Gymnázium Vysoké Mýto

nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0951

Šablona III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY

PROSTŘEDNICTVÍM ICT

Autor Mgr. Renata Bartošová

Název materiálu 01. Obor přirozených čísel

Ověřeno ve výuce dne 11. 9. 2013

Předmět Matematika

Ročník 1. B

Klíčová slova

Číselné obory, přirozená čísla, nekonečná množina, početní

operace, uzavřenost, asociativnost, komutativnost,

neutrálnost, distributivnost

Anotace Prezentace seznamuje žáky s číselnými obory, s početními

operacemi definovanými v oboru přirozených čísel.

Metodický pokyn Prezentace je určena jako výklad do hodiny i jako materiál

určený k samostudiu

Počet stran 18 slidů

Pokud není uvedeno jinak, použitý materiál je z vlastních zdrojů autora.

1

ČÍSELNÉ OBORY

Číselný obor je mnoţina všech čísel

určitého druhu, ve které jsou definovány

bez omezení operace sčítání a násobení.

+ a ·

2

N - přirozená čísla

slouţí k vyjádření počtu osob, zvířat, předmětů

apod.

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

(nekonečná mnoţina)

3

Z - celá čísla

umoţňují vyjádřit změny počtů a jejich

porovnání (přírůstek, úbytek), změny stavů

apod.

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

4

Q - racionální čísla

pouţívají se k vyjádření počtu dílů celku, počtu

celků a jejich dílů, změn těchto počtů apod.

lze je vyjádřit zlomkem

např.: 4,8; 0; -2,75; -6

5

R - reálná čísla

vyjadřují výsledky měření délek, obsahů,

objemů, fyzikálních stavů těles a jejich změn

např.: -4; 0; 1,6; π; e; sin45°; log5; ½; √3

6

OBOR PŘIROZENÝCH ČÍSEL

Zavedení oboru přirozených čísel není

jednoduché.

Přirozená čísla definuje tzv. Peanův axiom

pomocí principu matematické indukce.

7

Přirozená čísla slouţí k vyjádření počtu osob,

zvířat, předmětů apod.

Dovedeme je jmenovat, zapisovat číslicemi a

znázorňovat je na číselné ose.

„jedna, pět“

1, 5

8

Pozor !!!

číslice (cifra) - grafický znak k zápisu čísla

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 (jednička, dvojka, trojka, ... )

číslice arabské - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

číslice římské - I, V, X, L, C, D, M

číslo - je zapsáno pomocí číslic

1, 2, 3, ..., 10, 11, 12, ..., 999 999, ... (jedna, dva, tři, ..., deset, jedenáct, dvanáct, ..., devět set devadesát devět tisíc devět set devadesát devět, ... )

9

Základní operace v oboru přirozených čísel jsou

sčítání a násobení.

Pro kaţdá tři přirozená čísla a, b, c platí:

1.)

Součet a + b je přirozené číslo.

Součin a · b je přirozené číslo.

U - věty o uzavřenosti oboru vzhledem ke

sčítání a násobení (součtem i součinem

libovolných přirozených čísel je vţdy přirozené

číslo) 10

2.)

a + (b + c) = (a + b) + c

př.: 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9, (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9

a · (b · c) = (a · b) · c

př.: 2 · (3 · 4) = 2 · 12 = 24, (2 · 3) · 4 = 6 · 4 = 24

A - věty o asociativnosti sčítání a násobení

(sčítance při součtu nebo činitele při součinu

můţeme libovolně sdruţovat)

11

3.)

a + b = b + a př.: 2 + 3 = 3 + 2

a · b = b · a

př.: 2 · 3 = 3 · 2

K - věty o komutativnosti sčítání a násobení

(pořadí sčítanců při součtu nebo pořadí činitelů

při součinu můţeme zaměnit)

12

4.)

1 · a = a

př.: 1 · 5 = 5

N - věta o neutrálnosti čísla 1 vzhledem k násobení (číslo 1 je neutrální prvek vzhledem k operaci násobení přirozených čísel)

Existuje v oboru přirozených čísel neutrální prvek vzhledem k operaci sčítání?

Ne.

Takovým prvkem je v oboru celých čísel 0. Nepatří do oboru přirozených čísel.

13

5.)

a · (b + c) = a · b + a · c

př.: 2 · (3 + 4) = 2 · 3 + 2 · 4 = 6 + 8 = 14

D - věta o distributivnosti násobení

vzhledem ke sčítání (násobíme-li číslem

součet dvou nebo více čísel, vynásobíme tímto

číslem kaţdého sčítance)

14

Rozdíl a - b dvou přirozených čísel a, b je to

přirozené číslo x, pro které platí a = b + x,

tj. a > b

Podíl a : b dvou přirozených čísel a, b je to

přirozené číslo x, pro které platí a = b · x,

tj. b | a (b dělí a)

Mocnina ab dvou přirozených čísel a, b je to

přirozené číslo, které je součinem b činitelů

rovnajících se číslu a, tj. ab = a · a · a · ... ·a

b-krát 15

Obor přirozených čísel není uzavřený vzhledem

k operaci odčítání a dělení přirozených čísel.

př.: a = 10, b = 7

a - b = 10 - 7 = 3, b - a = 7 - 10 = -3

př.: a = 20, b = 4

a : b = 20 : 4 = 5, b : a = 4 : 20 = 0,2

16

POUŢITÉ ZDROJE

[1] BUŠEK, I, CALDA, E. Matematika pro gymnázia.

Základní poznatky z matematiky. 3. vydání. Praha:

Prometheus, 2004. ISBN 80-7196-146-9. Kapitola 2, 2.1,

2.2, s.12 - 16.

[2] http://www.freephotobank.org/main.php 7,9,2013

[3] http://findicons.com/ 7,9,2013

17