MEHANIKA FLUIDA

Zakon o koliini kretanja

1.zadatak. Odrediti intenzitet sile kojom mlaz vode deluje na razdelnu ravu cevovoda hidroelektrane koja je uvrena betonskim blokom (v.sl.). Prenik dovodnog cevovoda je D=3m, prenici grana koje dovode vodu u turbine iznose po d=2m, a ugao nagiba prema osi glavnog cevovoda je =60o. Apsolutni pritisak na ulazu u ravu cevovoda je p1=398kPa, a ukupni protok kroz dovodni cevovod je Q1=35 m3/s. Masa vode u ravi iznosi m=111 t. Protok se deli ravnomerno na svaku turbinu. Gubitke strujne energije zanemariti. Projekcija rave je data u hidraulikoj ravni. Raspored brzina u poprenim presecima je ravnomeran. Atmosferski pritisak je pa=103 kPa.

Reenje: Primenimo zakon o koliini kretanja na fluidni prostor 1-1, 2-2, 3-3.

( )2 2 3 3 1 1 R 1 2 3Q v Q v Q v F P P P G R + = = + + + + (1)

gde su: 1 2 3P , P ,P - sile pritiska u presecima 1-1, 2-2, 3-3, G - spoljanja (gravitaciona) sila

koja deluje na masu vode u razdelnoj ravi, R - sila kojom razdelna rava deluje na vodu; 1 2 3Q ,Q ,Q - odgovarajui protoci vode u presecima,

Kako voda deluje na zidove rave izmeu preseka 1-1, 2-2, 3-3 silom N suprotnog smera a istog pravca i intenziteta sa silom R (zakon akcije i reakcije), to je:

1 2 3 1 1 2 2 3 3N R P P P G Q v Q v Q v= = + + + + (2)

Bernulijeve jednaine za preseke 1-1 i 2-2, kao i 1-1 i 3-3 glase: 2 2

a m1 a m21 2p p p pv v2 2

+ ++ = +

, (3)

22a m1 3 a m31 p p v p pv

2 2+ +

+ = +

. (4)

Jednaina kontinuiteta je: 1 2 3Q Q Q= + (5)

Kako je 2 3Q Q= (protok se ravnomerno deli prema turbinama, prema uslovu zadatka), sleduje da je: 2 3v v= , a iz jednaina (3) i (4) dobija se da je:

m2 m3p p=

32 3 1

1Q Q Q 17,5 m / s2

= = = .

Na osnovu Q1 i Q2 sraunavamo srednje brzine strujanja vode kroz preseke 1-1, 2-2, 3-3 i one su:

11 2

4Qv 4,95 m/sD

= =

; 22 3 24Qv v 5,57 m/sd

= = =

;

Natpritisak u preseku 1-1 iznosi:

m1 1 ap p p 398 103 295 kPa=295000 Pa= = = .

Iz jednaine (3) ( )2 2m2 m3 m1 1 2p p p v v 291738 Pa2

= = + =

Onda su sledee sile pritiska u presecima 1-1, 2-2, 3-3 sledee: 2

1 m1DP p 2085232 N

4

= =

2

2 3 m2dP P p 916524 N4

= = =

Sada da ove veliine napiemo u vektorskom obliku: 1 1P P i= , 2 2 2P P cos i P sin j= + , 3 3 3P P cos i P sin j= + ,

G Gk= , x y zN N i N j N k= + +

1 1v v i= , 2 2 2v v cos i v sin j= , 3 3 3v v cos i v sin j= .

Zamenom ovih zapisa u jednaini (2) dobija se da su projekcije sile N date izrazima:

( )x 1 2 3 1 1 2 2 3 3N P P P cos Q v Q v cos Q v cos 1244483 N= + + =

( )y 2 3 2 2 3 3N P P Q v Q v sin 1756298 N= + + + =

zN G mg 1088910 N= = =

Intenzitet sile N kojom mlaz vode deluje na ravu je: 2 2 2x y zN N N N 2412270 N= + + =

2. zadatak. Horizontalna cev prolazi jednim delom, na kome je prenik smanjen sa vrednosti D1=1,5m na D2=1m, kroz betonski blok kao to je prikazano na slici. Odrediti natpritisak u preseku 1 cevi, kroz koju protie voda protokom Q=1,8 m3/s, pod uslovom da horizontalna sila koju prima blok ne bude vea od R=5105 N.

Reenje: - Napiimo zakon o koliini kretanja za preseke 1 i 2: ( )2 2 1 1 1 2 1Q v Q v P P G R = + + + Gravitaciona sila se zanemaruje, a 1 2Q Q Q= = .

Sila kojom tenost deluje na blok je: ( )1 1 2 1 2R R P P Q v v= = + + ,

gde su: 1 1P P i= , 2 2P P i= , 1 1v v i= , 2 2v v i= , 1 m1 1P p A= , 2 m2 2P p A= .

( )m1 1 m2 2 1 2R p A p A Q v v= + . - Jednaina kontinuiteta je 1 1 2 2Q v A v A= =

- Bernulijeva jednaina za preseke 1-1 i 2-2 je: 2 2

a m1 a m21 2p p p pv v2 2

+ ++ = +

2 21 m1 2 m2v p v p

2 2+ = +

( )2

2 2m2 m1 1 2 m1 2 2

1 2

Q 1 1p p v v p2 2 A A

= + = +

Sada je sila R: 2m1 1 m1 2 2 2 21 2 1 2

1 1 Q QR p A p A Q A Q2 A A A A

= +

( )2 2 m1 1 221 2 1

A1 1 1R Q p A AA 2A 2 A

= +

2 22

1 2 1m1

1 2

A1 1 1R QA 2A 2 A

pA A

=

.

Povrine poprenih preseka cevi su: 2

211

DA 1,765 m4

= = i 2

222

DA 0,785 m4

= = .

Unoenjem ovih vrednosti u izraz z pm1 dobija se da je: m1p 5,1 bar= .

3. zadatak Kroz difuzor prikazan na slici, sa manjim poprenim presekom A1=0,05m2 i veim A2=0,4m2, struji voda protokom Q1=0,1 m3/s u otvoreni rezervoar sa stalnim nivoom na visini h=2m. a) Odrediti silu koja istee zakivke, koji spajaju difuzor sa rezervoarom. b) Za sluaj da se rezervoar zatvori, a iznad slobodne povrine odrava vakuum, sila u

zakivcima se smanjuje. Odrediti pri kolikom vakuumu sila iezava.

Reenje:

a) - Napiimo zakon o koliini kretanja za preseke 1 i 2, pri emu je 1 2Q Q Q= = :

( )2 2 1 1 1 2 1Q v Q v P P R = + + ( )2 1 1 2 1Q v v P P R = + +

Sila kojom tenost deluje na difuzor je: ( )1 1 2 1 2R R P P Q v v= = + + ,

gde su: 1 1 m1 1P P i p A i= = , 2 2 m2 2P P i p A i= = , 1 1v v i= , 2 2v v i= .

( )m1 1 m2 2 2 2R p A p A Q v v i= + + ( )2 1 m1 1 m2 2R Q v v p A p A= +

- Bernulijeva jednaina za preseke 1 i 2: 2 21 1 2 2v p v p

2 2+ = +

(1)

- Bernulijeva jednaina za preseke 1 i 0: 2 2

a1 1 2pp v vgh2 2

+ = + +

(2)

Iz (1) i (2) 2 ap p gh= + m2p gh= (3)

Iz (1) ( )2 21 2 2 1p p v v2

= + ( )2

2 2 2 1m1 m2 2 1 m2 2 2

2

vp p v v p v 12 2 v

= + = +

.

- Jednaina kontinuiteta glasi: 1 1 2 2Q v A v A= = 11

QvA

= i 22

QvA

= .

Zamenom u izrazu za silu kojom tenost deluje na difuzor doboja se:

2m2 2 m2 12 2

2 1 2 1

Q Q 1 1R Q p A p Q AA A 2 A A

= + +

( )2 2m2 2 1 12 22 1 2 1

1 1 1 1R Q p A A Q AA A 2 A A

= +

( )2 1 m2 2 122 1 2

A1 1R Q p A AA 2A 2A

= +

( )2 1 2 122 1 2

A1 1R Q gh A AA 2A 2A

= +

Zamenom brojnih vrednosti dobija se da je: R 6788,52 N= . b) Stavljajui u poslednjem izrazu da je R=0, dobija se da je:

2 12

2 1 2m2

1 2

A1 1QA 2A 2A

p 223 PaA A

=

A kako je v m2p gh p= v m2p gh p 0,194 bar= . 4. Zadatak. Slobodan mlaz idealne tenosti protoka Qo, udara u ravnu plou pod uglom =60o (v.sl.). Odrediti odnos protoka Q2/Q1, delova mlaza tenosti na koje se on podeli posle udara razdvaja.

Reenje: Napiimo zakon o koliini kretanja za fluidni prostor 0-1-2:

2 2 1 1 0 0 0 1 2 1Q v Q v Q v P P P R + = + + +

1 0 0 2 2 1 1R R Q v Q v Q v= = ,

gde je: 1 1v v i= , 2 2v v i= , 1 0 0v v cos i v sin j= . Zamenom u poslednjoj jednaini, dobija se:

0 0 0 0 2 2 1 1R Q v cos i Q v sin j Q v i Q v i= +

( )0 0 1 1 2 2 0 0R Q v cos Q v Q v i Q v sin j= + Poto je fluid idealan Rx=0, tj.

0 0 1 1 2 2Q v cos Q v Q v 0 + = (1)

Iz Bernulijeve jednaine za 0 i 1 v1=v0

Iz Bernulijeve jednaine za 0 i 2 v2=v0

Dobija se da je: v1=v2=v0 (2)

- Iz jednaine kontinuiteta dobija se: 0 1 2Q Q Q= + (3) Zamenom (2), (3) u (1) dobijamo:

( )1 2 1 21 Q Q Q Q 02

+ + = 1 23 1Q Q 02 2

= 21

Q 3Q

= .

Sila kojom tenost deluje na plou je: y 0 0R R Q v sin= = .

5. zadatak. Iz rezervoara u kome vlada konstantan natpritisak pm=8bar istie voda kroz vertikalnu zakrivljenu cev, na koju se nadovezuje mlaznik duine l=200 mm. Ostali podaci su prema slici a=500mm, D=150mm, d=50mm. a) Zanemarujui masu vode u cevi, mlazniku i rezervoaru, odrediti silu i moment,

prouzrokovane isticanjem tenosti, koji optereuju zakivke A i B. b) Koliko e iznositi optereenje zakivka B, ako se mlaznik ukloni?

Reenje: Optereenje zakivka A dobija se iz zakona o koliini kretanja za zapreminu (1) i (2):

( )A 1 2 1 2R Q v v P P= + + , 2P 0= Skalarni oblik ove jednaine je:

( )2

A 1 2 m1DR Q v v p

4

= + .

Primenom Bernulijeve jednaine i jednaine kontinuiteta za odgovarajue preseke: 2 21 m1 2v p v gl

2 2+ = +

i

2 2

1 2D dv v

4 4 = .

dobija se: 2 2

A 1 2 2

1 1 D DR Qv Qv 1 g l2 2 d 4

= +

.

Sa druge strane, Bernulijeva jednaina za neki presek u rezervoaru u kome voda miruje (3) i mlazni presek (2):

2m 2p v g(a l)

2= + +

,

dobija se da je: m2pv 2 g(a l) 39,4 m/s = + =

.

Onda je: 2

1 2 2

dv v 4,38 m/sD

= = ; 2

2dQ v 77,3 l/s4

= = .

Onda je sila koja optereuje (na istezanje) zakivke A: AR 10898,91 N= .

Piui jednainu za zakon o koliini kretanja za zapreminu 3, 3, imamo: ( )B 3 2 3 2R Q v v P P= + + , 2P 0= ,

pa su projekcije ove sile na ose x i y: 2

Bx 3 m3DR Qv p

4

= + , By 2R Qv= .

Iz jednaine kontinuiteta je 3 1v v 4,38 m/s= = , a iz Bernulijeve jednaine je:

2m3 3m p vp

2= +

m3p 7,902 bar= .

Onda je: BxR 1711,845 N= , ByR 3050,91 N= .

Pored sile BR , zakivci su optereeni i momentom koji se izraunava iz zakona o momentu koliine kretanja:

( )( ) ( )3A

r v v,dA r P M =

M - traeni moment; r - radijus vektor u odnosu na teite preseka (3). Poslednja jednaina, s obzirom da vrzina 3v i sile 3P prolaze kroz teite preseka (3), svodi se na jednainu:

2Qv a M = M 1525,455 Nm= . Smerovi ovog momenta je kao i smer kazaljke na satu. b) Ako se mlaznik ukloni, bie:

2

Bx 3 m3DR Qv p

4

= + , By 1R Qv= .

Iz jednaine kontinuiteta je 3 1v v