Post on 25-Dec-2019
PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ
Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově
Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia
Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve
vyučování matematiky na gymnáziu
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Prostějov 2009
2 Planimetrie
Úvod
Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny
střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.
Cílová skupina:
Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.
Planimetrie 3
Obsah Rovinné útvary ........................................................................................................................... 8
Přímka a její části ................................................................................................................... 8
Přímka a její části ............................................................................................................. 10
Varianta A ........................................................................................................................ 10
Přímka a její části ............................................................................................................. 13
Varianta B ........................................................................................................................ 13
Přímka a její části ............................................................................................................. 14
Varianta C ........................................................................................................................ 14
Polorovina, úhel, dvojice úhlů .............................................................................................. 15
Polorovina, úhel, dvojice úhlů .......................................................................................... 19
Varianta A ........................................................................................................................ 19
Polorovina, úhel, dvojice úhlů .......................................................................................... 21
Varianta B ........................................................................................................................ 21
Polorovina, úhel, dvojice úhlů .......................................................................................... 23
Varianta C ........................................................................................................................ 23
Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek ............................................................ 25
Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek ........................................................ 28
Varianta A ........................................................................................................................ 28
Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek ........................................................ 30
Varianta B ........................................................................................................................ 30
Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek ........................................................ 33
Varianta C ........................................................................................................................ 33
Trojúhelník ........................................................................................................................... 36
Trojúhelník ....................................................................................................................... 41
Varianta A ........................................................................................................................ 41
Trojúhelník ....................................................................................................................... 42
4 Planimetrie
Varianta B ........................................................................................................................ 42
Trojúhelník ....................................................................................................................... 43
Varianta C ........................................................................................................................ 43
Shodnost a podobnost trojúhelníků ...................................................................................... 45
Shodnost a podobnost trojúhelníků .................................................................................. 47
Varianta A ........................................................................................................................ 47
Shodnost a podobnost trojúhelníků .................................................................................. 49
Varianta B ........................................................................................................................ 49
Shodnost a podobnost trojúhelníků .................................................................................. 53
Varianta C ........................................................................................................................ 53
Mnohoúhelníky .................................................................................................................... 57
Mnohoúhelníky ................................................................................................................ 60
Varianta A ........................................................................................................................ 60
Mnohoúhelníky ................................................................................................................ 61
Varianta B ........................................................................................................................ 61
Mnohoúhelníky ................................................................................................................ 63
Varianta C ........................................................................................................................ 63
Čtyřúhelníky ......................................................................................................................... 65
Čtyřúhelníky ..................................................................................................................... 68
Varianta A ........................................................................................................................ 68
Čtyřúhelníky ..................................................................................................................... 70
Varianta B ........................................................................................................................ 70
Čtyřúhelníky ..................................................................................................................... 71
Varianta C ........................................................................................................................ 71
Kružnice, kruh ...................................................................................................................... 73
Kružnice, kruh .................................................................................................................. 78
Varianta A ........................................................................................................................ 78
Planimetrie 5
Kružnice, kruh .................................................................................................................. 79
Varianta B ........................................................................................................................ 79
Kružnice, kruh .................................................................................................................. 81
Varianta C ........................................................................................................................ 81
Úhly v kružnici ..................................................................................................................... 83
Úhly v kružnici ................................................................................................................. 85
Varianta A ........................................................................................................................ 85
Úhly v kružnici ................................................................................................................. 87
Varianta B ........................................................................................................................ 87
Úhly v kružnici ................................................................................................................. 89
Varianta C ........................................................................................................................ 89
Obvody a obsahy rovinných obrazců ................................................................................... 91
Obvody a obsahy rovinných obrazců ............................................................................... 94
Varianta A ........................................................................................................................ 94
Obvody a obsahy rovinných obrazců ............................................................................... 96
Varianta B ........................................................................................................................ 96
Obvody a obsahy rovinných obrazců ............................................................................... 97
Varianta C ........................................................................................................................ 97
Euklidovy věty, věta Pythagorova ....................................................................................... 98
Euklidovy věty, věta Pythagorova ................................................................................... 99
Varianta A ........................................................................................................................ 99
Euklidovy věty, věta Pythagorova ................................................................................. 100
Varianta B ...................................................................................................................... 100
Euklidovy věty, věta Pythagorova ................................................................................. 102
Varianta C ...................................................................................................................... 102
Konstrukční úlohy .................................................................................................................. 104
Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce ................................ 104
6 Planimetrie
Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce ............................ 109
Varianta A ...................................................................................................................... 109
Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce ............................ 114
Varianta B ...................................................................................................................... 114
Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce ............................ 118
Varianta C ...................................................................................................................... 118
Konstrukční úlohy .................................................................................................................. 122
Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků ............................................................................. 122
Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků ......................................................................... 123
Varianta A ...................................................................................................................... 123
Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků ......................................................................... 127
Varianta B ...................................................................................................................... 127
Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků ......................................................................... 132
Varianta C ...................................................................................................................... 132
Konstrukce kružnic ............................................................................................................ 137
Konstrukce kružnic ........................................................................................................ 138
Varianta A ...................................................................................................................... 138
Konstrukce kružnic ........................................................................................................ 143
Varianta B ...................................................................................................................... 143
Konstrukce kružnic ........................................................................................................ 148
Varianta C ...................................................................................................................... 148
Konstrukce na základě výpočtu .......................................................................................... 153
Konstrukce na základě výpočtu ...................................................................................... 154
Varianta A ...................................................................................................................... 154
Konstrukce na základě výpočtu ...................................................................................... 158
Varianta B ...................................................................................................................... 158
Konstrukce na základě výpočtu ...................................................................................... 162
Planimetrie 7
Varianta C ...................................................................................................................... 162
8 Planimetrie
Rovinné útvary
Přímka a její části
Základní pojmy
Věta:
Dvěma různými body prochází jediná přímka.
Zápis:
… bod C náleží přímce p
… bod D nenáleží přímce p
Věta:
Jeden bod rozděluje přímku na dvě navzájem opačné polopřímky a jejich společným
počátkem.
Zápis:
, … bod C dělí přímku p na dvě opačné polopřímky
Věta:
Úsečka AB je tvořena všemi body přímky AB, které leží mezi body A, B a body A a B.
A
B C
D p
B C
p
A
Planimetrie 9
A, B … krajní body úsečky, všechny ostatní body úsečky nazýváme vnitřní body úsečky.
Všechny vnitřní body tvoří vnitřek úsečky AB.
Platí: , ,
Věta:
Délka (velikost) úsečky AB je vzdálenost bodů A a B.
Zápis:
| |
Věta:
Dvě shodné úsečky mají stejné délky.
Zápis:
… shodné úsečky AB a CD
Poznámka:
Platí-li | | | |, říkáme, že úsečka AB je větší než úsečka CD, nebo také, že úsečka CD
je menší než úsečka AB.
Bod S, který dělí úsečku AB na dvě shodné úsečky, se nazývá střed úsečky.
B
A
10 Planimetrie
Přímka a její části
Varianta A
Na základě obrázku zapište symbolicky následující skutečnosti.
a) bod Y náleží polopřímce
b) bod Y neleží na úsečce RS
c) úsečky XY a RS nemají žádný společný bod
Příklad:
a)
b)
c)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
a)
b)
c)
P=Q
Q Y
S
X
R
Planimetrie 11
Příklady k procvičení:
1) Na základě obrázku zapište symbolicky následující skutečnosti.
a) bod R náleží polopřímce
b) úsečka YP je částí polopřímky
c) úsečka XY neleží na polopřímce
[a) , b) , c) ]
2) Na základě obrázku zapište symbolicky následující skutečnosti.
a) polopřímky a mají jediný společný bod
b) velikost úsečky YP je shodná s velikostí úsečky
c) úsečka YR je částí úsečky
[a) { }, b) | | | |, c) ]
3) Na základě obrázku rozhodněte, zda platí následující tvrzení.
P=Q
Q Y
S
X
R
P=Q
Q Y
S
X
R
P=Q
Q Y
S
X
R
12 Planimetrie
a)
b)
c) | | | |
[a) ano, b) ano, c) ne]
4) Na základě obrázku rozhodněte, zda platí následující tvrzení.
a)
b)
c) | |
[a) ne, b) ne, c) ano]
P=Q
Q Y
S
X
R
Planimetrie 13
Přímka a její části
Varianta B
Na přímce p zvolte čtyři různé body K, L, M, N v uvedeném pořadí a zapište všechny
polopřímky určené těmito body.
Příklad:
Polopřímka je jednoznačně určena dvěma body a navíc záleží na pořadí. Pomocí čtyř bodů K,
L, M, N tedy vlastně utvoříme všechny uspořádané dvojice:
, , , , , , , , , , ,
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Na přímce p zvolte čtyři různé body K, L, M, N v uvedeném pořadí a zapište všechny
úsečky určené těmito body.
[ KL, KM, KN, LM, LN, MN]
2) Na přímce p zvolte čtyři různé body K, L, M, N v uvedeném pořadí a zapište všechny
dvojice úseček, které nemají žádné společné body.
[KL, MN]
3) Na přímce p zvolte čtyři různé body K, L, M, N v uvedeném pořadí a zapište všechny
dvojice polopřímek, které nemají žádné společné body.
[ , ]
4) Na přímce p zvolte pět různých bodů K, L, M, N, O v uvedeném pořadí a zapište, kolik
různých polopřímek je těmito body určeno.
[20]
Výsledek řešení:
, , , , , , , , , , ,
14 Planimetrie
Přímka a její části
Varianta C
V rovině je zvoleno 6 různých bodů, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce. Kolik různých
přímek je těmito body určeno?
Příklad:
Každý z šesti bodů můžeme spojit s pěti zbývajícími body. Vznikne tak 30 takových dvojic
bodů. Jelikož ale při určení přímky pomocí dvou bodů nezáleží na pořadí těchto bodů, je mezi
těmito 30 dvojice každá přímka zastoupená dvakrát. Celkový počet různých přímek je tedy
poloviční, tzn. 15.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) V rovině je zvoleno 10 různých bodů, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce. Kolik
různých přímek je těmito body určeno? [45]
2) V rovině je zvoleno 20 různých bodů, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce. Kolik
různých přímek je těmito body určeno? [190]
3) Na základě výsledků řešeného příkladu a předcházejících dvou příkladů určete obecný
vztah pro n různých bodů v rovině, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce. [
( )]
4) Je dáno osm různých bodů v rovině (A, B, C, D, E, F, G, H). Čtveřice A, B, C, D a E, F, G,
H leží v přímkách. Kolik různých přímek je danými body určeno? [18]
Výsledek řešení:
15
Planimetrie 15
Polorovina, úhel, dvojice úhlů
Základní pojmy
Věta:
Přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny a jejich společnou hranicí, tzv.
hraniční přímkou.
Zápis:
nebo
nebo
Hraniční přímka p patří do obou polorovin. Bod, který neleží na přímce p, je vnitřním bodem
jedné z polorovin.
Věta:
Dvě různé polopřímky , dělí rovinu na dva úhly AVB.
A
B
C
D p
16 Planimetrie
Zápis:
… konvexní úhel AVB
… nekonvexní úhel AVB
Jsou-li polopřímky , opačné, je každý z obou úhlů AVB úhel přímý. Totožné
polopřímky určují jednak nulový úhel AVB a jednak plný úhel AVB.
Jsou-li dva úhly AVB a CUD shodné, zapisujeme to následujícím způsobem:
Věta:
Osa úhlu je polopřímka s počátkem ve vrcholu úhlu, která dělí daný úhel na dva úhly shodné.
Věta:
Dva konvexní úhly AVB a AVC se společným ramenem , a jejichž zbylá ramena ,
jsou navzájem opačné polopřímky, se nazývají úhly vedlejší.
B
V
A
A
B
V o
Planimetrie 17
Věta:
Dva konvexní úhly AVB a CVD, jejichž ramena , a , jsou navzájem opačné
polopřímky, se nazývají vrcholové úhly.
Věta:
Pravý úhel je takový úhel, který se shoduje se svým úhlem vedlejším. Všechny pravé úhly
jsou shodné.
C V B
A
V
A
B
C
D
C V B
A
18 Planimetrie
Výsledkem měření úhlu je nezáporné číslo nazývané velikost úhlu.
Zápis:
| | … velikost konvexního úhlu AVB
| | … velikost nekonvexního úhlu AVB
Velikost úhlu měříme v planimetrii zpravidla v úhlových stupních, v teorii goniometrických
funkcí a ve fyzice spíše v radiánech.
Z úhlového stupně jsou dále odvozeny i menší jednotky – úhlová minuta a úhlová vteřina.
… jeden úhlový stupeň
… jedna úhlová minuta
… jedna úhlová vteřina
Konvexní úhel o velikosti menší než se nazývá ostrý úhel.
Konvexní úhel o velikosti větší než se nazývá tupý úhel.
Planimetrie 19
Polorovina, úhel, dvojice úhlů
Varianta A
Vyjádřete dané úhly ve stupních, minutách a vteřinách.
d)
e)
Příklad:
Při převodu postupujeme tak, že desetinnou část čísla vyjádřenou ve stupních převedeme na
minuty vynásobením číslem 60 a dále desetinnou část takto získaného čísla vyjádřenou
v minutách převedeme na vteřiny vynásobením opět číslem 60.
a)
b)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
d)
e)
20 Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Vyjádřete dané úhly ve stupních, minutách a vteřinách.
a)
b)
[a) , b) ]
2) Vyjádřete dané úhly ve stupních, minutách a vteřinách.
a)
b)
[a) , b) ]
3) Vyjádřete dané úhly jako desetinné číslo.
a)
b)
[a) , b) ]
4) Vyjádřete dané úhly jako desetinné číslo.
a)
b)
[a) , b) ]
Planimetrie 21
Polorovina, úhel, dvojice úhlů
Varianta B
Určete velikost vedlejšího úhlu k danému úhlu .
a)
b)
Příklad:
Součet dvou vedlejších úhlů je . Velikost vedlejšího úhlu k danému úhlu tedy určíme,
tak, že velikost tohoto úhlu odečteme od .
a)
b)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Určete velikost vedlejšího úhlu k danému úhlu .
a)
b)
[a) , b) ]
2) Určete velikost vedlejšího úhlu k danému úhlu .
a)
b)
[a) , b) ]
Výsledek řešení:
a)
b)
22 Planimetrie
3) Určete velikost vedlejšího úhlu k danému úhlu .
a)
b)
[a) , b) ]
4) Určete velikost vedlejšího úhlu k danému úhlu .
a)
b)
[a) , b) ]
Planimetrie 23
Polorovina, úhel, dvojice úhlů
Varianta C
Určete velikost úhlu, který na kompasu svírá se směrem S směr
a) SZ
b) SSZ
Příklad:
Tzv. „směrovou růžici“ můžeme znázornit následujícím obrázkem:
Nejmenší úhel ve směrové růžici určíme např. jako .
a) Úhel mezi směrem S a SZ je tvořen dvěma těmito nejmenšími úhly, tedy
,
b) Úhel mezi směrem S a SSZ je tvořen jedním tímto nejmenším úhlem, tedy
.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
a) , b)
S
J
Z V
SZ SV
JV JZ
SSZ
ZSZ
SSV
VSV
VJV
JJV JJZ
ZJZ
24 Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Určete velikost úhlu, který na kompasu svírá se směrem J směr
a) SZ
b) JJZ
[a) , b) ]
2) Určete velikost úhlu, který na kompasu svírá se směrem SV směr
a) SZ
b) VJV
[a) , b) ]
3) Určete velikost úhlu, který na kompasu svírá se směrem JZ směr
a) SV
b) JJV
[a) , b) ]
4) Určete velikost úhlu, který na kompasu svírá se směrem SSZ směr
a) SZ
b) JJZ
[a) , b) ]
Planimetrie 25
Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek
Základní pojmy
Pro vzájemnou polohu dvou přímek v rovině mohou nastat tři případy:
a) přímky jsou různoběžné (mají jeden společný bod)
b) přímky jsou rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod
c) přímky jsou totožné (mají nekonečně mnoho společných bodů)
Věta:
Daným bodem A lze vést v dané přímce p jedinou rovnoběžku.
p
q
p
q
26 Planimetrie
Část roviny ohraničená dvěma rovnoběžkami se nazývá rovinný pás.
Jsou-li dány dvě rovnoběžné přímky a, b a třetí přímka p, která je obě protíná, říkáme, že
přímky a a b jsou proťaty příčkou p.
Dvojice úhlů se nazývají úhly souhlasné.
Dvojice úhlů se nazývají úhly střídavé.
Věta:
a) Je-li jedna dvojice souhlasných (střídavých) úhlů vyťatých příčkou p na přímkách a, b úhly
shodné, pak jsou přímky a a b rovnoběžné.
b) Jsou-li přímky a a b rovnoběžné, pak každá dvojice souhlasných (střídavých) úhlů
vyťatých příčkou p na přímkách a, b jsou úhly shodné.
p
q
a
b
p
Planimetrie 27
Odchylkou dvou různoběžných přímek a, b je velikost každého s ostrých nebo pravých úhlů
, které přímky spolu svírají.
Zápis:
| |
Jsou-li přímky a a b rovnoběžné, je jejich odchylka .
Jsou-li přímky a a b kolmé, je jejich odchylka . ( )
Věta:
a) Každým bodem A lze vést k dané přímce p jedinou kolmici k.
b) Je-li a , pak je .
c) Je-li a , pak je .
Věta:
Přímka, která prochází středem úsečky a je k ní kolmá, se nazývá osa úsečky.
Vzdáleností bodu A od přímky p nazýváme nejkratší vzdálenost tohoto bodu od přímky, tedy
vzdálenost tohoto bodu od paty kolmice vedené bodem A k přímce p.
a
b
28 Planimetrie
Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek
Varianta A
Jsou dány 4 navzájem různoběžné přímky p, q, r, s, z nichž žádné tři neprocházejí jedním
bodem. Určete počet všech průsečíků daných přímek.
Příklad:
Celý problém můžeme znázornit na obrázku:
Z obrázku je patrné, že celkový počet průsečíků je 6.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
Celkový počet průsečíků je 6.
p
q
r s
Planimetrie 29
Příklady k procvičení:
1) Jsou dány 3 navzájem různoběžné přímky, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem.
Určete počet všech průsečíků daných přímek. [3]
2) Je dáno 5 navzájem různoběžných přímek, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem.
Určete počet všech průsečíků daných přímek. [10]
3) Je dáno 8 navzájem různoběžných přímek, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem.
Určete počet všech průsečíků daných přímek. [28]
4) Je dáno n navzájem různoběžných přímek, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem.
Na základě výsledků předcházejících příkladů určete počet všech průsečíků daných přímek.
[
( )]
30 Planimetrie
Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek
Varianta B
Jsou dány dvě rovnoběžné přímky p, q a jejich příčka r. Velikost úhlu je . Určete
velikosti všech zbývajících vyznačených úhlů dle obrázku.
Příklad:
Úhly jsou úhly vrcholové a tedy shodné. Velikost úhlu je tedy .
Úhly jsou úhly souhlasné a tedy shodné. Velikost úhlu je tedy .
Úhly jsou úhly vedlejší a součet jejich velikostí je . Velkost úhlu tedy určíme
jako: .
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
p
q
r
Planimetrie 31
Příklady k procvičení:
1) Jsou dány dvě rovnoběžné přímky p, q a jejich příčka r. Velikost úhlu je . Určete
velikosti všech zbývajících vyznačených úhlů dle obrázku.
[ ]
2) Jsou dány dvě rovnoběžné přímky p, q a jejich příčka r. Velikost úhlu je . Určete
velikosti všech zbývajících vyznačených úhlů dle obrázku.
[ ]
p
q
r
p
q
r
32 Planimetrie
3) Jsou dány dvě rovnoběžné přímky p, q a jejich příčka r. Velikost úhlu je . Určete
velikosti všech zbývajících vyznačených úhlů dle obrázku.
[ ]
4) Jsou dány dvě rovnoběžné přímky p, q a jejich příčka r. Velikost úhlu je . Určete
velikosti všech zbývajících vyznačených úhlů dle obrázku.
[ ]
r
q
p
p
q
r
Planimetrie 33
Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek
Varianta C
Na obrázku jsou přímky a a b rovnoběžné. Určete velikosti úhlů .
Příklad:
Úhly jsou úhly vedlejší a součet jejich velikostí je . Velkost úhlu tedy určíme
jako: .
Úhly jsou úhly střídavé a tedy shodné. Velikost úhlu je tedy .
Úhly jsou úhly souhlasné a tedy shodné. Velikost úhlu je tedy .
Úhly jsou úhly vedlejší a součet jejich velikostí je . Velkost úhlu tedy určíme jako:
.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
a
b
c d
34 Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Na obrázku jsou přímky a a b rovnoběžné. Určete velikosti úhlů .
[ ]
2) Na obrázku jsou přímky a a b rovnoběžné. Určete velikosti úhlů .
[ ]
a
b
c d
a
b
c d
Planimetrie 35
3) Na obrázku jsou přímky a a b rovnoběžné. Určete velikosti úhlů .
[ ]
4) Na obrázku jsou přímky a a b rovnoběžné. Určete velikosti úhlů .
[ ]
a
b
c d
a
b
c d
36 Planimetrie
Trojúhelník
Základní pojmy
Definice:
Tři různé body A, B, C, které neleží na jedné přímce, určují trojúhelník ABC.
A, B, C – vrcholy trojúhelníku
a, b, c – strany trojúhelníku
, , – vnitřní úhly trojúhelníku
, , – vnější úhly trojúhelníku
Podle délek stran rozlišujeme trojúhelníky na:
- různostranné (žádné dvě strany nejsou shodné),
- rovnoramenné (dvě strany shodné),
- rovnostranné (všechny strany shodné).
Podle velikosti vnitřních úhlů dělíme trojúhelníky na:
- ostroúhlé (všechny úhly ostré),
- pravoúhlé (jeden úhel pravý),
- tupoúhlé (jeden úhel tupý).
Věta:
a) Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je .
b) Součet vnitřního a příslušného vnějšího úhlu je .
c) Velikost vnějšího úhlu je rovna součtu vnitřních úhlů u zbývajících dvou vrcholů.
A B
C
c
b a
Planimetrie 37
Věta:
Součet velikostí každých dvou stran trojúhelníku je větší než velikost strany třetí.
V každém trojúhelníku tedy platí tři tzv. trojúhelníkové nerovnosti:
Věta:
V každém trojúhelníku leží proti větší straně větší vnitřní úhel a naopak, proti většímu
vnitřnímu úhlu větší strana.
Definice:
Střední příčka trojúhelníku je úsečka spojující středy dvou stran trojúhelníku. Je rovnoběžná
s tou stranou trojúhelníku, jejíž střed nespojuje a její velikost je rovna polovině délky této
strany.
A B
C
A1 B1
C1
38 Planimetrie
Definice:
Spojnice vrcholu trojúhelníku s patou kolmice vedené tímto bodem k protilehlé straně
trojúhelníku se nazývá výška trojúhelníku. Všechny tři přímky, na nichž leží výšky
trojúhelníku, se protínají v jediném bodě zvaném ortocentrum.
Definice:
Spojnice vrcholu trojúhelníku se středem protilehlé strany trojúhelníku se nazývá těžnice
trojúhelníku. Všechny tři přímky, na nichž leží těžnice trojúhelníku, se protínají v jediném
bodě zvaném těžiště trojúhelníku.
Vzdálenost těžiště od každého vrcholu trojúhelníku je rovna dvěma třetinám délky příslušné
těžnice.
A B
C
A0
B0
C0
V
va vc
vb
Planimetrie 39
Věta:
a) Osy stran trojúhelníku se protínají v jediném bodě, středu kružnice trojúhelníku
opsané.
b) Osy vnitřních úhlů trojúhelníku se protínají v jediném bodě, středu kružnice
trojúhelníku vepsané.
A B
C
A1 B1
C1
T
ta
tc
tb
A B
C
A1 B1
C1
So
ko
40 Planimetrie
A B
C
Sv
kv
Planimetrie 41
Trojúhelník
Varianta A
Strany trojúhelníku mají délky 16 cm, 20 cm a 25 cm. Rozhodněte, zda tento trojúhelník lze
sestrojit.
Příklad:
Pro strany trojúhelníku musí být splněny všechny tzv. trojúhelníkové nerovnosti, tedy součet
délek každých dvou stran musí být větší než délka strany třetí.
a) … tato nerovnost je splněna.
b) … tato nerovnost je splněna.
c) … tato nerovnost je splněna.
Jelikož jsou splněny všechny tři trojúhelníkové nerovnosti, lze tento trojúhelník sestrojit.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Strany trojúhelníku mají délky 1,6 cm, 20 mm a 0,11 dm. Rozhodněte, zda tento
trojúhelník lze sestrojit. [ano]
2) Strany trojúhelníku mají délky 11 mm, 5 mm a 6 mm. Rozhodněte, zda tento trojúhelník
lze sestrojit. [ne]
3) Strany trojúhelníku mají délky 2,6 cm, 20 mm a 0,01 dm. Rozhodněte, zda tento
trojúhelník lze sestrojit. [ne]
4) Strany trojúhelníku mají délky 3,6 m, 2 m a 1,7 m. Rozhodněte, zda tento trojúhelník lze
sestrojit. [ano]
Výsledek řešení:
Trojúhelník lze sestrojit.
42 Planimetrie
Trojúhelník
Varianta B
Velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku jsou v poměru . Určete velikosti všech vnitřních
úhlů trojúhelníku.
Příklad:
Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je . Řešit tuto úlohu tedy znamená rozdělit
v poměru . Celkový počet dílů určíme jako . Velikost jednoho dílu
určíme vydělením:
Nejmenšímu úhlu trojúhelníku přísluší jeden díl, tedy má velikost . Prostřednímu úhlu
přísluší dva díly, tedy jeho velikost určíme jako . Největšímu úhlu trojúhelníku
přísluší šest dílů, takže jeho velikost určíme jako . Daný trojúhelník má tedy
vnitřní úhly o velikostech .
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku jsou v poměru . Určete velikosti všech
vnitřních úhlů trojúhelníku. [ ]
2) Velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku jsou v poměru . Určete velikosti všech vnitřních
úhlů trojúhelníku. [ ]
3) Velikosti vnějších úhlů trojúhelníku jsou v poměru . Určete velikosti všech
vnějších úhlů trojúhelníku. [ ]
4) Velikosti vnějších úhlů trojúhelníku jsou v poměru . Určete velikosti všech
vnějších úhlů trojúhelníku. [ ]
Výsledek řešení:
Daný trojúhelník má vnitřní úhly o velikostech .
Planimetrie 43
Trojúhelník
Varianta C
Jsou dány délky dvou stran trojúhelníku ABC: . Jakým podmínkám
musí vyhovovat délka třetí strany?
Příklad:
Pro strany trojúhelníku musí být splněny všechny tzv. trojúhelníkové nerovnosti, tedy součet
délek každých dvou stran musí být větší než délka strany třetí.
a)
b)
c)
Po dosazení dostáváme následující soustavu nerovnic:
a)
b)
c)
Po úpravě dostáváme:
a)
b)
c)
Řešením této soustavy nerovnic jsou všechna c, pro která platí: ( ).
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
( )
Výsledek řešení:
44 Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Jsou dány délky dvou stran trojúhelníku ABC: . Jakým podmínkám
musí vyhovovat délka třetí strany?
[ ( )]
2) Jsou dány délky dvou stran trojúhelníku ABC: . Jakým podmínkám
musí vyhovovat délka třetí strany?
[ ( )]
3) Jsou dány délky dvou stran trojúhelníku ABC: . Jakým podmínkám
musí vyhovovat délka třetí strany?
[ ( )]
4) Jsou dány délky dvou stran trojúhelníku ABC: . Jakým
podmínkám musí vyhovovat délka třetí strany?
[ ( )]
Planimetrie 45
Shodnost a podobnost trojúhelníků
Základní pojmy
Definice:
Dva trojúhelníky nazveme shodné, lze-li je navzájem přemístit tak, že se oba překrývají.
Pokud postačuje trojúhelník pouze přemístit, hovoříme o shodnosti přímé, pokud je
trojúhelník nutné nejen přemístit, ale i překlopit, hovoříme o shodnosti nepřímé.
O shodnosti trojúhelníků ovšem zpravidla nerozhodujeme pomocí přemísťování, nýbrž
používáme důležité věty o shodnosti trojúhelníků.
Věta: (sss)
Dva trojúhelníky, které se shodují ve všech třech stranách, jsou shodné.
Věta: (usu)
Dva trojúhelníky, které se shodují v jedné straně a úhlech přilehlých k této straně, jsou
shodné.
Věta: (sus)
Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou shodné.
Věta: (Ssu)
Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich.
46 Planimetrie
Definice:
Pro každé dvě úsečky AB a CD můžeme stanovit kladné reálné číslo k, pro které platí:
| | | |
Můžeme také psát: | | | |. Číslo k se nazývá poměr úseček AB a CD.
Definice:
Trojúhelník A´B´C´ je podobný trojúhelníku ABC, existuje-li kladné reálné číslo k takové, že
pro jejich strany platí:
| | | | | | | | | | | |
Číslo k se nazývá poměr podobnosti trojúhelníků ABC a A´B´C´. Je-li , hovoříme o
zvětšení, je-li , hovoříme o zmenšení. Pro se jedná o shodnost trojúhelníků.
Zápis podobnosti:
Z výše uvedené definice podobnosti trojúhelníků také vyplývá:
Věta:
Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže poměr délek každých dvou stran jednoho trojúhelníku
je roven poměru délek příslušných stran trojúhelníku druhého.
O podobnosti trojúhelníků můžeme také rozhodnout pomocí vět o podobnosti trojúhelníků.
Věta: (uu)
Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se ve dvou úhlech.
Věta: (sus)
Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se v jednom úhlu a v poměru délek stran ležících na
jeho ramenech.
Planimetrie 47
Shodnost a podobnost trojúhelníků
Varianta A
Jsou dány trojúhelníky ABC: a A´B´C´:
. Rozhodněte, zda jsou dané trojúhelníky shodné.
Příklad:
Při řešení je vhodné oba trojúhelníky načrtnout.
V trojúhelníku A´B´C´můžeme dopočítat velikost úhlu jako ( )
( ) . Jelikož po převodu jednotek platí , je na
základě obrázku patrné, že oba dva trojúhelníky jsou shodné podle věty usu.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Jsou dány trojúhelníky ABC: | | a MNO:
| | . Rozhodněte, zda jsou dané trojúhelníky shodné.
[ (sus)]
Výsledek řešení:
(usu)
A B
C
B´ A´
C´
48 Planimetrie
2) Jsou dány trojúhelníky KLM: a OPQ:
. Rozhodněte, zda jsou dané trojúhelníky shodné.
[ (sss)]
3) Jsou dány trojúhelníky DEF: | | | | a RST:
| | | | . Rozhodněte, zda jsou dané trojúhelníky shodné.
[ (usu)]
4) Jsou dány trojúhelníky ABC: | | a A´B´C´:
| | . Rozhodněte, zda jsou dané trojúhelníky shodné.
[ (Ssu)]
Planimetrie 49
Shodnost a podobnost trojúhelníků
Varianta B
Danou úsečku AB zvětšete v poměru .
Příklad:
Úsečku AB doplníme na konvexní úhel BAX. Na polopřímku naneseme tři jednotky a
označíme je např. body 1, 2, 3.
Koncový bod úsečky AB spojíme s bodem 2 a bodem 3 vedeme s touto spojnicí rovnoběžku.
Tato rovnoběžka určí na polopřímce bod B´. Trojúhelníky AB2 a AB´3 jsou podobné
podle věty uu s koeficientem podobnosti
. Pro úsečky AB a AB´ tedy platí:
| |
| | | | | |
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
A B B´
1
2
3
50 Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Danou úsečku AB zvětšete v poměru .
Výsledek řešení:
A B B´
1
2
3
A B B´
1
2
3
4
5
Planimetrie 51
2) Danou úsečku AB zvětšete v poměru .
3) Danou úsečku AB zmenšete v poměru .
A B B´
1
2
3
A B B´
1
2
3
52 Planimetrie
4) Danou úsečku AB zmenšete v poměru .
A B B´
1
2
3
4
5
6
7
Planimetrie 53
Shodnost a podobnost trojúhelníků
Varianta C
Danou úsečku AB rozdělte v poměru .
Příklad:
Úsečku AB doplníme na konvexní úhel BAX. Na polopřímku naneseme pět jednotek
(celkový počet dílů) a označíme je např. body 1, 2, 3, 4, 5.
Koncový bod úsečky AB spojíme s posledním bodem 5 a bodem 3 (první člen poměru)
vedeme s touto spojnicí rovnoběžku. Tato rovnoběžka určí na polopřímce bod X.
Trojúhelníky AB5 a AX3 jsou podobné podle věty uu s koeficientem podobnosti
. Pro poměr
úseček AX a XB tedy platí stejný poměr jako pro úsečky A3 a 35 (tedy ) :
| | | |
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
A B X
1
2
3
4
5
54 Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Danou úsečku AB rozdělte v poměru .
Výsledek řešení:
A B X
1
2
3
4
5
A B X
1
2
3
4
5
6
7
Planimetrie 55
2) Danou úsečku AB rozdělte v poměru .
3) Danou úsečku AB rozdělte v poměru .
A B X
1
2
3
4
5
6
7
A B X
1
2
3
4
5
6
7
Y
56 Planimetrie
4) Danou úsečku AB rozdělte v poměru .
A B X
1
2
3
4
5
6
7
Y Z
8
9
10
Planimetrie 57
Mnohoúhelníky
Základní pojmy
Definice:
Uzavřená lomená čára spolu s částí roviny ohraničené touto lomenou čárou se nazývá
mnohoúhelník.
Délka lomené čáry ohraničující mnohoúhelník se nazývá obvod mnohoúhelníku.
Vrcholy lomené čáry se nazývají vrcholy mnohoúhelníku.
Strany lomené čáry se nazývají strany mnohoúhelníku.
Mnohoúhelníku o n vrcholech říkáme n-úhelník (pro trojúhelník, pro
čtyřúhelník, …). Každý vrchol n-úhelníku má dva sousední vrcholy. Spojnice dvou
nesousedních vrcholů mnohoúhelníku se nazývá úhlopříčka mnohoúhelníku.
Věta:
Počet úhlopříček v n-úhelníku je dán vztahem
( ).
Definice:
Mnohoúhelník, který celý leží v jedné z polorovin určených kteroukoliv jeho stranou, se
nazývá konvexní mnohoúhelník.
Mnohoúhelník, který není konvexní, se nazývá nekonvexní mnohoúhelník.
58 Planimetrie
Konvexní šestiúhelník Nekonvexní pětiúhelník
Definice:
Každá taková polorovina, v níž daný konvexní mnohoúhelník leží, se nazývá opěrná
polorovina konvexního mnohoúhelníku.
Definice:
Vnitřní úhel konvexního mnohoúhelníku je průnik opěrných polorovin sousedních stran.
Každý vnitřní úhel konvexního mnohoúhelníku je konvexní.
Věta:
Součet velikostí všech vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku jed dán vztahem ( ) .
Definice:
Pravidelný n-úhelník je takový konvexní mnohoúhelník, jehož všechny vnitřní strany i úhly
jsou shodné
A B
C
D
E
F
A
B C
D
E
Planimetrie 59
Pravidelný (rovnostranný) trojúhelník Pravidelný čtyřúhelník (čtverec)
Pravidelný pětiúhelník Pravidelný šestiúhelník
60 Planimetrie
Mnohoúhelníky
Varianta A
V jakém konvexním n-úhelníku je součet vnitřních úhlů ?
Příklad:
Pro součet s vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku platí vztah:
( )
Odtud pro n dostáváme:
V konvexním šestiúhelníku je součet vnitřních úhlů .
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Určete součet vnitřních konvexního osmiúhelníku. [ ]
2) Určete součet vnitřních konvexního dvanáctiúhelníku. [ ]
3) V jakém konvexním n-úhelníku je součet vnitřních úhlů ? [v pětiúhelníku]
4) V jakém konvexním n-úhelníku je součet vnitřních úhlů ? [v dvacetiúhelníku]
Výsledek řešení:
V konvexním šestiúhelníku je součet vnitřních úhlů .
Planimetrie 61
Mnohoúhelníky
Varianta B
Který konvexní n-úhelník má 35 úhlopříček?
Příklad:
Pro počet úhlopříček u v konvexním n-úhelníku platí vztah:
( )
Odtud po dosazení dostáváme:
( )
Jedná se o kvadratickou rovnici, kterou postupně upravíme na anulovaný tvar.
( )|
( )
( ) √( ) ( )
√
√
Jelikož řešením je počet úhlů mnohoúhelníku, je řešením dané úlohy pouze číslo 10.
V konvexním desetiúhelníku je 35 úhlopříček.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
V konvexním desetiúhelníku je 35 úhlopříček.
62 Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Kolik úhlopříček má konvexní osmiúhelník? [ ]
2) Kolik úhlopříček má konvexní šestnáctiúhelník? [ ]
3) Který konvexní n-úhelník má 14 úhlopříček? [sedmiúhelník]
4) Který konvexní n-úhelník má 77 úhlopříček? [čtrnáctiúhelník]
Planimetrie 63
Mnohoúhelníky
Varianta C
Kolik vrcholů má pravidelný n-úhelník, jehož všechny vnitřní úhly mají velikost ?
Příklad:
Pro součet s vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku platí vztah:
( )
Jelikož se současně jedná o pravidelný n-úhelník, lze součet s vnitřních úhlů vyjádřit také
vztahem:
Z výše uvedených dvou rovnic tedy vyplývá:
( )
Jedná se o lineární rovnici, kterou řešíme následujícím způsobem:
|
|
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
64 Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Kolik vrcholů má pravidelný n-úhelník, jehož všechny vnitřní úhly mají velikost ?
[ ]
2) Kolik vrcholů má pravidelný n-úhelník, jehož všechny vnitřní úhly mají velikost ?
[ ]
3) Určete velikost vnitřních úhlů v pravidelném desetiúhelníku.
[ ]
4) Určete velikost vnitřních úhlů v pravidelném dvacetiúhelníku.
[ ]
Planimetrie 65
Čtyřúhelníky
Základní pojmy
Čtyřúhelníky můžeme rozdělit do tří skupin, na různoběžníky, lichoběžníky a rovnoběžníky.
Definice:
Různoběžník je čtyřúhelník, jehož žádné dvě strany nejsou rovnoběžné.
Definice:
Lichoběžník je čtyřúhelník, jehož dvě strany jsou rovnoběžné a zbývající dvě strany nejsou
rovnoběžné.
Rovnoběžné strany se nazývají základny, zbývající dvě ramena. Lichoběžník, jehož ramena
jsou shodná, nazýváme rovnoramenný lichoběžník. Lichoběžník, jehož jedno rameno je
kolmé k základně, nazýváme pravoúhlý lichoběžník.
Věta:
Střední příčka lichoběžníku je spojnice středů jeho ramen. Je rovnoběžná s oběma
základnami a její délka je rovna aritmetickému průměru délek obou základen.
Definice:
Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož obě dvě dvojice protilehlých stran jsou rovnoběžné.
Podle velikosti úhlů můžeme rovnoběžníky dělit na pravoúhlé (obdélník, čtverec) a kosoúhlé
(kosodélník, kosočtverec).
Podle délek stran dělíme rovnoběžníky na rovnostranné (čtverec, kosočtverec) a
různostranné (obdélník, kosodélník).
66 Planimetrie
Věta:
a) Protější strany rovnoběžníku jsou shodné.
b) Protější vnitřní úhly rovnoběžníku jsou shodné.
c) Úhlopříčky rovnoběžníku se navzájem půlí a jejich společný střed je středem
rovnoběžníku.
Definice:
Čtyřúhelník, jemuž lze opsat kružnici, se nazývá tětivový čtyřúhelník.
Věta:
Součet protějších úhlů tětivového čtyřúhelníku je .
Definice:
Čtyřúhelník, jemuž lze vepsat kružnici, se nazývá tečnový čtyřúhelník.
Věta:
Součty délek dvojic protějších stran tečnového čtyřúhelníku jsou si rovny.
Definice:
Čtyřúhelník, jemuž lze opsat i vepsat kružnici, se nazývá dvojstředový čtyřúhelník.
Definice:
Deltoid je čtyřúhelník, jehož úhlopříčky jsou navzájem kolmé a jedna z nich prochízí středem
druhé.
Planimetrie 67
Deltoid
68 Planimetrie
Čtyřúhelníky
Varianta A
V lichoběžníku ABCD ( ) platí:
Vypočtěte velikosti zbylých vnitřních úhlů lichoběžníku.
Příklad:
Jelikož v daném lichoběžníku platí , je zřejmé, že součet úhlů a je vždy
(viz. souhlasné a vedlejší úhly). Pro velikost úhlu tedy platí:
Pro úhly pak platí následující soustava rovnic:
Při řešení můžeme např. využít dosazovací metodu a z druhé rovnice dosadit do první za .
|
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) V lichoběžníku ABCD ( ) platí:
Vypočtěte velikosti zbylých vnitřních úhlů lichoběžníku.
[ ]
Výsledek řešení:
Planimetrie 69
2) V lichoběžníku ABCD ( ) platí:
Vypočtěte velikosti zbylých vnitřních úhlů lichoběžníku.
[ ]
3) V lichoběžníku ABCD ( ) platí:
Vypočtěte velikosti zbylých vnitřních úhlů lichoběžníku.
[ ]
4) V lichoběžníku ABCD ( ) platí:
Vypočtěte velikosti zbylých vnitřních úhlů lichoběžníku.
[ ]
70 Planimetrie
Čtyřúhelníky
Varianta B
V tětivovém čtyřúhelníku ABCD platí , . Vypočtěte velikosti
zbývajících vnitřních úhlů čtyřúhelníku.
Příklad:
V tětivovém čtyřúhelníku je součet velikostí protějších vnitřních úhlů úhel přímý, platí tedy:
Pro velikosti zbylých vnitřních úhlů tedy platí:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) V tětivovém čtyřúhelníku ABCD platí , . Vypočtěte velikosti
zbývajících vnitřních úhlů čtyřúhelníku. [ ]
2) V tětivovém čtyřúhelníku ABCD platí , . Vypočtěte velikosti
zbývajících vnitřních úhlů čtyřúhelníku. [ ]
3) V tětivovém čtyřúhelníku ABCD platí , . Vypočtěte velikosti
zbývajících vnitřních úhlů čtyřúhelníku. [ ]
4) V tětivovém čtyřúhelníku ABCD platí , . Vypočtěte velikosti
zbývajících vnitřních úhlů čtyřúhelníku. [ ]
Výsledek řešení:
Planimetrie 71
Čtyřúhelníky
Varianta C
V tečnovém čtyřúhelníku ABCD platí , . Vypočtěte velikosti
zbývajících stran čtyřúhelníku, je-li obvod čtyřúhelníku 80 cm.
Příklad:
V tečnovém čtyřúhelníku je součet velikostí protějších stran shodný, platí tedy:
Pro obvod čtyřúhelníku dále platí:
Dostáváme tak soustavu dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými:
Z první rovnice můžeme vyjádřit c:
Z tohoto vyjádření dosadíme do druhé rovnice:
( )
|
|
Pro velikost strany c pak platí:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
72 Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) V tečnovém čtyřúhelníku ABCD platí , . Vypočtěte velikosti
zbývajících stran čtyřúhelníku, je-li obvod čtyřúhelníku 100 mm.
[ ]
2) V tečnovém čtyřúhelníku ABCD platí , . Vypočtěte velikosti
zbývajících stran čtyřúhelníku, je-li obvod čtyřúhelníku 15,1 m.
[ ]
3) V tečnovém čtyřúhelníku ABCD platí , . Vypočtěte velikosti
zbývajících stran čtyřúhelníku, je-li obvod čtyřúhelníku 11,6 cm.
[ ]
4) V tečnovém čtyřúhelníku ABCD platí , . Vypočtěte velikosti
zbývajících stran čtyřúhelníku, je-li obvod čtyřúhelníku 78 mm.
[ ]
Planimetrie 73
Kružnice, kruh
Základní pojmy
Definice:
Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k (S; r) je množina všech bodů (roviny), které mají od
bodu S vzdálenost r.
Bod S se nazývá střed kružnice, číslo r je poloměr kružnice.
Definice:
Množina všech bodů roviny, které mají od bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r, se nazývá
kruh K (S; r).
Bod S se nazývá střed kruhu, číslo r je poloměr kruhu.
Body, jejichž vzdálenost od středu S je menší (větší) než poloměr, tvoří vnitřní (vnější) oblast
kruhu, popř. kružnice.
74 Planimetrie
Definice:
Úsečka AB, kde A, B jsou dva různé body kružnice, se nazývá tětiva kružnice. Tětiva, která
prochází středem, je průměr kružnice; značíme ho d.
Věta:
Pro vzájemnou polohu přímky a kružnice může nastat jedna z následujících možností:
a) Přímka a kružnice nemají žádný společný bod. Přímka se v tomto případě nazývá vnější
přímka kružnice.
b) Přímka a kružnice mají jeden společný bod – bod dotyku. Přímka se v tomto případě
nazývá tečna kružnice.
c) Přímka a kružnice mají dva společné body – průsečíky. Přímka se v tomto případě nazývá
sečna kružnice.
a) b) c)
S
A B
k
S
k
P
p
S
k
P=T
p
S
k
P
p
A
P
B
Planimetrie 75
Věta:
a) Pata kolmice vedené ze středu kružnice na sečnu AB je středem tětivy AB.
b) Tečna kružnice je kolmá k poloměru, který spojuje bod dotyku se středem kružnice.
Věta:
Pro vzájemnou polohu dvou kružnic ( ; ), ( ; ) může nastat jedna z následujících
možností:
a) | | … kružnice nazýváme soustředné
b) | | | |
76 Planimetrie
c) | | | | … kružnice mají vnitřní dotyk
d) | | | | | | … kružnice mají dva společné body
e) | | | | … kružnice mají vnější dotyk
Planimetrie 77
f) | | | |
78 Planimetrie
Kružnice, kruh
Varianta A
Je dána kružnice ( ; ) a přímka p, pro kterou platí | | .
Rozhodněte o vzájemné poloze přímky p a kružnice k.
Příklad:
Jelikož je vzdálenost přímky od středu kružnice větší, než je poloměr kružnice, je patrné, že
přímka a kružnice nemají žádný společný bod. Přímka p je tedy vnější přímka kružnice k.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Je dána kružnice ( ; ) a přímka p, pro kterou platí | | .
Rozhodněte o vzájemné poloze přímky p a kružnice k.
[Přímka p je sečnou kružnice k.]
2) Je dána kružnice ( ; ) a přímka p, pro kterou platí | | .
Rozhodněte o vzájemné poloze přímky p a kružnice k.
[Přímka p je sečnou kružnice k.]
3) Je dána kružnice ( ; ) a přímka p, pro kterou platí | | .
Rozhodněte o vzájemné poloze přímky p a kružnice k.
[Přímka p je tečnou kružnice k.]
4) Je dána kružnice ( ; ) a přímka p, pro kterou platí | | .
Rozhodněte o vzájemné poloze přímky p a kružnice k.
[Přímka p je vnější přímka kružnice k.]
Výsledek řešení:
Přímka p je vnější přímka kružnice k.
Planimetrie 79
Kružnice, kruh
Varianta B
Je dána kružnice ( ; ) a bod A, pro kterou platí | | . Určete
vzdálenost bodu A od bodu dotyku tečny vedené ke kružnici k z bodu A.
Příklad:
Z obrázku je patrné, že tečna vedená ke kružnici k z bodu A je kolmá na poloměr, tedy na
úsečku ST. Pro daný pravoúhlý trojúhelník pak platí Pythagorova věta:
| | | | | |
Pro hledanou velikost úsečky AT pak platí:
| | | | | |
| | √| | | | √
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
| |
Výsledek řešení:
80 Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Je dána kružnice ( ; ) a bod B, pro kterou platí | | . Určete vzdálenost
bodu B od bodu dotyku tečny vedené ke kružnici k z bodu B.
[| | ]
2) Je dána kružnice ( ; ) a bod C, pro kterou platí | | . Vzdálenost bodu C od
bodu dotyku tečny vedené ke kružnici k z bodu C je 24 cm. Určete poloměr kružnice k.
[ ]
3) Je dána kružnice ( ; ) a bod D, pro kterou platí | | . Vzdálenost bodu D od
bodu dotyku tečny vedené ke kružnici k z bodu D je 16 mm. Určete poloměr kružnice k.
[ ]
4) Je dána kružnice ( ; ) a bod A, pro kterou platí | | . Určete
vzdálenost bodu A od bodu dotyku tečny vedené ke kružnici k z bodu A.
[| | ]
Planimetrie 81
Kružnice, kruh
Varianta C
Jsou dány kružnice ( ; ) a ( ; ). Pro vzdálenost jejich středů
platí | | . Rozhodněte o vzájemné poloze obou kružnic.
Příklad:
Abychom mohli rozhodnout o vzájemné poloze obou kružnic, určíme hodnoty následujících
dvou výrazů:
| | | |
| | | |
Platí tedy nerovnost:
| | | |
Kružnice nemají žádný společný bod a žádná z nich neleží uvnitř druhé.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
Kružnice nemají žádný společný bod a žádná z nich
neleží uvnitř druhé.
82 Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Jsou dány kružnice ( ; ) a ( ; ). Pro vzdálenost jejich
středů platí | | . Rozhodněte o vzájemné poloze obou kružnic.
[Kružnice mají vnější dotyk.]
2) Jsou dány kružnice ( ; ) a ( ; ). Pro vzdálenost jejich
středů platí | | . Rozhodněte o vzájemné poloze obou kružnic.
[Kružnice mají vnitřní dotyk.]
3) Jsou dány kružnice ( ; ) a ( ; ). Pro vzdálenost jejich středů
platí | | . Rozhodněte o vzájemné poloze obou kružnic.
[Kružnice mají dva společné body.]
4) Jsou dány kružnice ( ; ) a ( ; ). Pro vzdálenost jejich středů
platí | | . Rozhodněte o vzájemné poloze obou kružnic.
[Kružnice nemají žádný společný bod a menší z nich leží uvnitř druhé.]
Planimetrie 83
Úhly v kružnici
Základní pojmy
Definice:
Úhel nazýváme středový úhel příslušný k oblouku AB. K danému oblouku AB
existuje jediný středový úhel. Oblouk AB vždy leží uvnitř tohoto úhlu.
Definice:
Úhly , , nazýváme obvodové úhly příslušné k oblouku
AB. K danému oblouku AB existuje nekonečně mnoho obvodových úhlů. Oblouk AB vždy
leží uvnitř tohoto úhlu.
Věta:
Velikost středového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu příslušného
k témuž oblouku.
84 Planimetrie
Důsledky:
a) Všechny obvodové úhly příslušné k danému oblouku jsou shodné.
b) Obvodový úhel příslušný k menšímu oblouku je ostrý.
c) Obvodový úhel příslušný k většímu oblouku je tupý.
d) Obvodový úhel příslušný k půlkružnici je pravý.
Věta: (Thaletova)
Všechny úhly nad průměrem kružnice jsou pravé.
Planimetrie 85
Úhly v kružnici
Varianta A
Vypočtěte velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je
délky kružnice.
Příklad:
Celá situace je patrná z následujícího obrázku:
Jelikož délka celé kružnice odpovídá středovému úhlu o velikosti , určíme velikost
středového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je
délky kružnice takto:
Pro velikost obvodového úhlu příslušného k témuž oblouku pak platí:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
86 Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Vypočtěte velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je
délky
kružnice.
[ ]
2) Vypočtěte velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je
délky
kružnice.
[ ]
3) Vypočtěte velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je
délky
kružnice.
[ ]
4) Vypočtěte velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je
délky
kružnice.
[ ]
Planimetrie 87
Úhly v kružnici
Varianta B
V pravidelném osmiúhelníku ABCDEFGH vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku
BDE.
Příklad:
Z obrázku je patrné, že k oblouku BD přísluší středový úhel a z vlastností pravidelného
osmiúhelníku vyplývá, že pro jeho velikost platí:
Úhel je pak obvodovým úhlem k témuž oblouku a pro jeho velikost tedy platí:
Z obrázku je patrné, že k oblouku DE přísluší středový úhel a z vlastností pravidelného
osmiúhelníku vyplývá, že pro jeho velikost platí:
88 Planimetrie
Úhel je pak obvodovým úhlem k témuž oblouku a pro jeho velikost tedy platí:
Z obrázku je patrné, že k oblouku BE přísluší středový úhel a z vlastností pravidelného
osmiúhelníku vyplývá, že pro jeho velikost platí:
Úhel je pak obvodovým úhlem k témuž oblouku a pro jeho velikost tedy platí:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) V pravidelném osmiúhelníku ABCDEFGH vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku
BEG. [ ]
2) V pravidelném osmiúhelníku ABCDEFGH vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku
BFG. [ ]
3) V pravidelném osmiúhelníku ABCDEFGH vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku
BFH. [ ]
4) V pravidelném osmiúhelníku ABCDEFGH vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku
BHA. [ ]
Výsledek řešení:
Planimetrie 89
Úhly v kružnici
Varianta C
Na hodinovém ciferníku vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku tvořeného vrcholy 2,
10, 11.
Příklad:
Z obrázku je patrné, že k oblouku 2, 11 přísluší středový úhel a z vlastností pravidelného
osmiúhelníku vyplývá, že pro jeho velikost platí:
Úhel je pak obvodovým úhlem k témuž oblouku a pro jeho velikost tedy platí:
Z obrázku je patrné, že k oblouku 2, 10 přísluší středový úhel a z vlastností pravidelného
osmiúhelníku vyplývá, že pro jeho velikost platí:
90 Planimetrie
Úhel je pak obvodovým úhlem k témuž oblouku a pro jeho velikost tedy platí:
Z obrázku je patrné, že k oblouku 10, 11 přísluší středový úhel a z vlastností pravidelného
osmiúhelníku vyplývá, že pro jeho velikost platí:
Úhel je pak obvodovým úhlem k témuž oblouku a pro jeho velikost tedy platí:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Na hodinovém ciferníku vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku tvořeného vrcholy
2, 5, 7. [ ]
2) Na hodinovém ciferníku vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku tvořeného vrcholy
4, 7, 12. [ ]
3) Na hodinovém ciferníku vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku tvořeného vrcholy
2, 3, 7. [ ]
4) Na hodinovém ciferníku vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku tvořeného vrcholy
1, 7, 12. [ ]
Výsledek řešení:
Planimetrie 91
Obvody a obsahy rovinných obrazců
Základní pojmy
Útvar Obrázek Obvod a obsah
Trojúhelník
obvod:
obsah:
√ ( )( )( ),
kde
(Herónův vzorec)
Čtverec
obvod:
obsah:
Obdélník
obvod:
( )
obsah:
Kosočtverec
obvod:
obsah:
92 Planimetrie
Útvar Obrázek Obvod a obsah
Kosodélník
obvod:
( )
obsah:
Lichoběžník
obvod:
obsah:
( )
Kružnice,
kruh
obvod:
obsah:
Mezikruží
obsah:
(
) (
)
Planimetrie 93
Věta:
Je-li a délka strany pravidelného n-úhelníku, pak platí:
,
kde je poloměr kružnice vepsané danému n-úhelníku.
Věta:
Délku l kruhového oblouku AB příslušného ke středovému úhlu v kružnici s poloměrem r
lze vyjádřit takto:
a)
, je-li úhel vyjádřený ve stupních,
b) , je-li úhel vyjádřený v radiánech.
94 Planimetrie
Obvody a obsahy rovinných obrazců
Varianta A
Vypočtěte délky stran obdélníku, jehož obsah je 10,8 cm2 a obvod 13,8 cm.
Příklad:
______________________________
Pro obsah obdélníku platí:
a pro obvod:
( )
Po dosazení tedy dostáváme následující soustavu rovnic::
( )
Soustavu řešíme např. dosazovací metodou tak, že z první rovnice vyjádříme neznámou a a
dosadíme do druhé rovnice:
( )
(
) |
|
|
Obdrželi jsme kvadratickou rovnici, kterou řešíme dosazením do vzorce:
√( )
;
Dosazením do rovnice ( ) pak pro hodnoty neznámé a dostáváme:
Planimetrie 95
;
Srovnáním obou výsledků vidíme, že řešením je jediný obdélník se stranami délky 2,4 cm a
4,5 cm.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočtěte délky stran obdélníku, jehož obsah je 2340,8 mm2 a obvod 253,8 mm.
[Řešením je obdélník se stranami délky 22,4 mm a 104,5 mm.]
2) Vypočtěte délky stran obdélníku, jehož obsah je 0,651 m2 a obvod 3,94 m.
[Řešením je obdélník se stranami délky 0,42 m a 1,55 m.]
3) Vypočtěte délky stran obdélníku, jehož obsah je 204,6 cm2 a obvod 57,8 cm.
[Řešením je obdélník se stranami délky 12,4 cm a 16,5 cm.]
4) Vypočtěte délky stran obdélníku, jehož obsah je 4,9 dm2 a obvod 9,8 dm.
[Řešením je obdélník se stranami délky 1,4 dm a 3,5 dm.]
Výsledek řešení:
Řešením je obdélník se stranami délky 2,4 cm a 4,5 cm.
96 Planimetrie
Obvody a obsahy rovinných obrazců
Varianta B
Vypočtěte délku kruhového oblouku AB příslušného na kružnici o poloměru 12 cm
středovému úhlu o velikosti .
Příklad:
Pro délku kruhového oblouku příslušného na kružnici o poloměru r středovému úhlu
vyjádřeného ve stupních platí vztah:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočtěte délku kruhového oblouku AB příslušného na kružnici o poloměru 1,12 m
středovému úhlu o velikosti . [ ]
2) Vypočtěte délku kruhového oblouku AB příslušného na kružnici o průměru 12,12 dm
středovému úhlu o velikosti . [ ]
3) Vypočtěte délku kruhového oblouku AB příslušného na kružnici o poloměru 233 mm
středovému úhlu o velikosti . [ ]
4) Vypočtěte délku kruhového oblouku AB příslušného na kružnici o průměru 68 cm
středovému úhlu o velikosti
. [ ]
Výsledek řešení:
Planimetrie 97
Obvody a obsahy rovinných obrazců
Varianta C
Vypočtěte obsah mezikruží, jeho ž menší poloměr má délku 12 cm a větší poloměr má třikrát
větší délku.
Příklad:
________________________________
Pro obsah mezikruží platí vztah:
(
) ( )
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočtěte poloměr kružnice vepsané pravidelnému šestiúhelníku s obsahem 1500 mm2 a
délkou strany 16 mm. [ ]
2) Vypočtěte obsah trojúhelníku, jehož strany mají délky 20 cm, 16 cm a 28 cm.
[ ]
3) Určete poloměr kruhového hřiště, které musí žáci oběhnout pětkrát, aby uběhli 1500 m.
[ ]
4) Vypočtěte obsah kruhu, jehož obvod je roven součtu obvodů tří kruhů s poloměry 1 cm, 2
cm a 3 cm. [ ]
Výsledek řešení:
98 Planimetrie
Euklidovy věty, věta Pythagorova
Základní pojmy
Věta:
V každém pravoúhlém trojúhelníku s přeponou c a odvěsnami a, b platí:
a) - Euklidova věta o výšce
b) - Euklidova věta o odvěsně
c) - Euklidova věta o odvěsně
d) - Pythagorova věta
Věta: (obrácená Pythagorova)
Platí-li pro délky stran trojúhelníku ABC vztah , je tento trojúhelník pravoúhlý a
c je délka jeho přepony.
Planimetrie 99
Euklidovy věty, věta Pythagorova
Varianta A
Rozhodněte, zda trojúhelník se stranami 50 mm, 120 mm a 130 mm je pravoúhlý.
Příklad:
Pokud je trojúhelník s těmito stranami pravoúhlý, pak přeponou je nejdelší a strana a platí
rovnost:
Vypočteme zvlášť hodnotu levé a pravé strany rovnosti:
Uvedený trojúhelník je pravoúhlý.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Rozhodněte, zda trojúhelník se stranami 7,2 cm, 9,6 cm a 12 cm je pravoúhlý.
[Uvedený trojúhelník je pravoúhlý.]
2) Rozhodněte, zda trojúhelník se stranami 28 mm, 67,2 mm a 72,8 mm je pravoúhlý.
[Uvedený trojúhelník je pravoúhlý.]
3) Rozhodněte, zda trojúhelník se stranami 1,2 dm, 2,4 dm a 2,7 dm je pravoúhlý.
[Uvedený trojúhelník není pravoúhlý.]
4) Rozhodněte, zda trojúhelník se stranami 0,24 m, 0,36 m a 0,43 m je pravoúhlý.
[Uvedený trojúhelník není pravoúhlý.]
Výsledek řešení:
Uvedený trojúhelník je pravoúhlý.
100 Planimetrie
Euklidovy věty, věta Pythagorova
Varianta B
Vypočtěte zbývající prvky pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C, je-li
dáno:
;
Příklad:
Při řešení vyjdeme z obrázku a barevně zvýrazníme zadané údaje:
S využitím Euklidových vět a goniometrických funkcí postupně provedeme následující
výpočty:
√ √
√ √
√ √
Planimetrie 101
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočtěte zbývající prvky pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C, je-
li dáno:
;
[ ; ; ; ; ; ]
2) Vypočtěte zbývající prvky pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C, je-
li dáno:
;
[ ; ; ; ; ; ]
3) Vypočtěte zbývající prvky pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C, je-
li dáno:
;
[ ; ; ; ; ; ]
4) Vypočtěte zbývající prvky pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C, je-
li dáno:
;
[ ; ; ; ; ; ]
Výsledek řešení:
; ; ; ; ;
102 Planimetrie
Euklidovy věty, věta Pythagorova
Varianta C
Obsah kosočtverce je 300 cm2 a poměr jeho úhlopříček je 3:4. Vypočtěte délky jeho
úhlopříček a strany.
Příklad:
________________________________
Pro obsah kosočtverce platí vztah:
a dále je splněna rovnice:
Po dosazení tak dostáváme následující soustavu rovnic:
____________________
|
|
____________________
Z druhé rovnice nyní dosadíme do první:
|
|
Planimetrie 103
Jedná se o ryze kvadratickou rovnici, která má dvě řešení, ovšem geometrický význam má
pouze kladný kořen, neboť se jedná o délku úhlopříčky.
√ √
√ √
Jelikož jsou úhlopříčky kosočtverce navzájem kolmé a půlí se, můžeme s využitím
Pythagorovy věty psát:
(
)
(
)
√(
)
(
)
√( √
)
( √
)
√
√
√
√
√ √
√
√
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Délky odvěsen pravoúhlého trojúhelníku jsou 20,5 cm a 49,2 cm. Vypočtěte poloměr
kružnice opsané a vepsané. [ ]
2) Dvě rovnoběžné tětivy v kružnici o poloměru18 cm mají délky 18 cm a 30 cm. Určete
jejich vzdálenost. [ ; ]
3) Vypočtěte délku tětivy v kružnici s poloměrem 25 cm, víte-li, že tětiva dělí průměr k ní
kolmý v poměru 2:3. [ ]
4) Jsou dány kružnice s poloměry 8 cm a 4 cm. Vzájemná vzdálenost středů kružnic je 14 cm.
Vypočtěte délky úseček omezených body dotyku obou kružnic s jejich společnými tečnami.
[ ; ]
Výsledek řešení:
√ ; √ ;
√
104 Planimetrie
Konstrukční úlohy
Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce
Základní pojmy
Definice:
Kružnice ( ) je množina všech bodů, které mají od bodu S vzdálenost r.
symbolicky: ( ) { | | }
Definice:
Osa o úsečky AB je množina všech bodů, které mají od bodů A, B stejnou vzdálenost.
symbolicky: { | | | |}
Planimetrie 105
Definice:
Množina všech bodů, které mají od přímky p vzdálenost , je dvojice přímek
rovnoběžných s přímkou p, ležících v opačných polorovinách určených přímkou p ve
vzdálenosti v od ní.
symbolicky: { | | }
Poznámka: Takovou dvojici přímek také nazýváme ekvidistanta přímky p.
Definice:
Množina všech bodů konvexního úhlu AVB, které mají stejnou vzdálenost od přímek, v nichž
leží jeho ramena, je osa o tohoto úhlu.
symbolicky: { | | | |}
106 Planimetrie
Definice:
Množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od dvou různoběžek a, b, jsou osy o1 a o2
úhlů sevřených různoběžkami a a b.
symbolicky: { | | | |}
Planimetrie 107
Definice:
Množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od dvou rovnoběžek a, b ( ), je osa o
pásu (a, b).
symbolicky: { | | | |}
Definice:
Množina vrcholů všech pravých úhlů, jejichž ramena procházejí body A, B ( ), tj.
množina všech bodů, z nichž vidíme úsečku AB pod pravým úhlem, je kružnice s průměrem
AB kromě bodů A a B (Thaletova kružnice).
symbolicky: { | | }
108 Planimetrie
Definice:
Množina vrcholů všech úhlů o velikosti , jejichž ramena procházejí body A, B ( ), tj.
množina všech bodů, z nichž vidíme úsečku AB pod úhlem , jsou dva shodné otevřené
kružnicové oblouky , s krajními body A a B.
symbolicky: { } { | | }
Planimetrie 109
Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce
Varianta A
Je dána úsečka AB délky 5 cm. Sestrojte množinu všech bodů roviny, z nichž je vidět úsečku
AB pod úhlem .
Příklad:
Daná množina je důležitá při řešení celé řady konstrukčních úloh. Při její konstrukci se
používá specifický postup:
Zápis konstrukce:
1.) | |
2.)
3.) | |
4.) | |
5.)
6.) ( )
7.) ( | |)… kruhový oblouk
8.) ( | |)… kruhový oblouk
9.) { } { | | }
110 Planimetrie
Konstrukce:
Planimetrie 111
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Je dána úsečka AB délky 5 cm. Sestrojte množinu všech bodů roviny, z nichž je vidět
úsečku AB pod úhlem .
Výsledek řešení:
112 Planimetrie
2) Je dána úsečka AB délky 5 cm. Sestrojte množinu všech bodů roviny, z nichž je vidět
úsečku AB pod úhlem .
Planimetrie 113
3) Je dána úsečka AB délky 5 cm. Sestrojte množinu všech bodů roviny, z nichž je vidět
úsečku AB pod úhlem .
4) Je dána úsečka AB délky 5 cm. Sestrojte množinu všech bodů roviny, z nichž je vidět
úsečku AB pod úhlem .
114 Planimetrie
Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce
Varianta B
Je dán čtverec ABCD. Na jeho obvodu sestrojte všechny body, ze kterých je vidět jeho
úhlopříčka AC pod úhlem .
Příklad:
Nad úhlopříčkou AC sestrojíme množinu bodů, z nichž je vidět daná úsečka pod úhlem .
Hledané body pak nejdeme jako průsečíky obvodu čtverce s touto množinou.
Zápis konstrukce:
1.) čtverec ABCD
2.) AC
3.) { } { | | }
4.)
5.)
6.)
7.)
Konstrukce:
Planimetrie 115
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Je dán rovnostranný trojúhelník ABC. Na jeho obvodu sestrojte všechny body, ze kterých je
vidět jeho strana AB pod úhlem .
Výsledek řešení:
116 Planimetrie
2) Je dán rovnostranný kosočtverec ABCD ( ). Na jeho obvodu sestrojte všechny
body, ze kterých je vidět jeho strana AB pod úhlem .
Planimetrie 117
3) Je dána kružnice ( | |). Na obvodu kružnice sestrojte všechny body, ze kterých je
vidět poloměr SA pod úhlem .
4) Je dán obdélník ABCD ( ). V rovině sestrojte všechny body, ze kterých
je jak úsečku AB, tak i úsečku BC vidět pod úhlem .
118 Planimetrie
Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce
Varianta C
Jsou dány dvě různé rovnoběžky a, b a bod . Sestrojte všechny body roviny, které mají
stejnou vzdálenost od obou rovnoběžek a současně je jejich vzdálenost od bodu A 5 cm.
Příklad:
Množinou všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od dvou rovnoběžek je osa pásu
tvořeného těmito rovnoběžkami. Množinou bodů, které mají od bodu A vzdálenost 5 cm je
kružnice se středem A a poloměrem 5 cm. Hledané body tedy určíme jako průnik obou těchto
množin daných vlastností.
Zápis konstrukce:
1.) a, b;
2.)
3.) { | | | |}
4.) ( )
5.)
Konstrukce:
Planimetrie 119
Diskuze:
Úloha má podle zvolené polohy obou přímek buď 2, 1 nebo žádné řešení.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Je dána přímka p a bod A, pro který platí . Sestrojte všechny body roviny, které mají
od přímky p a bodu A vzdálenost 3 cm.
Výsledek řešení:
Úloha má podle zvolené polohy obou přímek buď 2, 1 nebo
žádné řešení.
120 Planimetrie
2) Je dán úhel a přímka p, která je různoběžná s oběma rameny úhlu. Sestrojte všechny
body roviny, které mají stejnou vzdálenost od obou ramen úhlu a jejich vzdálenost od přímky
p je současně 3 cm.
3) Jsou dány tři různé body roviny A, B, C. Sestrojte všechny body roviny, které mají stejnou
vzdálenost od všech tří bodů.
Planimetrie 121
4) Jsou dány dvě různoběžky p, q. Sestrojte všechny body roviny, které mají stejnou
vzdálenost od obou přímek a jejich vzdálenost od průsečíku obou přímek je 4 cm.
122 Planimetrie
Konstrukční úlohy
Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků
Základní pojmy
Trojúhelník je zpravidla určen třemi vhodně zvolenými prvky (strana, úhel, výška, těžnice,
poloměr kružnice opsané a vepsané).
Při konstrukci čtyřúhelníku jde zpravidla o konstrukci trojúhelníků, na které je čtyřúhelník
rozdělen úhlopříčkami.
Geometrické konstrukční úlohy se obvykle dělí na úlohy polohové a metrické.
Polohové úlohy jsou úlohy o vzájemné poloze geometrických útvarů a není při nich třeba
„měřit“, tedy zjišťovat rozměry geometrických útvarů.
Planimetrie 123
Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků
Varianta A
Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: .
Příklad:
Rozbor:
Vzdálenost bodu A od přímky BC je 4 cm. Množinou všech bodů ve zvolené polorovině,
jejichž vzdálenost od přímky BC je rovna 4 cm, je přímka p rovnoběžná s přímkou BC a
sestrojená ve vzdálenosti 4 cm. Vzdálenost bodu A od bodu B je 5cm. Množinou všech bodů
roviny, které mají od bodu B vzdálenost 5 cm, je kružnice se středem B a poloměrem 5 cm.
Bod A tedy najdeme jako průsečík přímky p a kružnice k.
Zápis konstrukce:
1.) | |
2.) ( )
3.) | |
4.)
5.)
A
B C a
c
va
p k
124 Planimetrie
Konstrukce:
Diskuze:
Úloha má dvě různá řešení ve zvolené polorovině.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
Planimetrie 125
Příklady k procvičení:
1) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: .
2) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: .
126 Planimetrie
3) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: .
4) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: .
Planimetrie 127
Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků
Varianta B
Sestrojte kosodélník ABCD, je-li dáno: .
Příklad:
Rozbor:
Při konstrukci nejdříve sestrojíme trojúhelník ABC, jedná se o konstrukci sss. Následně
využijeme toho, že protilehlé strany kosodélníku jsou rovnoběžné. Bod D tedy musí ležet jak
na rovnoběžce s úsečkou BC procházející bodem A, tak i na rovnoběžce s úsečkou AB
procházející bodem C. Bod D tedy leží v průsečíku obou těchto rovnoběžek p, q.
Zápis konstrukce:
1.) | |
2.) ( )
3.) ( )
4.)
5.)
6.)
7.)
8.) ABCD
A B
C D
a
b e
p q
k1
k2
128 Planimetrie
Konstrukce:
Diskuze:
Úloha má ve zvolené polorovině jedno řešení.
Planimetrie 129
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dáno: .
Výsledek řešení:
130 Planimetrie
2) Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dáno: .
3) Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno: .
Planimetrie 131
4) Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno: .
132 Planimetrie
Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků
Varianta C
Sestrojte pravoúhlý lichoběžník ABCD s pravým úhlem u vrcholu A, je-li dáno:
.
Příklad:
Rozbor:
Při konstrukci nejdříve sestrojíme trojúhelník ABC, jedná se o konstrukci sus. Následně
využijeme toho, že protilehlé strany lichoběžníku jsou rovnoběžné. Bod D tedy musí ležet na
rovnoběžce s úsečkou AB procházející bodem C. Vzhledem k tomu, že se jedná o pravoúhlý
lichoběžník s pravým úhlem u vrcholu A, leží bod D také na kolmici q procházející bodem A.
Bod D tedy leží v průsečíku obou těchto přímek p, q.
Zápis konstrukce:
1.) | |
2.) | |
3.) ( )
4.)
5.)
6.)
7.)
8.) ABCD
A B
C D
X
k
p
q
Planimetrie 133
Konstrukce:
Diskuze:
Úloha má ve zvolené polorovině dvě řešení.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
134 Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Sestrojte pravoúhlý lichoběžník ABCD s pravým úhlem u vrcholu A, je-li dáno:
.
Výsledek řešení:
Planimetrie 135
2) Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD s rameny BC a AD, je-li dáno: a
jsou-li úhlopříčky na sebe kolmé.
3) Sestrojte lichoběžník ABCD, je-li dáno:
.
136 Planimetrie
4) Sestrojte lichoběžník ABCD, je-li dáno:
.
Planimetrie 137
Konstrukce kružnic
Základní pojmy
Kružnice ( ) je množina všech bodů roviny, které mají od bodu S vzdálenost r.
Bod S nazýváme střed kružnice, kladné reálné číslo r je poloměr kružnice.
Při konstrukci kružnic opět využíváme množin bodů dané vlastnosti.
138 Planimetrie
Konstrukce kružnic
Varianta A
Je dána přímka p a bod . Sestrojte všechny kružnice s poloměrem 3 cm, které procházejí
bodem A a dotýkají se přímky p.
Příklad:
Rozbor:
Množinou všech středů kružnic s poloměrem 3 cm, které procházejí bodem A, je kružnice l se
středem A a poloměrem 3 cm. Množinou všech středů kružnic s poloměrem 3 cm, které se
dotýkají přímky p, je dvojice přímek a1, a2 (ekvidistanta přímky) sestrojených ve vzdálenosti
3 cm od přímky p. Středem hledané kružnice k je tedy průsečík obou těchto množin.
Zápis konstrukce:
1.)
2.) ( )
3.) | | | |
4.) { }
5.) ( )
A
p
k
a1
a2
l
S
Planimetrie 139
Konstrukce:
Diskuze:
Je-li vzdálenost bodu A od přímky p menší než 6 cm, má úloha 2 řešení, je-li vzdálenost bodu
A od přímky p rovna 6 cm, má úloha 1 řešení a je-li vzdálenost bodu A od přímky p větší než
6 cm, nemá úloha řešení.
Výsledek řešení:
140 Planimetrie
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Jsou dány dva různé body A, B. Sestrojte všechny kružnice s poloměrem 4 cm, které
procházejí oběma body.
2) Jsou dány dvě různoběžky p, q. Sestrojte všechny kružnice s poloměrem 2 cm, které se
dotýkají obou přímek.
Planimetrie 141
3) Je dána kružnice k a bod . Sestrojte všechny kružnice s poloměrem 2 cm, které
procházejí bodem A a dotýkají se vně kružnice k.
142 Planimetrie
4) Jsou dány dvě různé kružnice l, m. Sestrojte všechny kružnice s poloměrem 2 cm, které se
vně dotýkají obou kružnic.
Planimetrie 143
Konstrukce kružnic
Varianta B
Je dána přímka p a body A a B. Přitom platí . Sestrojte kružnici, která prochází
bodem B a dotýká se přímky p v bodě A.
Příklad:
Rozbor:
Množinou středů všech kružnic, které procházejí dvěma různými body A a B, je osa úsečky
AB. Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají přímky p v bodě A, je kolmice q vedená
k přímce p bodem A. Střed hledané kružnice je tedy průnikem přímek o a q.
Zápis konstrukce:
1.)
2.) o; o … osa úsečky AB
3.)
4.)
5.) ( | |)
A
p
q
k
o
B
S
144 Planimetrie
Konstrukce:
Diskuze:
Úloha má jedno řešení.
Planimetrie 145
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
146 Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Jsou dány dvě různoběžky p, q a bod . Sestrojte kružnici, která se dotýká přímky q a
přímky p v bodě A.
2) Je dána kružnice k, přímka p a bod . Kružnice a přímka nemají žádný společný bod.
Sestrojte kružnici, která se dotýká kružnice k a přímky p v bodě A.
Planimetrie 147
3) Je dána kružnice k a body A a B. Přitom platí . Sestrojte kružnici, která
prochází bodem B a dotýká se kružnice k v bodě A.
4) Je dána kružnice k, přímka p a bod . Kružnice a přímka nemají žádný společný bod.
Sestrojte kružnici, která se dotýká přímky p a kružnice k v bodě A.
148 Planimetrie
Konstrukce kružnic
Varianta C
Jsou dány tři různé body A, B, C, které neleží na jedné přímce. Sestrojte kružnici, která
prochází všemi body.
Příklad:
Rozbor:
V této úloze se vlastně jedná o sestrojení kružnice opsané trojúhelníku ABC. Střed kružnice
opsané získáme jako průsečík alespoň dvou os úseček tvořených třemi body A, B, C.
Zápis konstrukce:
1.)
2.) o1; o1 … osa úsečky AB
3.) o2; o2 … osa úsečky BC
4.)
5.) ( | |)
A
B
C o2
o1
S
k
Planimetrie 149
Konstrukce:
Diskuze:
Úloha má jediné řešení.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
150 Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Jsou dány tři navzájem různoběžné přímky p, q, r. Sestrojte všechny kružnice, které se
dotýkají všech tří přímek.
Výsledek řešení:
Planimetrie 151
2) Je dána kružnice k, kružnice l a bod . Obě kružnice nemají žádný společný bod.
Sestrojte kružnici, která se dotýká kružnice k a kružnice l v bodě A.
3) Jsou dány dvě různé soustředné kružnice k a l a bod A ležící uvnitř mezikruží. Sestrojte
kružnici, která se dotýká obou soustředných kružnic a prochází bodem A.
152 Planimetrie
4) Jsou dány dvě různoběžné přímky p a q a bod A, který neleží ani na jedné z nich. Sestrojte
kružnici, která prochází bodem A a dotýká se obou přímek.
Planimetrie 153
Konstrukce na základě výpočtu
Základní pojmy
Při řešení konstrukčních úloh někdy používáme algebraickou metodu, tedy metodu
využívající výpočtu. Při řešení konstrukční úlohy hledáme algebraický vztah mezi délkami
úseček.
154 Planimetrie
Konstrukce na základě výpočtu
Varianta A
Sestrojte úsečku délky √ cm.
Příklad:
Rozbor:
Při řešení této úlohy využíváme Euklidovu větu o výšce. Sestrojíme-li podle obrázku (s
využitím Thaletovy kružnice k) pravoúhlý trojúhelník, pak podle zmiňované věty platí:
Odmocněním této rovnice pak dostáváme:
√
Z obrázku je tedy patrné, že výška vzniklého pravoúhlého trojúhelníku má délku √
v příslušných délkových jednotkách, tedy v našem případě v cm.
B A
k
ca = 2 cm ca = 5 cm
v
S
C
Planimetrie 155
Konstrukce:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
156 Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Sestrojte úsečku délky √ cm.
2) Sestrojte úsečku délky √ cm.
Planimetrie 157
3) Sestrojte úsečku délky √ cm.
4) Sestrojte úsečku délky √ cm.
158 Planimetrie
Konstrukce na základě výpočtu
Varianta B
Sestrojte úsečku délky √ cm.
Příklad:
Rozbor:
Při řešení této úlohy využíváme Euklidovu větu o odvěsně. Sestrojíme-li podle obrázku (s
využitím Thaletovy kružnice k) pravoúhlý trojúhelník, pak podle zmiňované věty platí:
Odmocněním této rovnice pak dostáváme:
√
Z obrázku je tedy patrné, že odvěsna a vzniklého pravoúhlého trojúhelníku má délku √
v příslušných délkových jednotkách, tedy v našem případě v cm.
B A
k
ca = 2 cm
c = 7 cm
a
S
C
Planimetrie 159
Konstrukce:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
160 Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Sestrojte úsečku délky √ cm.
2) Sestrojte úsečku délky √ cm.
Planimetrie 161
3) Sestrojte úsečku délky √ cm.
4) Sestrojte úsečku délky √ cm.
162 Planimetrie
Konstrukce na základě výpočtu
Varianta C
Jsou dány tři úsečky o délkách . Sestrojte úsečku délky z tak,
aby platilo:
.
Příklad:
Rozbor:
V této úloze využíváme podobnost trojúhelníků OAZ a OCB. Trojúhelník OCB můžeme
přímo sestrojit pomocí zadaných úseček b a c. Bodem A pak vedeme rovnoběžku s úsečkou
BC. Tato rovnoběžka nám na rameni OB vytvoří bod Z a úsečku délky z. U podobných
trojúhelníků jsou poměry délek odpovídajících si stran shodné, platí tedy:
Vynásobením této rovnice číslem b pak dostáváme:
Délka vzniklé úsečky z tedy splňuje podmínky zadání.
a
c
b
z
O
A
Z
C
B
Planimetrie 163
Konstrukce:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Výsledek řešení:
164 Planimetrie
Příklady k procvičení:
1) Jsou dány tři úsečky o délkách . Sestrojte úsečku délky z
tak, aby platilo:
.
2) Jsou dány tři úsečky o délkách . Sestrojte úsečku délky z
tak, aby platilo:
.
Planimetrie 165
3) Jsou dány tři úsečky o délkách . Sestrojte úsečku délky z
tak, aby platilo:
.
4) Jsou dány tři úsečky o délkách . Sestrojte úsečku délky z
tak, aby platilo:
.