NHỊ THỨC NEWTON

Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1). Công thức nhị thức Niu-ton

(quy ước (*).

n 0 n 1 n 1 k n k k n nn n n n(a b) C a C a b ... C a b ... C b

nk n k kn

k 0

C a b

0 0a b 1)

2). Nhận xét:

Công thức nhị thức Niu tơn (*) có :

* (n + 1) số hạng.

* Số hạng thứ k + 1 là .

* Các hệ số của nhị thức có tính đối

xứng theo tính chất .

* Trong mỗi số hạng tổng số mũ của a

và b luôn bằng n.

k n k kk 1 nT C a b

k n kn nC C

2). Tam giác Pa-xcan

Trên đây ta thấy muốn khai triển

thành đa thức, ta cần biết số

có mặt trong công thức

nhị thức Niu-tơn. Các số này có thể tính

được bằng cách sử dụng bảng số sau

đây :

n(a b)

n 1

0 1 2 n 1 nn n n n nC ,C ,C ,...,C ,C

Bảng số này do nhà

toán học Pháp Pa-xcan

thiết lập vào năm 1653

và được người ta gọi

là tam giác Pa-xcan.

Tam giác Pa-xcan được thiết lập theo quy luật sau :

Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng

thứ nhất ghi hai số 1.

Nếu biết hàng thứ thì hàng thứ

tiếp theo được thiết lập bằng cách

cộng hai số liên tiếp của hàng thứ rồi

viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí

giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu

và cuối hàng.

n (n 1)

n 1

n

Chú ý:

, ,

(với điều kiện x, y đều có nghĩa trong tất

cả các công thức trên).

m n m nx .x x ,

mm n

n

xx ,

x

m m mx .y (xy) ,m

m

m

x x,

yy

n m

m n m.nx x x 11

x ,x

m

m

1x

x

1

2x x ,

nm n mx x

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

DẠNG 1: TÌM HỆ SỐ CỦA SỐ HẠNG

CHỨA kx TRONG KHAI TRIỂN NHỊ

THỨC NIUTƠN

PHƯƠNG PHÁP:

Sử dụng công thức tính số hạng tổng

quát: 0

nn k n k k

nk

a b C a b

Số hạng thứ ( 1)k :

1 , 0 ,k n k kk nT C a b k n n

DẠNG 2: TÍNH TỔNG HOẶC

CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

PHƯƠNG PHÁP

Dựa vào các công thức khai triển nhị

thức Niutơn sau:

0 1 1 2 2 2 1 1n n n n n n n nn n n n na b C a C a b C a b C ab C b

0 1 2 2 1 11n n n n n

n n n n nx C C x C x C x C x

0 1 1 2 2 11n n n n n n

n n n n nx C x C x C x C x C .

Sau đó chọn a, b, x các giá trị thích hợp.

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

NHỊ THỨC NEWTƠN

Câu 1. Biểu thức nào là khai triển của

biểu thức sau: 5

2x y ?

A. 5 4 3 2 2 3 4 510 40 80 80 32x x y x y x y xy y .

B. 5 4 3 2 2 3 4 510 40 90 80 12 4x x y x y x y xy y .

C. 5 4 3 2 2 3 4 510 40 90 80 12x x y x y x y xy y .

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5

5 5 5 5 5 52 .(2 ) .(2 ) .(2 ) .(2 ) (2 )x y C x C x y C x y C x y C x y C y

5 4 3 2 2 3 4 510 40 80 80 32x x y x y x y xy y .

Chọn đáp án A.

Câu 2. Tìm số hạng thứ 6 trong khai

triển 13

2x y ?

A. 6 62x y . B. 8 64100x y

C. 6 641184x y . D. 8 541184x y .

Hướng dẫn giải

Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển

13

2x y

Ta có số hạng tổng quát

131 13 2

kk n k k k kk nT C a b C x y .

Để có số hạng thứ 6 thì 1 6 5k k .

Vậy số hạng thứ 6 trong khai triển là

55 8 8 5

13 2 41184C x y x y . Chọn đáp án D.

Câu 3. Tìm hệ số của số hạng chứa 10x

trong khai triển nhị thức14

2 2x

x

A. 123002. B. 65420.

C. 192192. D. 27200.

Giải : Ta có

14 14 142 214

0

1428 2

140

2 2

2

kkk

k

kk k k

k

x C xx x

C x x

14

28 314

0

2kk k

k

C x

.

Để có hệ số của 10x thì 28 3 10 6k k .

Kết luận hệ số của 10x là 66

14 2 192192C .

Chọn đáp án C.

Câu 4. Tìm hệ số của x5 trong khai triển

của biểu thức: ?

A. 90. B. 35. C. 140. D. 55.

11 7

2

2

1 1A x x

xx

Hướng dẫn giải

Công thức khai triển của biểu thức là:

Để số hạng chứa x5 thì

Kết luận hệ số của x5 là .

Chọn đáp án A.

k11 7 11 77 n kk 11 k n 2 k 11 3k n 14 3n

11 7 11 72 nk 0 n 0 k 0 n 0

1 1A C .x . C . x . 1 .C .x C .x

x x

11 3k 5 k 2

14 3n 5 n 3

2 311 7C C 90

Câu 5. Tìm số hạng không chứa x

trong khai triển nhị thức 2

3

2n

xx

,

biết rằng n là số tự nhiên thỏa

phương trình: 2 12 5 40 0n nC C .

A. 1200. B. 3320.

C. Đáp án khác. D. 3360

Giải: Ta có

2 1 ! !

2 5 40 0 2. 5. 40 02! 2 ! 1 !

n n

n nC C

n n

1 5 40 0n n n 2 6 40 0 10n n n

(nhận).

Ta có

10 10

102 2 2103 3 3

0

1020 5

100

2 2 2

.2 .

n kkk

k

k k k

k

x x C xx x x

C x

Để có số hạng không chứa x thì

20 5 0 4k k .

Vậy hệ số của số hạng không chứa x là 4 410.2 3360C .

Chọn đáp án D.

Câu 6. Tìm số hạng là số nguyên trong

khai triển 6

3 15 .

A. 1020. B. 7500.

C. 15552. D. 4700.

Hướng dẫn giải

66 6

60

6 6

60

3 15 3 15

3 3 5

k kk

k

k kk

k

C

C

6 6

60

6 663 2

6 60 0

1 3 3 5

1 3 5 1 3 5

k k kkk

k

kkk kk k

k k

C

C C

.

Để có số hạng chứa số nguyên thì 2

k

là

số nguyên, có nghĩa 2

0 6;

k

k k

0,2,4,6k .

Vậy số hạng nguyên là 0 3 2 3 4 3 2 6 3 36 6 6 63 3 5 3 5 3 5 15552C C C C .

Chọn đáp án C.

Câu 7. Tính giá trị biểu thức

?

A. 3n B. 3 1n

C. 13n D. 0

0 1 2 2 n n2 n n n nS C 2C 2 C 2 C

Hướng dẫn giải

Ta có

Chọn x = 2 thay vào (*) ta được:

Kết luận .

Chọn đáp án A.

n 0 1 2 2 3 3 n n

n n n n n1 x C C x C x C x C x *

n 0 1 2 2 n n

n n n n1 2 C 2C 2 C 2 C

0 1 2 2 n n nn n n nC 2C 2 C 2 C 3

Câu 8. Tìm hệ số của số hạng chứa x8

trong khai triển biểu thức

. Biết số nguyên dương

n thỏa mãn: ?

A. 7920. B. 1400.

C. 6590. D. 8120.

n

5

3

2P x x x 0

x

1 2 n 1 nn n n nC C C C 4095

Giải: Ta có:

Ta có .

Để có hệ số của số hạng chứa x8 thì

.

Vậy hệ số của x8 trong khai triển là:

.

Chọn đáp án A.

1 2 n 1 nn n n nC C C C 4095

0 1 2 n 1 n n 12n n n n nC C C C C 4096 2 2 n 12

12 5k 11k12 12 36

5 k 12 k 36 3k k 12 k2 212 123

k 0 k 0

2P x x C .2 .x .x C .2 .x

x

11k36 8 k 8

2

8 412C .2 7920

Câu 9. Tìm hệ số của số hạng chứa x26

trong khai triển nhị thức Niu tơn của

, biết rằng

.

A. 612. B. 230

C. 210. D. 45.

n

7

4

1x

x

1 2 n 202n 1 2n 1 2n 1C C ... C 2 1

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết suy ra:

(1)

Vì , k, 0 ≤ k ≤ 2n + 1 nên:

(2)

Từ khai triển nhị thức Newton của

(1 + 1)2n+1 suy ra:

0 1 2 n 202n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C ... C 2

k 2n 1 k2n 1 2n 1C C

0 1 2 n 0 1 2 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1

1C C C ... C C C C ... C

2

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: 22n = 220 n = 10.

Ta có:

Số hạng chứa x26 ứng với giá trị k thỏa

mãn

Vậy hệ số của x26 là = 210.

Chọn đáp án C.

0 1 2 2n 1 2n 1 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C ... C (1 1) 2

10 10 10k

11k 407 k 4 10 k 7 k10 104

k 0 k 0

1x C (x ) x C x

x

11k 40 26 k 6

610C

Câu 10. Xét khai triển

. Tìm max

?

A. 326592. B. 314928.

C. 489888. D. 912544.

9 2 90 1 2 9(3x 2) a a x a x ... a x

0 1 2 9{a ,a ,a ,...,a }

Hướng dẫn giải

Theo công thức khai triển Newton, ta có

.

Vậy ; .

Ta có

99 k k 9 k

9k 0

(3x 2) C (3x) (2)

k 9 k kk 9a 3 (2) C k 0,1,2,...,9

k 9 k k k 1 8 k k 1k k 1 9 9a a 3 (2) C 3 (2) C

k k 19 92C 3C

9! 9!2 3

(9 k)!k! (8 k)!(k 1)!

2 3

9 k k 1

2k 2 27 3k 5k 25

k 5 k 0,1,2,3,4

Từ đó suy ra

Vậy ta có

Do đó giá trị lớn nhất của các hệ số đạt

tại hai giá trị 9 5 45 3 2 489888C .

Chọn đáp án C.

k k 1a a k 5

k k 1a a k 5 k 6,7,8,9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9a a a a a a a a a a

Câu 11. Tìm hệ số của 8x trong khai

triển 82 31 x x ?

A. 190. B. 230.

C.238. D. 70.

Giải : Ta có

882 3 2 38

0

82 3

80 0

1kk

k

k k m mk mk

k m

x x C x x

C C x x

8

28

0 0

1k

mk m k mk

k m

C C x

. Để có hệ số của 8x

thì

2 8

0 8

,

k m

m k

m k

0

4

m

k

hoặc

2

3

m

k

.

Vậy hệ số của 8x là : 4 0 3 28 8 4 8 3 238a C C C C .

Chọn đáp án C.

Câu 12. Trong khai triển của nhị thức

2 2n

xx

cho biết tổng hệ số của 3 số

hạng đầu tiên trong khai triển trên

bằng 97. Tìm hệ số của số hạng có

chứa 4.x

A.1120. B. 600.

C. 1220. D. 1230.

Hướng dẫn giải

Ta có

2

1 22 0 2 1 2 2 22 2 2 2n n

n n n nn n n nx C x C x C x C

x x x x

0 2 1 2 3 2 2 6 22 4

n

n n n nn n n nC x C x C x C

x

Theo đề bài ta có

0 1 2 ! !2 4 97 1 2 4 97

1 ! 2! 2 !n n n

n nC C C

n n

1 ! 1 2 !2 4 96

1 ! 2 2 !

1 48

n n n n n

n n

n n n

2 2 48 0 8 6n n n n . Nhận 8n .

Vậy

8 8 82 2 28

0

8 816 2 16 3

8 80 0

2 2 2

2 2

n kkk

k

k kk k k k k

k k

x x C xx x x

C x x C x

Để có hệ số của số hạng chứa 4x thì

16 3 4 4k k .

Kết luận hệ số của số hạng chứa 4x là

44

4 8 2 1120a C .

Chọn đáp án A.