3.3.10 Ejemplo de aplicación

Diseñar la losa maciza de hormigón armado, que forma parte de un piso de un edificio el cual tiene pantallas o muros de corte y la losa no tiene vigas interiores ni tampoco vigas de borde. El diseño se debe realizar utilizando el Método Directo

1.- Espesor de la losa de hormigón α m=0 Losa plana sin vigas

SL

≥0.55m6m

=0.83>0.5 Diseñar como losa

bidireccional

h ≥ln (800+0.071 f y )

36000+5000 β [α m−0.5 (1−βs)(1+ 1β )]≥13cm

βs=longitud de los bordes continuos

perímetrototal de lalosa= 1.00 β= luz librelarga

luz libre corta=5.64.6

=1.22

h=(560cm) (800+0.071∗4200 )

36000+5000∗1.25 [0−0.5(0)(1+ 11.22 )] = 17 cm

Así mismo para losa plana y fy = 4200 kg/cm2 hmin = ln30

= 5.60m30

hmin =

18.6 cm

Se adopta un espesor de la losa de: h = 18 cm

2.- Cálculo de las cargas actuantes Carga Viva = 250 kg/m2

6m 6m 6m

5m

5m

5m

Columnas de Ho Ao 0.40 m x 0.40 m

Altura del piso = 2.70 m

Carga por muros de ladrillo = 100 Kg/m2

Carga por acabados = 100 Kg/m2

Carga Viva = 200 kg/m2

f`c = 210 kg/cm2

fy = 4,200 kg/cm2

d/2

d/2

Carga Muerta = Peso propio de la losa + Peso muro ladrillo + Peso de los acabados

Carga Muerta = (0.18m) (2500 kg/m3) + 100 kg/m2 + 80 kg/m2

Carga Muerta = 630 kg/m2

Carga Mayorada

Wu = 1.2 (CM) + 1.6 (CV) = 1.20 (630 kg/m2) + 1.6 (250 kg/m2) Wu = 1156 kg/m2

3.- Verificación al Corte por Punzonamiento

Peralte efectivo Asumir As con ∅ = 12 mm

d = h – r – ∅ /2 d = 18 cm – 3 cm – 1.2 cm/2 d = 14.40 cm

Qu ≤∅ V c

Qu=W u [ (S ) ( L )−(d+c )2 ] = (0.1156kg

cm2)❑

[ (500cm ) (600cm )−(14.40cm+40cm)2 ]

Qu = 34337.90 kg bo= 2 (c1 +d) + 2 (c2 +d) = 4(40+14.40) = 217.60 cm

La losa de hormigón puede resistir el siguiente corte por punzonamiento admisible Vc

V C=0.27(2+ 4βC)√ f cbo d≤1.06√ f cbod

βC=lado máslargo al lado más corto del área cargada βC=c1c2

=40cm40cm

=1.00

V C=0.27(2+ 41 )√210 kgc m2 (217.60cm )(14.40cm)=73560.70kg

d/2d/2

C1 = 0.40m

S = 5 m

L = 6 m

C1 + d

C2 + d

Donde C1≥C2

d/2

V c=1.06√ f c bo d=1.06√210 kgcm2 (217.60cm)(14.40 cm)=48132.30kg

Se asume Vc = 48132.30kg ∅ Vc = (0.75)(48132.30 kg) = 36099.25 kg

Se cumple Qu ≤∅ V c 34337.90 kg < 36099.25 kg OK!Para la columna de borde

bo= 2 (c1 + d/2) + (c2 + d)= 2*(40+14.40/2) + (40+14.40) = 148.8 cm

Qu=W u[ (S ) ( L )−(c1+d2 )(c2+d )]

Qu=(0.1156 kg

cm2 ) [(500 ) (600 )−(40+ 14.402 ) (40+14.40 )]Qu = 34383.17 Kg

V C=0.27(2+ 4βC)√ f cbo d ≤1.06√ f cbod

βC=relaci ó nlado m á s la rgo allado más corto del área cargadaβC=c1c2

=40cm40cm

=1.00

V C=0.27(2+ 41 )√210 kgc m2 (148.80cm )(14.40cm)=50302.56 kg

V c=1.06√ f c bo d=1.06√210 kgcm2 (148.80cm)(14.40cm)=32914.02kg

Se asume Vc = 32914.02kg ∅ Vc = (0.75) (32914.02 kg) = 24685.51 kg

Si cumple que Qu ≤∅ V c 34383.17 kg < 24685.51 kg No cumple, colocar capiteles de 10 cm de espesord’ = 14.40 + 10 = 24.40 cm bo= 2 (c1 + d/2) + (c2 + d)= 2*(40+24.40/2) + (40+24.40) = 168.8 cm

Qu=(0.1156 kg

cm2 ) [(500 ) (600 )−(40+ 24 .402 ) (40+24.40 )]=34291.39kg

V c=1.06√ f c bo d=1.06√210 kgcm2 (168.80cm ) (24.40cm )=63267.10kg

∅ Vc = (0.75) (63267.10 kg) = 47450.3 kg34291.39 kg < 47450.3 kg OK!

C2 + d

C1 + d/2

L = 6 m

S = 5 m

d

d

4.- Verificación al Corte por Flexión

V u ≤∅ V c 14954.02 kg < (0.75) (66358.90kg)

Si cumple 14954.02 kg <49769.20 kg OK!Corte en la dirección larga “L”

V u=wu[( L−C2

2 )−d ] [ S ]=(0.1156 kgcm2 )[( 600−402 )−14.40] [500 cm ]

Vu = 15351.70 kg

V c=0.53 √ f c ( S ) (d )=0.53 √210(500cm)(14.40cm) Vc = 55299.10 kg

∅V c= (0.75) (55299.10 kg) = 41474.30 kg

Si cumple que V u ≤∅ V c 15351.70 kg < 41474.30 kgOK!

5.- Cálculo del momento flector factorizado para la luz larga L = 5 m

M O=( wu ) (l2 )( ln

2)8

=(1156 kg

m 2 ) (5m ) (5.60m )2

8Mo = 22657.60 kg m

6.- Momento flector factorizado positivo y negativo

S = 4 m

L = 5mC1

C2

Corte en la dirección corta “S”

V u=wu[( S−C1

2 )−d ] [ L ]

V u=(0.1156 kg

cm2 ) [(500−402 )−14.40] [600cm ]

Vu = 14954.02 kg

V c=0.53 √ f c ( L ) (d )=0.53√210(600 cm)(14.40cm)Vc = 66358.90 kg

- -- - -

Tramo interior

Momento negativo M- = 0.65 Mo = - 14727.44 kg mMomento positivo M+ = 0.35 Mo = 7930.16 kg m

Tramo exterior (losa plana sin viga de borde)

Momento negativo exterior M - = - 0.26 Mo = - 5890.98 kg mMomento positivo M + = 0.52 Mo = 11781.95 kg mMomento negativo interior M - = - 0.70 Mo = - 15860.32 kg m

7.- Distribución de los momentos factorizados en franjas de columnas y centrales

La distribución de los momentos positivos y negativos, se deben distribuir en franjas de columnas y en franjas centrales tanto para tramos interiores y exteriores, de acuerdo a lo indicado en la Tabla 3.4, en la cual se indican los porcentajes del Mo, para este caso en particular los coeficientes serán para losas planas sin vigas con α=0

Momentos

Momentos

Factorizado

s Negativos

y Positivos

(tn m)

Franja de columnas Franjas centrales

% Momento (tn m) % Momento (tn m)

Tramo Exterior

M negativo

exterior5.89 100 5.89

00

M positivo 11.78 60 7.068 40 4.71

M negativo 15.86 75 11.89 25 3.96

+ + +

M + = 11.78 tn m M + = 7.93 tn m

M - = - 5.89 tn mM - = - 15.86 tn m

M - = - 14.73 tn m

Luz externa ln Luz interna ln

M - = - 14.73n m

M + = 7.93 tn m

interior

Tramo Interior

M negativo 14.743 75 11.05 25 3.68

M positivo 7.93 60 4.76 40 3.17

8.- Momentos factorizados en columnas

a) Columnas interiores (con iguales longitudes)

Mi=0.07 [ (wd+0.5wl ) l2 ln2−w d l 2l n2 ] w d l 2 l nse refieren al claro corto

Mi=0.07 [ (756kg /m2+0.50∗400kg/m2 ) (5m )(5.60m)2−(756 kg/m2 ) (5m)(5.60m)2 ]

Mi=0.07 [ (0.5∗340kg /m2 ) (4m )(4.60m)2 ] Mi = 2195.20 kg m

Para una columna superior e inferior de la losa Mc = Mi/2 Mc = 1097.6 kgm

b) Columnas exterior

El momento negativo exterior de la losa, debe ser transmitido en su totalidad directamente a la columna, por lo tanto el Me = 5890.98 kg m

Para una columna superior e inferior de la losa Mc = Me/2 Mc = 2945.50 kgm9.- Transferencia de esfuerzos en la losa a la columna externa

En la franja de columnas próximas a la columna debe colocarse una armadura adicional, con la finalidad de resistir el momento desbalanceado que trasmite la losa a la columna, este refuerzo será distribuido en el ancho = C1 + 2(1.5 h) = 40 cm + 2(1.5 * 18 cm) = 94 cm

El coeficienteγ f del momento que se transfiere a la columna es:

γ f =1

1+23 √ c1+d

c2+d

= 1

1+ 23 √ 40+14.4040+14.40

M des = γ f (Me) = (0.60) (5890.98 kg m) M des = 3534.60 kg m

10.- Armaduras en la losa plana para la luz larga L = 6 m

a) Franja de Columnas

γ f =0.60

Tramo Exterior Momento negativo exterior = 5.89 tn m

a=d−√d2−2( Mu )

φ(0 .85 )( f 'c )(b )a=(14 . 40)−√(14 .40)2−

2(589000 )(0 .90 )(0.85 )(210)(100 )

As= Mu

φ . f y(d−a2 )

As=589000

(0 .90 )(4200 )(14 .40−2 .822 )Usar ∅ = 16 mm c/15 cm As = 13.40 cm2/m

ρmax=0 .75 ρb=0.75[0 .85 β1f ' c

f y

×60906090+ f y

]=0.75[0 .85(0 .85) (210 )

(4200 )×60906090+4200 ]

ρb = 0.0214 ρmax= 0.016

ρmin =0.79√ f c

f y>14f y

ρmin = 0.79√2104200

= 0.002726>144200= 0.0033

Armadura máxima y mínima a flexión

As max = ρmax (b) (d) = (0.016) (100 cm) (14.40 cm) Asmax = 23.04 cm2/m

As min = ρmin (b) (d) = (0.0033) (100 cm) (14.40 cm) Asmin = 4.75 cm2/m

Armadura mínima por contracción y temperatura

As min = (0.0018) (b) (h) = (0.0018) (100 cm) (18 cm) Asmin = 3.24 cm2/m

Así mismo en el sector de la columna exterior se debe considerar armadura de refuerzo para resistir el momento desbalanceado M des = 3534.60 kg m que deberá ser distribuida en un ancho de 91cm

a=d−√d2−2( Mu )

φ(0 .85 )( f 'c )(b )

a =

2.82 cm

As = 12.18 cm2/m

rmin<r<rmax

a =

1.80 cm

As= Mu

φ . f y(d−a2 )

As=353460

(0 .90 )(4200 )(14 .40−1 .802 )Usar 4∅ 16 mm As = 8.04 cm2

Tramo Exterior Momento positivo = 7.068 Tn m

a=d−√d2−2( Mu )

φ(0 .85 )( f 'c )(b )a=(14 . 40)−√(14 .40)2−

2(706800 )(0 .90 )(0.85 )(210)(100 )

As= Mu

φ . f y(d−a2 )

As=706800

(0 .90 )(4200 )(14 .40−3 .442 )Usar ∅ = 16 mm c/12 cm As = 16.75 cm2/m

Tramo Exterior Momento negativo interior = 11.89 tn m

a=d−√d2−2( Mu )

φ(0 .85 )( f 'c )(b )a=(14 . 40)−√(14 .40)2−

2(1189000 )(0 .90 )(0.85 )(210)(100 )

As = 6.93 cm2

a =

3.44 cm

As = 14.75 cm2/m

a =

6.70 cm

½ Franja central

5 m 5 m

1.25 m

Franja de columna½ Franja central

6 mTablero Exterior

1.25 m 1.25 m1.25 m

As= Mu

φ . f y(d−a2 )

As=1189000

(0 .90 )(4200 )(14 .40−6 .702 )Usar ∅ = 16 mm c/8.5 cm As = 23.63 cm2/m

Tramo Interior Momento negativo = 11.05tn m

a=d−√d2−2( Mu )

φ(0 .85 )( f 'c )(b )a=(14 . 40)−√(14 .40)2−

2(1105000 )(0 .90 )(0.85 )(210)(100 )

As= Mu

φ . f y(d−a2 )

As=110500

(0 .90 )(4200 )(14 .40−6 .042 )Usar ∅ = 16 mm c/8.5 cm As = 23.63 cm2/m

Tramo Interior Momento positivo = 4.76 tn m

a=d−√d2−2( Mu )

φ(0 .85 )( f 'c )(b )a=(14 . 40)−√(14 .40)2−

2( 476 ,000)(0 .90 )(0.85 )(210)(100 )

As= Mu

φ . f y(d−a2 )

As=476000

(0 .90 )(4200 )(14 .40−2 .232 )Usar ∅ = 16 mm c/20 cm As = 10.05 cm2/m

b) Franja Central

Tramo Exterior Momento negativo exterior = 0(Colocar armadura mínima)

Tramo Exterior Momento positivo = 4.71 tn m

a=d−√d2−2( Mu )

φ(0 .85 )( f 'c )(b )a=(14 . 40)−√(14 .40)2−

2( 471000)(0 .90 )(0.85 )(210)(100 )

As= Mu

φ . f y(d−a2 )

As=471000

(0 .90 )(4200 )(14 .40−2 .202 )Usar ∅ = 16 mm c/20cm As = 10.05 cm2/m

Tramo Exterior Momento negativo interior = 3.96 tn m

As = 22.46 cm2/m

a =

6.04 cm

As = 21.65 cm2/m

a =

2.23 cm

As = 9.47 cm2/m

a =

2.20 cm

As = 9.37 cm2/m

a=d−√d2−2( Mu )

φ(0 .85 )( f 'c )(b )a=(14 . 40)−√(14 .40)2−

2 (396000 )(0 .90 )(0.85 )(210)(100 )

As= Mu

φ . f y(d−a2 )

As=396000

(0 .90 )(4200 )(14 .40−1 .832 )Usar ∅ = 16 mm c/25cm As = 10.05 cm2/m

Tramo Interior Momento negativo = 3.68 tn m

a=d−√d2−2( Mu )

φ(0 .85 )( f 'c )(b )a=(14 . 40)−√(14 .40)2−

2 (368000 )(0 .90 )(0.85 )(210)(100 )

As= Mu

φ . f y(d−a2 )

As=368000

(0 .90 )(4200 )(14 .40−1 .692 )Usar ∅ = 16 mm c/25cm As = 10.05 cm2/m

Tramo Interior Momento positivo = 3.17 tn m

a=d−√d2−2( Mu )

φ(0 .85 )( f 'c )(b )a=(14 . 40)−√(14 .40)2−

2 (317000 )(0 .90 )(0.85 )(210)(100 )

As= Mu

φ . f y(d−a2 )

As=317000

(0 .90 )(4200 )(14 .40−1 .442 )Usar ∅ = 16 mm c/30cm As = 6.70 cm2/m

a =

1.83 cm

As = 7.77 cm2/m

a =

1.69 cm

As = 7.18 cm2/m

a =

1.44 cm

As = 6.13 cm2/m