy jsou blízké nule

• odvození definice z asociačního pravidla pro antinormální rozdělení– definice:

– identita:

*ˆ ˆ ˆan a a a a

2

2

*

ReIm4 2

11̂

ˆ ˆ

x a ix a

d a a a

kde a a a a a a a a

kde x a e

str.

20

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


– úprava operátoru pro asociační pravidlo:

– Husimiho distribuce:

2

*

*

2 *

2 * *

11̂

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ1

1ˆ ˆ

1ˆ

an

d a a a

kde a a a a a a a a

a a a a

d a a a a a a a

d a a a a a a a

a a

2ˆ, tr

Re , Im

H anq p a

q a p a

str.

21

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


• diskuse Husimiho distribuce

– lokální Fourierova transformace (toho využijeme při jejím programování)

– překryv s minimálním Gaussiánem, jehož střed [q,p] je dán souřadnicemi ve fázovém prostoru – to vysvětluje její pravděpodobnostní interpretaci jako pravděpodobnost výskytu ve fázovém prostoru

2 2

2 * 2,x q i

xp

H q p dx x e

str.

22

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


• vztahy mezi Wignerovou a Husimiho distribucí– odvodíme charakteristické funkce pro

obě asociační pravidla:

– odvodíme funkci g pro integrální transformaci:

2 2

2 4

2 2

, 1

,

1 1

2 21 1

22 2

A B A B

W

iQ P P Q P Q

an

A B A B

f Q P

f Q P e e

Q P P Q P iQ iP Q

iiP Q P iQ P Q

2 22 2

4,q p

P Qi P q Q pg q p dQdPe e e

str.

23

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


– transformace z Wignerovy distribuce k Husimiho distribuci:

– diskuse:– Husimiho distribuce je dána vyhlazením

Wignerovy distribuce

– vyhlazení Gaussiánem o minimální neurčitosti způsobí vymizení oscilujících cross-termů na Wignerově distribuci, cross-termy mají u Husimiho distribuce zanedbatelnou velikost a jsou kladné

– u Husimiho distribuce se zvětší neurčitost, čímž se zhorší „rozlišení“

2 2

, ,q q p p

H Wq p dq dp q p e

str.

24

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


• z Husimiho do Wignerovy distribuce:– principiálně je to možné, numericky

většinou nikoliv díky omezené numerické přesnosti (vysvětlení: ztráta přesnosti pro cross-termy, které jsou u Husimiho distribuce téměř nulové)

2 2

2 24, ,q pW Hq p e q p

str.

25

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

Kvantové střední hodnoty z distribucí

• nahrazení operátoru skalární funkcí ve fázovém prostoru:

– důkaz pomocí rozvoje operátoru A do vyšších derivací posuvných operátorů

– Distribuce Cohenovy třídy obsahují celou informaci o matici hustoty a tudíž je lze používat jako alternativní reprezentaci kvantové mechaniky (vedle matic hustoty nebo vlnových funkcí)

12

ˆ ˆtr , ,

ˆ ˆ, tr ,

1ˆ ˆ, ,4

f af

af af

i Pq Qpaf

A A dq dp q p A q p

A q p A q p

q p dQdPD f Q P e

str.

26

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

Wignerova reprezentace kvantové mechaniky

• Wignerova distribuce a reprezentace kvantové mechaniky

• Hamiltonián ve Wignerově reprezentaci– potenciál:

ˆ ˆtr , ,

ˆ ˆ, tr ,

1 ˆ2 2 2

W

W

iQp

A A dq dp q p A q p

A q p A q p

Q QdQe q A q

1 ˆ2 2 2

1

2 2

2 2

iQp

iQp

Q QdQe q V q

QdQe V q

Q Qq q V q

str.

27

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


– kinetický operátor

• Zpětná transformace (význam projekce)– zvlášť na tabuli....

• Vývoj Wignerovy distribuce v čase

2

1 ˆ2 2 2

,2

iPq P PdPe p T p T p

pH q p V q

str.

28

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


str.

29

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


str.

30

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


str.

31

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


str.

32

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


str.

33

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 2

006

IX


Vlnová funkce jako pravděpodobnost ve fázovém prostoru

Documents

Transcript of Vlnová funkce jako pravděpodobnost ve fázovém prostoru