MATEMÁTICA FINANCIERA

PEDRO PRADA VEGA

INTERÉS COMPUESTO

13/04/2023 1

OBJETIV0S Diferenciar los factores que

intervienen en el cálculo del interés compuesto.

Uniformizar las unidades de tiempo de la tasa efectiva y los períodos de capitalización.

Deducir correctamente las fórmulas que se deriven del interés compuesto.

OBJETIV0S Representar gráficamente los

diagramas tiempo - valor, flujos de caja. Plantear y resolver las ecuaciones

equivalentes. Adquirir la destreza y habilidad para los

cálculos de los factores: Monto, capital, tasa efectiva (tasa nominal ), períodos de capitalización.

INTERÉS COMPUESTO

En los problemas de interés simple, el capital que genera los intereses permanece constante todo el tiempo de duración del préstamo.

INTERÉS COMPUESTOSi en cada intervalo de tiempo convenido en una obligación se agregan los intereses al capital, formando un monto sobre el cual se calcularán los intereses en el siguiente intervalo o período de tiempo, y así sucesivamente, se dice que los intereses se capitalizan y que la operación financiera es a interés compuesto.

INTERÉS COMPUESTO

En una operación financiera a interés compuesto, el capital aumenta cada final de período, pues se le adicionan los intereses vencidos a la tasa convenida.

El interés compuesto es una sucesión de operaciones a interés simple, en la que después del primer período de capitalización su monto constituye el capital inicial en el siguiente período de capitalización y así sucesivamente.

Definición:

0 n-1 n1

PS1 SnSn-1S2

2 3

S3

CÁLCULO DEL MONTO

CÁLCULO DEL MONTO

nnnnnn iPiiPiSiSSS

iPiiPiSiSSS

iPiiPiSiSSS

iPiPPS

1111

1111

1111

1

1111

322223

21112

1

CÁLCULO DEL MONTO

niPS 1

n

m

jPS

1

f

H

m

jPS

1

Donde:

P=Capital inicial, valor presente, valor actual.S=Monto o valor futuro de un capital a interés compuesto. Es

el valor del capital final o acumulado, después de sucesivas adiciones de los intereses.

i=Tasa efectiva fijada por períodos de capitalización.j=Tasa nominal anual (TNA), mensual (TNM), semestral

(TNS).m= Número de períodos de capitalización en el año, mes,

semestre.

m

ji

Donde:N=Períodos de capitalización en el

horizonte de tiempo.H=Horizonte de tiempo. Es el número de

días de la operación financiera. f=Número de días del período de

capitalización.

f

Hn

1.- Calcular el monto de un capital inicial de S/. 5 000 colocado durante 2 3/4 de año a una tasa efectiva anual (TEA) del 24 %.

S= ?P= S/. 5 000 n= 2 3/4 año =2.75 años i= 0.24 (tasa efectiva anual)

9034./)24.01(5000 75.2 SS

2.- Halle el monto de un capital inicial de S/. 3 000, colocado durante 10 meses a una tasa efectiva mensual (TEM) de 2.75 %.

953934./)027501(3000 10 SS

3.- Cuál es el monto de un depósito de S/. 10 000, impuesta a una tasa efectiva quincenal (TEQ) de 0.75% durante 3 1/2 meses.

=10000*(1+0.0075)^7

10536.9613

niPS 1

1

1

n

P

Si

)1(

)(

iLogP

SLog

n

niSP 1

4.-Qué capital inicial debe colocarse en una entidad financiera que paga una tasa efectiva anual (TEA) del 25%, para que en 1 1/2 año pueda obtenerse un importe capitalizado de S/. 8 500.P=?S=8 500n = 1.5 añosi = 0.25

11.6082./)25.01(

8500

11.6082./25.018500

5.1

5.1

SP

SP

5.- A qué tasa efectiva anual (TEA) ha sido colocado un capital de S/. 6800, si al cabo de 1 ½ año se obtuvo una capitalización de S/. 10 300.

P=6 800S=10 300 n=1.5 años

%8921277.31

318921277.016800

10300

16800

10300

5.1

5.1

1

i

i

i

6.- Determine el tiempo en años de un capital de S/. 5000, colocado al 30% de tasa efectiva anual (TEA), el cual permitió un monto de S/. 7913.54.

P=5000S=7913.54i=0.30

Si se hubiese pedido en meses sería: 1.75 x 12 = 21 meses.

añosLog

Logn 75.1

)30.01(

)5000

54.7913(

niFSCPS ,*

FSC i,n = (1+i)n

El factor simple de capitalización a una tasa “i” por período, durante “n” períodos transforma una cantidad presente “P” a un valor futuro “S”:

Factor simple de capitalización

FSA i,n= (1+i)-n

El factor simple de actualización a una tasa “i” por período, durante “n” períodos, tiene como función traer al presente “P” cualquier cantidad futura “S”.

niFSASP ,*

Factor simple de actualización

Gráfica de Monto simple vs Monto Compuesto

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

1 2 3 4 5 6

Años

Monto

Interés Simple Interés Compuesto

S=P(1+in)

S=P(1+i)n

23

Tasa nominal y tasa proporcional

• Tasa nominal (j)

• Tasa proporcional (i)

%100m

ji

Tasa nominal.- Es susceptible de proporcionalizarse (dividirse o multiplicarse) j/m veces en un año, para ser expresada en otra unidad de tiempo equivalente; o como unidad de medida para ser capitalizada “n“ veces en operaciones a interés compuesto. Donde “m” es el número de capitalizaciones en el año de la tasa nominal anual.

Capitalización Operación m

Anual 360/360 1Semestral 360/180 2

Cuatrimestral 360/120 3Trimestral 360/90 4Bimestral 360/60 6

Cada 45 días 360/45 8Mensual 360/30 12

Quincenal 360/15 24Diarío 360/1 360

Capitalización Operación m

Anual 30/360 0.08333333Semestral 30/180 0.16666667

Cuatrimestral 30/120 0.25Trimestral 30/90 0.33333333Bimestral 30/60 0.5

Cada 45 días 30/45 0.66666667Mensual 30/30 1

Quincenal 30/15 2Diarío 30/1 30

“m” aplicable a una tasa “j” anual

m” aplicable a una tasa “j” mensual

Multiplicar o dividir o regla de tres simple

TED.

1

90TNT

diaríaproporc.tasaTES;

180

15TNQ

semestralproporc.tasa

TET;

90

120TNC

trimestralproporc.tasaTEB;

60

180TNS

bimestralproporc.tasa

TET

90

30TNM

trimestralproporc.tasaTEM;

30

360TNA

mensualproporc.tasa

f

30TNM

TEi;

f

360TNA

TEi

m

TN

m

jTEi

Tasa nominal Tasa proporcional (Tasa efectiva)

TASA EFECTIVA

Si en una operación financiera la tasa pactada es una tasa de interés efectiva, los cálculos financieros pueden realizarse directamente con esta tasa considerándose su período de vigencia como período de capitalización.

1m

j1i

n

Nota: Expresamos el tiempo en términos del período de capitalización; es decir, se adapta el “período de n” al “período de i” (i y n en la misma unidad de tiempo)

TASA EFECTIVA

La diferencia básica entre una tasa nominal y una tasa efectiva es que la primera está asociada a un período de capitalización, mientras que la segunda hace referencia sólo a su período de vigencia en forma explícita o implícita .

Por lo tanto, en el régimen de interés compuesto, una tasa nominal debe hacer obligatoriamente referencia a un período de capitalización, pues sin él no podríamos hallar la tasa proporcional (TE) respectiva.

De este modo, si la tasa que se nos informa no hace referencia a algún período de capitalización, debemos sobrentender que dicha tasa es EFECTIVA.

EJEMPLO:1.- Calcule la TET, si se tiene TNS=7.5% con

capitalización bimestral.

3.773%TET0.03773TET

1

60

1800.075

1TET

1m

j1

60

90

n

i

H=90

f = 60

2.- Calcule la TEQ, si se tiene una TNT = 6% con capitalización cada 30 días.

3.- Calcule la TED, si se conoce la TNA = 20% con capitalización cada 45 días.

0.995049%TEQ

0.00995049

30

906%

1

30

15

TEQ

%0.054888TEQ

0.000548881

45

36020%

1D

45

1

TE

31

Valor futuro (S) y valor actual (P)

con tasa constante

Actualización

niVAVF )1(

(1+i) (1+i) (1+i) (1+) (1+i) 1 2 3 4 ……… n-1 n

i

ni

VFVA

)1(

Capitalización

32

Tasa efectiva (ie)

niVAVF )1(

(1+i) (1+i) (1+i) (1+i)

1 2 3 ……… n VA ie

%100

VA

VAVFi

Por lo tanto, reemplazando y despejando convenientemente:

%100)1(

VA

VAiVAi

n

e %1001)1( n

e ii por período

33

Tasa equivalente (ieq)

qe

peq ii )1()1(

%1001)1(

p

q

eeq ii por período

TASA EQUIVALENTE

Dos o más tasas efectivas correspondientes a diferentes unidades de tiempo son equivalentes cuando producen la misma tasa efectiva para un mismo horizonte temporal.

Donde:iequiv.=Nueva tasa efectiva.Iefect =Tasa efectiva que se quiere transformar.n = Razón entre el período de vigencia de iequiv. y el período de

vigencia de iefect..

1efectfequivH

n)efectivai(1eequivalenti

TASA EQUIVALENTE

1.- Dada la TEA = 50%. Hallar la tasa equivalente: a.- TEM=

3.44%0.034410.50)(1 360

30

b.-TEB =

c.- TED =

%99.60699.01)50.01( 360

60

%11.00011.01)50.01( 360

1

2.- Sí la TET =20%. Hallar la TE cada 54 días RPTA =11.56%

3.- Sí la TEM =5 %. Hallar la TE cada 17 días RPTA = 2.8%

4.- Sí la TEA =20%. Hallar la TE cada 4 días RPTA = 0.2028%

5.- Sí la TET =15%. Hallar la TEB. RPTA = 9.76%

6.- Sí la TES =10%. Hallar la TET. RPTA = 4.88%

7.- Sí la TEA = 30%. Hallar la TEM. RPTA = 2.21%

8.- Sí la TEC =10%. Hallar la TET. RPTA = 7.41 %.

9.-Sí la TE cada 39 días =4.75%. Hallar la TEM = 3.634%

37

Interés devengado entre períodos con tasa constante

(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)

0 k-1 k ………………… z n VA i por período

11 )1(

kk iVAVF z

z iVAVF )1(

1 kzkz VFVFI 1)1()1( kz

kz iVAiVAI

38

Valor futuro de un valor actual variable con tasa constante

• En este caso el capital inicial varía durante el plazo de la operación financiera, es decir, se producen ingresos o egresos en referencia al capital inicial período a período, la variación del capital corresponde a la capitalización de intereses a la tasa constante cuando se produce un ingreso o un egreso.

39

Valor futuro de un valor actual variable con tasa constante

• Para solucionar esta situación se fracciona la operación financiera en tramos, durante los cuales el valor actual y la tasa permanezcan constantes, es decir se hace un corte cuando se produzca un ingreso o un egreso y se resuelve como en los casos anteriores.

• También puede hallarse el valor futuro calculando el valor futuro de los ingresos y restándole el valor futuro de los egresos, a la correspondiente tasa de interés.

40

Valor futuro y valor actual con tasa variable

VF (1+i1) ….. (1+i1) (1+i2) ….. (1+i2) (1+i3) ….. (1+i3) ….. (1+ik) ….. (1+ik)

0 VA …...

1i 2i 3i ki

1n 2n 3n kn

41

Valor futuro y valor actual con tasa variable

• Valor futuro de un valor actual constante con tasa variable

• Valor actual de un valor futuro con tasa variable

knk

nnn iiiiVAVF )1(.....)1()1()1( 321321

knk

nnn iiii

VFVA

)1(.....)1()1()1( 321321

42

Valor futuro y valor actual con tasa variable

• Interés con valor actual constante y tasa variable

• Interés con valor futuro y tasa variable

IVAVF

VAVFI

VAiiiiVAI knk

nnn )1(.....)1()1()1( 321321

1)1(.....)1()1()1( 321321 kn

knnn iiiiVAI

knk

nnn iiiiVFI

)1(.....)1()1()1(

11

321321

knk

nnn iiii

VFVFI

)1(.....)1()1()1( 321321

43

Valor futuro de un valor actual variable con tasa variable

• En este caso el capital inicial varía durante el plazo de la operación financiera, es decir, se producen ingresos o egresos en referencia al capital inicial período a período, la variación del capital corresponde a la capitalización de intereses a las tasas variables y cuando se produce un ingreso o un egreso.

• Para solucionar esta situación se fracciona la operación financiera en tramos, durante los cuales el valor actual y la tasa permanezcan constantes, es decir se hace un corte cuando se produzca un ingreso, o un egreso o un cambio en la tasa de interés y se resuelve como en los casos anteriores.

44

Valor futuro de un valor actual variable con tasa variable

• También puede hallarse el valor futuro calculando el valor futuro de los ingresos y restándole el valor futuro de los egresos, a las correspondientes tasas de interés.

Interés devengado entre períodos con tasa variable• Para determinar el interés devengado

entre el período z-ésimo y el período k-ésimo del horizonte temporal se debe restar el VFz del VFk-1 calculados a sus correspondientes tasa de interés.

45

Ecuaciones de valor equivalente

a interés compuesto • En el interés compuesto un flujo de

ingresos y un flujo de egresos ubicados en diferentes períodos de un horizonte temporal son equivalentes, si a una fecha determinada o fecha focal, sus respectivos valores actualizados, capitalizados, o uno actualizado y otro capitalizado; aplicando en todos los casos la misma tasa de interés, son iguales.

• VA(Ingresos) = VA(Egresos)• VF(Ingresos) = VF(Egresos)

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Ecuaciones de valor equivalente

a interés compuesto • Propiedades

–Si un flujo de ingresos y un flujo de egresos son equivalentes en una determinada fecha focal o de evaluación, también lo serán en cualquier otra fecha focal.

–Si un flujo de ingresos y un flujo de egresos no son equivalentes en una determinada fecha focal o de evaluación, tampoco lo serán en cualquier otra fecha focal.