Mqt#2k14 - Notas de Aula

Mtodos Quantitativos aplicados ContabilidadeSTC 00076 Notas de aula2014

EMENTA Tcnicas de amostragem estatstica aplicveis auditoria contbil. Tcnicas alocao de recursos sob restries oramentria. Tcnicas de simulao aplicveis elaborao de oramentos. Tcnicas de previso aplicveis elaborao de oramentos. Teoria de deciso: decises rotineiras e no-rotineiras no mbito da contabilidade.OBJETIVOAplicao de instrumental quantitativo que possibilita a elaborao de informaes de carter contbil, necessrias aos processos de planejamento e controle econmico-financeiro.CURRCULO RESUMIDO DO PROFESSORFernando Lagoeiro Professor Associado da UFF. Doutor em Engenharia de Produo. Mestre em Contabilidade (Controladoria). Especialista em Auditoria. Matemtico com diversos cursos nas reas de Anlise de Sistemas e Pesquisa Operacional. CONTEDO

1 Amostragem por Estimativa

2 Valor Esperado

3 - Mtodo Monte Carlo

4 Anlise de Investimentos

5 Anlise de Risco

6 Alocao de Recursos

7 - Funo Objetivo de Mnimos QuadradosANEXOS:

I reas na cauda direita sob a Distribuio normal padronizada II - Tamanhos de Amostras para Amostragem por Estimativas para Atributos: Amostras Aleatrias.BIBLIOGRAFIA1 BATALHA, Mrio Otvio (Coordenador) & outros. Gesto Agroindustrial, 2:

GEPAI Grupo de Estudos e Pesquisas Agroindustriais. So Paulo: Atlas, 1997.2 BROM, Luiz Guilherme; Administrao Financeira; So Paulo: Agncia

Dinheiro Vivo, 2002.3 - BRONSON, Richard & NAADIMUTH, Govindasami; "Schaum's Outlineof

Theoryand Problems of OperationsResearch"; McGraw-Hill, 1997.4 CASTRO NETO, Alberto Corra e; Anlise de Projetos; Rio de Janeiro:

Bennet, 1982. 5 - COOK & WINKLEY; Auditoria: Filosofia e Tcnica; So Paulo: Saraiva.6 CORRAR, Luiz J. & THEPHILO, Carlos Renato (coordenadores) et all; Pesquisa Operacional para Deciso em Contabilidade e Administrao; So Paulo: Atlas, 2004.7 EHRLICH, Pierre J.; Pesquisa Operacional: Curso Introdutrio; So Paulo:Atlas,

1976.8 ERMES Medeiros da Silva & OUTROS; Pesquisa Operacional para os Cursos de:

Economia, Administrao e Cincias Contbeis; So Paulo: Atlas, 1996.9 MARTINS, Gilberto A. & DONAIRE, Denis; Princpios de Estatstica; So

Paulo: Atlas, 1990.10 - PUCCINI, Abelardo. Matemtica Financeira Objetiva e Aplicada. 1 ed. So Paulo: Saraiva, 2001.As Notas de Aula no substituem a bibliografia indicada.1 AMOSTRAGEM POR ESTIMATIVA 1.1- Amostragem por Estimativa para Determinao de VariveisO parecer do auditor deve fundamentar-se em evidncias. As evidncias em auditoria so colhidas atravs de testes.

CONFIANA o grau de segurana desejado na auditoria.

PRECISO ( p ) o maior valor que pode ser considerado como imaterial.Relaes Estatsticas Fundamentais:Desvio padro .................................... S = (x - x)2| n Erro padro da mdia ....................S x = S | n Desvio padro normal (Z) = valor tabelado ( anexo I ) Intervalo de confiana ...................... p = Z Sx Tamanho da amostra n dado combinando e :n = ( ZS | p )2Exemplo:

No decorrer de um trabalho o auditor quer selecionar uma amostra de um total de 4.600 contas receber com saldo igual a $570.400,00, aceitando como imaterial um erro conjunto de $7.500,00 .a) Clculo do tamanho da amostra ( n )- Confiana de 95 % ...... Z = 1,96 ( ver tabela )- preciso .................... p = + 7500 | 4600 = + $ 1,63 por conta - desvio padro da populao (amostra piloto com 30 a 50 contas)

Spiloto = (a - x)2| n = $17,00- saldo mdio = 570.400 | 4600 = $ 124,00 + $1,63 - escala : $ 122,37 ----- $125,63Ento: n = ( ZS | p )2 = [ ( 1,96 17 ) | 1,63 ]2 = 20,442 418b) Seleo da amostra: Se a populao for finita, a seleo poder ser feita por amostragem aleatria simples. Para populaes infinitas poder ser usada a amostragem sistemtica com incio casual (lista aleatria dos itens ksimo item K = N / n ).b) Avaliao da amostra: Se a mdia dos itens da amostra estiver dentro da escala de preciso ( 122,37 a 125,63 ), o auditor concluir com 95 % de segurana que o valor total da populao est dentro dos limites de preciso (+ 7500,00 ). Caso contrrio, reiniciar o processo.Exerccio: Construir a escala e calcular o tamanho de amostra com base nos dados:CASOValor da PopulaoN de tens da PopulaoDesvio Padro (S)Erro ConjuntoNvel de Confiana

A$100.000,005008$1.000,0095 %

B$722.000,009.00032$5.000,0090 %

C$5.500.000,0094.00014$10.000,0090 %

D$57.000,0040023$2.000,0099 %

E$340.000,0070042$6.000,0095 %

1.2 - Amostragem por Estimativa para Determinao de Atributos Em vista da estreiteza dos intervalos de confiana, da taxa de erro e da escala de preciso nos testes de atributos, em que se comprova a existncia, ou ausncia, de falhas (populao binria), o tamanho das amostras tabulado ( anexo II ) .Exemplo: Consideremos uma populao formada de 4.000 pedidos de cheques. Os procedimentos de controle interno do cliente exigem que cada pedido de cheque seja contra-assinado pelo supervisor do departamento de origem. O Auditor quer testar a observncia dessa poltica. O atributo a ser testado a taxa de erro da populao; define-se erro como a falta de assinatura do supervisor do departamento.a) Tamanho da amostra: Inicialmente so estabelecidos os parmetros para o teste.

Tamanho da populao: 4.000 itens.Confiana (depende da avaliao preliminar dos controles internos do cliente) = 95%.Limite Mximo de Preciso: se mais de 3 % dos itens no estiverem assinados, a poltica ser considerada ineficaz.Taxa de Erro Esperada: ser considerada uma taxa de erro de 2 %. A determinao pode ser feita com base em uma amostra piloto, experincia anterior com populaes semelhantes ou conhecimento que se possua da eficcia do sistema de controle interno.Usando a Taxa de Erro Esperada, juntamente com o Limite Mximo de Preciso estabelecido, o Auditor pode definir como de 3% - 2% = 1%, sua necessidade de Preciso Tamanhos de Amostras para Amostragem por Estimativas para Atributos: Amostras Aleatrias (Escala: 2% + 1% ou de 1 a 3%).

Os parmetros estabelecidos para o teste podem agora ser usados juntamente com as tabelas, a fim de determinar o tamanho de amostra adequado. O quadro IV do anexo II apresenta tamanhos de amostra para nveis de confiana de 95 % e taxas de erros esperadas de at 2%. Com base nesse quadro, pode-se ver que, para uma populao composta de 4.000 itens e uma preciso de + 1 %, o tamanho da amostra ter de ser de 634. b) Seleo da Amostra: proceder como na Amostragem para Determinao de Variveis.c) Avaliao da Amostra: Depois de selecionar a amostra, o Auditor examina os itens que a compem, para ver se h observncia dos procedimentos e calcula a taxa de erro da amostra. Se esta estiver dentro dos limites da escala, ele poder concluir, com 95 % de confiana, que a taxa de erro da populao de 2% + 1 %.Caso contrrio ele reinicia o processo e/ou reavalia o controle interno do cliente, podendo exigir nveis de confiana mais elevados para os testes posteriores.Exerccio: Sua empresa adquiriu recentemente um lote de 3.900 peas usinadas. O fabricante garante uma preciso de +1% com uma taxa de erro de 2%.

Voc foi encarregado de elaborar um laudo tcnico sobre essas peas. Quantas deve examinar para que seu laudo tenha 95% de confiana?

(R: 632).

2 VALOR ESPERADO

Valor Esperado (VE) de um evento o produto de sua probabilidade pelo resultado que produz no caso de sua ocorrncia.

O VE de uma deciso corresponde a soma algbrica dos VEs de cada evento possvel de ocorrer no caso de se tomar essa deciso.

Entre vrias alternativas, mutuamente exclusivas, seleciona-se aquela que otimiza o Valor Esperado (MAX {VE} ou MIN {VE} ).O VE de uma deciso interpretado como sendo o valor mdio que seria obtido caso essa deciso fosse adotada um grande nmero de vezes.

O Valor esperado a mais importante das tcnicas de deciso, todas as outras baseiam-se nela.

As tcnicas de deciso devem ser consideradas mais como apoio a decises racionais do que uma medida absoluta da expectativa de benefcios. Por exemplo, uma tcnica de deciso pode ser usada para ajudar uma empresa que faz perfuraes em zonas onde se desconhece a existncia de petrleo a decidir se perfura ou no. Os riscos inerentes a explorao de petrleo, porm, no podem ser eliminados. Exemplo: Uma empresa dedicada explorao de petrleo est analisando as perspectivas de perfurao em duas bacias sedimentares.As seguintes informaes esto disponveis:a)Investimentos ( $ MIL ) : Bacias

Poo Seco Poo Completado Juruna 2000 5500 Jacon 4900 9900 b) Receitas lquidas descontadas e probabilidadesEventos BACIA JURUNA BACIA JACON Probabil. Receita ($mil)

Probabil. Receita ($mil) SECO 0,30 -3000 0,50 -7500 100 M bbl 0,30 940 0,10 -3700 200 M bbl 0,20 5600 0,20 13000 300 M bbl 0,10 9400 0,10 22500 400 M bbl 0,10 13000 0,10 37000Com base no critrio do Valor Esperado, que escolha fazer? Se a empresa est com alguns problemas relativos limitao oramentaria e decide adotar o critrio de otimizar a taxa RSI (retorno sobre o investimento) ou VE | Investimento, qual a escolha?Soluo: Da tabela (b) encontramos o valor esperado para a receita lquida de cada bacia sedimentar, o clculo consiste no somatrio das probabilidades multiplicadas pelas receitas lquidas previstas. Assim temos : VEJuruna = 0,3(-3000)+0,3(940)+0,2(5.600)+0,1(9.400)+0,1(13.000) = =$2.742,00VEJacon = 0,5 (-7.500)+0,1 (-3.700) + 0,2 (13.000) + 0,1 (22.500)+ +0,1 (37.000) = $4.430,00 Pelo critrio do Valor Esperado Mximo, a Empresa deveria decidir pela explorao da Bacia Jacon, que resultaria num maior lucro esperado.Entretanto a empresa poder se encontrar num ambiente de restries oramentrias. Devemos, ento, maximizar a relao VE Investimento ou seja, uma opo, mesmo que no apresente o maior Valor esperado, mas otimiza a utilizao dos recursos. Vamos, ento, calcular o VE dos investimentos :VEI-Juruna = 0,30 2.000 + 0,70 5.500 VEI-Juruna = $ 4.450,00VEI-Jacon = 0,50 4.900 + 0,50 9.900 VEI-Jacon = $7400,00 ; ento:RESIJuruna = VE = 2742 = 0,616 ...... RESIJacon= 4430 = 0,598 VEI 4450 7400Nesse cenrio a Bacia Juruna melhor.Nota: RESI = Retorno Esperado Sobre Investimento.EXERCCIOS1) ASA IND. produz um composto qumico, o produto X, que se deteriora e precisa ser jogado fora se no for vendido at o final do ms em que foi produzido. O custo total do produto X de $ 50 por unidade, e seu preo de venda de $ 80 por unidade. A empresa pode adquirir o mesmo produto de uma empresa concorrente a $ 80 por unidade mais $ 10 de frete por unidade.A gerncia calcula que se deixar de atender aos pedidos existentes perder 80% dos clientes que encomendam o produto.A ASA tem produzido e vendido o produto X nos ltimos 20 meses. A procura do produto tem sido irregular e atualmente no h tendncia consistente nas vendas. Durante este perodo, as vendas mensais foram as seguintes :

vendas / ms

meses

8000

5 9000

12

10000

3 Em quantas unidades deve a ASA fixar sua produo?2) A companhia GET quer escolher um de dois projetos mutuamente exclusivos que possuem as seguintes distribuies de Valor Presente Lquido: PROJETO A PROJETO B Probab. VPL ( $ ) Probab. VPL ( $ ) 0,10 3000 0,10 2000 0,20 3500 0,25 3000 0,40 4000 0,30 4000 0,20 4500 0,25 5000 0,10 5000 0,10 6000 3) Um bilhete de loteria tem 0,00001 de probabilidade de dar um prmio de R$100.000,00; 0,0002 de dar um prmio de R$50.000,00 e 0,004 de um prmio de R$25,00. Qual seria o preo justo de venda do bilhete? 4) Um seguro para acidentes de automveis custa ao proprietrio $100,00 / ano, e mais uma franquia de $100,00 em caso de ocorrer realmente um acidente. Admite-se que as despesas mdias para reparar um veculo acidentado atinjam $700,00. As estatsticas indicam que cerca de 10% dos veculos que trafegam na cidade seacidentam durante o ano, Determinar, baseado no clculo do valor esperado, se ser conveniente comprar uma aplice de seguro nas condies acima. 5) Num projeto para venda de cerveja na praia tem-se as seguintes perspectivas:

TEMPO PROBABILIDADE LUCRO DIA SOL 0.6 $600 NUBLADO 0,3

$300 CHUVOSO 0,1 $100 Um seguro contra chuva custa $90 e paga $400 em caso de chuva. Baseado no valor esperado, determinar se vale a pena comprar o seguro, 6) TRARA Com.Ind., fabricante de aparelhos eltricos, pretende lanar um novo tipo de equipamento no mercado. Existem trs alternativas para sua nova linha de produo: Produzir 1.000, 750 ou 500 unidades desse novo equipamento por ano. Sua Diretoria considera duas situaes quanto receptividade desse produto no mercado, representadas por: Vendas altas ( 1.000 unidades/ano) e Vendas baixas (600 unidades/ano). As probabilidades associadas a esses eventos so 65 % e 35 %, respectivamente.A seguinte matriz de resultados monetrios foi calculada:Linha de ProduoAltas1000 u / anoBaixas600 u / ano

1000 u / ano$ 1.500($ 500)

750 u / ano$ 1.100$ 250

500 u / ano$ 500$ 500

Sugira a melhor alternativa de linha de produo para a empresa. 7) Uma seguradora paga $3.000,00 em caso de acidente e cobra uma taxa de $100,00. Sabe-se que a probabilidade de que um carro sofra um acidente de 3%. Quanto espera a seguradora ganhar com cada carro segurado?

3 MTODO DE MONTE CARLOO Mtodo de Monte Carlo, uma tcnica de simulao baseada na utilizao de nmeros aleatrios que so sorteados, da o nome, j que o princpio semelhante ao da ROLETA.O objetivo da simulao determinar a distribuio dos resultados possveis de um projeto. Quando essa distribuio conhecida, torna-se fcil calcular a mdia ou Valor Esperado. atravs da Tcnica de Simulao que procuramos combinar exaustivamente os valores das variveis aleatrias para resultar numa distribuio de probabilidades para a varivel dependente analisada como resultado do projeto.Uma vez atribuida a cada varivel aleatria a sua distribuio de probabilidade, podemos simular o comportamento do fluxo de caixa, gerando valores aleatrios para cada varivel de acordo com suas respectivas distribuies de probabilidade.A idia bsica associar a cada probabilidade um nmero aleatrio compreendido entre 00 e 99, de modo a representear a distribuio de probabilidade de 0 a 100%.Uma vez gerado um n aleatrio, podemos chegar aos valores para cada parmetro do fluxo de caixa. Com esses valores aleatrios das variveis independentes, poderemos calcular pela equao do Benefcio, cada valor da varivel dependente.Essa computao repetitiva efetuada at que um suficiente nmero de valores da varivel dependente defina sua distribuio de probabilidade.Normalmente esse processo requer um grande nmero de computaes muitas vezes atingindo valores superiores a 1000, cujos resultados so tabelados em intervalos de classes.O uso de computadores torna o processo muito cmodo e rpido. A repetio dos passos de simulao mostra que depois um certo tempo as freqncias associadas s classes de benefcios, tendem a se estabilizar.Linguagens de Simulao

Linguagens de Simulao so linguagens computacionais criadas especialmente para desenvolver sistemas de simulao. As mais conhecidas linguagens de uso geral so:1- GPSS - General Purpose Simulation SystemGPSS/H. 1991. Manuais do usurio.2- SIMANPEDGEN,T.C.; SHANNON, R.; SADOWSKI. Introduction to Simulation using SIMAN. New York: Mc Graw-hill,1995.

O SIMAN tambm o suporte do software animado ARENA. A verso de treinamento do ARENA poder ser acessada atravs dos seguintes endereos: [email protected] (PARAGON, representante brasileira) e http://www.sm.com (Systems Modelling, USA) .Exemplo: preciso estudar a coleta de lixo de uma regio. Sabe-se que:a) A coleta dever ser feita duas vezes por semana. H 8.000 pontos de coleta. Ento preciso efetuar 16.000 coletas/semana. Vamos supor que este nmero permanea constante. b) O trabalho normal consiste em 8 hs/dia e 5 dias/semana.c) Custo dirio de um caminho de coleta: -Motorista: $12,50/hora 8 hs ......................... $100,00-2 ajudantes: $ 8,75/hora cada um 8 hs ......... $140,00 -Manuteno, depreciao, combustvel, etc... $ 60,00 $300,00/dia.d) Hora extra de caminho de coleta com guarnio (o pagamento da mo-de-obra 50 % a mais ) :-Motorista = $12,50 1,5 ................................ $18,75 -Ajudantes = $8,75 1,5 2 ajudantes ........... $26,25 -Manut., deprec., combust., etc.= $ 60,00 8 = $7,50 $52,50/he) Um caminho consegue fazer 100 10 coletas por hora.f) Se tudo correr bem, so necessrios 160 caminhes por hora (16.000 100 coletas / hora ) para fazer o servio de uma semana.g) O n dirio de coletas (16.000/semana 5dias) = 3200. h) Vamos calcular o nmero mnimo de caminhes. Junto com hs. extras, o mximo que uma guarnio consegue trabalhar 12 hs. por dia. Por dia, so necessrios 160 5dias= 32caminhes-guarnio/hora. Isto resulta num mnimo de 32 12 = 2,66 caminhes-guarnio. Vamos iniciar a simulao considerando trs caminhes.i) Agora estamos prontos para iniciar a simulao. Sabe-se que, devido a atrasos, variaes no volume de lixo a ser coletado e outros imprevistos, costuma ser necessrio trabalhar certo nmero de horas extras acima das 32 horas de caminho-guarnio regulares que tomaremos como referncia. O nmero total de horas extras necessrias acima das 32 de zero a doze e, baseando-se na experincia, a probabilidade de se necessitar S horas extras dada por p(S). j) Vamos ento tabular a probabilidade cumulativa P(S) = p(S) e alocar para cada intervalo de S uma subdiviso proporcional. A idia selecionar, por meio de um gerador de nmeros aleatrios RN, a quantidade de horas extras requeridas:S123456789101112

P(S).02.06.11.17.32.45.60.75.85.95.991.0

1371218334661768696

RN0

26111732456075859599

Vamos simular, para cada situao, apenas cinco valores. A cada vez, seleciona-se um nmero aleatrio de 2 dgitos e vem-se quantas horas vo ser necessrias acima das 32. N de Cami-nhesValoresN aleatrio geradohs extras acima de 32hHoras normaisTotal de hs extras$ diriohoras normais$ dirio hs estras$ dirio total

18092417900,00892,501.792,50

26882416900,00840,001.740,00

333052413900,00682,501.582,50

46782416900,00840,001.740,00

57082416900,00840,001.740,00

8.595,00

12153251.200,00262,501.462,50

26283281.200,00420,001.620,00

43113211.200,0052,501.252,50

47993291.200,00472,501.672,50

57583281.200,00420,001.620,00

7.627,00

11854001.500,0001.500,00

25374001.500,0001.500,00

532954001.500,0001.500,00

46584001.500,0001.500,00

51954001.500,0001.500,00

7.500,00

A tabela mostra que o timo est em se ter 5 caminhes-guarnio.O exemplo extremamente simples, pois tem apenas uma varivel aleatria. Poderamos t-lo resolvido analticamente, calculando o Valor Esperado dos custos (a partir da distribuio das horas extras e dos seus custos).

4 - Mtodos de Anlise de Investimentos4.1 - Fluxo de Caixa

O ponto de partida para a anlise de um investimento o estabelecimento de uma previso para o fluxo de caixa do projeto, considerando todas as entradas e sadas de caixa do empreendimento. um ponto crtico da anlise, visto que os resultados que indicam o curso da ao a adotar dependem dos valores estimados nesta etapa do trabalho.

CLCULO DO FLUXO DE CAIXA LQUIDO

Receita

(-)CPV, CMV ou CSP

(=)Lucro Bruto

(-)Despesas Operacionais

(=)Lucro antes do juros e Imposto de Renda (LAJIR)

(-)Despesas Financeiras

(=)Lucro antes de Imposto de Renda

(-)Imposto de Renda

(=)Lucro lquido (Resultado do Perodo)

(+)Depreciao

(-)Amortizao de Dvidas (pagamento do principal)

(=)Fluxo de Caixa Lquido do Perodo Projetado

EXEMPLOUm investidor pretende investir 1 milho de reais em uma nova fbrica de calados. Aps estudos de mercado e de uma srie de outras anlises, realizou as projees de retorno anuais para os 3 primeiros anos do projeto (os valores esto estimados ao final de cada ano). Supondo que a depreciao seja de R$ 100 mil ao ano (j embutidas nas despesas operacionais), que prestaes de amortizao de dvidas somem R$ 60 mil ao ano e que a alquota do IR seja de 20 %, elabore o FLUXO DE CAIXA.PROJEES (R$)ANO 1 ANO 2ANO 3

Receita das Vendas1.340.0001.450.0001.600.000

(-)Custo dos Produtos Vendidos(536.000)(580.000)(640.000)

(=) Lucro Bruto804.000870.000960.000

(-) Despesas Operacionais(350.000)(400.000)(470.000)

(=) LAJIR454.000470.000490.000

(-) Despesas Financeiras(40.000)(60.000)(5.000)

(=) LAIR414.000410.000485.000

(-) IR (20%)(82.800)(82.000)(97.000)

(=) Lucro Lquido331.200328.000388.000

(+) Depreciao100.000100.000100.000

(-) Amortizaes(60.000)(60.000)(60.000)

(=) Fluxo de Caixa Lquido371.200368.000428.000

371.200

368.000

428.000

1.000.0004.2 - Taxa Mnima de AtratividadeOs critrios econmicos consideram uma taxa de desconto para o fluxo de caixa de um projeto. Tal taxa conhecida como Taxa Mnima de Atratividade - TMA e representada pela taxa mdia que uma empresa ou pessoa tem os seus ativos aplicados.A TMA mdia ponderada das taxas envolvidas, considerando-se as parcelas dos capitais como os pesos da mdia.A taxa mdia significa na realidade a taxa que deveria ser aplicada sobre todo o capital, de modo a gerar os mesmos juros ou ganhos que a soma dos juros obtidos pelas diversas parcelas.ExemploJ. Serri aplicou $ 50.000,00, a juros simples, em 3 instituies financeiras distintas: $ 10.000,00 em A a 3,6 % a.m.; $ l5.000.00 em B a 3,8 % a. m. e $ 25.000,00 em C a 5 % a.m. Qual a taxa mdia de rentabilidade do capital aplicado?TMA = 10 . 3.6 + 15 . 3,8 + 25. 5 = 4,36%

504.3 - Valor Presente Lquido (VPL / NPV)

o resultado da diferena entre o VALOR PRESENTE (ou Atual) das Receitas e o VALOR PRESENTE das Despesas / Investimentos do Projeto, descontados TMA.NPV = PVR - PVI Exemplo:

Determinar o NPV do fluxo de caixa abaixo para TMA = 5%.

Perodo:

0

1

2

3

Receitas:

30 40 50

Investimentos: (-70)

NPV = 30 / (1,05) 1 + 40 / (1,05) 2 + 50 /(1,05) 3 - 70 NPV = 38

O critrio de aceitao ou rejeio de um projeto, recomenda aceitar todos os projetos cujo NPV for maior que zero (positivo) e rejeitar os projetos em que o NPV for menor que zero (negativo). Para NPV = 0, indiferente a aceitao ou no do projeto:

NPV > 0 aceitar o projeto

NPV= 0 indiferente

NPV< 0 recusar o projeto.

Pode-se usar diversas taxas de desconto para um mesmo projeto a fim de testar sua sensibilidade a variaes da TMA. 4.4 - Taxa Interna De Retorno (TIR / IRR)

A IRR de um investimento definida como a taxa de desconto que torna o NPV igual a zero.

Matematicamente representada pela taxa i que soluciona a equao

PVR - PVI = 0 [ R1 /(1+i) + R2 /(1+i)2 + ... + Rn /(1+i)n ] = [ I1 /(1+i) + I2 /(1+i)2 + ... + In /(1+i)n ]

O critrio de aceitao ou rejeio de um projeto, recomenda aceitar todos os projetos em que a TIR for maior que a TMA e rejeitar os projetos em que a TIR for menor que a TMA. Para TIR = TMA, indiferente a aceitao ou no do projeto:

TIR > TMA aceitar o projeto

TIR = TMA indiferente

TIR < TMA recusar o projeto.

A IRR alm de ser a taxa de desconto que anula o NPV, encarada tambm como a maior taxa de juros que se pode pagar pelo emprstimo de um capital, de forma que este seja pago com os recursos gerados pelo prprio projeto.

importante notar que a IRR no pode ser calculada quando as receitas lquidas forem inferiores ao investimento efetuado.4.5 Prazo de retorno (Pay Back)Apura o tempo de recuperao do principal investido.

Proj A: (-1000, 500, 400, 300, 100)

Proj B: (-1000, 100, 300, 400, 600)DATAPROJETO APROJETO B

RETORNOSSALDORETORNOSSALDOS

0-1000-1000

1500-500100-900

2400-100300-600

33000400-200

46000

(*) Exemplo extrado do livro: Weston, Fred, Brigham Fundamentos de Administrao Financeira Makron Books

PROJETO A = 2 ANOS + 100 / 300 = 2,33 ANOS

PROJETO B = 3 ANOS + 200 / 600 = 3,33 ANOSEXERCCIOS1 Achar a IRR e avaliar a viabilidade econmica do seguinte projeto de investimento, pelo mtodo NPV com TMA = 10 %.

Perodo: 0

1

2

3

Receitas:

50

60

70

Investimentos: (-100) 2 - A gerncia de um hotel est considerando a instalao de um sistema de ar condicionado para seus quartos. O hotel tem 150 apartamentos e um dos 3 hoteis da cidade. Um dos outros hoteis instalou tal sistema no ano anterior. O custo de instalao estimado em $180.000,00. Espera-se que o sistema opere com capacidade plena durante 14 semanas por ano e com capacidade reduzida durante 6 semanas. Os custos em capacidade plena so de $170,00/dia e em capacidade reduzida de $120,00/dia. A manuteno anual estimada em $1.250,00/ano e taxas e seguros em $2.000,00/ano. A vida estimada do sistema de 15 anos.

Se o sistema for instalado, espera-se que 90% dos quartos sejam ocupados durante 20 semanas do perodo de vero e 80% caso o sistema no seja instalado. Os lucros para cada quarto so $25,00 / dia. Os donos do hotel aplicam seu dinheiro a 6% ao ano.

Determine pelo mtodo Valor Presente Lquido (NPV) se o investimento deve ser feito.3 - Se, no exerccio anterior, os lucros dos quartos fossem de $20,00 / dia, qual seria sua deciso como proprietrio desse hotel? 4 - Determinar a IRR:Perodo:

0

1

2

Receitas:

60

72

Investimentos: (-100)5 - Determinar NPV do seguinte fluxo de caixa para TMA = 10%.

Perodo:

0

1

2

3

Receitas:

200 400

Investimentos: (-100) (-50)6 - Temos a oportunidade de investir nosso capital de $1.000,00, que est aplicado em papeis de renda fixa taxa de 10% ao ano, na aquisio de uma pequena fbrica de biscoitos. Segundo nossas estimativas, a fbrica dever retornar um fluxo de receitas lquidas de $170,00 por ano , nos prximos 10 anos. Que deciso tomar com base no critrio do Valor Presente Lquido (NPV)?

CONSIDERE PARA OS EXERCCIOS 7,8,9 e 10:

Uma empresa estuda a realizao de um projeto com o seguinte fluxo de caixa:AnoValor ($)

0-140.000,00

145.000,00

245.000,00

345.000,00

450.000,00

Soma45.000,00

A empresa dispe dos $140.000,00 para executar o projeto e, ao longo dos quatro anos, pode sempre aplicar os seus recursos financeiros a uma taxa efetiva de 10% ao ano, a juros compostos.7) Determinar o valor presente lquido (NPV) desse projeto, com a taxa de desconto de 10% ao ano.

R$6.059,018) Determinar o montante acumulado no final de quatro anos, se a empresa investir os R$140.000,00 no projeto, e reaplicar os resultados taxa de 10% ao ano. $213.845,009) Determinar o montante acumulado no final de quatro anos, se a empresa no realizar o projeto e mantiver os $140.000,00 aplicados a 10% ao ano durante todo esse perodo.

R$204.974,0010) Determinar a taxa interna de retorno (IRR) do projeto.

11,95% a.a.

11) Determinar a taxa interna de retorno trimestral do fluxo de caixa que segue: TrimestreValor ($)

0-1.000,00

1 270,00

2 270,00

3 270,00

4 270,00

Soma80

3,1511% a.t.12) Determinar a taxa interna de retorno anual do fluxo de caixa que segue. AnoValor ($)

0-1.000,00

1120,00

2120,00

3120,00

4120,00

51.120,00

Soma600,00

12,00% a.a.13) Determinar o valor presente lquido (NPV) e a taxa interna de retorno (IRR) do fluxo de caixa indicado a seguir, para uma taxa de desconto de 8% ao ano,.AnoValor ($)

0 (-)10.000,00

11.000,00

21.200,00

31.500.00

42.000,00

52.200,00

62.500,00

72.800,00

83.000,00

Soma6.200,00

14) Considerar o fluxo de caixa da tabela a seguir:TrimestreValor ($)

0 (-)10.000,00

11.000,00

21.000,00

34.000,00

41.000,00

51.000,00

63.000,00

Soma1.000,00

Determinar o valor presente lquido (NPV) desse fluxo de caixa, para a taxa de desconto de 12% ao ano, e a taxa interna de retorno (IRR), em termos anuais. Utilizar o conceito de taxas equivalentes, no regime de juros compostos, para a converso das taxas de juros. Assumir ano com 360 dias.

- $117,18 e 10,60% a.a. 15) Considerar o fluxo de caixa da tabela a seguir:MsValor ($)

0 (-)10.000,00

1 0,00

21.000,00

31.000,00

4 0,00

51.650,00

61.650,00

71.650,00

81.250,00

91.250,00

101.250,00

Soma700,00

Determinar o valor presente lquido desse fluxo de caixa (NPV), para a taxa de desconto de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, e a sua taxa interna de retorno (IRR), em termos anuais. Utilizar o conceito de taxas equivalentes, no regime de juros compostos, para a converso das taxas de juros. Assumir ano com 360 dias.$43,05 e 13,60% a.a.Testes 16 e 17:Um equipamento, cujo preo vista $100.000,00, adquirido no dia 1 de maro com um financiamento para ser liquidado em trs prestaes mensais de $34.000,00, que vencem a cada 30 dias corridos, a contar da data de sua aquisio. Assim, o fluxo de caixa do financiador o que segue:DatasDiasMsValor ($)

1 / Mar00(-) 100.000,00

31 / Mar301(+) 34.000,00

30 / Abr602(+) 34.000,00

30 / Mai903(+) 34.000,00

Total Lquido(+) 2.000,00

16) Considerando-se ano com 360 dias, determine: - valor presente lquido (NPV) desse fluxo de caixa para uma taxa de desconto de 10% ao ano;- a taxa interna de retorno (IRR) desse fluxo de caixa, em termos anuais;

$394,64 e 12,64% a.a. 17) Considerando-se ano com 365 dias, determine:- valor presente lquido (NPV) desse fluxo de caixa para uma taxa de desconto de 10% ao ano;- a taxa interna de retorno (IRR) desse fluxo de caixa, em termos anuais;

$392,64 e 12,82% a.a.Testes 18 e 19:

Um equipamento, cujo preo vista $20.000,00, adquirido no dia 1 de maro com um financiamento para ser liquidado em trs prestaes mensais de $6.800,00, que vencem no 1 dia de cada ms subseqente data de sua aquisio. Assim, o fluxo de caixa do financiador o que segue:DatasDiasValor ($)

1 / Mar0(-) 20.000,00

1 / Abr31(+) 6.800,00

1 / Mai61(+) 6.800,00

1 / Jun92(+) 6.800,00

Total Lquido(+) 400,00

18) Considerando-se ano com 360 dias, determine: - valor presente lquido (NPV) desse fluxo de caixa para uma taxa de desconto de 10% ao ano;- A taxa interna de retorno (IRR) desse fluxo de caixa, em termos anuais.

$359,28 e 12,35% a.a.19) Considerando-se ano com 365 dias, determine: - valor presente lquido (NPV) desse fluxo de caixa para uma taxa de desconto de 10% ao ano;- A taxa interna de retorno (IRR) desse fluxo de caixa, em termos anuais.

$381,54 e 12,53% a.a. Testes 20, 21, 22 e 23:Uma empresa estuda a realizao de um projeto com o seguinte fluxo de caixa:AnoValor ($)

0-140.000,00

1 45.000,00

2 45.000,00

3 45.000,00

4 50.000,00

Soma 45.000,00

A empresa dispe dos $140.000,00 para executar o projeto e, ao longo dos quatro anos, pode sempre aplicar os seus recursos financeiros a uma taxa efetiva de 10% ao ano, a juros compostos.20) Determinar o valor presente lquido (NPV) desse projeto, com a taxa de desconto de 10% ao ano.

$6.059,0121) Determinar o montante acumulado no final de quatro anos, se a empresa investir os $140.000,00 no projeto, e reaplicar os resultados taxa de 10% ao ano. $213.845,0022) Determinar o montante acumulado no final de quatro anos, se a empresa no realizar o projeto e mantiver os $140.000,00 aplicados a 10% ao ano durante todo esse perodo.

$204.974,0023) Determinar a taxa interna de retorno (IRR) do projeto.

11,95% a.a.5 Anlise de Risco4.1 - Anlise de Risco de dois projetos isoladosConhecendo-se as probabilidades de ocorrncias de situaes ou cenrios futuros no esperados pelo investidor, pode-se avaliar o risco de um determinado projeto. Por exemplo:

Uma empresa dedicada explorao de petrleo est analisando as perspectivas de perfurao em duas bacias sedimentares.

As seguintes informaes esto disponveis:a) Investimentos ( X $10 MIL ) :

Bacias

Poo Seco

Poo Completado

Niteri 150 350

Maric 250 850 b) Receitas lquidas descontadas e probabilidadesCenriosBacia NITERIBacia MARIC

Resultados (R)Probabilid.Resultados (R)Probabilid.

Poo seco(100,00)0,10(100,00)0,20

100 M bbl150,000,15300,000,20

200 M bbl240,000,50600,000,40

300 M bbl250,000,15700,000,10

400 M bbl300,000,10900,000,10

1 passo: Clculo do retorno esperado (VE) de cada alternativa de investimentoVENiteri = 0,1x(-100,00) + 0,15x150,00 + 0,5x240,00 + 0,15x250,00 + 0,1x300,00 =

= 200,00VE-Maric = 0,2x(-100,00) + 0,2x300,00 + 0,4x600,00 + 0,1x700,00 + 0,1x900,00 = 440,002 passo: Clculo da medida de risco de cada projeto de investimentoO risco mensurado pela variabilidade dos possveis resultados em relao ao resultado esperado. A medida estatstica que apura esse grau de disperso o desvio-padro ( ): = P(R VE)2Niteri = [0,1 x (-100,00-200,00)2 + 0,15 x (150,00-200,00)2 + 0,5 x (240,00-200,00)2 +

+ 0,15 x (250,00-200,00)2 + 0,1 x (300,00 200,00)2 ]1/2 = [11.550]1/2 = 107,47 Maric = [0,2 x (-100,00-440,00)2 + 0,2 x (300,00-440,00)2 + 0,4 x (600,00-440,00)2 +

+ 0,1 x (700,00-440,00)2 + 0,1 x (900,00-440,00)2]1/2 = [109.490]1/2 = 330,89MARIC tem um retorno mdio esperado maior, mas um desvio-padro tambm mais elevado, revelando uma maior variabilidade do retorno esperado em relao aos resultados possveis, ou seja, um maior grau de RISCO. Diante da distribuio de probabilidade, o desvio-padro indica quanto o retorno esperado (valor esperado da receita) representativo dessa distribuio: quanto maior a concentrao em torno do retorno mdio, menor o desvio-padro e vice-versa.3 Passo: Clculo do coeficiente de variaoO coeficiente de variao aponta a participao do desvio-padro (RISCO) sobre o retorno mdio de cada projeto. A utilizao do Coeficiente de Variao permite comparar diretamente os dois projetos analisados:

CV = /VE

CVNiteri = 107,47 / 200,00 53,735 %

CVMaric = 330,89 / 440,00 75,202 %Quanto maior o CV, maior o RISCO. Ou seja, maior a disperso em relao a media..No caso em tela, NITERI possui um risco relativo ao retorno esperado bem inferior MARIC.4 Passo: Clculo do Retorno Esperado sobre o Investimento:Este passo somente executado se a empresa apresenta problemas relativos limitao oramentria e decide adotar o critrio da TAXA DE RETORNO SOBRE INVESTIMENTO para auxiliar na escolha:

ReSI =VE Investimentos / VE Receitas

ReSI Niteri = 200,00 (150,00 X 0,1 +350,00 X 0,9) = 0,606 = 60,6 % ReSI Maric = 440,00 (250,00 X 0,2 + 850,00 X 0,8) = 0,602 = 60,2 %4.2 Estudo de Caso

A agncia revendedora GPB Veculos Ltda. vende um nico tipo de veculo por $20.000.00, obtendo um lucro de $4.000,00 e oferecendo um prazo de pagamento de 30 dias a uma clientela homognea em termos de conceito de crdito. Historicamente, a empresa apresenta as seguintes probabilidades de recebimento: 94 % de receber rigorosamente em dia. 3 % de receber com atraso, mediante cobrana administrativa, que gera um custo adicional de $1.000,00, mesmo com cliente pagando juros de mora e demais despesas. 2 % de receber com atraso, mediante cobrana judicial, que gera um custo adicional de $4.000,00, mesmo com cliente pagando juros de mora e demais despesas. 1 % de jamais vir a receber, devido a falncia do cliente, o que obriga a GPB Veculos a assumir um prejuzo no valor do preo de custo do veculo.1) Diante dessas possibilidades, calcule o retorno mdio ponderado esperado pela agncia hoje:Condio Comercial AtualLucro NormalCustos Adicion.Retorno/ eventoProbabil.(P)R X P

Receber em dia

Cobrana administrativa

Cobrana judicial

No receber

Retorno mdio ponderado esperado (VE)

2) Calcule a medida de risco, dada pelo desvio padro:Condio Atual(P)(R)(R - VE)(R-VE)2 X P

receber em dia

cobrana administrativa

cobrana judicial

no receber

Varincia ( 2)

Desvio-Padro ( )

Preocupada com a possibilidade de perda, a diretoria da GPB Veculos Ltda. acredita que a adoo de algumas alteraes na comercializao poder reduzir o risco do negcio: oferecer um prazo de pagamento de 7 dias, com desconto de $ 600,00 no preo de venda, e exigir garantias do cliente. Com essa nova condio comercial, a GPB Veculos acredita que praticamente eliminar a probabilidade de no receber, e elevar a probabilidade de recebimentos pontuais para 95 %. Alm disso, os custos adicionais das cobranas cairo pela metade com as mesmas probabilidades anteriores.3) Calcule o retorno mdio ponderado para a situao proposta:Condio propostaLucro normalCustos adicionaisRetorno (R)Probab. (P)R X P

Receber em dia


Cobrana judicial

Retorno Mdio Ponderado Esperado (VE)

4) Calcule o desvio-padro para a proposta, com as novas medidas preventivas:Condio proposta(p)(R)(R - VE)(R - VE )2 x P

Receber em dia


Cobrana Judicial

Varincia ( 2)

Desvio-Padro ( )

5) Compare diretamente as duas situaes, atravs do Coeficiente de Variao:CV = / Rm

Na primeira situao CV = Na segunda situao CV = - Faa seus comentrios sobre as duas situaes comparadas (importante):

6 - ALOCAO Os problemas de alocao geralmente assumem a forma de equaes que possuem uma estrutura bsica simples (modelo de otimizao).

OTIMIZE (Max ou min)

F(X1, X2, .........., Xn) ------------------ Funo Objetivo

Sujeito a

Gk(X1,X2,.........., Xn) ------------------ Restries e

Xi 0 , i = (1,...,n) ------------------ No negatividade Um modelo de otimizao, no qual desejamos encontrar um conjunto de valores no negativos, para variveis sujeitas a restries, obtendo o melhor valor para a funo objetivo, chamado PROBLEMA DE PROGRAMAO MATEMTICA.Existem muitos tipos de Programas Matemticos, poucos deles, porm, podem ser resolvidos dentro de um razovel tempo de computao. Isto porque a teoria matemtica que aborda as tcnicas relacionadas com os programas matemticos ainda muito limitada. Uma das excees um tipo especial chamado PROGRAMA LINEAR.6.1 - PROGRAMAO LINEARUm Programa Linear contm uma Funo Objetivo que um termo linear e todas as restries so tambm lineares.Falando simplificadamente, um termo dito linear se, e somente se, ele igual a soma, ou a diferena, dos componentes; onde cada componente uma constante conhecida ou uma varivel multiplicada por uma constante conhecida. Por exemplo, a inequao 3x1 + 2x2 < 4 uma inequao linear, enquanto que as inequaes 3x1 + 2x2 < 4 e 3x1 x2 + 2x2 < 4 , no so. Note que as componentes envolvendo variveis normalmente aparecem do lado esquerdo e a constante no lado direito.Se um problema pode ser formulado como um PROGRAMA LINEAR, ento ele pode ser solucionado. Atualmente tem-se solucionado problemas de Programao Linear, com qualquer nmero de variveis e milhares de restries, o que enfatiza sua importncia.Os problemas de Programao Linear tm sido resolvidos pelo mtodo SIMPLEX inventado pelo Prof. George B. Dantzig, da Universidade de Stanford. Formulao e Modelagem em Programao Linear6.2- Geometria e lgebra em programao linear (1) Um fabricante deseja maximizar a receita bruta. As composies das ligas, seus preos e as limitaes na disponibilidade de matria prima encontram-se na tabela.ITENSLIGA TIPO ALIGA TIPO BMateria Prima Disponvel

Cobre2116

Zinco1211

Chumbo1315

$venda / unidade$30,00$50,00

Seja XA a quantidade de liga A a ser produzida; XB a quantidade de liga B a ser produzida.

Portanto, o objetivo :Max Z = 30 XA + 50 XBs. a

2XA + XB < 16 .............. para o cobre

XA + 2XB < 11 .............. para o zinco

XA + 3XB < 15 .............. para o chumboe, XA > 0 ; XB > 0 , no pode fabricar uma quantidade negativa de liga.(2) - Um comerciante pretende obter uma quantidade no superior a 5 toneladas de certo produto que pode ser encomendada a duas fbricas A e B. A fbrica A garante um lucro de $4.000,00 por tonelada, mas no pode fornecer mais de 3 toneladas. A fbrica B garante um lucro de $3.500,00 por tonelada, e pode fornecer qualquer quantidade. Qual a quantidade deve o comerciante adquirir de cada fbrica?(3) - Uma fbrica produz dois tipos de tecido usando 3 cores diferentes de l. Para cada metro de tecido, so necessrias as seguintes quantidades de l (em gramas): LTecido ATecido B

Amarela400500

Verde500200

Preta300800

A fbrica dispe apenas de 100 kg de l amarela, 100 kg de l verde e 120 kg de l preta. Quanto de cada tecido deve a fbrica produzir para obter o maior lucro, supondo que lucra $5,00/m no tecido A e $2,00/m no tecido B. 6.3 Formulao e modelagem em PL(1) Um fabricante de raes garante que seu produto tem, pelo menos, 35 % de protena e 2% de gordura, e no mximo 8 % de celulose. Qual a composio que deve ter uma tonelada dessa rao, a partir dos ingredientes da tabela seguinte, de modo a ser mnimo seu custo? Ingredientes% de celulose% protena% GorduraCusto / Ton

Alfafa25172R$ 300

Resduos3255R$ 400

Torta de Peixe1607R$ 900

Torta de soja6.5450.5R$ 450

Seja : X1 = Quantidade de alfafa na mistura X2 = Quantidade de resduos na mistura X3 = Quantidade de torta de peixe na mistura X4= Quantidade de torta de soja na misturaEnto: Min Custo = 300 X1 + 400 X2 + 900 X3 + 450 X4sujeito aX1 + X2 + X3 + X4 = 117X1 + 25X2 + 60X3 + 45X4 0,352X1 + 5X2 + 7X3 + 0,5X4 0,0225X1 + 3X2 + 1X3 + 6,5X4 0,08eXi 0, i = (1,...,4)(2) Um nutricionista precisa estabelecer uma dieta com, pelo menos, 10 unidades de vitamina A, 30 unidades de vitamina B e 18 unidades de vitamina C. Essas vitaminas esto contidas em quantidades variadas em cinco alimentos que vamos chamar de S1 , S2, S3, S4 e S5. A tabela seguinte d o nmero de unidades das vitaminas A ,B e C em cada unidade desses cinco alimentos, bem como seu custo, em Reais, por unidade.S1S2S3S4S5

A01543

B21032

C31090

CUSTO421105

Calcular as quantidades dos cinco elementos que devem ser includos na dieta diria, que atendam aos teores desejados de vitaminas com o menor custo.Mn-custo = 4S1 + 2S2 + S3 + 10S4 + 5S5Tal que:S2 + 5S3 + 4S4 + 3S5 102S1 + S2 + 3S4 + 2S5 303S1 + S2 + 9S4 18e

S1 , S2 , S3 , S4 , S5 0(3) O setor de transporte de cargas de uma cooperativa agrcola, que opera em So Paulo (SP), dispe de 5 caminhes Modelo A, 10 caminhes Modelo B e 20 caminhes Modelo C. Existe uma carga de 160 toneladas para ser remetida para o Rio Grande do Sul (RS) e uma de 100 toneladas para ser remetida para o Mato Grosso (MT). Os custos de transporte por tonelada ($/t) e as capacidades de carga (t) dos caminhes so dados na tabela abaixo:Modelo A Modelo B Modelo C

SP-RS 20 12 1.5

SP-MT 35 22 3.5

Capacidade 40 20 01/02/00

Quantos e quais caminhes a cooperativa deve mandar para o Rio Grande do Sul e para o Mato Grosso, minimizando os custos de transporte ?

Definio das variveis de deciso:XA-RSCaminhes modelo A enviados para RSXB-RS Caminhes modelo B enviados para RSXC-RSCaminhes modelo C enviados para RSXA-MTCaminhes modelo A enviados para MTXB-MTCaminhes modelo B enviados para MTXC-MT Caminhes modelo C enviados para MTFuno objetivo: Minimizar o custo de transporteMin 40x20XA-RS + 20x12XB-RS + 2x1.5XC-RS + 40x35XA-MT + 20x22XB-MT + 2x3.5XC-MTNmero mximo de caminhes disponveis de cada modelo no pode ser excedido:XA-RS + XA-MT < 5XB-RS + XB-MT < 10XC-RS + XC-MT < 20Cada local deve receber no mnimo a carga solicitada:40xA-RS + 20XB-RS + 2XC-RS > 16040XA-MT + 20XB-MT + 2XC-MT > 100Modelo de P.L. proposto para o problema:Min 800XA-RS + 240XB-RS + 3XC-RS + 1400XA-MT + 440XB-MT + 7XC-MT s.a.XA-RS +XA-MT< 5

XB-RS +XB-MT< 10

XC-RS +XC-MT< 20

40XA-RS +20XB-RS +2XC-RS< 160

40XA-MT +20XB-MT +2XC-MT< 100

XA-RS, XB-RS, XC-RS, XA-MT, XB-MT, XC-MT > 0

(4) Uma empresa agrcola dispe de 5 tipos de alimentos com diferentes composies nutricionais (protenas e sais minerais). A tabela abaixo apresenta a composio nutricional (g / kg) e o custo ($ / kg) de cada um dos alimentos:Alimento:Alimento 1Alimento 2Alimento 3Alimento 4Alimento 5

Protenas34536

Sais Minerais23433

Custo0.500.701.000.660.72

Qual a rao mais barata possvel de se produzir com a combinao de alimentos disponveis que atenda as exigncias dirias mnimas de um determinado animal ( 42 g de proteinas e 24 g de sais minerais) ?

Definio das variveis de deciso:X1Quantidade do alimento 1 utilizada na raoX2Quantidade do alimento 2 utilizada na raoX3Quantidade do alimento 3 utilizada na raoX4Quantidade do alimento 4 utilizada na raoX5Quantidade do alimento 5 utilizada na raoFuno objetivo: Minimizar o custo de produoMin 0.50X1 + 0.70X2 + 1.00X3 + 0.66X4 + 0.72X5Quantidade mnima de proteinas e sais minerais que devem ser fonecidas na rao:3X1 + 4X2 + 5X3 + 3X4 + 6X5 > 422X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 + 3X5 > 24Modelo de P.L. proposto para o problema:Min 0.50X1 + 0.70X2 + 1.00X3 + 0.66X4 + 0.72 X5s.a.3X1 + 4X2 + 5X3 + 3X4 + 6X5 > 422X1 + 3X2 + 4X3 + 3X4 + 3X5 > 24Xi > 0, i = 1, 2, 3, 4, 5

(5) O vinhoto de 3 usinas de acar e lcool ( A, B e C), depois de sofrerem um tratamento, so descarregados num rio. Cada uma das 3 usinas produz uma quantidade diria de poluente vindo do vinhoto, expressa em toneladas por PA, PB e PC, respectivamente. O tratamento de vinhoto pode reduzir a quantidade de poluente at um mximo de 90%. Esta reduo denominada "eficincia de estao de tratamento" e o custo da estao i diretamente proporcional sua eficincia (Ki x eficincia).

Por outro lado, devido ao bioqumica (por exemplo, aerao), no final de cada trecho A-B e B-C do rio, a quantidade de poluente reduzida em 10% e 20%, respectivamente. Qual a eficincia que devem ter as estaes de tratamento, de modo que, para qualquer ponto do rio, a quantidade de poluentes medida em um dia no ultrapasse P toneladas, e de modo a minimizar o custo das estaes de tratamento?Definio das variveis de deciso:EAEficincia da estao de tratamento da Usina AEBEficincia da estao de tratamento da Usina BECEficincia da estao de tratamento da Usina CFuno objetivo: Minimizar o custo total das estaes de tratamentoMin KEA + KEB + KECGarantir que em nenhum ponto do rio a quantidade de poluentes seja maior que P:Ponto A

Quantidade de poluentes produzida pela Usina A : PA

Quantidade de poluentes descarregada no ponto A : PA (1 EA)

Portanto: PA ( 1 EA ) < PPonto B

Quantidade de poluentes produzida pela Usina B : PB Quantidade de poluentes descarregada no ponto B : PB (1 EB)

Quantidade de poluentes existente no ponto B :

0.9 PA ( 1 EA ) + PB ( 1 EB )

Portanto: 0.9 PA ( 1 EA ) + PB ( 1 EB ) < PPonto C

Quantidade de poluentes produzida pela Usina C : PC

Quantidade de poluentes descarregada no ponto C : PC (1 EC)

Quantidade de poluentes existente no ponto C :

0.8 [ 0.9 PA ( 1 EA ) + PB ( 1 EB ) ] + PC ( 1 EC )

Portanto:

0.8 [ 0.9 PA ( 1 EA ) + PB ( 1 EB ) ] + PC ( 1 EC ) < PModelo de P.L. proposto para o problema:

Min K EA + K EB + K ECs.a:

PA ( 1 EA ) < P

0.9 PA ( 1 EA ) + PB ( 1 EB ) < P

0.8 [ 0.9 PA ( 1 EA ) + PB ( 1 EB ) ] + PC ( 1 EC ) < P

EA > 0, EB > 0, EC > 06.4 - Pacotes Computacionais

Atualmente, existem dezenas de pacotes computacionais para soluo de problemas de Programao Linear, entre eles destacam-se os conhecidos LP 88 e LINDO. Foram dois dos primeiros softwares desenvolvidos para microcomputadores. Hoje, existem outros mais modernos e amigveis, como o caso do LINGO e do GAMS, cujas descries completas podero ser encontradas em:CUNNINGHAN, K., SCHRAGE, L.The Lingo Modelling Language. Chicago: Lindo System Inc.BROOKE, A., KENDRICK, D, MEERAUSS, A. Release 2.25 GAMS: A Users Guide. The Scientific Press.

Mais informaes podero ser obtidas em:

http://www.gams.com ( informaes do GAMS)

http://www.win.net/~lindo (informaoes do LINGO). Alm desses, podero ser obtidos na homepage http://www.ampl.com/ o programa de otimizao AMPL, que gratuito na verso para estudante, limitada a 300 variveis e 300 restries; e mais dois ``solvers'' : o Minos, que tambm uma verso limitada de um programa comercial, e o Lpsolve, um programa gratuito que no tem restries. A descrio completa do AMPL poder ser encontrada em:FOURER, R.; Gay, D. M. & Kernighan, B. W. AMPL - A Modeling Language for Mathematical Programming. The Scientific Press.6.5 - ArredondamentoAlguns problemas requerem que as variveis tenham valores inteiros. Nesse caso, se para algumas variveis aparecerem valores fracionrios na soluo, ento elas podem ser arredondadas para valores inteiros. A soluo resultante dever ser testada para ver se todas as restries so satisfeitas ou quase satisfeitas.Se os dados refletirem um total razovel de erros, pequenas variaes nos limites das variveis, a soluo aproximada aceitvel, se no dever ser tentado um outro procedimento de arredondamento.Felizmente, uma soluo produzida desta maneira ser prxima da tima, visto que Programas Lineares gerados com variveis inteiras (chamados Programas Inteiros) no fornecero soluo ou fornecero solues precrias.Uma discusso completa sobre arredondamento pode ser encontrada em: Salkin,H.M.; Integer Programming ; Addison-Wesley.6.6 Exerccios1 - Certa fabrica de cigarros possui trs tipos de mquinas. Produzem-se quatro tipos diferentes de cigarros. Os vrios tipos de cigarros requerem quantidades diferentes de tempo de mquina e proporcionam lucros diferentes, alm disso, a quantidade total de tempo de mquina por semana limitada ( ver tabela) . Supondo que toda a produo possa ser vendida, formule o problema e construa o modelo de Programao Linear que maximiza o lucro. MQUINAMODELO 1MODELO 2MODELO 3MODELO 4Tempo disponvel

A2 h0,000,000,004.000 h

B0,000,000,000,001.800 h

C0,000,000,000,001.000 h

LUCRO $0,561,001,502,00

2 - Uma pessoa com $ 4.500,00 para investir considera as aplicaes: bnus (2%), aes (3%), emprstimos ( 4% ), segundas hipotecas (6%) . Um corretor lhe aconselha que no invista mais de $ 1.000,00 em hipotecas e emprstimos, no menos que $ 1.500,00 em bnus e aes, porem menos de $ 3.000,00 em aes e hipotecas. Formule o problema e construa o modelo de programao linear que fornece a combinao de investimentos que produz o maior ganho.3 - Uma refinaria fabrica 2 tipos de gasolina, 1 e 2, a partir de 2 tipos de petrleo bruto, A e B . Os custos, os preos de venda e requisitos para fabricar as gasolinas encontram-se na tabela. Formule o problema e construa o modelo de Programao Linear que maximiza o lucro. PetrleodisponibilidadeCustogasolina% de A requeridoPreo de venda

A100R$ 6,00160,00%R$ 8,00

B200R$ 3,00230,00%R$ 5,00

4 - Um trabalho composto de 3 tarefas A, B e C tem que ser executado por trabalhadores de categorias I, II e III. Os tempos gastos em cada tarefa dependem da categoria do trabalhador. Seu custo horrio tambm. A tabela mostra os tempos gastos para cada tarefa, se esta fosse inteiramente feita por um tipo de trabalhador. Porm as tarefas tambm podem ser efetuadas por diversas combinaes de horas dos diferentes trabalhadores. preciso empregar pelo menos 1h de trabalhador III, 3h de II e 6h de I. Formule o problema e construa o modelo de Programao Linear, a fim de executar o trabalho a um custo mnimoTAREFASTRABALHADORES

IIIIII

A5 h4 h3 h

B4 h6 h5 h

C4 h2 h3 h

Custo / horaR$ 2,00R$ 3,00R$ 4,00

Horas disponveis10 h8 h9 h

5 - Deseja-se formular o problema e construir o modelo de Programao Linear, de modo a calcular qual a proporo de presuntos, lombinhos e pernis a serem defumados e qual a proporo a vender sem defumar. O objetivo maximizar o lucro, supondo que toda a produo possa ser vendida.Podem ser processados, no mximo, 106 presuntos defumados por dia sem pagar hora extra. Tambm pode-se processar, no mximo, 315 lombinhos e pernis defumados por dia sem pagar hora extra. A diferena nos preos de venda entre defumado e no defumado : presunto $ 6,00; lombinho $ 5,00; pernil $ 6,00. Custo do Produto AcabadoPresuntoLombinhoPernil

Defumado em hora normalR$ 5,18R$ 4,76R$ 5,62

Defumado em hora extraR$ 6,58R$ 5,54R$ 6,92

Sem defumarR$ 0,50R$ 0,48R$ 0,51

Matria Prima disponvel480400230

6 - Deseja-se determinar as misturas de 4 derivados do petrleo, que sero os constituintes de 3 tipos de gasolina ( extra, super e comum ).

As tabelas abaixo mostram as percentagens de especificaes dos diversos constituintes e os preos de venda de cada tipo de gasolina por barril ( bbl ).ConstituintesDisponibilidadesCusto / bbl

13.000 bblR$ 3,00

22.000 bblR$ 6,00

34.000 bblR$ 4,00

41.000 bblR$ 5,00

GasolinaEspecificaesVenda

ANo mais que 30 % de 4R$ 5,50

No mais que 50 % de 3

No menos que 40 % de 2

BNo mais que 50 % de 4R$ 4,50

No menos que 10 % de 2

CNo mais que 70 % de 1R$ 3,50

Formule o problema e construa o modelo de Programao Linear que maximiza o lucro.7 - Um investidor possui $ 18.000,00 e tem a sua disposio 3 alternativas para aplicar seu capital, alm de deix-lo na CEF rendendo 6 % ao ano.

ALT.1 - Comprar um lote de aes cujo o preo unitrio de $ 4,50 e cuja rentabilidade anual esperada de 47 %.

ALT.2 - Comprar letras de cmbio cujo preo unitrio de $ 3,00 e cuja rentabilidade anual esperada de 32 %.

ALT.3 - comprar letras do tesouro cujo preo unitrio de $ 1,50 e cuja rentabilidade anual de 8 %.

Supondo que o investidor no deseja adquirir mais do que 1750 aes e letras de cmbio; que seu corretor s possa conseguir at 1000 aes e 1500 letras de cmbio; que o investidor queira deixar, pelo menos, $ 2.000,00 na CEF; que o investimento feito em letras do tesouro no ultrapasse 1,7 vezes o depsito deixado na CEF. Formule o problema e construa o modelo de Programao Linear que indica ao investidor que quantidades alocar a cada alternativa, com o objetivo de maximizar seu capital no fim do ano.7 - Funo Objetivo de Mnimos Quadrados o objetivo da Anlise de Regresso, ou Ajustamento de Retas, para obter valores de parmetros desconhecidos utilizando dados amostrais.Seja y uma varivel que nos interessa estudar e cujo comportamento futuro desejamos prever. fcil identificarmos uma srie de variveis xi (x1 , x2, x3,.....,xn) que influenciam o comportamento de y, a varivel dependente do modelo. A Estatstica oferece meios de chegarmos relao funo entre a varivel dependente (y) e as variveis explicativas ou independentes (x1, x2, x3, ......,xn) atravs da anlise de regresso. Limitaremos nossa exposio ao caso em que apenas duas variveis intervm no modelo: a varivel dependente y e a varivel independente x. Apresentaremos apenas o estudo da funo linear (ajustamento de uma reta), isto , estudaremos o modelo:

y =a +bx

onde a e b so os parmetros da funo. Mtodo dos Mnimos QuadradosEstabelecido o modelo y = a + bx , precisamos dos valores de a e b de forma que a nossa reta passe to prxima quanto possvel dos pontos assinalados no diagrama de disperso. Isto , queremos minimizar a discrepncia total entre os pontos marcados e a reta que iremos determinar. O melhor mtodo para determinao dos parmetros a e b que minimize as discrepncias o Mtodo dos Mnimos Quadrados. Segundo esse mtodo, poderemos avaliar os parmetros a e b pela aplicao das seguintes frmulas:

b = nxy - xy a = y - bx ou a = y - bx nx - (x) nExerccios(1) Suponhamos que uma cadeia de Supermercados tenha financiado um estudo dos gastos com mercadorias para famlias de quatro pessoas. A investigao se limitou a famlias com renda lquida entre $ 8.000 e $ 20.000.Obteve-se a seguinte equao y = -200 + 0,10x ..... onde:y = despesa anual estimada com mercadorias;x = renda lquida anual.

Sabendo-se que a equao proporciona um ajustamento razoavelmente bom, que os dados foram obtidos por mtodos de amostragem aleatria e que qualquer relao s vlida no mbito dos dados amostraisEstime a despesa de uma famlia de 4 pessoas com renda de $15.000.b) Um dos diretores da firma ficou intrigado com o fato de a equao aparentemente sugerir que uma famlia com $ 2.000 de renda no gaste nada em mercadorias. Qual a explicao?(2)Determine uma equao preditora do montante de seguro em funo da renda anual, com base nos seguintes dados :Renda ($1000) 20 25 26 18 16 17 32 13 38 40 42seguro 10 12 15 10 15 20 30 5 40 50 40Resposta ( Seguro = a + b Renda ) :y = -12 + 1,32x ; (x = 287; y = 247; xy = 7875; x = 8571 ) ANEXO I: reas na cauda direita sob a distribuio NORMAL PADRONIZADA Fonte: STEVENSON, William J.; Estatstica Aplicada Administrao; 1.ed. Harbra, 1986.0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09

0.00.00000.00400.00800.01200.01600.01990.02390.02790.03190.0359

0.10.03980.04380.04780.05170.05570.05960.06360.06750.07140.0753

0.20.07930.08320.08710.09100.09480.09870.10260.10640.11030.1141

0.30.11790.12170.12550.12930.13310.13680.14060.14430.14800.1517

0.40.15540.15910.16280.16640.17000.17360.17720.18080.18440.1879

0.50.19150.19500.19850.20190.20540.20880.21230.21570.21900.2224

0.60.22570.22910.23240.23570.23890.24220.24540.24860.25180.2549

0.70.25800.26120.26420.26730.27040.27340.27640.27940.28230.2852

0.80.28810.29100.29390.29670.29950.30230.30510.30780.31060.3133

0.90.31590.31860.32120.32380.32640.32890.33150.33400.33650.3389

1.00.34130.34380.34610.34850.35080.35310.35540.35770.35990.3621

1.10.36460.36650.36860.37080.37290.37490.37700.37900.38100.3830

1.20.38490.38690.38880.39070.39250.39440.39620.39800.39970.4015

1.30.40320.40490.40660.40820.40990.41150.41310.41470.41620.4177

1.40.41920.42070.42220.42360.42510.42650.42790.42920.43060.4319

1.50.43320.43450.43570.43700.43820.43940.44060.44180.44290.4441

1.60.44520.44630.44740.44840.44950.45050.45150.45250.45350.4545

1.70.45540.45640.45730.45820.45910.45990.46080.46160.46250.4633

1.80.46410.46490.46560.46640.46710.46780.46860.46930.46990.4706

1.90.47130.47190.47260.47320.47380.47440.47500.47560.47610.4767

2.00.47720.47780.47830.47880.47930.47980.48030.48080.48120.4817

2.10.48210.48260.48300.48240.48380.48420.48460.48500.48540.4857

2.20.48610.48640.48680.48710.48750.48780.48810.48840.48870.4890

2.30.48930.48960.48980.49010.49040.49060.49090.49110.49130.4916

2.40.49180.49200.49220.49250.49270.49290.49310.49320.49340.4936

2.50.49380.49400.49410.49430.49450.49460.49480.49490.49510.4952

2.60.49530.49550.49560.49570.49590.49600.49610.49620.49630.4964

2.70.49650.49660.49670.49680.49690.49700.49710.49720.49730.4974

2.80.49740.49750.49760.49770.49770.49780.49790.49790.49800.4981

2.90.49810.49820.49820.49830.49840.49840.49850.49850.49860.4986

3.00.49860.49870.49870.49880.49880.49890.49890.49890.49900.4990

3.10.49900.49910.49910.49910.49920.49920.49920.49920.49930.4993

3.20.49930.49930.49940.49940.49940.49940.49940.49950.49950.4995

3.30.49950.49950.49950.49960.49960.49960.49960.49960.49960.4997

3.40.49970.49970.49970.49970.49970.49970.49970.49970.49980.4998

3.50.49980.49980.49980.49980.49980.49980.49980.49980.49980.4998

3.60.49980.49980.49990.49990.49990.49990.49990.49990.49990.4999

3.70.49990.49990.49990.49990.49990.49990.49990.49990.49990.4999

3.80.49990.49990.49990.49990.49990.49990.49990.50000.50000.5000

3.90.50000.50000.50000.50000.50000.50000.50000.50000.50000.5000

ANEXO IITamanhos de Amostras para Amostragem por Estimativas para Atributos: Amostras AleatriasFonte: ARKIN, Herbert; Handbook of Sampling for Auditing and Accounting; Mc Graw-Hill.QUADRO I: Taxa de ocorrncia esperada no superior a 2% ou no menos que 98%.

Nvel de Confiana = 90%_________________________________________________________________________Tamanho da

Tamanho da Amostra para Preciso de Populao+ . 5 %+ .75 % + 1 % + 1.25 % + 1.5 %+ 2 %20010980

25012287

30016013392

35017314197

400184149100

450194155103

500258203161105

550271210166107

600282217170109

650293223173111

700302229177112

750311234180113

800319239183114

850327243185115

900461334247187116

950474341251189117

1000486347254191118

1050497353257193118

1100508358260195119

1150519363263196119

1200529368265198120

1250538373267199120

1300547377270200121

1350556381272201121

1400564385274202122

1450572389276203122

1500579392277204122

1550587396279205123

1600594399281206123

1650601402282207123

1700607405283208124

1750613408285208124

1800619410286209124

1850625413287210124

1900631415288210124

1950636417290211125

2000641420291211125

21001055651424293212125

22001081661428295213126

23001104669431296214126

24001127677435298215126

25001148685438299216126

26001169692441301217127

27001189699444302217127

28001207706446303218127

29001226712449304219127

30001243718451305219127

31001260723453306220128

32001276729455307220128

33001292734457308221128

34001307739459309221128

35001321743461310221128

36001335748463311222128

37001349752464311222129

38001362756466312222129

39001375760467313223129

40001387764469313223129

41001399767470314223129

42001410771471315224129

43001421774473315224129

44001432777474316224129

45001442780475316224129

46001452783476317225129

47001462786477317225129

48001472789478318225130

49001481791479318225130

50001490794480318226130

QUADRO II: Taxa de ocorrncia esperada no superior a 5% ou no menos que 95%.


Tamanho da Amostra para Preciso de Populao + . 5 % + 1 % + 1.5 % + 2 % + 2.5 %+ 3 % +4%1507453

2001028458

2501139151

3001561239764

35016813010266

40017913610667

45018814210969

50019614611270

55020315011471

60021015411671

65030521615711872

70031522116011973

75032522516212073

80033423016412274

85034223416612374

90035023716812474

95035724117012575

100036424417112575

105037024717212675

110037724917212775

120062138825417612876

130064739725717812976

140067140626218013076

150069341426518113177

160071342126818313277

170073242827118413277

180075043427318513377

190076744027518613378

200078344527718713478

210079845027918813478

220081245428118913578

230082545828218913578

240083846228419013578

250084946628519113678

270087147228819213679

290089147829019313779

310090948329219313779

330092648729319413779

350094149229519513879

370095449529619513879

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410097950229819613979

440099550630019713979

4700101051030119813979

50002535102351330219813980

QUADRO III: Taxa de ocorrncia esperada no superior a 10% ou no menos que 90%.


Tamanho da Amostra para Preciso de Populao + . 5 % + 1 % + 1.5 % + 2 % + 2.5 %+ 3 % + 4%25095

300143101

350153108

400198162111

450209169114

500219176117

550229182120

600237187122

650244192124

700326251196126

750337257199127

800346263203128

850355268206130

900364272209131

950372277211132

1000379281213133

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1300591415300224137

1350601420303226137

1400611425306227138

1450620429308229138

1500629434310230139

1550638438312231139

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1700662449318234140

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1950697464325238142

2000703467327239142

2100715473329240142

2200726477332241143

2300737482334243143

2400746486336244144

25001234756490337245144

26001258765494339246144

27001281773497341246145

28001303781501343247145

29001324789504344248145

30001345796507345249145

31001364803509347249146

32001383809512348250146

33001402816515349251146

34001419822517350251146

35001437827519351252146

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37001469838523353253147

38001485843525354253147

39001500848527355254147

40001514852529356254147

41001528857531356254147

42001542861532357255147

43001555865534358255148

45001581873537359256148

47001605880540360256148

49001627887542361257148

50001638890543362257148

QUADRO IV: Taxa de ocorrncia esperada no superior a 2% ou no menos que 98%.


Tamanho da Amostra para Preciso de Populao+ . 5 %

+ .75 % + 1 % + 1.25 % + 1.5 %+ 2 %20097

250108

300116

350172123

400182129

450192133

500246201137

550257209141

600268215144

650277221146

700286227149

750294232151

800301236153

850308241155

900314244156

950320248158

1000430326251159

1050439331254160

1100447336257161

1150456340260162

1200463344262163

1250470348264164

1300477352267165

1350673484356269166

1400685490359271166

1450697496362272167

1500708501365274168

1550719507368276168

1600729513371277169

1650740518373279169

1700749522376280170

1750759527378281170

1800768531381283171

1850777536383284171

1900786540385285172

1950794544387286172

2000802547389287173

2100818554392289173

2200833561396291174

2300847568399293174

2400860574402294175

2500872579405296176

2600884584407297176

2700895589409298176

2800906594412299177

2900916598414301177

3000925602416302178

31001528935606418303178

32001551944610419303178

33001575953614421304179

34001597961617423305179

35001619969620424306179

36001640976623426307179

37001661983626427307180

38001681990629428308180

39001700997632429309180

400017191003634431309180

410017371010637432310180

420017541016639433310181

430017721021641434311181

440017891027643435311181

450018051032645436312181

460018211032645436312181

470018361042649438313181

480018511047651438313182

490018661052653439314182

500018801056654440314182

QUADRO V: Taxa de ocorrncia esperada no superior a 5% ou no menos que 95%.



20073

25011279

30014812183

35016012986

40016913589

45017814091

50023918514493

55025019114895

60025919715296

65026820215597

70027620715798

75028421116099

800291214162100

850416297218164101

900427303221166101

950438308224167102

1000448314226169102

1100467323231171103

1200484331235174104

1300500338239176105

1400514344242177106

1500527350245179106

1600539355247180107

1700550360250181107

1750555362251182107

1800907560364252182107

1850919564366253183107

1900931569368254183108

1950943573370254184108

2000954578372255184108

2100977586375257185108

2200998593378258186108

23001018600381260186109

24001037607384261187109

25001055613386262188109

26001073619388263188109

27001089624390264189109

28001105629392265189110

29001120634394266190110

30001135639396267190110

31001149643398267190110

33001175652401269191110

35001200659404270192110

37001222666406271192111

39001243672409272193111

40001253675410273193111

45001299688414275194111

47001315692416275194111

50001337698418276195112

QUADRO VI: Taxa de ocorrncia esperada no superior a 10% ou no menos que 90%.



300126

350134

400196141

450207146

500217151

550226155

600283234159

650299242162

700309248165

750319254168

800328260170

850336265172

900441343269174

950453350274176

1000464357278178

1050474363281179

1100484369285181

1150494374288182

1200503379291183

1250511384294184

1300519389297185

1350527393299186

1400535397302187

1450542401304188

1500549405306189

1550772555408308190

1600784561412310190

1650796567415312191

1700808573418313192

1750819579421315192

1800829584424317193

1850840589426318194

1900850594429320194

1950860599431321195

2000869604434322195

2100888612438325196

2200905621443327197

2300922628446329198

2400937636450331198

2500952642453333199

2600969649457335200

2700983655460336200

2800996661462338201

29001008666465339201

30001020671468341202

31001031676470342202

32001042681472343202

33001052685474344203

34001062689476345203

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360017641077697480347204

370017871086701482348204

380018101095704483349204

390018331103708485350205

400018551111711486351205

410018761118714488351205

420018961126717489352206

430019171133720491353206

450019551146725493354206

470019921159730495355207

490020271170735498356207

500020441176737499357207

QUADRO VII: Taxa de ocorrncia esperada no superior a 2% ou no menos que 98%.


Tamanho da Amostra para Preciso de Populao+ . 5 %+ .75 % + 1 % + 1.25 % + 1.5 %+ 2 %400180

450189

500197

550205

600295211

650306217

700317222

750327227

800408336232

850421344236

900433352239

950444360243

1000455367246

1050465373249

1100474379251

1150483385254

1200492390256

1250500396258

1300650508400260

1350663515405262

1400674522409264

1450686529414266

1500697536418268

1550707542421269

1600718548425271

1650728553428272

1700737559432273

1750746564435275

1800755569438276

1850764574441277

1900772579443278

1950780584446279

2000788587449280

2100803596453282

2200818604458284

23001153831611462285

24001178844618466287

25001201856625470288

26001224867631473289

27001246878636476291

28001266888642479292

29001286898647482293

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31001324916656487295

32001342925661490295

33001359933665492296

34001376941669494297

35001392948673496298

36001408955676498299

37001423962680500299

38001437969683502300

39001451975686504300

40001465981689505301

41001478987692507302

42001491993695508302

43001503999697510303

440015151004700511303

450015271009702512304

460015381014705514304

470015491019707515304

480015601023709516305

490015711028712517305

500015811032714518306

QUADRO VIII: Taxa de ocorrncia esperada no superior a 5% ou no menos que 95%.



250110

300119

350175126

400187132

450197137

500206142

550263214145

600274221145

650284228151

700293234154

750302329156

800397310244158

850409318248160

900420324252162

950431330256163

1000441336260165

1050450341263166

1100459346266167

1150468351269168

1200476355271169

1250484360274170

1300491364276171

1350498367278172

1400700504371280173

1450713511374282174

1500725517378284174

1550736523381286175

1600747528384287176

1650758534387289176

1700768539389291177

1750778544392292177

1800788548394293178

1850797553397295178

1900806557399296179

1950860561401297179

2000824565403298179

2100840573407300180

2200856580411302181

2300871587414304182

2400885593417306182

2500398599420307183

2600910605423309183

2700922610425310184

2800934615428311184

2900947620430313185

3000955624432314185

3100965628434315185

32001588974632436316186

33001612983636438317186

34001636993640439318186

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360016811008647443319187

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380017231023653445321187

390017431031656447321188

400017631037658448322188

420018011050664450323188

440018371062668452324189

460018711074673455326189

480019031084677457326189

500019341094681458327190

QUADRO IX: Taxa de ocorrncia esperada no superior a 10% ou no menos que 90%.



450204

500214

550223

600230

650237

700341244

750352249

800363255

850373260

900382264

950391268

1000489399272

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1200352428285

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1300551440290

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1800816624485309

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490017211145800585347

500017331150802586347

Faculdade de Administrao e Cincias Contbeis

Departamento de Contabilidade

EMBED OutPlace

$942,63 e 10,02% a.a.

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