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Mtodos Quantitativos aplicados ContabilidadeSTC 00076 Notas de aula2014
EMENTA Tcnicas de amostragem estatstica aplicveis auditoria contbil. Tcnicas alocao de recursos sob restries oramentria. Tcnicas de simulao aplicveis elaborao de oramentos. Tcnicas de previso aplicveis elaborao de oramentos. Teoria de deciso: decises rotineiras e no-rotineiras no mbito da contabilidade.OBJETIVOAplicao de instrumental quantitativo que possibilita a elaborao de informaes de carter contbil, necessrias aos processos de planejamento e controle econmico-financeiro.CURRCULO RESUMIDO DO PROFESSORFernando Lagoeiro Professor Associado da UFF. Doutor em Engenharia de Produo. Mestre em Contabilidade (Controladoria). Especialista em Auditoria. Matemtico com diversos cursos nas reas de Anlise de Sistemas e Pesquisa Operacional. CONTEDO
1 Amostragem por Estimativa
2 Valor Esperado
3 - Mtodo Monte Carlo
4 Anlise de Investimentos
5 Anlise de Risco
6 Alocao de Recursos
7 - Funo Objetivo de Mnimos QuadradosANEXOS:
I reas na cauda direita sob a Distribuio normal padronizada II - Tamanhos de Amostras para Amostragem por Estimativas para Atributos: Amostras Aleatrias.BIBLIOGRAFIA1 BATALHA, Mrio Otvio (Coordenador) & outros. Gesto Agroindustrial, 2:
GEPAI Grupo de Estudos e Pesquisas Agroindustriais. So Paulo: Atlas, 1997.2 BROM, Luiz Guilherme; Administrao Financeira; So Paulo: Agncia
Dinheiro Vivo, 2002.3 - BRONSON, Richard & NAADIMUTH, Govindasami; "Schaum's Outlineof
Theoryand Problems of OperationsResearch"; McGraw-Hill, 1997.4 CASTRO NETO, Alberto Corra e; Anlise de Projetos; Rio de Janeiro:
Bennet, 1982. 5 - COOK & WINKLEY; Auditoria: Filosofia e Tcnica; So Paulo: Saraiva.6 CORRAR, Luiz J. & THEPHILO, Carlos Renato (coordenadores) et all; Pesquisa Operacional para Deciso em Contabilidade e Administrao; So Paulo: Atlas, 2004.7 EHRLICH, Pierre J.; Pesquisa Operacional: Curso Introdutrio; So Paulo:Atlas,
1976.8 ERMES Medeiros da Silva & OUTROS; Pesquisa Operacional para os Cursos de:
Economia, Administrao e Cincias Contbeis; So Paulo: Atlas, 1996.9 MARTINS, Gilberto A. & DONAIRE, Denis; Princpios de Estatstica; So
Paulo: Atlas, 1990.10 - PUCCINI, Abelardo. Matemtica Financeira Objetiva e Aplicada. 1 ed. So Paulo: Saraiva, 2001.As Notas de Aula no substituem a bibliografia indicada.1 AMOSTRAGEM POR ESTIMATIVA 1.1- Amostragem por Estimativa para Determinao de VariveisO parecer do auditor deve fundamentar-se em evidncias. As evidncias em auditoria so colhidas atravs de testes.
CONFIANA o grau de segurana desejado na auditoria.
PRECISO ( p ) o maior valor que pode ser considerado como imaterial.Relaes Estatsticas Fundamentais:Desvio padro .................................... S = (x - x)2| n Erro padro da mdia ....................S x = S | n Desvio padro normal (Z) = valor tabelado ( anexo I ) Intervalo de confiana ...................... p = Z Sx Tamanho da amostra n dado combinando e :n = ( ZS | p )2Exemplo:
No decorrer de um trabalho o auditor quer selecionar uma amostra de um total de 4.600 contas receber com saldo igual a $570.400,00, aceitando como imaterial um erro conjunto de $7.500,00 .a) Clculo do tamanho da amostra ( n )- Confiana de 95 % ...... Z = 1,96 ( ver tabela )- preciso .................... p = + 7500 | 4600 = + $ 1,63 por conta - desvio padro da populao (amostra piloto com 30 a 50 contas)
Spiloto = (a - x)2| n = $17,00- saldo mdio = 570.400 | 4600 = $ 124,00 + $1,63 - escala : $ 122,37 ----- $125,63Ento: n = ( ZS | p )2 = [ ( 1,96 17 ) | 1,63 ]2 = 20,442 418b) Seleo da amostra: Se a populao for finita, a seleo poder ser feita por amostragem aleatria simples. Para populaes infinitas poder ser usada a amostragem sistemtica com incio casual (lista aleatria dos itens ksimo item K = N / n ).b) Avaliao da amostra: Se a mdia dos itens da amostra estiver dentro da escala de preciso ( 122,37 a 125,63 ), o auditor concluir com 95 % de segurana que o valor total da populao est dentro dos limites de preciso (+ 7500,00 ). Caso contrrio, reiniciar o processo.Exerccio: Construir a escala e calcular o tamanho de amostra com base nos dados:CASOValor da PopulaoN de tens da PopulaoDesvio Padro (S)Erro ConjuntoNvel de Confiana
A$100.000,005008$1.000,0095 %
B$722.000,009.00032$5.000,0090 %
C$5.500.000,0094.00014$10.000,0090 %
D$57.000,0040023$2.000,0099 %
E$340.000,0070042$6.000,0095 %
1.2 - Amostragem por Estimativa para Determinao de Atributos Em vista da estreiteza dos intervalos de confiana, da taxa de erro e da escala de preciso nos testes de atributos, em que se comprova a existncia, ou ausncia, de falhas (populao binria), o tamanho das amostras tabulado ( anexo II ) .Exemplo: Consideremos uma populao formada de 4.000 pedidos de cheques. Os procedimentos de controle interno do cliente exigem que cada pedido de cheque seja contra-assinado pelo supervisor do departamento de origem. O Auditor quer testar a observncia dessa poltica. O atributo a ser testado a taxa de erro da populao; define-se erro como a falta de assinatura do supervisor do departamento.a) Tamanho da amostra: Inicialmente so estabelecidos os parmetros para o teste.
Tamanho da populao: 4.000 itens.Confiana (depende da avaliao preliminar dos controles internos do cliente) = 95%.Limite Mximo de Preciso: se mais de 3 % dos itens no estiverem assinados, a poltica ser considerada ineficaz.Taxa de Erro Esperada: ser considerada uma taxa de erro de 2 %. A determinao pode ser feita com base em uma amostra piloto, experincia anterior com populaes semelhantes ou conhecimento que se possua da eficcia do sistema de controle interno.Usando a Taxa de Erro Esperada, juntamente com o Limite Mximo de Preciso estabelecido, o Auditor pode definir como de 3% - 2% = 1%, sua necessidade de Preciso Tamanhos de Amostras para Amostragem por Estimativas para Atributos: Amostras Aleatrias (Escala: 2% + 1% ou de 1 a 3%).
Os parmetros estabelecidos para o teste podem agora ser usados juntamente com as tabelas, a fim de determinar o tamanho de amostra adequado. O quadro IV do anexo II apresenta tamanhos de amostra para nveis de confiana de 95 % e taxas de erros esperadas de at 2%. Com base nesse quadro, pode-se ver que, para uma populao composta de 4.000 itens e uma preciso de + 1 %, o tamanho da amostra ter de ser de 634. b) Seleo da Amostra: proceder como na Amostragem para Determinao de Variveis.c) Avaliao da Amostra: Depois de selecionar a amostra, o Auditor examina os itens que a compem, para ver se h observncia dos procedimentos e calcula a taxa de erro da amostra. Se esta estiver dentro dos limites da escala, ele poder concluir, com 95 % de confiana, que a taxa de erro da populao de 2% + 1 %.Caso contrrio ele reinicia o processo e/ou reavalia o controle interno do cliente, podendo exigir nveis de confiana mais elevados para os testes posteriores.Exerccio: Sua empresa adquiriu recentemente um lote de 3.900 peas usinadas. O fabricante garante uma preciso de +1% com uma taxa de erro de 2%.
Voc foi encarregado de elaborar um laudo tcnico sobre essas peas. Quantas deve examinar para que seu laudo tenha 95% de confiana?
(R: 632).
2 VALOR ESPERADO
Valor Esperado (VE) de um evento o produto de sua probabilidade pelo resultado que produz no caso de sua ocorrncia.
O VE de uma deciso corresponde a soma algbrica dos VEs de cada evento possvel de ocorrer no caso de se tomar essa deciso.
Entre vrias alternativas, mutuamente exclusivas, seleciona-se aquela que otimiza o Valor Esperado (MAX {VE} ou MIN {VE} ).O VE de uma deciso interpretado como sendo o valor mdio que seria obtido caso essa deciso fosse adotada um grande nmero de vezes.
O Valor esperado a mais importante das tcnicas de deciso, todas as outras baseiam-se nela.
As tcnicas de deciso devem ser consideradas mais como apoio a decises racionais do que uma medida absoluta da expectativa de benefcios. Por exemplo, uma tcnica de deciso pode ser usada para ajudar uma empresa que faz perfuraes em zonas onde se desconhece a existncia de petrleo a decidir se perfura ou no. Os riscos inerentes a explorao de petrleo, porm, no podem ser eliminados. Exemplo: Uma empresa dedicada explorao de petrleo est analisando as perspectivas de perfurao em duas bacias sedimentares.As seguintes informaes esto disponveis:a)Investimentos ( $ MIL ) : Bacias
Poo Seco Poo Completado Juruna 2000 5500 Jacon 4900 9900 b) Receitas lquidas descontadas e probabilidadesEventos BACIA JURUNA BACIA JACON Probabil. Receita ($mil)
Probabil. Receita ($mil) SECO 0,30 -3000 0,50 -7500 100 M bbl 0,30 940 0,10 -3700 200 M bbl 0,20 5600 0,20 13000 300 M bbl 0,10 9400 0,10 22500 400 M bbl 0,10 13000 0,10 37000Com base no critrio do Valor Esperado, que escolha fazer? Se a empresa est com alguns problemas relativos limitao oramentaria e decide adotar o critrio de otimizar a taxa RSI (retorno sobre o investimento) ou VE | Investimento, qual a escolha?Soluo: Da tabela (b) encontramos o valor esperado para a receita lquida de cada bacia sedimentar, o clculo consiste no somatrio das probabilidades multiplicadas pelas receitas lquidas previstas. Assim temos : VEJuruna = 0,3(-3000)+0,3(940)+0,2(5.600)+0,1(9.400)+0,1(13.000) = =$2.742,00VEJacon = 0,5 (-7.500)+0,1 (-3.700) + 0,2 (13.000) + 0,1 (22.500)+ +0,1 (37.000) = $4.430,00 Pelo critrio do Valor Esperado Mximo, a Empresa deveria decidir pela explorao da Bacia Jacon, que resultaria num maior lucro esperado.Entretanto a empresa poder se encontrar num ambiente de restries oramentrias. Devemos, ento, maximizar a relao VE Investimento ou seja, uma opo, mesmo que no apresente o maior Valor esperado, mas otimiza a utilizao dos recursos. Vamos, ento, calcular o VE dos investimentos :VEI-Juruna = 0,30 2.000 + 0,70 5.500 VEI-Juruna = $ 4.450,00VEI-Jacon = 0,50 4.900 + 0,50 9.900 VEI-Jacon = $7400,00 ; ento:RESIJuruna = VE = 2742 = 0,616 ...... RESIJacon= 4430 = 0,598 VEI 4450 7400Nesse cenrio a Bacia Juruna melhor.Nota: RESI = Retorno Esperado Sobre Investimento.EXERCCIOS1) ASA IND. produz um composto qumico, o produto X, que se deteriora e precisa ser jogado fora se no for vendido at o final do ms em que foi produzido. O custo total do produto X de $ 50 por unidade, e seu preo de venda de $ 80 por unidade. A empresa pode adquirir o mesmo produto de uma empresa concorrente a $ 80 por unidade mais $ 10 de frete por unidade.A gerncia calcula que se deixar de atender aos pedidos existentes perder 80% dos clientes que encomendam o produto.A ASA tem produzido e vendido o produto X nos ltimos 20 meses. A procura do produto tem sido irregular e atualmente no h tendncia consistente nas vendas. Durante este perodo, as vendas mensais foram as seguintes :
vendas / ms
meses
8000
5 9000
12
10000
3 Em quantas unidades deve a ASA fixar sua produo?2) A companhia GET quer escolher um de dois projetos mutuamente exclusivos que possuem as seguintes distribuies de Valor Presente Lquido: PROJETO A PROJETO B Probab. VPL ( $ ) Probab. VPL ( $ ) 0,10 3000 0,10 2000 0,20 3500 0,25 3000 0,40 4000 0,30 4000 0,20 4500 0,25 5000 0,10 5000 0,10 6000 3) Um bilhete de loteria tem 0,00001 de probabilidade de dar um prmio de R$100.000,00; 0,0002 de dar um prmio de R$50.000,00 e 0,004 de um prmio de R$25,00. Qual seria o preo justo de venda do bilhete? 4) Um seguro para acidentes de automveis custa ao proprietrio $100,00 / ano, e mais uma franquia de $100,00 em caso de ocorrer realmente um acidente. Admite-se que as despesas mdias para reparar um veculo acidentado atinjam $700,00. As estatsticas indicam que cerca de 10% dos veculos que trafegam na cidade seacidentam durante o ano, Determinar, baseado no clculo do valor esperado, se ser conveniente comprar uma aplice de seguro nas condies acima. 5) Num projeto para venda de cerveja na praia tem-se as seguintes perspectivas:
TEMPO PROBABILIDADE LUCRO DIA SOL 0.6 $600 NUBLADO 0,3
$300 CHUVOSO 0,1 $100 Um seguro contra chuva custa $90 e paga $400 em caso de chuva. Baseado no valor esperado, determinar se vale a pena comprar o seguro, 6) TRARA Com.Ind., fabricante de aparelhos eltricos, pretende lanar um novo tipo de equipamento no mercado. Existem trs alternativas para sua nova linha de produo: Produzir 1.000, 750 ou 500 unidades desse novo equipamento por ano. Sua Diretoria considera duas situaes quanto receptividade desse produto no mercado, representadas por: Vendas altas ( 1.000 unidades/ano) e Vendas baixas (600 unidades/ano). As probabilidades associadas a esses eventos so 65 % e 35 %, respectivamente.A seguinte matriz de resultados monetrios foi calculada:Linha de ProduoAltas1000 u / anoBaixas600 u / ano
1000 u / ano$ 1.500($ 500)
750 u / ano$ 1.100$ 250
500 u / ano$ 500$ 500
Sugira a melhor alternativa de linha de produo para a empresa. 7) Uma seguradora paga $3.000,00 em caso de acidente e cobra uma taxa de $100,00. Sabe-se que a probabilidade de que um carro sofra um acidente de 3%. Quanto espera a seguradora ganhar com cada carro segurado?
3 MTODO DE MONTE CARLOO Mtodo de Monte Carlo, uma tcnica de simulao baseada na utilizao de nmeros aleatrios que so sorteados, da o nome, j que o princpio semelhante ao da ROLETA.O objetivo da simulao determinar a distribuio dos resultados possveis de um projeto. Quando essa distribuio conhecida, torna-se fcil calcular a mdia ou Valor Esperado. atravs da Tcnica de Simulao que procuramos combinar exaustivamente os valores das variveis aleatrias para resultar numa distribuio de probabilidades para a varivel dependente analisada como resultado do projeto.Uma vez atribuida a cada varivel aleatria a sua distribuio de probabilidade, podemos simular o comportamento do fluxo de caixa, gerando valores aleatrios para cada varivel de acordo com suas respectivas distribuies de probabilidade.A idia bsica associar a cada probabilidade um nmero aleatrio compreendido entre 00 e 99, de modo a representear a distribuio de probabilidade de 0 a 100%.Uma vez gerado um n aleatrio, podemos chegar aos valores para cada parmetro do fluxo de caixa. Com esses valores aleatrios das variveis independentes, poderemos calcular pela equao do Benefcio, cada valor da varivel dependente.Essa computao repetitiva efetuada at que um suficiente nmero de valores da varivel dependente defina sua distribuio de probabilidade.Normalmente esse processo requer um grande nmero de computaes muitas vezes atingindo valores superiores a 1000, cujos resultados so tabelados em intervalos de classes.O uso de computadores torna o processo muito cmodo e rpido. A repetio dos passos de simulao mostra que depois um certo tempo as freqncias associadas s classes de benefcios, tendem a se estabilizar.Linguagens de Simulao
Linguagens de Simulao so linguagens computacionais criadas especialmente para desenvolver sistemas de simulao. As mais conhecidas linguagens de uso geral so:1- GPSS - General Purpose Simulation SystemGPSS/H. 1991. Manuais do usurio.2- SIMANPEDGEN,T.C.; SHANNON, R.; SADOWSKI. Introduction to Simulation using SIMAN. New York: Mc Graw-hill,1995.
O SIMAN tambm o suporte do software animado ARENA. A verso de treinamento do ARENA poder ser acessada atravs dos seguintes endereos: paragon@paragon.com.br (PARAGON, representante brasileira) e http://www.sm.com (Systems Modelling, USA) .Exemplo: preciso estudar a coleta de lixo de uma regio. Sabe-se que:a) A coleta dever ser feita duas vezes por semana. H 8.000 pontos de coleta. Ento preciso efetuar 16.000 coletas/semana. Vamos supor que este nmero permanea constante. b) O trabalho normal consiste em 8 hs/dia e 5 dias/semana.c) Custo dirio de um caminho de coleta: -Motorista: $12,50/hora 8 hs ......................... $100,00-2 ajudantes: $ 8,75/hora cada um 8 hs ......... $140,00 -Manuteno, depreciao, combustvel, etc... $ 60,00 $300,00/dia.d) Hora extra de caminho de coleta com guarnio (o pagamento da mo-de-obra 50 % a mais ) :-Motorista = $12,50 1,5 ................................ $18,75 -Ajudantes = $8,75 1,5 2 ajudantes ........... $26,25 -Manut., deprec., combust., etc.= $ 60,00 8 = $7,50 $52,50/he) Um caminho consegue fazer 100 10 coletas por hora.f) Se tudo correr bem, so necessrios 160 caminhes por hora (16.000 100 coletas / hora ) para fazer o servio de uma semana.g) O n dirio de coletas (16.000/semana 5dias) = 3200. h) Vamos calcular o nmero mnimo de caminhes. Junto com hs. extras, o mximo que uma guarnio consegue trabalhar 12 hs. por dia. Por dia, so necessrios 160 5dias= 32caminhes-guarnio/hora. Isto resulta num mnimo de 32 12 = 2,66 caminhes-guarnio. Vamos iniciar a simulao considerando trs caminhes.i) Agora estamos prontos para iniciar a simulao. Sabe-se que, devido a atrasos, variaes no volume de lixo a ser coletado e outros imprevistos, costuma ser necessrio trabalhar certo nmero de horas extras acima das 32 horas de caminho-guarnio regulares que tomaremos como referncia. O nmero total de horas extras necessrias acima das 32 de zero a doze e, baseando-se na experincia, a probabilidade de se necessitar S horas extras dada por p(S). j) Vamos ento tabular a probabilidade cumulativa P(S) = p(S) e alocar para cada intervalo de S uma subdiviso proporcional. A idia selecionar, por meio de um gerador de nmeros aleatrios RN, a quantidade de horas extras requeridas:S123456789101112
P(S).02.06.11.17.32.45.60.75.85.95.991.0
1371218334661768696
RN0
26111732456075859599
Vamos simular, para cada situao, apenas cinco valores. A cada vez, seleciona-se um nmero aleatrio de 2 dgitos e vem-se quantas horas vo ser necessrias acima das 32. N de Cami-nhesValoresN aleatrio geradohs extras acima de 32hHoras normaisTotal de hs extras$ diriohoras normais$ dirio hs estras$ dirio total
18092417900,00892,501.792,50
26882416900,00840,001.740,00
333052413900,00682,501.582,50
46782416900,00840,001.740,00
57082416900,00840,001.740,00
8.595,00
12153251.200,00262,501.462,50
26283281.200,00420,001.620,00
43113211.200,0052,501.252,50
47993291.200,00472,501.672,50
57583281.200,00420,001.620,00
7.627,00
11854001.500,0001.500,00
25374001.500,0001.500,00
532954001.500,0001.500,00
46584001.500,0001.500,00
51954001.500,0001.500,00
7.500,00
A tabela mostra que o timo est em se ter 5 caminhes-guarnio.O exemplo extremamente simples, pois tem apenas uma varivel aleatria. Poderamos t-lo resolvido analticamente, calculando o Valor Esperado dos custos (a partir da distribuio das horas extras e dos seus custos).
4 - Mtodos de Anlise de Investimentos4.1 - Fluxo de Caixa
O ponto de partida para a anlise de um investimento o estabelecimento de uma previso para o fluxo de caixa do projeto, considerando todas as entradas e sadas de caixa do empreendimento. um ponto crtico da anlise, visto que os resultados que indicam o curso da ao a adotar dependem dos valores estimados nesta etapa do trabalho.
CLCULO DO FLUXO DE CAIXA LQUIDO
Receita
(-)CPV, CMV ou CSP
(=)Lucro Bruto
(-)Despesas Operacionais
(=)Lucro antes do juros e Imposto de Renda (LAJIR)
(-)Despesas Financeiras
(=)Lucro antes de Imposto de Renda
(-)Imposto de Renda
(=)Lucro lquido (Resultado do Perodo)
(+)Depreciao
(-)Amortizao de Dvidas (pagamento do principal)
(=)Fluxo de Caixa Lquido do Perodo Projetado
EXEMPLOUm investidor pretende investir 1 milho de reais em uma nova fbrica de calados. Aps estudos de mercado e de uma srie de outras anlises, realizou as projees de retorno anuais para os 3 primeiros anos do projeto (os valores esto estimados ao final de cada ano). Supondo que a depreciao seja de R$ 100 mil ao ano (j embutidas nas despesas operacionais), que prestaes de amortizao de dvidas somem R$ 60 mil ao ano e que a alquota do IR seja de 20 %, elabore o FLUXO DE CAIXA.PROJEES (R$)ANO 1 ANO 2ANO 3
Receita das Vendas1.340.0001.450.0001.600.000
(-)Custo dos Produtos Vendidos(536.000)(580.000)(640.000)
(=) Lucro Bruto804.000870.000960.000
(-) Despesas Operacionais(350.000)(400.000)(470.000)
(=) LAJIR454.000470.000490.000
(-) Despesas Financeiras(40.000)(60.000)(5.000)
(=) LAIR414.000410.000485.000
(-) IR (20%)(82.800)(82.000)(97.000)
(=) Lucro Lquido331.200328.000388.000
(+) Depreciao100.000100.000100.000
(-) Amortizaes(60.000)(60.000)(60.000)
(=) Fluxo de Caixa Lquido371.200368.000428.000
371.200
368.000
428.000
1.000.0004.2 - Taxa Mnima de AtratividadeOs critrios econmicos consideram uma taxa de desconto para o fluxo de caixa de um projeto. Tal taxa conhecida como Taxa Mnima de Atratividade - TMA e representada pela taxa mdia que uma empresa ou pessoa tem os seus ativos aplicados.A TMA mdia ponderada das taxas envolvidas, considerando-se as parcelas dos capitais como os pesos da mdia.A taxa mdia significa na realidade a taxa que deveria ser aplicada sobre todo o capital, de modo a gerar os mesmos juros ou ganhos que a soma dos juros obtidos pelas diversas parcelas.ExemploJ. Serri aplicou $ 50.000,00, a juros simples, em 3 instituies financeiras distintas: $ 10.000,00 em A a 3,6 % a.m.; $ l5.000.00 em B a 3,8 % a. m. e $ 25.000,00 em C a 5 % a.m. Qual a taxa mdia de rentabilidade do capital aplicado?TMA = 10 . 3.6 + 15 . 3,8 + 25. 5 = 4,36%
504.3 - Valor Presente Lquido (VPL / NPV)
o resultado da diferena entre o VALOR PRESENTE (ou Atual) das Receitas e o VALOR PRESENTE das Despesas / Investimentos do Projeto, descontados TMA.NPV = PVR - PVI Exemplo:
Determinar o NPV do fluxo de caixa abaixo para TMA = 5%.
Perodo:
0
1
2
3
Receitas:
30 40 50
Investimentos: (-70)
NPV = 30 / (1,05) 1 + 40 / (1,05) 2 + 50 /(1,05) 3 - 70 NPV = 38
O critrio de aceitao ou rejeio de um projeto, recomenda aceitar todos os projetos cujo NPV for maior que zero (positivo) e rejeitar os projetos em que o NPV for menor que zero (negativo). Para NPV = 0, indiferente a aceitao ou no do projeto:
NPV > 0 aceitar o projeto
NPV= 0 indiferente
NPV< 0 recusar o projeto.
Pode-se usar diversas taxas de desconto para um mesmo projeto a fim de testar sua sensibilidade a variaes da TMA. 4.4 - Taxa Interna De Retorno (TIR / IRR)
A IRR de um investimento definida como a taxa de desconto que torna o NPV igual a zero.
Matematicamente representada pela taxa i que soluciona a equao
PVR - PVI = 0 [ R1 /(1+i) + R2 /(1+i)2 + ... + Rn /(1+i)n ] = [ I1 /(1+i) + I2 /(1+i)2 + ... + In /(1+i)n ]
O critrio de aceitao ou rejeio de um projeto, recomenda aceitar todos os projetos em que a TIR for maior que a TMA e rejeitar os projetos em que a TIR for menor que a TMA. Para TIR = TMA, indiferente a aceitao ou no do projeto:
TIR > TMA aceitar o projeto
TIR = TMA indiferente
TIR < TMA recusar o projeto.
A IRR alm de ser a taxa de desconto que anula o NPV, encarada tambm como a maior taxa de juros que se pode pagar pelo emprstimo de um capital, de forma que este seja pago com os recursos gerados pelo prprio projeto.
importante notar que a IRR no pode ser calculada quando as receitas lquidas forem inferiores ao investimento efetuado.4.5 Prazo de retorno (Pay Back)Apura o tempo de recuperao do principal investido.
Proj A: (-1000, 500, 400, 300, 100)
Proj B: (-1000, 100, 300, 400, 600)DATAPROJETO APROJETO B
RETORNOSSALDORETORNOSSALDOS
0-1000-1000
1500-500100-900
2400-100300-600
33000400-200
46000
(*) Exemplo extrado do livro: Weston, Fred, Brigham Fundamentos de Administrao Financeira Makron Books
PROJETO A = 2 ANOS + 100 / 300 = 2,33 ANOS
PROJETO B = 3 ANOS + 200 / 600 = 3,33 ANOSEXERCCIOS1 Achar a IRR e avaliar a viabilidade econmica do seguinte projeto de investimento, pelo mtodo NPV com TMA = 10 %.
Perodo: 0
1
2
3
Receitas:
50
60
70
Investimentos: (-100) 2 - A gerncia de um hotel est considerando a instalao de um sistema de ar condicionado para seus quartos. O hotel tem 150 apartamentos e um dos 3 hoteis da cidade. Um dos outros hoteis instalou tal sistema no ano anterior. O custo de instalao estimado em $180.000,00. Espera-se que o sistema opere com capacidade plena durante 14 semanas por ano e com capacidade reduzida durante 6 semanas. Os custos em capacidade plena so de $170,00/dia e em capacidade reduzida de $120,00/dia. A manuteno anual estimada em $1.250,00/ano e taxas e seguros em $2.000,00/ano. A vida estimada do sistema de 15 anos.
Se o sistema for instalado, espera-se que 90% dos quartos sejam ocupados durante 20 semanas do perodo de vero e 80% caso o sistema no seja instalado. Os lucros para cada quarto so $25,00 / dia. Os donos do hotel aplicam seu dinheiro a 6% ao ano.
Determine pelo mtodo Valor Presente Lquido (NPV) se o investimento deve ser feito.3 - Se, no exerccio anterior, os lucros dos quartos fossem de $20,00 / dia, qual seria sua deciso como proprietrio desse hotel? 4 - Determinar a IRR:Perodo:
0
1
2
Receitas:
60
72
Investimentos: (-100)5 - Determinar NPV do seguinte fluxo de caixa para TMA = 10%.
Perodo:
0
1
2
3
Receitas:
200 400
Investimentos: (-100) (-50)6 - Temos a oportunidade de investir nosso capital de $1.000,00, que est aplicado em papeis de renda fixa taxa de 10% ao ano, na aquisio de uma pequena fbrica de biscoitos. Segundo nossas estimativas, a fbrica dever retornar um fluxo de receitas lquidas de $170,00 por ano , nos prximos 10 anos. Que deciso tomar com base no critrio do Valor Presente Lquido (NPV)?
CONSIDERE PARA OS EXERCCIOS 7,8,9 e 10:
Uma empresa estuda a realizao de um projeto com o seguinte fluxo de caixa:AnoValor ($)
0-140.000,00
145.000,00
245.000,00
345.000,00
450.000,00
Soma45.000,00
A empresa dispe dos $140.000,00 para executar o projeto e, ao longo dos quatro anos, pode sempre aplicar os seus recursos financeiros a uma taxa efetiva de 10% ao ano, a juros compostos.7) Determinar o valor presente lquido (NPV) desse projeto, com a taxa de desconto de 10% ao ano.
R$6.059,018) Determinar o montante acumulado no final de quatro anos, se a empresa investir os R$140.000,00 no projeto, e reaplicar os resultados taxa de 10% ao ano. $213.845,009) Determinar o montante acumulado no final de quatro anos, se a empresa no realizar o projeto e mantiver os $140.000,00 aplicados a 10% ao ano durante todo esse perodo.
R$204.974,0010) Determinar a taxa interna de retorno (IRR) do projeto.
11,95% a.a.
11) Determinar a taxa interna de retorno trimestral do fluxo de caixa que segue: TrimestreValor ($)
0-1.000,00
1 270,00
2 270,00
3 270,00
4 270,00
Soma80
3,1511% a.t.12) Determinar a taxa interna de retorno anual do fluxo de caixa que segue. AnoValor ($)
0-1.000,00
1120,00
2120,00
3120,00
4120,00
51.120,00
Soma600,00
12,00% a.a.13) Determinar o valor presente lquido (NPV) e a taxa interna de retorno (IRR) do fluxo de caixa indicado a seguir, para uma taxa de desconto de 8% ao ano,.AnoValor ($)
0 (-)10.000,00
11.000,00
21.200,00
31.500.00
42.000,00
52.200,00
62.500,00
72.800,00
83.000,00
Soma6.200,00
14) Considerar o fluxo de caixa da tabela a seguir:TrimestreValor ($)
0 (-)10.000,00
11.000,00
21.000,00
34.000,00
41.000,00
51.000,00
63.000,00
Soma1.000,00
Determinar o valor presente lquido (NPV) desse fluxo de caixa, para a taxa de desconto de 12% ao ano, e a taxa interna de retorno (IRR), em termos anuais. Utilizar o conceito de taxas equivalentes, no regime de juros compostos, para a converso das taxas de juros. Assumir ano com 360 dias.
- $117,18 e 10,60% a.a. 15) Considerar o fluxo de caixa da tabela a seguir:MsValor ($)
0 (-)10.000,00
1 0,00
21.000,00
31.000,00
4 0,00
51.650,00
61.650,00
71.650,00
81.250,00
91.250,00
101.250,00
Soma700,00
Determinar o valor presente lquido desse fluxo de caixa (NPV), para a taxa de desconto de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, e a sua taxa interna de retorno (IRR), em termos anuais. Utilizar o conceito de taxas equivalentes, no regime de juros compostos, para a converso das taxas de juros. Assumir ano com 360 dias.$43,05 e 13,60% a.a.Testes 16 e 17:Um equipamento, cujo preo vista $100.000,00, adquirido no dia 1 de maro com um financiamento para ser liquidado em trs prestaes mensais de $34.000,00, que vencem a cada 30 dias corridos, a contar da data de sua aquisio. Assim, o fluxo de caixa do financiador o que segue:DatasDiasMsValor ($)
1 / Mar00(-) 100.000,00
31 / Mar301(+) 34.000,00
30 / Abr602(+) 34.000,00
30 / Mai903(+) 34.000,00
Total Lquido(+) 2.000,00
16) Considerando-se ano com 360 dias, determine: - valor presente lquido (NPV) desse fluxo de caixa para uma taxa de desconto de 10% ao ano;- a taxa interna de retorno (IRR) desse fluxo de caixa, em termos anuais;
$394,64 e 12,64% a.a. 17) Considerando-se ano com 365 dias, determine:- valor presente lquido (NPV) desse fluxo de caixa para uma taxa de desconto de 10% ao ano;- a taxa interna de retorno (IRR) desse fluxo de caixa, em termos anuais;
$392,64 e 12,82% a.a.Testes 18 e 19:
Um equipamento, cujo preo vista $20.000,00, adquirido no dia 1 de maro com um financiamento para ser liquidado em trs prestaes mensais de $6.800,00, que vencem no 1 dia de cada ms subseqente data de sua aquisio. Assim, o fluxo de caixa do financiador o que segue:DatasDiasValor ($)
1 / Mar0(-) 20.000,00
1 / Abr31(+) 6.800,00
1 / Mai61(+) 6.800,00
1 / Jun92(+) 6.800,00
Total Lquido(+) 400,00
18) Considerando-se ano com 360 dias, determine: - valor presente lquido (NPV) desse fluxo de caixa para uma taxa de desconto de 10% ao ano;- A taxa interna de retorno (IRR) desse fluxo de caixa, em termos anuais.
$359,28 e 12,35% a.a.19) Considerando-se ano com 365 dias, determine: - valor presente lquido (NPV) desse fluxo de caixa para uma taxa de desconto de 10% ao ano;- A taxa interna de retorno (IRR) desse fluxo de caixa, em termos anuais.
$381,54 e 12,53% a.a. Testes 20, 21, 22 e 23:Uma empresa estuda a realizao de um projeto com o seguinte fluxo de caixa:AnoValor ($)
0-140.000,00
1 45.000,00
2 45.000,00
3 45.000,00
4 50.000,00
Soma 45.000,00
A empresa dispe dos $140.000,00 para executar o projeto e, ao longo dos quatro anos, pode sempre aplicar os seus recursos financeiros a uma taxa efetiva de 10% ao ano, a juros compostos.20) Determinar o valor presente lquido (NPV) desse projeto, com a taxa de desconto de 10% ao ano.
$6.059,0121) Determinar o montante acumulado no final de quatro anos, se a empresa investir os $140.000,00 no projeto, e reaplicar os resultados taxa de 10% ao ano. $213.845,0022) Determinar o montante acumulado no final de quatro anos, se a empresa no realizar o projeto e mantiver os $140.000,00 aplicados a 10% ao ano durante todo esse perodo.
$204.974,0023) Determinar a taxa interna de retorno (IRR) do projeto.
11,95% a.a.5 Anlise de Risco4.1 - Anlise de Risco de dois projetos isoladosConhecendo-se as probabilidades de ocorrncias de situaes ou cenrios futuros no esperados pelo investidor, pode-se avaliar o risco de um determinado projeto. Por exemplo:
Uma empresa dedicada explorao de petrleo est analisando as perspectivas de perfurao em duas bacias sedimentares.
As seguintes informaes esto disponveis:a) Investimentos ( X $10 MIL ) :
Bacias
Poo Seco
Poo Completado
Niteri 150 350
Maric 250 850 b) Receitas lquidas descontadas e probabilidadesCenriosBacia NITERIBacia MARIC
Resultados (R)Probabilid.Resultados (R)Probabilid.
Poo seco(100,00)0,10(100,00)0,20
100 M bbl150,000,15300,000,20
200 M bbl240,000,50600,000,40
300 M bbl250,000,15700,000,10
400 M bbl300,000,10900,000,10
1 passo: Clculo do retorno esperado (VE) de cada alternativa de investimentoVENiteri = 0,1x(-100,00) + 0,15x150,00 + 0,5x240,00 + 0,15x250,00 + 0,1x300,00 =
= 200,00VE-Maric = 0,2x(-100,00) + 0,2x300,00 + 0,4x600,00 + 0,1x700,00 + 0,1x900,00 = 440,002 passo: Clculo da medida de risco de cada projeto de investimentoO risco mensurado pela variabilidade dos possveis resultados em relao ao resultado esperado. A medida estatstica que apura esse grau de disperso o desvio-padro ( ): = P(R VE)2Niteri = [0,1 x (-100,00-200,00)2 + 0,15 x (150,00-200,00)2 + 0,5 x (240,00-200,00)2 +
+ 0,15 x (250,00-200,00)2 + 0,1 x (300,00 200,00)2 ]1/2 = [11.550]1/2 = 107,47 Maric = [0,2 x (-100,00-440,00)2 + 0,2 x (300,00-440,00)2 + 0,4 x (600,00-440,00)2 +
+ 0,1 x (700,00-440,00)2 + 0,1 x (900,00-440,00)2]1/2 = [109.490]1/2 = 330,89MARIC tem um retorno mdio esperado maior, mas um desvio-padro tambm mais elevado, revelando uma maior variabilidade do retorno esperado em relao aos resultados possveis, ou seja, um maior grau de RISCO. Diante da distribuio de probabilidade, o desvio-padro indica quanto o retorno esperado (valor esperado da receita) representativo dessa distribuio: quanto maior a concentrao em torno do retorno mdio, menor o desvio-padro e vice-versa.3 Passo: Clculo do coeficiente de variaoO coeficiente de variao aponta a participao do desvio-padro (RISCO) sobre o retorno mdio de cada projeto. A utilizao do Coeficiente de Variao permite comparar diretamente os dois projetos analisados:
CV = /VE
CVNiteri = 107,47 / 200,00 53,735 %
CVMaric = 330,89 / 440,00 75,202 %Quanto maior o CV, maior o RISCO. Ou seja, maior a disperso em relao a media..No caso em tela, NITERI possui um risco relativo ao retorno esperado bem inferior MARIC.4 Passo: Clculo do Retorno Esperado sobre o Investimento:Este passo somente executado se a empresa apresenta problemas relativos limitao oramentria e decide adotar o critrio da TAXA DE RETORNO SOBRE INVESTIMENTO para auxiliar na escolha:
ReSI =VE Investimentos / VE Receitas
ReSI Niteri = 200,00 (150,00 X 0,1 +350,00 X 0,9) = 0,606 = 60,6 % ReSI Maric = 440,00 (250,00 X 0,2 + 850,00 X 0,8) = 0,602 = 60,2 %4.2 Estudo de Caso
A agncia revendedora GPB Veculos Ltda. vende um nico tipo de veculo por $20.000.00, obtendo um lucro de $4.000,00 e oferecendo um prazo de pagamento de 30 dias a uma clientela homognea em termos de conceito de crdito. Historicamente, a empresa apresenta as seguintes probabilidades de recebimento: 94 % de receber rigorosamente em dia. 3 % de receber com atraso, mediante cobrana administrativa, que gera um custo adicional de $1.000,00, mesmo com cliente pagando juros de mora e demais despesas. 2 % de receber com atraso, mediante cobrana judicial, que gera um custo adicional de $4.000,00, mesmo com cliente pagando juros de mora e demais despesas. 1 % de jamais vir a receber, devido a falncia do cliente, o que obriga a GPB Veculos a assumir um prejuzo no valor do preo de custo do veculo.1) Diante dessas possibilidades, calcule o retorno mdio ponderado esperado pela agncia hoje:Condio Comercial AtualLucro NormalCustos Adicion.Retorno/ eventoProbabil.(P)R X P
Receber em dia
Cobrana administrativa
Cobrana judicial
No receber
Retorno mdio ponderado esperado (VE)
2) Calcule a medida de risco, dada pelo desvio padro:Condio Atual(P)(R)(R - VE)(R-VE)2 X P
receber em dia
cobrana administrativa
cobrana judicial
no receber
Varincia ( 2)
Desvio-Padro ( )
Preocupada com a possibilidade de perda, a diretoria da GPB Veculos Ltda. acredita que a adoo de algumas alteraes na comercializao poder reduzir o risco do negcio: oferecer um prazo de pagamento de 7 dias, com desconto de $ 600,00 no preo de venda, e exigir garantias do cliente. Com essa nova condio comercial, a GPB Veculos acredita que praticamente eliminar a probabilidade de no receber, e elevar a probabilidade de recebimentos pontuais para 95 %. Alm disso, os custos adicionais das cobranas cairo pela metade com as mesmas probabilidades anteriores.3) Calcule o retorno mdio ponderado para a situao proposta:Condio propostaLucro normalCustos adicionaisRetorno (R)Probab. (P)R X P
Receber em dia
Cobrana administrativa
Cobrana judicial
Retorno Mdio Ponderado Esperado (VE)
4) Calcule o desvio-padro para a proposta, com as novas medidas preventivas:Condio proposta(p)(R)(R - VE)(R - VE )2 x P
Receber em dia
Cobrana administrativa
Cobrana Judicial
Varincia ( 2)
Desvio-Padro ( )
5) Compare diretamente as duas situaes, atravs do Coeficiente de Variao:CV = / Rm
Na primeira situao CV = Na segunda situao CV = - Faa seus comentrios sobre as duas situaes comparadas (importante):
6 - ALOCAO Os problemas de alocao geralmente assumem a forma de equaes que possuem uma estrutura bsica simples (modelo de otimizao).
OTIMIZE (Max ou min)
F(X1, X2, .........., Xn) ------------------ Funo Objetivo
Sujeito a
Gk(X1,X2,.........., Xn) ------------------ Restries e
Xi 0 , i = (1,...,n) ------------------ No negatividade Um modelo de otimizao, no qual desejamos encontrar um conjunto de valores no negativos, para variveis sujeitas a restries, obtendo o melhor valor para a funo objetivo, chamado PROBLEMA DE PROGRAMAO MATEMTICA.Existem muitos tipos de Programas Matemticos, poucos deles, porm, podem ser resolvidos dentro de um razovel tempo de computao. Isto porque a teoria matemtica que aborda as tcnicas relacionadas com os programas matemticos ainda muito limitada. Uma das excees um tipo especial chamado PROGRAMA LINEAR.6.1 - PROGRAMAO LINEARUm Programa Linear contm uma Funo Objetivo que um termo linear e todas as restries so tambm lineares.Falando simplificadamente, um termo dito linear se, e somente se, ele igual a soma, ou a diferena, dos componentes; onde cada componente uma constante conhecida ou uma varivel multiplicada por uma constante conhecida. Por exemplo, a inequao 3x1 + 2x2 < 4 uma inequao linear, enquanto que as inequaes 3x1 + 2x2 < 4 e 3x1 x2 + 2x2 < 4 , no so. Note que as componentes envolvendo variveis normalmente aparecem do lado esquerdo e a constante no lado direito.Se um problema pode ser formulado como um PROGRAMA LINEAR, ento ele pode ser solucionado. Atualmente tem-se solucionado problemas de Programao Linear, com qualquer nmero de variveis e milhares de restries, o que enfatiza sua importncia.Os problemas de Programao Linear tm sido resolvidos pelo mtodo SIMPLEX inventado pelo Prof. George B. Dantzig, da Universidade de Stanford. Formulao e Modelagem em Programao Linear6.2- Geometria e lgebra em programao linear (1) Um fabricante deseja maximizar a receita bruta. As composies das ligas, seus preos e as limitaes na disponibilidade de matria prima encontram-se na tabela.ITENSLIGA TIPO ALIGA TIPO BMateria Prima Disponvel
Cobre2116
Zinco1211
Chumbo1315
$venda / unidade$30,00$50,00
Seja XA a quantidade de liga A a ser produzida; XB a quantidade de liga B a ser produzida.
Portanto, o objetivo :Max Z = 30 XA + 50 XBs. a
2XA + XB < 16 .............. para o cobre
XA + 2XB < 11 .............. para o zinco
XA + 3XB < 15 .............. para o chumboe, XA > 0 ; XB > 0 , no pode fabricar uma quantidade negativa de liga.(2) - Um comerciante pretende obter uma quantidade no superior a 5 toneladas de certo produto que pode ser encomendada a duas fbricas A e B. A fbrica A garante um lucro de $4.000,00 por tonelada, mas no pode fornecer mais de 3 toneladas. A fbrica B garante um lucro de $3.500,00 por tonelada, e pode fornecer qualquer quantidade. Qual a quantidade deve o comerciante adquirir de cada fbrica?(3) - Uma fbrica produz dois tipos de tecido usando 3 cores diferentes de l. Para cada metro de tecido, so necessrias as seguintes quantidades de l (em gramas): LTecido ATecido B
Amarela400500
Verde500200
Preta300800
A fbrica dispe apenas de 100 kg de l amarela, 100 kg de l verde e 120 kg de l preta. Quanto de cada tecido deve a fbrica produzir para obter o maior lucro, supondo que lucra $5,00/m no tecido A e $2,00/m no tecido B. 6.3 Formulao e modelagem em PL(1) Um fabricante de raes garante que seu produto tem, pelo menos, 35 % de protena e 2% de gordura, e no mximo 8 % de celulose. Qual a composio que deve ter uma tonelada dessa rao, a partir dos ingredientes da tabela seguinte, de modo a ser mnimo seu custo? Ingredientes% de celulose% protena% GorduraCusto / Ton
Alfafa25172R$ 300
Resduos3255R$ 400
Torta de Peixe1607R$ 900
Torta de soja6.5450.5R$ 450
Seja : X1 = Quantidade de alfafa na mistura X2 = Quantidade de resduos na mistura X3 = Quantidade de torta de peixe na mistura X4= Quantidade de torta de soja na misturaEnto: Min Custo = 300 X1 + 400 X2 + 900 X3 + 450 X4sujeito aX1 + X2 + X3 + X4 = 117X1 + 25X2 + 60X3 + 45X4 0,352X1 + 5X2 + 7X3 + 0,5X4 0,0225X1 + 3X2 + 1X3 + 6,5X4 0,08eXi 0, i = (1,...,4)(2) Um nutricionista precisa estabelecer uma dieta com, pelo menos, 10 unidades de vitamina A, 30 unidades de vitamina B e 18 unidades de vitamina C. Essas vitaminas esto contidas em quantidades variadas em cinco alimentos que vamos chamar de S1 , S2, S3, S4 e S5. A tabela seguinte d o nmero de unidades das vitaminas A ,B e C em cada unidade desses cinco alimentos, bem como seu custo, em Reais, por unidade.S1S2S3S4S5
A01543
B21032
C31090
CUSTO421105
Calcular as quantidades dos cinco elementos que devem ser includos na dieta diria, que atendam aos teores desejados de vitaminas com o menor custo.Mn-custo = 4S1 + 2S2 + S3 + 10S4 + 5S5Tal que:S2 + 5S3 + 4S4 + 3S5 102S1 + S2 + 3S4 + 2S5 303S1 + S2 + 9S4 18e
S1 , S2 , S3 , S4 , S5 0(3) O setor de transporte de cargas de uma cooperativa agrcola, que opera em So Paulo (SP), dispe de 5 caminhes Modelo A, 10 caminhes Modelo B e 20 caminhes Modelo C. Existe uma carga de 160 toneladas para ser remetida para o Rio Grande do Sul (RS) e uma de 100 toneladas para ser remetida para o Mato Grosso (MT). Os custos de transporte por tonelada ($/t) e as capacidades de carga (t) dos caminhes so dados na tabela abaixo:Modelo A Modelo B Modelo C
SP-RS 20 12 1.5
SP-MT 35 22 3.5
Capacidade 40 20 01/02/00
Quantos e quais caminhes a cooperativa deve mandar para o Rio Grande do Sul e para o Mato Grosso, minimizando os custos de transporte ?
Definio das variveis de deciso:XA-RSCaminhes modelo A enviados para RSXB-RS Caminhes modelo B enviados para RSXC-RSCaminhes modelo C enviados para RSXA-MTCaminhes modelo A enviados para MTXB-MTCaminhes modelo B enviados para MTXC-MT Caminhes modelo C enviados para MTFuno objetivo: Minimizar o custo de transporteMin 40x20XA-RS + 20x12XB-RS + 2x1.5XC-RS + 40x35XA-MT + 20x22XB-MT + 2x3.5XC-MTNmero mximo de caminhes disponveis de cada modelo no pode ser excedido:XA-RS + XA-MT < 5XB-RS + XB-MT < 10XC-RS + XC-MT < 20Cada local deve receber no mnimo a carga solicitada:40xA-RS + 20XB-RS + 2XC-RS > 16040XA-MT + 20XB-MT + 2XC-MT > 100Modelo de P.L. proposto para o problema:Min 800XA-RS + 240XB-RS + 3XC-RS + 1400XA-MT + 440XB-MT + 7XC-MT s.a.XA-RS +XA-MT< 5
XB-RS +XB-MT< 10
XC-RS +XC-MT< 20
40XA-RS +20XB-RS +2XC-RS< 160
40XA-MT +20XB-MT +2XC-MT< 100
XA-RS, XB-RS, XC-RS, XA-MT, XB-MT, XC-MT > 0
(4) Uma empresa agrcola dispe de 5 tipos de alimentos com diferentes composies nutricionais (protenas e sais minerais). A tabela abaixo apresenta a composio nutricional (g / kg) e o custo ($ / kg) de cada um dos alimentos:Alimento:Alimento 1Alimento 2Alimento 3Alimento 4Alimento 5
Protenas34536
Sais Minerais23433
Custo0.500.701.000.660.72
Qual a rao mais barata possvel de se produzir com a combinao de alimentos disponveis que atenda as exigncias dirias mnimas de um determinado animal ( 42 g de proteinas e 24 g de sais minerais) ?
Definio das variveis de deciso:X1Quantidade do alimento 1 utilizada na raoX2Quantidade do alimento 2 utilizada na raoX3Quantidade do alimento 3 utilizada na raoX4Quantidade do alimento 4 utilizada na raoX5Quantidade do alimento 5 utilizada na raoFuno objetivo: Minimizar o custo de produoMin 0.50X1 + 0.70X2 + 1.00X3 + 0.66X4 + 0.72X5Quantidade mnima de proteinas e sais minerais que devem ser fonecidas na rao:3X1 + 4X2 + 5X3 + 3X4 + 6X5 > 422X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 + 3X5 > 24Modelo de P.L. proposto para o problema:Min 0.50X1 + 0.70X2 + 1.00X3 + 0.66X4 + 0.72 X5s.a.3X1 + 4X2 + 5X3 + 3X4 + 6X5 > 422X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 + 3X5 > 24Xi > 0, i = 1, 2, 3, 4, 5
(5) O vinhoto de 3 usinas de acar e lcool ( A, B e C), depois de sofrerem um tratamento, so descarregados num rio. Cada uma das 3 usinas produz uma quantidade diria de poluente vindo do vinhoto, expressa em toneladas por PA, PB e PC, respectivamente. O tratamento de vinhoto pode reduzir a quantidade de poluente at um mximo de 90%. Esta reduo denominada "eficincia de estao de tratamento" e o custo da estao i diretamente proporcional sua eficincia (Ki x eficincia).
Por outro lado, devido ao bioqumica (por exemplo, aerao), no final de cada trecho A-B e B-C do rio, a quantidade de poluente reduzida em 10% e 20%, respectivamente. Qual a eficincia que devem ter as estaes de tratamento, de modo que, para qualquer ponto do rio, a quantidade de poluentes medida em um dia no ultrapasse P toneladas, e de modo a minimizar o custo das estaes de tratamento?Definio das variveis de deciso:EAEficincia da estao de tratamento da Usina AEBEficincia da estao de tratamento da Usina BECEficincia da estao de tratamento da Usina CFuno objetivo: Minimizar o custo total das estaes de tratamentoMin KEA + KEB + KECGarantir que em nenhum ponto do rio a quantidade de poluentes seja maior que P:Ponto A
Quantidade de poluentes produzida pela Usina A : PA
Quantidade de poluentes descarregada no ponto A : PA (1 EA)
Portanto: PA ( 1 EA ) < PPonto B
Quantidade de poluentes produzida pela Usina B : PB Quantidade de poluentes descarregada no ponto B : PB (1 EB)
Quantidade de poluentes existente no ponto B :
0.9 PA ( 1 EA ) + PB ( 1 EB )
Portanto: 0.9 PA ( 1 EA ) + PB ( 1 EB ) < PPonto C
Quantidade de poluentes produzida pela Usina C : PC
Quantidade de poluentes descarregada no ponto C : PC (1 EC)
Quantidade de poluentes existente no ponto C :
0.8 [ 0.9 PA ( 1 EA ) + PB ( 1 EB ) ] + PC ( 1 EC )
Portanto:
0.8 [ 0.9 PA ( 1 EA ) + PB ( 1 EB ) ] + PC ( 1 EC ) < PModelo de P.L. proposto para o problema:
Min K EA + K EB + K ECs.a:
PA ( 1 EA ) < P
0.9 PA ( 1 EA ) + PB ( 1 EB ) < P
0.8 [ 0.9 PA ( 1 EA ) + PB ( 1 EB ) ] + PC ( 1 EC ) < P
EA > 0, EB > 0, EC > 06.4 - Pacotes Computacionais
Atualmente, existem dezenas de pacotes computacionais para soluo de problemas de Programao Linear, entre eles destacam-se os conhecidos LP 88 e LINDO. Foram dois dos primeiros softwares desenvolvidos para microcomputadores. Hoje, existem outros mais modernos e amigveis, como o caso do LINGO e do GAMS, cujas descries completas podero ser encontradas em:CUNNINGHAN, K., SCHRAGE, L.The Lingo Modelling Language. Chicago: Lindo System Inc.BROOKE, A., KENDRICK, D, MEERAUSS, A. Release 2.25 GAMS: A Users Guide. The Scientific Press.
Mais informaes podero ser obtidas em:
http://www.gams.com ( informaes do GAMS)
http://www.win.net/~lindo (informaoes do LINGO). Alm desses, podero ser obtidos na homepage http://www.ampl.com/ o programa de otimizao AMPL, que gratuito na verso para estudante, limitada a 300 variveis e 300 restries; e mais dois ``solvers'' : o Minos, que tambm uma verso limitada de um programa comercial, e o Lpsolve, um programa gratuito que no tem restries. A descrio completa do AMPL poder ser encontrada em:FOURER, R.; Gay, D. M. & Kernighan, B. W. AMPL - A Modeling Language for Mathematical Programming. The Scientific Press.6.5 - ArredondamentoAlguns problemas requerem que as variveis tenham valores inteiros. Nesse caso, se para algumas variveis aparecerem valores fracionrios na soluo, ento elas podem ser arredondadas para valores inteiros. A soluo resultante dever ser testada para ver se todas as restries so satisfeitas ou quase satisfeitas.Se os dados refletirem um total razovel de erros, pequenas variaes nos limites das variveis, a soluo aproximada aceitvel, se no dever ser tentado um outro procedimento de arredondamento.Felizmente, uma soluo produzida desta maneira ser prxima da tima, visto que Programas Lineares gerados com variveis inteiras (chamados Programas Inteiros) no fornecero soluo ou fornecero solues precrias.Uma discusso completa sobre arredondamento pode ser encontrada em: Salkin,H.M.; Integer Programming ; Addison-Wesley.6.6 Exerccios1 - Certa fabrica de cigarros possui trs tipos de mquinas. Produzem-se quatro tipos diferentes de cigarros. Os vrios tipos de cigarros requerem quantidades diferentes de tempo de mquina e proporcionam lucros diferentes, alm disso, a quantidade total de tempo de mquina por semana limitada ( ver tabela) . Supondo que toda a produo possa ser vendida, formule o problema e construa o modelo de Programao Linear que maximiza o lucro. MQUINAMODELO 1MODELO 2MODELO 3MODELO 4Tempo disponvel
A2 h0,000,000,004.000 h
B0,000,000,000,001.800 h
C0,000,000,000,001.000 h
LUCRO $0,561,001,502,00
2 - Uma pessoa com $ 4.500,00 para investir considera as aplicaes: bnus (2%), aes (3%), emprstimos ( 4% ), segundas hipotecas (6%) . Um corretor lhe aconselha que no invista mais de $ 1.000,00 em hipotecas e emprstimos, no menos que $ 1.500,00 em bnus e aes, porem menos de $ 3.000,00 em aes e hipotecas. Formule o problema e construa o modelo de programao linear que fornece a combinao de investimentos que produz o maior ganho.3 - Uma refinaria fabrica 2 tipos de gasolina, 1 e 2, a partir de 2 tipos de petrleo bruto, A e B . Os custos, os preos de venda e requisitos para fabricar as gasolinas encontram-se na tabela. Formule o problema e construa o modelo de Programao Linear que maximiza o lucro. PetrleodisponibilidadeCustogasolina% de A requeridoPreo de venda
A100R$ 6,00160,00%R$ 8,00
B200R$ 3,00230,00%R$ 5,00
4 - Um trabalho composto de 3 tarefas A, B e C tem que ser executado por trabalhadores de categorias I, II e III. Os tempos gastos em cada tarefa dependem da categoria do trabalhador. Seu custo horrio tambm. A tabela mostra os tempos gastos para cada tarefa, se esta fosse inteiramente feita por um tipo de trabalhador. Porm as tarefas tambm podem ser efetuadas por diversas combinaes de horas dos diferentes trabalhadores. preciso empregar pelo menos 1h de trabalhador III, 3h de II e 6h de I. Formule o problema e construa o modelo de Programao Linear, a fim de executar o trabalho a um custo mnimoTAREFASTRABALHADORES
IIIIII
A5 h4 h3 h
B4 h6 h5 h
C4 h2 h3 h
Custo / horaR$ 2,00R$ 3,00R$ 4,00
Horas disponveis10 h8 h9 h
5 - Deseja-se formular o problema e construir o modelo de Programao Linear, de modo a calcular qual a proporo de presuntos, lombinhos e pernis a serem defumados e qual a proporo a vender sem defumar. O objetivo maximizar o lucro, supondo que toda a produo possa ser vendida.Podem ser processados, no mximo, 106 presuntos defumados por dia sem pagar hora extra. Tambm pode-se processar, no mximo, 315 lombinhos e pernis defumados por dia sem pagar hora extra. A diferena nos preos de venda entre defumado e no defumado : presunto $ 6,00; lombinho $ 5,00; pernil $ 6,00. Custo do Produto AcabadoPresuntoLombinhoPernil
Defumado em hora normalR$ 5,18R$ 4,76R$ 5,62
Defumado em hora extraR$ 6,58R$ 5,54R$ 6,92
Sem defumarR$ 0,50R$ 0,48R$ 0,51
Matria Prima disponvel480400230
6 - Deseja-se determinar as misturas de 4 derivados do petrleo, que sero os constituintes de 3 tipos de gasolina ( extra, super e comum ).
As tabelas abaixo mostram as percentagens de especificaes dos diversos constituintes e os preos de venda de cada tipo de gasolina por barril ( bbl ).ConstituintesDisponibilidadesCusto / bbl
13.000 bblR$ 3,00
22.000 bblR$ 6,00
34.000 bblR$ 4,00
41.000 bblR$ 5,00
GasolinaEspecificaesVenda
ANo mais que 30 % de 4R$ 5,50
No mais que 50 % de 3
No menos que 40 % de 2
BNo mais que 50 % de 4R$ 4,50
No menos que 10 % de 2
CNo mais que 70 % de 1R$ 3,50
Formule o problema e construa o modelo de Programao Linear que maximiza o lucro.7 - Um investidor possui $ 18.000,00 e tem a sua disposio 3 alternativas para aplicar seu capital, alm de deix-lo na CEF rendendo 6 % ao ano.
ALT.1 - Comprar um lote de aes cujo o preo unitrio de $ 4,50 e cuja rentabilidade anual esperada de 47 %.
ALT.2 - Comprar letras de cmbio cujo preo unitrio de $ 3,00 e cuja rentabilidade anual esperada de 32 %.
ALT.3 - comprar letras do tesouro cujo preo unitrio de $ 1,50 e cuja rentabilidade anual de 8 %.
Supondo que o investidor no deseja adquirir mais do que 1750 aes e letras de cmbio; que seu corretor s possa conseguir at 1000 aes e 1500 letras de cmbio; que o investidor queira deixar, pelo menos, $ 2.000,00 na CEF; que o investimento feito em letras do tesouro no ultrapasse 1,7 vezes o depsito deixado na CEF. Formule o problema e construa o modelo de Programao Linear que indica ao investidor que quantidades alocar a cada alternativa, com o objetivo de maximizar seu capital no fim do ano.7 - Funo Objetivo de Mnimos Quadrados o objetivo da Anlise de Regresso, ou Ajustamento de Retas, para obter valores de parmetros desconhecidos utilizando dados amostrais.Seja y uma varivel que nos interessa estudar e cujo comportamento futuro desejamos prever. fcil identificarmos uma srie de variveis xi (x1 , x2, x3,.....,xn) que influenciam o comportamento de y, a varivel dependente do modelo. A Estatstica oferece meios de chegarmos relao funo entre a varivel dependente (y) e as variveis explicativas ou independentes (x1, x2, x3, ......,xn) atravs da anlise de regresso. Limitaremos nossa exposio ao caso em que apenas duas variveis intervm no modelo: a varivel dependente y e a varivel independente x. Apresentaremos apenas o estudo da funo linear (ajustamento de uma reta), isto , estudaremos o modelo:
y =a +bx
onde a e b so os parmetros da funo. Mtodo dos Mnimos QuadradosEstabelecido o modelo y = a + bx , precisamos dos valores de a e b de forma que a nossa reta passe to prxima quanto possvel dos pontos assinalados no diagrama de disperso. Isto , queremos minimizar a discrepncia total entre os pontos marcados e a reta que iremos determinar. O melhor mtodo para determinao dos parmetros a e b que minimize as discrepncias o Mtodo dos Mnimos Quadrados. Segundo esse mtodo, poderemos avaliar os parmetros a e b pela aplicao das seguintes frmulas:
b = nxy - xy a = y - bx ou a = y - bx nx - (x) nExerccios(1) Suponhamos que uma cadeia de Supermercados tenha financiado um estudo dos gastos com mercadorias para famlias de quatro pessoas. A investigao se limitou a famlias com renda lquida entre $ 8.000 e $ 20.000.Obteve-se a seguinte equao y = -200 + 0,10x ..... onde:y = despesa anual estimada com mercadorias;x = renda lquida anual.
Sabendo-se que a equao proporciona um ajustamento razoavelmente bom, que os dados foram obtidos por mtodos de amostragem aleatria e que qualquer relao s vlida no mbito dos dados amostraisEstime a despesa de uma famlia de 4 pessoas com renda de $15.000.b) Um dos diretores da firma ficou intrigado com o fato de a equao aparentemente sugerir que uma famlia com $ 2.000 de renda no gaste nada em mercadorias. Qual a explicao?(2)Determine uma equao preditora do montante de seguro em funo da renda anual, com base nos seguintes dados :Renda ($1000) 20 25 26 18 16 17 32 13 38 40 42seguro 10 12 15 10 15 20 30 5 40 50 40Resposta ( Seguro = a + b Renda ) :y = -12 + 1,32x ; (x = 287; y = 247; xy = 7875; x = 8571 ) ANEXO I: reas na cauda direita sob a distribuio NORMAL PADRONIZADA Fonte: STEVENSON, William J.; Estatstica Aplicada Administrao; 1.ed. Harbra, 1986.0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09
0.00.00000.00400.00800.01200.01600.01990.02390.02790.03190.0359
0.10.03980.04380.04780.05170.05570.05960.06360.06750.07140.0753
0.20.07930.08320.08710.09100.09480.09870.10260.10640.11030.1141
0.30.11790.12170.12550.12930.13310.13680.14060.14430.14800.1517
0.40.15540.15910.16280.16640.17000.17360.17720.18080.18440.1879
0.50.19150.19500.19850.20190.20540.20880.21230.21570.21900.2224
0.60.22570.22910.23240.23570.23890.24220.24540.24860.25180.2549
0.70.25800.26120.26420.26730.27040.27340.27640.27940.28230.2852
0.80.28810.29100.29390.29670.29950.30230.30510.30780.31060.3133
0.90.31590.31860.32120.32380.32640.32890.33150.33400.33650.3389
1.00.34130.34380.34610.34850.35080.35310.35540.35770.35990.3621
1.10.36460.36650.36860.37080.37290.37490.37700.37900.38100.3830
1.20.38490.38690.38880.39070.39250.39440.39620.39800.39970.4015
1.30.40320.40490.40660.40820.40990.41150.41310.41470.41620.4177
1.40.41920.42070.42220.42360.42510.42650.42790.42920.43060.4319
1.50.43320.43450.43570.43700.43820.43940.44060.44180.44290.4441
1.60.44520.44630.44740.44840.44950.45050.45150.45250.45350.4545
1.70.45540.45640.45730.45820.45910.45990.46080.46160.46250.4633
1.80.46410.46490.46560.46640.46710.46780.46860.46930.46990.4706
1.90.47130.47190.47260.47320.47380.47440.47500.47560.47610.4767
2.00.47720.47780.47830.47880.47930.47980.48030.48080.48120.4817
2.10.48210.48260.48300.48240.48380.48420.48460.48500.48540.4857
2.20.48610.48640.48680.48710.48750.48780.48810.48840.48870.4890
2.30.48930.48960.48980.49010.49040.49060.49090.49110.49130.4916
2.40.49180.49200.49220.49250.49270.49290.49310.49320.49340.4936
2.50.49380.49400.49410.49430.49450.49460.49480.49490.49510.4952
2.60.49530.49550.49560.49570.49590.49600.49610.49620.49630.4964
2.70.49650.49660.49670.49680.49690.49700.49710.49720.49730.4974
2.80.49740.49750.49760.49770.49770.49780.49790.49790.49800.4981
2.90.49810.49820.49820.49830.49840.49840.49850.49850.49860.4986
3.00.49860.49870.49870.49880.49880.49890.49890.49890.49900.4990
3.10.49900.49910.49910.49910.49920.49920.49920.49920.49930.4993
3.20.49930.49930.49940.49940.49940.49940.49940.49950.49950.4995
3.30.49950.49950.49950.49960.49960.49960.49960.49960.49960.4997
3.40.49970.49970.49970.49970.49970.49970.49970.49970.49980.4998
3.50.49980.49980.49980.49980.49980.49980.49980.49980.49980.4998
3.60.49980.49980.49990.49990.49990.49990.49990.49990.49990.4999
3.70.49990.49990.49990.49990.49990.49990.49990.49990.49990.4999
3.80.49990.49990.49990.49990.49990.49990.49990.50000.50000.5000
3.90.50000.50000.50000.50000.50000.50000.50000.50000.50000.5000
ANEXO IITamanhos de Amostras para Amostragem por Estimativas para Atributos: Amostras AleatriasFonte: ARKIN, Herbert; Handbook of Sampling for Auditing and Accounting; Mc Graw-Hill.QUADRO I: Taxa de ocorrncia esperada no superior a 2% ou no menos que 98%.
Nvel de Confiana = 90%_________________________________________________________________________Tamanho da
Tamanho da Amostra para Preciso de Populao+ . 5 %+ .75 % + 1 % + 1.25 % + 1.5 %+ 2 %20010980
25012287
30016013392
35017314197
400184149100
450194155103
500258203161105
550271210166107
600282217170109
650293223173111
700302229177112
750311234180113
800319239183114
850327243185115
900461334247187116
950474341251189117
1000486347254191118
1050497353257193118
1100508358260195119
1150519363263196119
1200529368265198120
1250538373267199120
1300547377270200121
1350556381272201121
1400564385274202122
1450572389276203122
1500579392277204122
1550587396279205123
1600594399281206123
1650601402282207123
1700607405283208124
1750613408285208124
1800619410286209124
1850625413287210124
1900631415288210124
1950636417290211125
2000641420291211125
21001055651424293212125
22001081661428295213126
23001104669431296214126
24001127677435298215126
25001148685438299216126
26001169692441301217127
27001189699444302217127
28001207706446303218127
29001226712449304219127
30001243718451305219127
31001260723453306220128
32001276729455307220128
33001292734457308221128
34001307739459309221128
35001321743461310221128
36001335748463311222128
37001349752464311222129
38001362756466312222129
39001375760467313223129
40001387764469313223129
41001399767470314223129
42001410771471315224129
43001421774473315224129
44001432777474316224129
45001442780475316224129
46001452783476317225129
47001462786477317225129
48001472789478318225130
49001481791479318225130
50001490794480318226130
QUADRO II: Taxa de ocorrncia esperada no superior a 5% ou no menos que 95%.
Nvel de Confiana = 90%_________________________________________________________________________Tamanho da
Tamanho da Amostra para Preciso de Populao + . 5 % + 1 % + 1.5 % + 2 % + 2.5 %+ 3 % +4%1507453
2001028458
2501139151
3001561239764
35016813010266
40017913610667
45018814210969
50019614611270
55020315011471
60021015411671
65030521615711872
70031522116011973
75032522516212073
80033423016412274
85034223416612374
90035023716812474
95035724117012575
100036424417112575
105037024717212675
110037724917212775
120062138825417612876
130064739725717812976
140067140626218013076
150069341426518113177
160071342126818313277
170073242827118413277
180075043427318513377
190076744027518613378
200078344527718713478
210079845027918813478
220081245428118913578
230082545828218913578
240083846228419013578
250084946628519113678
270087147228819213679
290089147829019313779
310090948329219313779
330092648729319413779
350094149229519513879
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410097950229819613979
440099550630019713979
4700101051030119813979
50002535102351330219813980
QUADRO III: Taxa de ocorrncia esperada no superior a 10% ou no menos que 90%.
Nvel de Confiana = 90%_________________________________________________________________________Tamanho da
Tamanho da Amostra para Preciso de Populao + . 5 % + 1 % + 1.5 % + 2 % + 2.5 %+ 3 % + 4%25095
300143101
350153108
400198162111
450209169114
500219176117
550229182120
600237187122
650244192124
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49001627887542361257148
50001638890543362257148
QUADRO IV: Taxa de ocorrncia esperada no superior a 2% ou no menos que 98%.
Nvel de Confiana = 95%_________________________________________________________________________Tamanho da
Tamanho da Amostra para Preciso de Populao+ . 5 %
+ .75 % + 1 % + 1.25 % + 1.5 %+ 2 %20097
250108
300116
350172123
400182129
450192133
500246201137
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490018661052653439314182
500018801056654440314182
QUADRO V: Taxa de ocorrncia esperada no superior a 5% ou no menos que 95%.
Nvel de Confiana = 95%_________________________________________________________________________Tamanho da
Tamanho da Amostra para Preciso de Populao + . 5 % + 1 % + 1.5 % + 2 % + 2.5 %+ 3 % + 4%15065
20073
25011279
30014812183
35016012986
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800291214162100
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900427303221166101
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1000448314226169102
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1800907560364252182107
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2000954578372255184108
2100977586375257185108
2200998593378258186108
23001018600381260186109
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25001055613386262188109
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45001299688414275194111
47001315692416275194111
50001337698418276195112
QUADRO VI: Taxa de ocorrncia esperada no superior a 10% ou no menos que 90%.
Nvel de Confiana = 95%_________________________________________________________________________Tamanho da
Tamanho da Amostra para Preciso de Populao + . 5 % + 1 % + 1.5 % + 2 % + 2.5 %+ 3 % + 4%250116
300126
350134
400196141
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500217151
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500020441176737499357207
QUADRO VII: Taxa de ocorrncia esperada no superior a 2% ou no menos que 98%.
Nvel de Confiana = 99%_________________________________________________________________________Tamanho da
Tamanho da Amostra para Preciso de Populao+ . 5 %+ .75 % + 1 % + 1.25 % + 1.5 %+ 2 %400180
450189
500197
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490015711028712517305
500015811032714518306
QUADRO VIII: Taxa de ocorrncia esperada no superior a 5% ou no menos que 95%.
Nvel de Confiana = 99%_________________________________________________________________________Tamanho da
Tamanho da Amostra para Preciso de Populao + . 5 % + 1 % + 1.5 % + 2 % + 2.5 %+ 3 % + 4%20099
250110
300119
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400187132
450197137
500206142
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750302329156
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1900806557399296179
1950860561401297179
2000824565403298179
2100840573407300180
2200856580411302181
2300871587414304182
2400885593417306182
2500398599420307183
2600910605423309183
2700922610425310184
2800934615428311184
2900947620430313185
3000955624432314185
3100965628434315185
32001588974632436316186
33001612983636438317186
34001636993640439318186
350016591000643441318187
360016811008647443319187
370017021016650444320187
380017231023653445321187
390017431031656447321188
400017631037658448322188
420018011050664450323188
440018371062668452324189
460018711074673455326189
480019031084677457326189
500019341094681458327190
QUADRO IX: Taxa de ocorrncia esperada no superior a 10% ou no menos que 90%.
Nvel de Confiana = 95%_________________________________________________________________________Tamanho da
Tamanho da Amostra para Preciso de Populao + . 5 % + 1 % + 1.5 % + 2 % + 2.5 %+ 3 % + 4%400195
450204
500214
550223
600230
650237
700341244
750352249
800363255
850373260
900382264
950391268
1000489399272
1050501407276
1100512414279
1150522421282
1200352428285
1250542434288
1300551440290
1350560445293
1400568450295
1450576455297
1500748584460299
1550761591465301
1600773598469303
1650784605473305
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1800816624485309
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2500935691525325
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27001338962706533328
28001363974713537329
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410016111095775571342
420016261102778573343
430016411108782575344
440016551115785577344
450016691121788578345
460016831127791580345
470016961133794582346
480017091139797583346
490017211145800585347
500017331150802586347
Faculdade de Administrao e Cincias Contbeis
Departamento de Contabilidade
EMBED OutPlace
$942,63 e 10,02% a.a.
_1490862023.bin