NHỊ THỨC NEWTON Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt file2). Tam giác Pa-xcan Trên đây ta...
Transcript of NHỊ THỨC NEWTON Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt file2). Tam giác Pa-xcan Trên đây ta...
NHỊ THỨC NEWTON
Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1). Công thức nhị thức Niu-ton
(quy ước (*).
n 0 n 1 n 1 k n k k n nn n n n(a b) C a C a b ... C a b ... C b
nk n k kn
k 0
C a b
0 0a b 1)
2). Nhận xét:
Công thức nhị thức Niu tơn (*) có :
* (n + 1) số hạng.
* Số hạng thứ k + 1 là .
* Các hệ số của nhị thức có tính đối
xứng theo tính chất .
* Trong mỗi số hạng tổng số mũ của a
và b luôn bằng n.
k n k kk 1 nT C a b
k n kn nC C
2). Tam giác Pa-xcan
Trên đây ta thấy muốn khai triển
thành đa thức, ta cần biết số
có mặt trong công thức
nhị thức Niu-tơn. Các số này có thể tính
được bằng cách sử dụng bảng số sau
đây :
n(a b)
n 1
0 1 2 n 1 nn n n n nC ,C ,C ,...,C ,C
Bảng số này do nhà
toán học Pháp Pa-xcan
thiết lập vào năm 1653
và được người ta gọi
là tam giác Pa-xcan.
Tam giác Pa-xcan được thiết lập theo quy luật sau :
Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng
thứ nhất ghi hai số 1.
Nếu biết hàng thứ thì hàng thứ
tiếp theo được thiết lập bằng cách
cộng hai số liên tiếp của hàng thứ rồi
viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí
giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu
và cuối hàng.
n (n 1)
n 1
n
Chú ý:
, ,
(với điều kiện x, y đều có nghĩa trong tất
cả các công thức trên).
m n m nx .x x ,
mm n
n
xx ,
x
m m mx .y (xy) ,m
m
m
x x,
yy
n m
m n m.nx x x 11
x ,x
m
m
1x
x
1
2x x ,
nm n mx x
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
DẠNG 1: TÌM HỆ SỐ CỦA SỐ HẠNG
CHỨA kx TRONG KHAI TRIỂN NHỊ
THỨC NIUTƠN
PHƯƠNG PHÁP:
Sử dụng công thức tính số hạng tổng
quát: 0
nn k n k k
nk
a b C a b
Số hạng thứ ( 1)k :
1 , 0 ,k n k kk nT C a b k n n
DẠNG 2: TÍNH TỔNG HOẶC
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
PHƯƠNG PHÁP
Dựa vào các công thức khai triển nhị
thức Niutơn sau:
0 1 1 2 2 2 1 1n n n n n n n nn n n n na b C a C a b C a b C ab C b
0 1 2 2 1 11n n n n n
n n n n nx C C x C x C x C x
0 1 1 2 2 11n n n n n n
n n n n nx C x C x C x C x C .
Sau đó chọn a, b, x các giá trị thích hợp.
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
NHỊ THỨC NEWTƠN
Câu 1. Biểu thức nào là khai triển của
biểu thức sau: 5
2x y ?
A. 5 4 3 2 2 3 4 510 40 80 80 32x x y x y x y xy y .
B. 5 4 3 2 2 3 4 510 40 90 80 12 4x x y x y x y xy y .
C. 5 4 3 2 2 3 4 510 40 90 80 12x x y x y x y xy y .
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5
5 5 5 5 5 52 .(2 ) .(2 ) .(2 ) .(2 ) (2 )x y C x C x y C x y C x y C x y C y
5 4 3 2 2 3 4 510 40 80 80 32x x y x y x y xy y .
Chọn đáp án A.
Câu 2. Tìm số hạng thứ 6 trong khai
triển 13
2x y ?
A. 6 62x y . B. 8 64100x y
C. 6 641184x y . D. 8 541184x y .
Hướng dẫn giải
Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển
13
2x y
Ta có số hạng tổng quát
131 13 2
kk n k k k kk nT C a b C x y .
Để có số hạng thứ 6 thì 1 6 5k k .
Vậy số hạng thứ 6 trong khai triển là
55 8 8 5
13 2 41184C x y x y . Chọn đáp án D.
Câu 3. Tìm hệ số của số hạng chứa 10x
trong khai triển nhị thức14
2 2x
x
A. 123002. B. 65420.
C. 192192. D. 27200.
Giải : Ta có
14 14 142 214
0
1428 2
140
2 2
2
kkk
k
kk k k
k
x C xx x
C x x
14
28 314
0
2kk k
k
C x
.
Để có hệ số của 10x thì 28 3 10 6k k .
Kết luận hệ số của 10x là 66
14 2 192192C .
Chọn đáp án C.
Câu 4. Tìm hệ số của x5 trong khai triển
của biểu thức: ?
A. 90. B. 35. C. 140. D. 55.
11 7
2
2
1 1A x x
xx
Hướng dẫn giải
Công thức khai triển của biểu thức là:
Để số hạng chứa x5 thì
Kết luận hệ số của x5 là .
Chọn đáp án A.
k11 7 11 77 n kk 11 k n 2 k 11 3k n 14 3n
11 7 11 72 nk 0 n 0 k 0 n 0
1 1A C .x . C . x . 1 .C .x C .x
x x
11 3k 5 k 2
14 3n 5 n 3
2 311 7C C 90
Câu 5. Tìm số hạng không chứa x
trong khai triển nhị thức 2
3
2n
xx
,
biết rằng n là số tự nhiên thỏa
phương trình: 2 12 5 40 0n nC C .
A. 1200. B. 3320.
C. Đáp án khác. D. 3360
Giải: Ta có
2 1 ! !
2 5 40 0 2. 5. 40 02! 2 ! 1 !
n n
n nC C
n n
1 5 40 0n n n 2 6 40 0 10n n n
(nhận).
Ta có
10 10
102 2 2103 3 3
0
1020 5
100
2 2 2
.2 .
n kkk
k
k k k
k
x x C xx x x
C x
Để có số hạng không chứa x thì
20 5 0 4k k .
Vậy hệ số của số hạng không chứa x là 4 410.2 3360C .
Chọn đáp án D.
Câu 6. Tìm số hạng là số nguyên trong
khai triển 6
3 15 .
A. 1020. B. 7500.
C. 15552. D. 4700.
Hướng dẫn giải
66 6
60
6 6
60
3 15 3 15
3 3 5
k kk
k
k kk
k
C
C
6 6
60
6 663 2
6 60 0
1 3 3 5
1 3 5 1 3 5
k k kkk
k
kkk kk k
k k
C
C C
.
Để có số hạng chứa số nguyên thì 2
k
là
số nguyên, có nghĩa 2
0 6;
k
k k
0,2,4,6k .
Vậy số hạng nguyên là 0 3 2 3 4 3 2 6 3 36 6 6 63 3 5 3 5 3 5 15552C C C C .
Chọn đáp án C.
Câu 7. Tính giá trị biểu thức
?
A. 3n B. 3 1n
C. 13n D. 0
0 1 2 2 n n2 n n n nS C 2C 2 C 2 C
Hướng dẫn giải
Ta có
Chọn x = 2 thay vào (*) ta được:
Kết luận .
Chọn đáp án A.
n 0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n1 x C C x C x C x C x *
n 0 1 2 2 n n
n n n n1 2 C 2C 2 C 2 C
0 1 2 2 n n nn n n nC 2C 2 C 2 C 3
Câu 8. Tìm hệ số của số hạng chứa x8
trong khai triển biểu thức
. Biết số nguyên dương
n thỏa mãn: ?
A. 7920. B. 1400.
C. 6590. D. 8120.
n
5
3
2P x x x 0
x
1 2 n 1 nn n n nC C C C 4095
Giải: Ta có:
Ta có .
Để có hệ số của số hạng chứa x8 thì
.
Vậy hệ số của x8 trong khai triển là:
.
Chọn đáp án A.
1 2 n 1 nn n n nC C C C 4095
0 1 2 n 1 n n 12n n n n nC C C C C 4096 2 2 n 12
12 5k 11k12 12 36
5 k 12 k 36 3k k 12 k2 212 123
k 0 k 0
2P x x C .2 .x .x C .2 .x
x
11k36 8 k 8
2
8 412C .2 7920
Câu 9. Tìm hệ số của số hạng chứa x26
trong khai triển nhị thức Niu tơn của
, biết rằng
.
A. 612. B. 230
C. 210. D. 45.
n
7
4
1x
x
1 2 n 202n 1 2n 1 2n 1C C ... C 2 1
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết suy ra:
(1)
Vì , k, 0 ≤ k ≤ 2n + 1 nên:
(2)
Từ khai triển nhị thức Newton của
(1 + 1)2n+1 suy ra:
0 1 2 n 202n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C ... C 2
k 2n 1 k2n 1 2n 1C C
0 1 2 n 0 1 2 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
1C C C ... C C C C ... C
2
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: 22n = 220 n = 10.
Ta có:
Số hạng chứa x26 ứng với giá trị k thỏa
mãn
Vậy hệ số của x26 là = 210.
Chọn đáp án C.
0 1 2 2n 1 2n 1 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C ... C (1 1) 2
10 10 10k
11k 407 k 4 10 k 7 k10 104
k 0 k 0
1x C (x ) x C x
x
11k 40 26 k 6
610C
Câu 10. Xét khai triển
. Tìm max
?
A. 326592. B. 314928.
C. 489888. D. 912544.
9 2 90 1 2 9(3x 2) a a x a x ... a x
0 1 2 9{a ,a ,a ,...,a }
Hướng dẫn giải
Theo công thức khai triển Newton, ta có
.
Vậy ; .
Ta có
99 k k 9 k
9k 0
(3x 2) C (3x) (2)
k 9 k kk 9a 3 (2) C k 0,1,2,...,9
k 9 k k k 1 8 k k 1k k 1 9 9a a 3 (2) C 3 (2) C
k k 19 92C 3C
9! 9!2 3
(9 k)!k! (8 k)!(k 1)!
2 3
9 k k 1
2k 2 27 3k 5k 25
k 5 k 0,1,2,3,4
Từ đó suy ra
Vậy ta có
Do đó giá trị lớn nhất của các hệ số đạt
tại hai giá trị 9 5 45 3 2 489888C .
Chọn đáp án C.
k k 1a a k 5
k k 1a a k 5 k 6,7,8,9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9a a a a a a a a a a
Câu 11. Tìm hệ số của 8x trong khai
triển 82 31 x x ?
A. 190. B. 230.
C.238. D. 70.
Giải : Ta có
882 3 2 38
0
82 3
80 0
1kk
k
k k m mk mk
k m
x x C x x
C C x x
8
28
0 0
1k
mk m k mk
k m
C C x
. Để có hệ số của 8x
thì
2 8
0 8
,
k m
m k
m k
0
4
m
k
hoặc
2
3
m
k
.
Vậy hệ số của 8x là : 4 0 3 28 8 4 8 3 238a C C C C .
Chọn đáp án C.
Câu 12. Trong khai triển của nhị thức
2 2n
xx
cho biết tổng hệ số của 3 số
hạng đầu tiên trong khai triển trên
bằng 97. Tìm hệ số của số hạng có
chứa 4.x
A.1120. B. 600.
C. 1220. D. 1230.
Hướng dẫn giải
Ta có
2
1 22 0 2 1 2 2 22 2 2 2n n
n n n nn n n nx C x C x C x C
x x x x
0 2 1 2 3 2 2 6 22 4
n
n n n nn n n nC x C x C x C
x
Theo đề bài ta có
0 1 2 ! !2 4 97 1 2 4 97
1 ! 2! 2 !n n n
n nC C C
n n
1 ! 1 2 !2 4 96
1 ! 2 2 !
1 48
n n n n n
n n
n n n
2 2 48 0 8 6n n n n . Nhận 8n .
Vậy
8 8 82 2 28
0
8 816 2 16 3
8 80 0
2 2 2
2 2
n kkk
k
k kk k k k k
k k
x x C xx x x
C x x C x
Để có hệ số của số hạng chứa 4x thì
16 3 4 4k k .
Kết luận hệ số của số hạng chứa 4x là
44
4 8 2 1120a C .
Chọn đáp án A.