MEHANIKA FLUIDA dio 4 - rudar.rgn.hrrudar.rgn.hr/~zandreic/studenti/fluidi/mf_p4.pdf · Željko...
Transcript of MEHANIKA FLUIDA dio 4 - rudar.rgn.hrrudar.rgn.hr/~zandreic/studenti/fluidi/mf_p4.pdf · Željko...
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 1
MEHANIKA FLUIDA
dio 4
prof. Željko Andreić
Rudarsko-geološko-naftni fakultet
Sveučilište u Zagrebu
http://rgn.hr/~zandreic/
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 2
sadržaj 1-2-3!
1. plutanje
2. translacija i rotacija tekućina
3. Euler-ova jednadžba za stacionarno tečenje
4. Bernoulli-jeva jednadžba
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 4
Hidrostatska sila na zakrivljenu stijenku 2
Stijenku sad moramo podijeliti na elementarne površine i ukupnu
silu naći integracijom iz:
gdje je jedinični vektor plohe A. Ako on sa koordinatim osima
zatvara kuteve (n,x), (n,y) i (n,z) onda je:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 5
Hidrostatska sila na zakrivljenu stijenku 3
je projekcija elementarne površine dA na yz ravninu, pa je:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 6
Hidrostatska sila na zakrivljenu stijenku 4
što se formalno integrira u:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 7
Hidrostatska sila na zakrivljenu stijenku 5
Rješenje za horizontalne komponente tlačne sile je:
hTx i hTy su koordinate težišta projekcije plohe na yz odn. xz ravninu,
a Ax i Ay su površine odgovarajućih projekcija.
Kao i kod ravne plohe, horizontalna tlačna sila jednaka je umnošku
tlaka u težištu plohe i površine vertikalne projekcije plohe u ravnini
okomitoj na smjer tlačne sile.
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 8
Hidrostatska sila na zakrivljenu stijenku 6
Vertikalna komponenta tlačne sile je:
je volumen stupca tekućine iznad elementarne površine
dA, pa je:
Vertikalna komponenta tlačne sile je i ovdje jednaka težini
tekućine iznad te plohe.
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 10
Hidrostatska sila na stijenku cijevi 2
Ukupna tlačna sila na polovicu prstena širine dz je:
Razmicanju poluprstenova odupire se napetost materijala
Poluprstenovi se spajaju na dva mjesta pa je:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 11
Hidrostatska sila na stijenku cijevi 3
Uvrštavanjem nalazimo:
Ako je je najveće dopušteno naprezanje materijala stijenke
onda je:
Ovo je Mariott-ova formula za debljinu stijenke cijevi.
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 12
Hidrostatska sila na stijenku cijevi 4
Ona vrijedi za cijevi sa tankom stijenkom ( .
Za dugu cijev zatvorenu na krajevima na sličan način nalazi se
da je uzdužno naprezanje:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 14
Uzgon 2
Zatvorimo plohom proizvoljni volumen fluida. On je u ravnoteži pa
je:
tojest:
Ako sad iz naše plohe izvadimo fluid i zamijenimo ga sa nekom
drugom tvari gustoće ρT, izvan plohe se ništa ne mijenja, pa
tlačne sile ostaju iste.
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 15
Uzgon 3
Na tijelo dakle djeluje vertikalna tlačna sila u iznosu:
Ova sila naziva se uzgon a pravilo da je uzgon jednak težini
istisnutog fluida naziva ase Arhimed-ov zakon.
No, težina tijela je različita od težine istisnutog fluida:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 16
Uzgon 4
Tijelo je u ravnoteži sa okolnim fluidom samo ako je:
Pa na tijelo djeluje rezultantna sila u iznosu:
U suprotnom tijelo tone ili izranja.
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 18
Plutanje
Gustoća tijela je manja od gustoće fluida, uzgon dolazi samo od
umoćenog dijela tijela.
Ovisno o položajima hvatišta uzgona i težine, plutajuće tijelo
može biti u tri ravnotežna stanja: labilnom, stabilnom i
indiferentnom.
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 20
Plutanje 3
G U
stabilno - moment sila vrača brod u početni položaj
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 22
Translacija tekućine kao cjeline
Gibanje kod kojeg nema relativnog pomaka izmeñu čestica
tekućine.
1. jednolika translacija: nema ubrzanja, isto kao i mirovanje.
2. vanjsko ubrzanje: tekućina osječa inercionu silu koja je
reakcija na ubrzanje. Ubrzanje inercione sile (III: Newton-ov
aksiom) je iste veličine a suprotnog smjera od ubrzanja sile koja
ju izaziva. To ubrzanje se vektorski zbraja sa g i tekućina kao
cjelina prelazi u novo stanje ravnoteže za koje i dalje vrijede
zakoni statike.
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 23
Translacija tekućine - horizonalno ubrzanje
g
a
r
r
ϕ ϕ
ai=-a
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 26
Translacija tekućine - koso ubrzanje
g+ap
ao
r
r
ϕ ϕ
ao
apai
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 27
x
y
z
Ravnotežno stanje -tekućina poprima brzinu
rotacije posude.
centrifugalna sila: acf=rω2
ω=konst.
Rotacija tekućine u otvorenoj posudi
00
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 29
Rotacija tekućine u otvorenoj posudi 3
Krećemo od Euler-ove jednadžbe (zbrojimo komponente!) :
Uvrstimo naša ubrzanja:
I integriramo:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 30
Rotacija tekućine u otvorenoj posudi 4
Malo sredimo:
Konstantu c nalazimo iz uvjeta da u ishodištu imamo p=pa:
Istovremeno, i na cijeloj slobodnoj plohi je p=pa pa dalje nalazimo:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 31
Rotacija tekućine u otvorenoj posudi 5
Ovo je jednadžba rotacionog paraboloida.
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 32
h0 (visina bez rotacije)
Rotacija tekućine u otvorenoj posudi 6
R
hC
hR
ne ovisi o ρ!
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 33
hc i hR nañemo iz sačuvanja volumena tekućine:
Rotacija tekućine u otvorenoj posudi 7
(volumen rotacionog paraboloida je: )
Dalje nalazimo: a uz
Na kraju imamo:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 35
Rotacija tekućine u zatvorenoj posudi 2
Ne zaboravite da tlak djeluje okomito na plohu pa i na
poklopcima dolazi do porasta tlaka!
Porast tlaka opaža se i kod svake
promjene smjera tečenja!
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 36
Euler-ova jednadžba za stacionarno tečenje
kod stacionarnog tečenja zadnji član lijeve strane isčezava,
pa nam ostaje:
Polazimo od integralnog oblika kvazi-1D Eulerove jednadžbe za
polje sile teže:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 37
Bernoulli-ova jednadžba 1
Ako zanemarivo stlačivost, Euler-ovu jednadžbu za
stacionarno strujanje možemo integrirati pa dobijemo:
Ovo je Bernoulli-jeva jednadžba za nestlačivi fluid.
Analizirajmo dimenzije pojedinih članova na lijevoj strani:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 38
Bernoulli-ova jednadžba 2
Svi članovi predstavljaju energiju po jedinici mase.
Konstanta na desnoj strani je ukupna energija jedinične
mase fluida.
uz
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 39
Bernoulli-ova jednadžba 3
predstavlja kinetičku energiju fluida.
predstavlja unutrašnju energiju fluida (zbog tlaka).
predstavlja potencijalnu energiju fluida.
B.J. je u stvari zakon sačuvanja energije za tekućine.
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 41
Ravnoteža čestice fluida okomito na strujnicu 2
Okomito na strujnicu na česticu fluida djeluju:
1. tlačne sile po bočnoj plohi.
2. centrifugalna sila (zbog zakrivljenosti strujnice).
3. sila teža.
Gledamo ravnotežu svih tih sila u smjeru glavne
normale (=normala u smjeru prirasta polumjera r).
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 42
Ravnoteža čestice fluida okomito na strujnicu 3
Pretpostavimo strujnu cijev kvadratičnog presjeka pa je:
a gornja jedn. postaje:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 43
Ravnoteža čestice fluida okomito na strujnicu 4
Nakon sreñivanja ostaje nam:
dinamički
dio
statički
dio
Ako nema strujanja ovo prelazi u jednadžbu hidrostatske
ravnoteže:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 44
Ravnoteža čestice fluida okomito na strujnicu 5
Ako je strujanje u horizontalnoj ravnini, statički dio
možemo zanemariti pa je:
Ovo je jednadžba radijalne ravnoteže toka.
Ako su strujnice koncentrične kružnice (vrtlog) ovo postaje:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 45
Bernoulli-jeva jednadžba za tekućine
Svi članovi sad imaju dimenzije duljine i nazivaju se visine:
brzinska v. + tlačna v. + geodetska v. = v. energetskog
horizonta (energetske linije).
tlačna v. + geodetska v. = piezometarska v.
B.J. za nestlačivi fluid podijelimo sa g:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 46
Bernoulli-jeva jednadžba za tekućine 2
Ovo je energija po težini jedinične mase (g⋅1 kg).
Ovaj oblik najčešće se koristi jer se piezometarska visina može
direktno mjeriti.
Energetski karakter je skriven. Možemo probati ovako:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 47
Bernoulli-jeva jednadžba za tekućine 3
gdje su 1 i 2 bilo koje dvije točke na strujnici.
Tu je problem: B.J. vrijedi za jednu strujnicu.
Praksa: "ignoriramo" problem i u B.J. uvrštavamo srednje
vrijednosti odgovarajućih veličina.
Kako je gustoća konstantna (početna pretpostavka!) i
zo konstanta, možemo pisati:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 48
Bernoulli-jeva jednadžba za tekućine 4
Protok mase je dan sa:
Najveću grešku unosi srednja vrijednost brzine (tlak i visina se
sporije mijenjaju). Probajmo ocijeniti tu grešku. Polazimo od
toka kinetičke energije kroz strujnu cijev:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 49
Bernoulli-jeva jednadžba za tekućine 5
odnosno:
Za cijeli presjek toka, to moramo integrirati po površini presjeka:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 50
Bernoulli-jeva jednadžba za tekućine 6
Račun sa srednjom vrijednošću brzine daje:
Matematički se može dokazati da uvijek vrijedi:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 51
Corioliss-ov koeficijent
Omjer:
naziva se Coriollis-ov koeficijent.
Da izbjegnemo greške zbog usrednjavanja, moramo modificirati B.J:
Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 52
Corioliss-ov koeficijent 2
Odnosno:
Coriollis-ov koeficijent u realnim situacijama moramo odrediti iz
poznatih podataka o toku na mjestu za koje taj koeficijent tražimo.