Željko Andreić – Mehanika fluida P2 1

MEHANIKA FLUIDA

dio 2

prof. Željko Andreić

Rudarsko-geološko-naftni fakultet

Sveučilište u Zagrebu

zandreic@rgn.hr

http://rgn.hr/~zandreic/

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 2

Kratki sadržaj:

1. dimenzionalna analiza

2. kinematika fluida

3. model kontinuuma

4. zakon neprekinutosti

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 3

Dimenzionalna analiza

Metoda za pronalaženje funkcionalnog oblika raznih fizikalnih formula i zakona uz pomoć analize dimenzije fizikalne veličine koja se tim zakonom opisuje.

Ne može dati iznos konstante proporcionalnosti!

Princip homogenosti: svi članovi jednadžbe koja opisuje neku fizikalnu pojavu moraju imati iste dimenzije.

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 4

Dimenzionalna analiza 2

Princip analitičnosti: ako neka pojava ovisi o većem broju fizikalnih veličina x1, x2,..., xn, ta se pojava može opisati nekom analitičkom funkcijom oblika:

f(x1, x2,...,xn)=0

Ovisno o broju fizikalnih veličina xi postoje dva pristupa rješavanju problema.

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 5

1. mali broj varijabli xi (3-4 max.):

Jednadžbu prepišemo u eksplicitni oblik, primjerice:

x4=f(x1,x2,x3)

Dimenzije lijeve i desne strane moraju biti jednake (princip homogenosti).

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 6

1. primjer - brzina zvuka:

ZNAMO:

Mali poremećaji (=zvuk) šire se kroz sretstvo konstantnom brzinom v0.

Brzina reakcije sretstva ("poništavanja poremećaja") proporcionalna je modulu elastičnosti E.

Tromost sretstva koja se tome suprotstavlja proporcionalna je gustoći sretstva ρ.

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 7

1. primjer - brzina zvuka 2

Sad slažemo našu jednadžbu:

B je bezdimenzionalna konstanta proporcionalnosti, a x i y racionalni brojevi. U idućem koraku umjesto samih fizikalnih veličina u gornju jednadžbu uvrštavamo njihove dimenzije:

(l = duljina, m = masa, t = vrijeme)

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 8

1. primjer - brzina zvuka 3

sa rješenjem:

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 9

1. primjer - brzina zvuka 4

Ovako dobivene eksponente vratimo u početnu jednadžbu, pa nalazimo:

Točnost ovako izvedenog zakona i vrijednost konstante B mora se odrediti pokusima. Za tekućine se tako nalazi da je B=1 a za plinove B=Cp/Cv.

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 10

1. primjer - brzina zvuka 5

Ako postoji više rješenja, desna strana je zbroj članova sa svim mogućim kombinacijama eksponenata:

Ako ne postoji rješenje, dimenzionalna jednadžba nije dobro postavljena (neku veličinu smo previdjeli ili sl.).

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 11

2. veliki broj varijabli xi:

π teorem (Vaschy-Buckingam teorem): izraz f(xi)=0 ne smije ovisiti o sistemu mjernih jedinica. To znaći da f mora biti bezdimenzionalna!

Odatle slijedi da se f može napisati kao

πi su bezdimenzionalni monomi složeni od varijabli xi tako da je svaki monom kombinacija svih osnovnih fizikalnih veličina i jedne izvedene. Uvoñenje ovakvih monoma smanjuje broj varijabli za broj osnovnih fizikalnih veličina.

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 12

2. primjer - otpor tijela:

Otpor koji tijelo pruža pri gibanju kroz fluid ovisi o ρ, v i karakterističnoj dimenziji tijela l. Otpor uz to očito ovisi i o viskoznosti µ. Imamo dakle:

Od 5 varijabli u argumentu funkcije f su 3 (ρ,l i v) osnovne veličine, a 2 (F i µ) izvedene. Prema π teoremu imat ćemo 5-3=2 monoma u funkciji Φ:

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 13

2. primjer - otpor tijela 2

Svaki od dva monoma slaže se od produkta jedne izvedene i svih osnovnih veličina:

Za svaki od ovih monoma napravimo dimenzionalnu analizu:

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 14

2. primjer - otpor tijela 3

Rješenje prvog je x1=-1, y1=-2 i z1=-2, pa je:

A rješenje drugog x2=0, y2=-1 i z2=-1, pa slijedi:

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 15

2. primjer - otpor tijela 4

Odnosno:

Odtuda nalazimo izraz za silu F:

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 16

2. primjer - otpor tijela 5

Ako stavimo:

dobijamo Newton-ovu formulu za otpor tijela:

Koeficijent C ovisi o Re i obliku tijela i odreñuje se eksperimetalno.

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 17

2. kod automobila C se zove Cw...

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 18

Kinematika fluida

1. proučava gibanje fluida bez obzira na uzroke tog gibanja.

2. fluid smatramo kontinuumom.

3. koristimo se pojmom čestice fluida: maleni volumen fluida konstantne mase.

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 19

Model kontinuuma – čestica fluida 1

Čestica fluida: vrlo mali djelić fluida promjenjivog oblika i volumena ali konstantne mase!

V1, m V2,m V3,m

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 20

Model kontinuuma – čestica fluida 2

Kontinuum: matematička tvorevina koja se može dijeliti u beskonačno malene dijelove.Diferencijalni elementi kontinuuma:

dz

dy

dx

dV

dx

dy dAds

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 21

Lagrange-ov pristup (supstancijalni pristup)

x

y

z

R(t1)

v

v

v

R(t2)

R(t3)

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 22

Euler-ov pristup (lokalni pristup)

x

y

z

RM

Mv

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 23

Euler-ov pristup 2

Tečenje promatramo u jednoj odreñenoj točci u prostoru:

Fizikalne varijable koje opažamo u toj točci funkcije su koordinata te točke i vremena, npr. brzina je:

odnosno, po komponentama:

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 24

Euler-ov pristup 3

Trenutni iznos brzine je:

a njen smjer:

Ako se smjer i/ili iznos brzine u danoj točki prostora mijenja u vremenu, kažemo da je tečenje NESTACIONARNO.

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 25

Euler-ov pristup 4

Ako je smjer i iznos brzine u danoj točki prostora vremenski nepromjenjiv, kažemo da je tečenje STACIONARNO.

Stacionarnost tečenja ovisi o izboru koordinatnog sustava. Ako je to moguće, koordinatni sustav bira se tako da proučavano tečenje u njemu bude stacionarno.

Stacionarnost tečenja dakle nije fizikalno svojstvo tečenja, već ovisi o točki gledišta (=koordinatni sustav).

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 26

Euler-ov pristup 5

za opažača na obali optjecanje vode oko broda je NESTACIONARNO!

R(t)

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 27

Euler-ov pristup 6

Opažač na brodu uvijek vidi istu sliku optjecanja vode oko broda. Za njega je to optjecanje STACIONARNO!

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 28

Staza čestice fluida

= putanja čestice u prostoru

t=t1 t=t2 t=t3 t=t4 t=t5 itd...

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 29

Strujnica

= smjer gibanja mnogo čestica u jednom trenutku

čestica A B C D E itd...

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 30

Strujnica 2

kod toga se slijedeća čestica nalazi na vektoru brzine prethodne čestice

itd...

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 31

Strujnica 3

Brzina je tangenta na strujnicu!

Nestacionarno tečenje: strujnice s vremenom mijenaju svoj oblik.

Stacionarno tečenje: strujnice su uvijek iste i poklapaju se sa stazama čestica.

Praksa: strujnice se čine vidljivima mlazom dima (plinovi) ili ubacivanjem sitnih čestica, mlaza obojene tekućine i sl. u strujanje (tekućine).

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 32

Strujna cijev

Pratimo sve strujnice koje prolaze kroz plohu A. Nakon neke udaljenosti one sve prolaze kroz A'. 3D cjevasti oblik koji tako dobivamo nazivamo strujna cijev.

A'

A

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 33

Strujno vlakno

Ako gledamo strujnu cijev vrlo malog presjeka dA nazivamo ju strujno vlakno.

Strujnica koja prolazi kroz centar strujne cijevi naziva se os strujne cijevi. PAŽNJA, ona je opčenito krivulja u prostoru!

dA'dA

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 34

Zakon neprekinutosti (kontinuiteta)

x

y

z

v1x

v2x

dy

dx

dz

1

2

ρ(x,y,z,t)

v(x,y,z,t)

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 35

Zakon neprekinutosti 2

x-komponentu brzine razvijemo u Taylor-ov red:

A isto napravimo i sa gustoćom:

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 36

Zakon neprekinutosti 3

U vremenu dt u naš volumen kroz prednju plohu uñe volumen fluida:

y i z komponente brzine paralelne su plohi pa ne doprinose toku fluida kroz plohu!

Odgovarajuća masa fluida je:

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 37

Zakon neprekinutosti 4

Istovremeno kroz stražnju plohu iz volumena izlazi masa fluida:

Sreñivanjem, uz formule razvoja brzine i gustoće, nalazimo:

Razlika ove dvije jednadžbe je masa fluida koja je u x-smjeru napustila volumen V:

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 38

Zakon neprekinutosti 5

Na isti način našli bismo gubitak mase u smjerovima y i z:

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 39

Zakon neprekinutosti 6

Ukupni gubitak mase je:

Kad ove dvije jednadžbe izjednačimo i sredimo, nalazimo:

Masa fluida je sačuvana, pa gubitak mase iz volumena mora rezultirati smanjenjem gustoće:

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 40

Zakon neprekinutosti 7

Ovo je opća jednadžba kontinuiteta (neprekinutosti) i pretstavlja zakon sačuvanja mase za fluide.Ona se jednostavnije zapisuje u nekoliko oblika:

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 41

Zakon neprekinutosti 8

gdje je tzv. nabla operator:

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 42

Posebni oblici jednadžbe neprekinutosti

1. stacionarno strujanje:

2. tekućine:

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 43

1-D jednadžba neprekinutosti

Element volumena prelazi u element dužine, dA isčezava:

ili za tekućine:

Odatle v=konst., nema praktične primjene!

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 44

Kvazi 1-D jednadžba neprekinutosti

3D slučaj kod kojeg je strujanje uvijek u smjeru neke prostorne krivulje. Element dužine te krivulje ds formalno poistovjetimo s dx, zanemarujući u ovom času promjene smjera na krivulji. U tom slučaju vy i vz isčezavaju, dA=dydz je okomita na brzinu vx au vremenu dt kroz dA protekne masa fluida dm:

Odatle definiramo maseni protok kao:

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 45

Kvazi 1-D jednadžba neprekinutosti 2

Umnožak površine presjeka toka i brzine naziva se (volumni) protok:

dA maleno ---> v i ρ na njemu konstantni, pa je

Ako je dA malo, ovo je OK i govorimo o toku u strujnom vlaknu.

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 46

Kvazi 1-D jednadžba neprekinutosti 3

su srednje vrijednosti brzine i gustoće na plohi A.

Za realne presjeke A moramo:

i

Drugačije napisano (simbole usrednjavanja ispuštamo!):

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 47

Kvazi 1-D jednadžba neprekinutosti 4

v i ρ su srednje vrijednosti brzine i gustoće na plohi A.

Za tekućine je još jednostavnije:

a maseni i volumni protok postaju proporcionalni:

Zapamtite: