Post on 05-Feb-2018
MEHANIKA FLUIDA
Zakon o koliini kretanja
1.zadatak. Odrediti intenzitet sile kojom mlaz vode deluje na razdelnu ravu cevovoda hidroelektrane koja je uvrena betonskim blokom (v.sl.). Prenik dovodnog cevovoda je D=3m, prenici grana koje dovode vodu u turbine iznose po d=2m, a ugao nagiba prema osi glavnog cevovoda je =60o. Apsolutni pritisak na ulazu u ravu cevovoda je p1=398kPa, a ukupni protok kroz dovodni cevovod je Q1=35 m3/s. Masa vode u ravi iznosi m=111 t. Protok se deli ravnomerno na svaku turbinu. Gubitke strujne energije zanemariti. Projekcija rave je data u hidraulikoj ravni. Raspored brzina u poprenim presecima je ravnomeran. Atmosferski pritisak je pa=103 kPa.
Reenje: Primenimo zakon o koliini kretanja na fluidni prostor 1-1, 2-2, 3-3.
( )2 2 3 3 1 1 R 1 2 3Q v Q v Q v F P P P G R + = = + + + + (1)
gde su: 1 2 3P , P ,P - sile pritiska u presecima 1-1, 2-2, 3-3, G - spoljanja (gravitaciona) sila
koja deluje na masu vode u razdelnoj ravi, R - sila kojom razdelna rava deluje na vodu; 1 2 3Q ,Q ,Q - odgovarajui protoci vode u presecima,
Kako voda deluje na zidove rave izmeu preseka 1-1, 2-2, 3-3 silom N suprotnog smera a istog pravca i intenziteta sa silom R (zakon akcije i reakcije), to je:
1 2 3 1 1 2 2 3 3N R P P P G Q v Q v Q v= = + + + + (2)
Bernulijeve jednaine za preseke 1-1 i 2-2, kao i 1-1 i 3-3 glase: 2 2
a m1 a m21 2p p p pv v2 2
+ ++ = +
, (3)
22a m1 3 a m31 p p v p pv
2 2+ +
+ = +
. (4)
Jednaina kontinuiteta je: 1 2 3Q Q Q= + (5)
Kako je 2 3Q Q= (protok se ravnomerno deli prema turbinama, prema uslovu zadatka), sleduje da je: 2 3v v= , a iz jednaina (3) i (4) dobija se da je:
m2 m3p p=
32 3 1
1Q Q Q 17,5 m / s2
= = = .
Na osnovu Q1 i Q2 sraunavamo srednje brzine strujanja vode kroz preseke 1-1, 2-2, 3-3 i one su:
11 2
4Qv 4,95 m/sD
= =
; 22 3 24Qv v 5,57 m/sd
= = =
;
Natpritisak u preseku 1-1 iznosi:
m1 1 ap p p 398 103 295 kPa=295000 Pa= = = .
Iz jednaine (3) ( )2 2m2 m3 m1 1 2p p p v v 291738 Pa2
= = + =
Onda su sledee sile pritiska u presecima 1-1, 2-2, 3-3 sledee: 2
1 m1DP p 2085232 N
4
= =
2
2 3 m2dP P p 916524 N4
= = =
Sada da ove veliine napiemo u vektorskom obliku: 1 1P P i= , 2 2 2P P cos i P sin j= + , 3 3 3P P cos i P sin j= + ,
G Gk= , x y zN N i N j N k= + +
1 1v v i= , 2 2 2v v cos i v sin j= , 3 3 3v v cos i v sin j= .
Zamenom ovih zapisa u jednaini (2) dobija se da su projekcije sile N date izrazima:
( )x 1 2 3 1 1 2 2 3 3N P P P cos Q v Q v cos Q v cos 1244483 N= + + =
( )y 2 3 2 2 3 3N P P Q v Q v sin 1756298 N= + + + =
zN G mg 1088910 N= = =
Intenzitet sile N kojom mlaz vode deluje na ravu je: 2 2 2x y zN N N N 2412270 N= + + =
2. zadatak. Horizontalna cev prolazi jednim delom, na kome je prenik smanjen sa vrednosti D1=1,5m na D2=1m, kroz betonski blok kao to je prikazano na slici. Odrediti natpritisak u preseku 1 cevi, kroz koju protie voda protokom Q=1,8 m3/s, pod uslovom da horizontalna sila koju prima blok ne bude vea od R=5105 N.
Reenje: - Napiimo zakon o koliini kretanja za preseke 1 i 2: ( )2 2 1 1 1 2 1Q v Q v P P G R = + + + Gravitaciona sila se zanemaruje, a 1 2Q Q Q= = .
Sila kojom tenost deluje na blok je: ( )1 1 2 1 2R R P P Q v v= = + + ,
gde su: 1 1P P i= , 2 2P P i= , 1 1v v i= , 2 2v v i= , 1 m1 1P p A= , 2 m2 2P p A= .
( )m1 1 m2 2 1 2R p A p A Q v v= + . - Jednaina kontinuiteta je 1 1 2 2Q v A v A= =
- Bernulijeva jednaina za preseke 1-1 i 2-2 je: 2 2
a m1 a m21 2p p p pv v2 2
+ ++ = +
2 21 m1 2 m2v p v p
2 2+ = +
( )2
2 2m2 m1 1 2 m1 2 2
1 2
Q 1 1p p v v p2 2 A A
= + = +
Sada je sila R: 2m1 1 m1 2 2 2 21 2 1 2
1 1 Q QR p A p A Q A Q2 A A A A
= +
( )2 2 m1 1 221 2 1
A1 1 1R Q p A AA 2A 2 A
= +
2 22
1 2 1m1
1 2
A1 1 1R QA 2A 2 A
pA A
=
.
Povrine poprenih preseka cevi su: 2
211
DA 1,765 m4
= = i 2
222
DA 0,785 m4
= = .
Unoenjem ovih vrednosti u izraz z pm1 dobija se da je: m1p 5,1 bar= .
3. zadatak Kroz difuzor prikazan na slici, sa manjim poprenim presekom A1=0,05m2 i veim A2=0,4m2, struji voda protokom Q1=0,1 m3/s u otvoreni rezervoar sa stalnim nivoom na visini h=2m. a) Odrediti silu koja istee zakivke, koji spajaju difuzor sa rezervoarom. b) Za sluaj da se rezervoar zatvori, a iznad slobodne povrine odrava vakuum, sila u
zakivcima se smanjuje. Odrediti pri kolikom vakuumu sila iezava.
Reenje:
a) - Napiimo zakon o koliini kretanja za preseke 1 i 2, pri emu je 1 2Q Q Q= = :
( )2 2 1 1 1 2 1Q v Q v P P R = + + ( )2 1 1 2 1Q v v P P R = + +
Sila kojom tenost deluje na difuzor je: ( )1 1 2 1 2R R P P Q v v= = + + ,
gde su: 1 1 m1 1P P i p A i= = , 2 2 m2 2P P i p A i= = , 1 1v v i= , 2 2v v i= .
( )m1 1 m2 2 2 2R p A p A Q v v i= + + ( )2 1 m1 1 m2 2R Q v v p A p A= +
- Bernulijeva jednaina za preseke 1 i 2: 2 21 1 2 2v p v p
2 2+ = +
(1)
- Bernulijeva jednaina za preseke 1 i 0: 2 2
a1 1 2pp v vgh2 2
+ = + +
(2)
Iz (1) i (2) 2 ap p gh= + m2p gh= (3)
Iz (1) ( )2 21 2 2 1p p v v2
= + ( )2
2 2 2 1m1 m2 2 1 m2 2 2
2
vp p v v p v 12 2 v
= + = +
.
- Jednaina kontinuiteta glasi: 1 1 2 2Q v A v A= = 11
QvA
= i 22
QvA
= .
Zamenom u izrazu za silu kojom tenost deluje na difuzor doboja se:
2m2 2 m2 12 2
2 1 2 1
Q Q 1 1R Q p A p Q AA A 2 A A
= + +
( )2 2m2 2 1 12 22 1 2 1
1 1 1 1R Q p A A Q AA A 2 A A
= +
( )2 1 m2 2 122 1 2
A1 1R Q p A AA 2A 2A
= +
( )2 1 2 122 1 2
A1 1R Q gh A AA 2A 2A
= +
Zamenom brojnih vrednosti dobija se da je: R 6788,52 N= . b) Stavljajui u poslednjem izrazu da je R=0, dobija se da je:
2 12
2 1 2m2
1 2
A1 1QA 2A 2A
p 223 PaA A
=
A kako je v m2p gh p= v m2p gh p 0,194 bar= . 4. Zadatak. Slobodan mlaz idealne tenosti protoka Qo, udara u ravnu plou pod uglom =60o (v.sl.). Odrediti odnos protoka Q2/Q1, delova mlaza tenosti na koje se on podeli posle udara razdvaja.
Reenje: Napiimo zakon o koliini kretanja za fluidni prostor 0-1-2:
2 2 1 1 0 0 0 1 2 1Q v Q v Q v P P P R + = + + +
1 0 0 2 2 1 1R R Q v Q v Q v= = ,
gde je: 1 1v v i= , 2 2v v i= , 1 0 0v v cos i v sin j= . Zamenom u poslednjoj jednaini, dobija se:
0 0 0 0 2 2 1 1R Q v cos i Q v sin j Q v i Q v i= +
( )0 0 1 1 2 2 0 0R Q v cos Q v Q v i Q v sin j= + Poto je fluid idealan Rx=0, tj.
0 0 1 1 2 2Q v cos Q v Q v 0 + = (1)
Iz Bernulijeve jednaine za 0 i 1 v1=v0
Iz Bernulijeve jednaine za 0 i 2 v2=v0
Dobija se da je: v1=v2=v0 (2)
- Iz jednaine kontinuiteta dobija se: 0 1 2Q Q Q= + (3) Zamenom (2), (3) u (1) dobijamo:
( )1 2 1 21 Q Q Q Q 02
+ + = 1 23 1Q Q 02 2
= 21
Q 3Q
= .
Sila kojom tenost deluje na plou je: y 0 0R R Q v sin= = .
5. zadatak. Iz rezervoara u kome vlada konstantan natpritisak pm=8bar istie voda kroz vertikalnu zakrivljenu cev, na koju se nadovezuje mlaznik duine l=200 mm. Ostali podaci su prema slici a=500mm, D=150mm, d=50mm. a) Zanemarujui masu vode u cevi, mlazniku i rezervoaru, odrediti silu i moment,
prouzrokovane isticanjem tenosti, koji optereuju zakivke A i B. b) Koliko e iznositi optereenje zakivka B, ako se mlaznik ukloni?
Reenje: Optereenje zakivka A dobija se iz zakona o koliini kretanja za zapreminu (1) i (2):
( )A 1 2 1 2R Q v v P P= + + , 2P 0= Skalarni oblik ove jednaine je:
( )2
A 1 2 m1DR Q v v p
4
= + .
Primenom Bernulijeve jednaine i jednaine kontinuiteta za odgovarajue preseke: 2 21 m1 2v p v gl
2 2+ = +
i
2 2
1 2D dv v
4 4 = .
dobija se: 2 2
A 1 2 2
1 1 D DR Qv Qv 1 g l2 2 d 4
= +
.
Sa druge strane, Bernulijeva jednaina za neki presek u rezervoaru u kome voda miruje (3) i mlazni presek (2):
2m 2p v g(a l)
2= + +
,
dobija se da je: m2pv 2 g(a l) 39,4 m/s = + =
.
Onda je: 2
1 2 2
dv v 4,38 m/sD
= = ; 2
2dQ v 77,3 l/s4
= = .
Onda je sila koja optereuje (na istezanje) zakivke A: AR 10898,91 N= .
Piui jednainu za zakon o koliini kretanja za zapreminu 3, 3, imamo: ( )B 3 2 3 2R Q v v P P= + + , 2P 0= ,
pa su projekcije ove sile na ose x i y: 2
Bx 3 m3DR Qv p
4
= + , By 2R Qv= .
Iz jednaine kontinuiteta je 3 1v v 4,38 m/s= = , a iz Bernulijeve jednaine je:
2m3 3m p vp
2= +
m3p 7,902 bar= .
Onda je: BxR 1711,845 N= , ByR 3050,91 N= .
Pored sile BR , zakivci su optereeni i momentom koji se izraunava iz zakona o momentu koliine kretanja:
( )( ) ( )3A
r v v,dA r P M =
M - traeni moment; r - radijus vektor u odnosu na teite preseka (3). Poslednja jednaina, s obzirom da vrzina 3v i sile 3P prolaze kroz teite preseka (3), svodi se na jednainu:
2Qv a M = M 1525,455 Nm= . Smerovi ovog momenta je kao i smer kazaljke na satu. b) Ako se mlaznik ukloni, bie:
2
Bx 3 m3DR Qv p
4
= + , By 1R Qv= .
Iz jednaine kontinuiteta je 3 1v v