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3.3.10 Ejemplo de aplicación
Diseñar la losa maciza de hormigón armado, que forma parte de un piso de un edificio el cual tiene pantallas o muros de corte y la losa no tiene vigas interiores ni tampoco vigas de borde. El diseño se debe realizar utilizando el Método Directo
1.- Espesor de la losa de hormigón α m=0 Losa plana sin vigas
SL
≥0.55m6m
=0.83>0.5 Diseñar como losa
bidireccional
h ≥ln (800+0.071 f y )
36000+5000 β [α m−0.5 (1−βs)(1+ 1β )]≥13cm
βs=longitud de los bordes continuos
perímetrototal de lalosa= 1.00 β= luz librelarga
luz libre corta=5.64.6
=1.22
h=(560cm) (800+0.071∗4200 )
36000+5000∗1.25 [0−0.5(0)(1+ 11.22 )] = 17 cm
Así mismo para losa plana y fy = 4200 kg/cm2 hmin = ln30
= 5.60m30
hmin =
18.6 cm
Se adopta un espesor de la losa de: h = 18 cm
2.- Cálculo de las cargas actuantes Carga Viva = 250 kg/m2
6m 6m 6m
5m
5m
5m
Columnas de Ho Ao 0.40 m x 0.40 m
Altura del piso = 2.70 m
Carga por muros de ladrillo = 100 Kg/m2
Carga por acabados = 100 Kg/m2
Carga Viva = 200 kg/m2
f`c = 210 kg/cm2
fy = 4,200 kg/cm2
d/2
d/2
Carga Muerta = Peso propio de la losa + Peso muro ladrillo + Peso de los acabados
Carga Muerta = (0.18m) (2500 kg/m3) + 100 kg/m2 + 80 kg/m2
Carga Muerta = 630 kg/m2
Carga Mayorada
Wu = 1.2 (CM) + 1.6 (CV) = 1.20 (630 kg/m2) + 1.6 (250 kg/m2) Wu = 1156 kg/m2
3.- Verificación al Corte por Punzonamiento
Peralte efectivo Asumir As con ∅ = 12 mm
d = h – r – ∅ /2 d = 18 cm – 3 cm – 1.2 cm/2 d = 14.40 cm
Qu ≤∅ V c
Qu=W u [ (S ) ( L )−(d+c )2 ] = (0.1156kg
cm2)❑
[ (500cm ) (600cm )−(14.40cm+40cm)2 ]
Qu = 34337.90 kg bo= 2 (c1 +d) + 2 (c2 +d) = 4(40+14.40) = 217.60 cm
La losa de hormigón puede resistir el siguiente corte por punzonamiento admisible Vc
V C=0.27(2+ 4βC)√ f cbo d≤1.06√ f cbod
βC=lado máslargo al lado más corto del área cargada βC=c1c2
=40cm40cm
=1.00
V C=0.27(2+ 41 )√210 kgc m2 (217.60cm )(14.40cm)=73560.70kg
d/2d/2
C1 = 0.40m
S = 5 m
L = 6 m
C1 + d
C2 + d
Donde C1≥C2
d/2
V c=1.06√ f c bo d=1.06√210 kgcm2 (217.60cm)(14.40 cm)=48132.30kg
Se asume Vc = 48132.30kg ∅ Vc = (0.75)(48132.30 kg) = 36099.25 kg
Se cumple Qu ≤∅ V c 34337.90 kg < 36099.25 kg OK!Para la columna de borde
bo= 2 (c1 + d/2) + (c2 + d)= 2*(40+14.40/2) + (40+14.40) = 148.8 cm
Qu=W u[ (S ) ( L )−(c1+d2 )(c2+d )]
Qu=(0.1156 kg
cm2 ) [(500 ) (600 )−(40+ 14.402 ) (40+14.40 )]Qu = 34383.17 Kg
V C=0.27(2+ 4βC)√ f cbo d ≤1.06√ f cbod
βC=relaci ó nlado m á s la rgo allado más corto del área cargadaβC=c1c2
=40cm40cm
=1.00
V C=0.27(2+ 41 )√210 kgc m2 (148.80cm )(14.40cm)=50302.56 kg
V c=1.06√ f c bo d=1.06√210 kgcm2 (148.80cm)(14.40cm)=32914.02kg
Se asume Vc = 32914.02kg ∅ Vc = (0.75) (32914.02 kg) = 24685.51 kg
Si cumple que Qu ≤∅ V c 34383.17 kg < 24685.51 kg No cumple, colocar capiteles de 10 cm de espesord’ = 14.40 + 10 = 24.40 cm bo= 2 (c1 + d/2) + (c2 + d)= 2*(40+24.40/2) + (40+24.40) = 168.8 cm
Qu=(0.1156 kg
cm2 ) [(500 ) (600 )−(40+ 24 .402 ) (40+24.40 )]=34291.39kg
V c=1.06√ f c bo d=1.06√210 kgcm2 (168.80cm ) (24.40cm )=63267.10kg
∅ Vc = (0.75) (63267.10 kg) = 47450.3 kg34291.39 kg < 47450.3 kg OK!
C2 + d
C1 + d/2
L = 6 m
S = 5 m
d
d
4.- Verificación al Corte por Flexión
V u ≤∅ V c 14954.02 kg < (0.75) (66358.90kg)
Si cumple 14954.02 kg <49769.20 kg OK!Corte en la dirección larga “L”
V u=wu[( L−C2
2 )−d ] [ S ]=(0.1156 kgcm2 )[( 600−402 )−14.40] [500 cm ]
Vu = 15351.70 kg
V c=0.53 √ f c ( S ) (d )=0.53 √210(500cm)(14.40cm) Vc = 55299.10 kg
∅V c= (0.75) (55299.10 kg) = 41474.30 kg
Si cumple que V u ≤∅ V c 15351.70 kg < 41474.30 kgOK!
5.- Cálculo del momento flector factorizado para la luz larga L = 5 m
M O=( wu ) (l2 )( ln
2)8
=(1156 kg
m 2 ) (5m ) (5.60m )2
8Mo = 22657.60 kg m
6.- Momento flector factorizado positivo y negativo
S = 4 m
L = 5mC1
C2
Corte en la dirección corta “S”
V u=wu[( S−C1
2 )−d ] [ L ]
V u=(0.1156 kg
cm2 ) [(500−402 )−14.40] [600cm ]
Vu = 14954.02 kg
V c=0.53 √ f c ( L ) (d )=0.53√210(600 cm)(14.40cm)Vc = 66358.90 kg
- -- - -
Tramo interior
Momento negativo M- = 0.65 Mo = - 14727.44 kg mMomento positivo M+ = 0.35 Mo = 7930.16 kg m
Tramo exterior (losa plana sin viga de borde)
Momento negativo exterior M - = - 0.26 Mo = - 5890.98 kg mMomento positivo M + = 0.52 Mo = 11781.95 kg mMomento negativo interior M - = - 0.70 Mo = - 15860.32 kg m
7.- Distribución de los momentos factorizados en franjas de columnas y centrales
La distribución de los momentos positivos y negativos, se deben distribuir en franjas de columnas y en franjas centrales tanto para tramos interiores y exteriores, de acuerdo a lo indicado en la Tabla 3.4, en la cual se indican los porcentajes del Mo, para este caso en particular los coeficientes serán para losas planas sin vigas con α=0
Momentos
Momentos
Factorizado
s Negativos
y Positivos
(tn m)
Franja de columnas Franjas centrales
% Momento (tn m) % Momento (tn m)
Tramo Exterior
M negativo
exterior5.89 100 5.89
00
M positivo 11.78 60 7.068 40 4.71
M negativo 15.86 75 11.89 25 3.96
+ + +
M + = 11.78 tn m M + = 7.93 tn m
M - = - 5.89 tn mM - = - 15.86 tn m
M - = - 14.73 tn m
Luz externa ln Luz interna ln
M - = - 14.73n m
M + = 7.93 tn m
interior
Tramo Interior
M negativo 14.743 75 11.05 25 3.68
M positivo 7.93 60 4.76 40 3.17
8.- Momentos factorizados en columnas
a) Columnas interiores (con iguales longitudes)
Mi=0.07 [ (wd+0.5wl ) l2 ln2−w d l 2l n2 ] w d l 2 l nse refieren al claro corto
Mi=0.07 [ (756kg /m2+0.50∗400kg/m2 ) (5m )(5.60m)2−(756 kg/m2 ) (5m)(5.60m)2 ]
Mi=0.07 [ (0.5∗340kg /m2 ) (4m )(4.60m)2 ] Mi = 2195.20 kg m
Para una columna superior e inferior de la losa Mc = Mi/2 Mc = 1097.6 kgm
b) Columnas exterior
El momento negativo exterior de la losa, debe ser transmitido en su totalidad directamente a la columna, por lo tanto el Me = 5890.98 kg m
Para una columna superior e inferior de la losa Mc = Me/2 Mc = 2945.50 kgm9.- Transferencia de esfuerzos en la losa a la columna externa
En la franja de columnas próximas a la columna debe colocarse una armadura adicional, con la finalidad de resistir el momento desbalanceado que trasmite la losa a la columna, este refuerzo será distribuido en el ancho = C1 + 2(1.5 h) = 40 cm + 2(1.5 * 18 cm) = 94 cm
El coeficienteγ f del momento que se transfiere a la columna es:
γ f =1
1+23 √ c1+d
c2+d
= 1
1+ 23 √ 40+14.4040+14.40
M des = γ f (Me) = (0.60) (5890.98 kg m) M des = 3534.60 kg m
10.- Armaduras en la losa plana para la luz larga L = 6 m
a) Franja de Columnas
γ f =0.60
Tramo Exterior Momento negativo exterior = 5.89 tn m
a=d−√d2−2( Mu )
φ(0 .85 )( f 'c )(b )a=(14 . 40)−√(14 .40)2−
2(589000 )(0 .90 )(0.85 )(210)(100 )
As= Mu
φ . f y(d−a2 )
As=589000
(0 .90 )(4200 )(14 .40−2 .822 )Usar ∅ = 16 mm c/15 cm As = 13.40 cm2/m
ρmax=0 .75 ρb=0.75[0 .85 β1f ' c
f y
×60906090+ f y
]=0.75[0 .85(0 .85) (210 )
(4200 )×60906090+4200 ]
ρb = 0.0214 ρmax= 0.016
ρmin =0.79√ f c
f y>14f y
ρmin = 0.79√2104200
= 0.002726>144200= 0.0033
Armadura máxima y mínima a flexión
As max = ρmax (b) (d) = (0.016) (100 cm) (14.40 cm) Asmax = 23.04 cm2/m
As min = ρmin (b) (d) = (0.0033) (100 cm) (14.40 cm) Asmin = 4.75 cm2/m
Armadura mínima por contracción y temperatura
As min = (0.0018) (b) (h) = (0.0018) (100 cm) (18 cm) Asmin = 3.24 cm2/m
Así mismo en el sector de la columna exterior se debe considerar armadura de refuerzo para resistir el momento desbalanceado M des = 3534.60 kg m que deberá ser distribuida en un ancho de 91cm
a=d−√d2−2( Mu )
φ(0 .85 )( f 'c )(b )
a =
2.82 cm
As = 12.18 cm2/m
rmin<r<rmax
a =
1.80 cm
As= Mu
φ . f y(d−a2 )
As=353460
(0 .90 )(4200 )(14 .40−1 .802 )Usar 4∅ 16 mm As = 8.04 cm2
Tramo Exterior Momento positivo = 7.068 Tn m
a=d−√d2−2( Mu )
φ(0 .85 )( f 'c )(b )a=(14 . 40)−√(14 .40)2−
2(706800 )(0 .90 )(0.85 )(210)(100 )
As= Mu
φ . f y(d−a2 )
As=706800
(0 .90 )(4200 )(14 .40−3 .442 )Usar ∅ = 16 mm c/12 cm As = 16.75 cm2/m
Tramo Exterior Momento negativo interior = 11.89 tn m
a=d−√d2−2( Mu )
φ(0 .85 )( f 'c )(b )a=(14 . 40)−√(14 .40)2−
2(1189000 )(0 .90 )(0.85 )(210)(100 )
As = 6.93 cm2
a =
3.44 cm
As = 14.75 cm2/m
a =
6.70 cm
½ Franja central
5 m 5 m
1.25 m
Franja de columna½ Franja central
6 mTablero Exterior
1.25 m 1.25 m1.25 m
As= Mu
φ . f y(d−a2 )
As=1189000
(0 .90 )(4200 )(14 .40−6 .702 )Usar ∅ = 16 mm c/8.5 cm As = 23.63 cm2/m
Tramo Interior Momento negativo = 11.05tn m
a=d−√d2−2( Mu )
φ(0 .85 )( f 'c )(b )a=(14 . 40)−√(14 .40)2−
2(1105000 )(0 .90 )(0.85 )(210)(100 )
As= Mu
φ . f y(d−a2 )
As=110500
(0 .90 )(4200 )(14 .40−6 .042 )Usar ∅ = 16 mm c/8.5 cm As = 23.63 cm2/m
Tramo Interior Momento positivo = 4.76 tn m
a=d−√d2−2( Mu )
φ(0 .85 )( f 'c )(b )a=(14 . 40)−√(14 .40)2−
2( 476 ,000)(0 .90 )(0.85 )(210)(100 )
As= Mu
φ . f y(d−a2 )
As=476000
(0 .90 )(4200 )(14 .40−2 .232 )Usar ∅ = 16 mm c/20 cm As = 10.05 cm2/m
b) Franja Central
Tramo Exterior Momento negativo exterior = 0(Colocar armadura mínima)
Tramo Exterior Momento positivo = 4.71 tn m
a=d−√d2−2( Mu )
φ(0 .85 )( f 'c )(b )a=(14 . 40)−√(14 .40)2−
2( 471000)(0 .90 )(0.85 )(210)(100 )
As= Mu
φ . f y(d−a2 )
As=471000
(0 .90 )(4200 )(14 .40−2 .202 )Usar ∅ = 16 mm c/20cm As = 10.05 cm2/m
Tramo Exterior Momento negativo interior = 3.96 tn m
As = 22.46 cm2/m
a =
6.04 cm
As = 21.65 cm2/m
a =
2.23 cm
As = 9.47 cm2/m
a =
2.20 cm
As = 9.37 cm2/m
a=d−√d2−2( Mu )
φ(0 .85 )( f 'c )(b )a=(14 . 40)−√(14 .40)2−
2 (396000 )(0 .90 )(0.85 )(210)(100 )
As= Mu
φ . f y(d−a2 )
As=396000
(0 .90 )(4200 )(14 .40−1 .832 )Usar ∅ = 16 mm c/25cm As = 10.05 cm2/m
Tramo Interior Momento negativo = 3.68 tn m
a=d−√d2−2( Mu )
φ(0 .85 )( f 'c )(b )a=(14 . 40)−√(14 .40)2−
2 (368000 )(0 .90 )(0.85 )(210)(100 )
As= Mu
φ . f y(d−a2 )
As=368000
(0 .90 )(4200 )(14 .40−1 .692 )Usar ∅ = 16 mm c/25cm As = 10.05 cm2/m
Tramo Interior Momento positivo = 3.17 tn m
a=d−√d2−2( Mu )
φ(0 .85 )( f 'c )(b )a=(14 . 40)−√(14 .40)2−
2 (317000 )(0 .90 )(0.85 )(210)(100 )
As= Mu
φ . f y(d−a2 )
As=317000
(0 .90 )(4200 )(14 .40−1 .442 )Usar ∅ = 16 mm c/30cm As = 6.70 cm2/m
a =
1.83 cm
As = 7.77 cm2/m
a =
1.69 cm
As = 7.18 cm2/m
a =
1.44 cm
As = 6.13 cm2/m