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11Aplicacionesde las derivadas
x2y =
x – 1
y' = 0 ò x = – 1, x = 1Máximo relativo: A(– 1, – 2) Mínimo relativo: B(1, 2)
Creciente (): (– !,– 1) " (1, #!)$ecreciente (%): (– 1, 0) " (0, 1)
&) y' = – x(x2 # 1)2y' = 0 ò x = 0Máximo relativo: A(0, ) Mínimo relativo: no tiene Creciente (): (– !, 0)$ecreciente (%): (0, #!)
Solución:x
y' =*x2 # +
y' = 0 ò x = 0
Máximo relativo: no tieneMínimo relativo: A(0, 2) Creciente (): (0, #!)$ecreciente (%): (– !, 0)
-MA 11 A./CAC-3 $- /A3 1
1. Máximos, mínimos y monotonía
■Piensa y calcula2
$a6a la 7rá8ca 6e la 9nci;n 9(x) =x
realla lo máximo y ?
x – 1lo mínimo relativo y lo intervalo 6e crecimiento y 6ecrecimiento @
A
●Aplica la teoría
1. Calcla lo máximo y lo mínimo relativoy 6etermi na la monotonía 6e lai7iente 9ncione:
a) y = x – x2 # &) y = x+ – +x
3. Calcla lo máximo y lo mínimo relativo y6etermi na la monotonía 6e la i7iente9nci;n: y = *x2 # +
2. Calcla lo máximo y lo mínimo relativoy 6etermi na la monotonía 6e lai7iente 9ncione:
2
=x # 1
x&)y =
x2 # 1
Solución:
Máximo relativo:(0, 0) Mínimorelativo: B(2, +)Creciente (5): (– !, 0) U (2, #!)
Solución:
a) y' = x2 – x
y' = 0 ò x = 0, x =
2 Máximo relativo:
A(0, ) Mínimorelativo: B(2, – 1)Creciente (5): (– !, 0) U (2, #!)
$ecreciente (¹):
(0, 2) &) y' = 12x –
12x2y' = 0 ò x = 0, x =1
Máximo relativo: no
o
! d i t o r
i a l " r u # o ,
S .
$ .
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2 3/"CA
Solución:
a) y' = x2 – 1
x2
2
2 x9( x)= @* x2#
Solución:a) y' = x2 – 1x # 2D y'' = x – 1y'' = 0 ò x = y''' = y'''() = 0.nto 6e inEexi;n:A(, 1) Convexa (F): (, #!)C;ncava (G): (– !, )&) y' = – x2 # x y'' = – x # y'' = 0 ò x = 1 y''' = – y'''(1) = – H 0
.nto 6e inEexi;n:A(1, 0) Convexa (F): (– !, 1)C;ncava (G): (1, #!)
Solución:x2 # 1a) y' = –
y'' =
(x2 – 1)22x(x2 # )(x2 – 1)
y'' = 0 ò x = 0y''' = – (x+ # x2 # 1)
(x2 – 1)+y'''(0) = – H 0
.nto 6e inEexi;n: (0, 0) Convexa (F): (– 1, 0) " (1, #!)C;ncava (G): (– !,– 1) " (0, 1)
&) y' = (1 – x2)(x2 # 1)2y'' = x(x2 – )
(x2 # 1)
4. Calcla lo máximo y lo mínimo relativo y6etermi na la monotonía 6e la i7iente9nci;n: y = (2 – x)ex
Solución:
y' = (1 – x)ex y' = 0 ò x = 1
Solución:
y' = 1I2 – co x
Máximo relativo:A(1, e) Mínimorelativo: no tieneCreciente (5): (–
y' = 0 ò x = JI, x = πI@
Máximo relativo: A( J , J # * ) @
5. Calcla lo máximo y lo mínimorelativo y 6etermi na la monotonía 6e lai7iente 9nci;n en (0, 2J):
x
Mínimo relativo: B(
J ,
J – * )
Creciente (5): (JI, JI)
$ecreciente (¹): (0, JI) U
2 Puntos de in%exión y curvatura■Piensa y calcula
?
$a6a y =2x
realla lo
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y'' = 0 ò x = – * , x = 0, x = * 1(x+ – x2 # 1)
y''' = –(x2 # 1)+
y'''(– * ) = KI1 H 0y'''(0) = – 1 H 0
y'''( * ) = KI1 H 0
.nto 6e inEexi;n:A(– * , – * I+), (0, 0), B(* , * I+)Convexa (F): (– * , 0) " (* , #!)C;ncava (G): (– !,– * ) " (0, * )
Solución:
y' = 2xx2 # +
y'' = – 2(x2 – +)
(x2 # +)2y'' = 0 ò x = – 2, x = 2
y''' = +x(x2 – 12)
(x2 # +)y'''(– 2) = 1I 0y'''(2) = – 1I 0.nto 6e inEexi;n:A(– 2, / 2), B(2, / 2)Convexa (F): (– 2, 2)C;ncava (G): (– !,– 2) " (2, #!)
(. Calcla lo
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3e
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Solución:
a) -l 6ominio 6e 9(x) e y R0, 2πS T
Q 9(x) e contina en R0, 2JS
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Solución:
lím x – en x==
x0 x R S0 1 – co x0x0 = == límx0
en x0x
=R S0x0= lím co x= 1ISolución:
lím x / x = R0 Z (–!)S = lím=/ x
x0 # x0 # 1x
RS–!! =
límxC0
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;7nita y 6ato x = ay Le maximi]ar 9 (x, y) = xyeto a: x # y = 100 ò y = 100 – xecri&e la 9nci;n con na ola varia&le 9(x) = x(100 – x)= 100x – x2
calclan lo máximo y mínimo relativo 9 '(x) = 100 – 2x0 – 2x = 0 ò x = 0 = 0 ò y = 0comay Le minimi]ar
23eta a la con6icione:
y2 = 1 – x2 ò y = *1 – x2 > = + # x3e ecri&e la ecaci;n con na ola varia&le A(x) = *1 – x2 (+ # x)
A(x) = (+ # x)*1 – x23e calclan lo máximo y mínimo relativo 6erivan6o
A(y, >) = 1 2y>
A'(x) = *1 – x2 – (+ # x) x*1 – x2
A'(x) = *1 – x2 – +x # x2*1 – x2
*1 – x2 – +x # x2*1 – x2 = 0 ò x = – +, x = 2
3i x = – +, no tiene enti6o en el = cm
Solución:a) nc;7nita, 6ato y 6i&o x = lon7it6 6e la &aey = altra.erímetro = + m
y
x
\nci;n Le >ay Le maximi]ar 3(x, y) = xy3eta a la con6icione:
.erímetro = + m ò x # y = 2ecri&e la ecaci;n con na ola varia&le x # y = 2 ò y = 2 – x
3(x) = x(2 – x)3(x) = 2x – x2
3(x,y) = xy
●Aplica la teoría
24. Calcla 6o nPmero cya ma ea 100 y6e 9orma Le
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Solución:y' = x2 – y'(0) = – y(0) = 04ecta tan7ente:y – 0 = – (x – 0) ò y = – x4ecta normal:
y – 0 = 1 (x – 0) ò y = xI
Solución:tremo relativo:x2 – 1)x) = –
2 # 1)2x) = 0 ò x = – 1, x = 1 3olo e toma el valor x = 1 3i x = 1 ò 9(1) = I2(x) = x(x2 – )
2 # 1)(1) = – I2 ^ 0 (–) ò máximo relativo Máximo relativo: A(1, I2)lore en lo extremo: 9(0) = 0) = Imáximo a&olto lo alcan]a en el máximo relativo: A(1, I2)mínimo a&olto lo alcan]a en (0, 0)
Solución:.aa
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!7ercicios y pro5lemas PA8
Pre0untas tipo test Contesta en tu
1 $a6a la crva y = xe–x2, el valor 6e la a&cia en elex en x – x
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9 (x)
?
Solución:
a) y' = 2(x+ – 1)
xy' = 0 ò x = – 1, x = 1 Máximo relativo: no tieneMínimo relativo: A(– 1, 2), B(1, 2)Creciente (): (– 1, 0) " (1, #!)$ecreciente (%): (– !, – 1) " (0, 1)
&) y' = – 1x(x2 – K)2y' = 0 ò x = 0Máximo relativo: (0, 0) Mínimo relativo: no tieneCreciente (): (– !,– ) " (– , 0)$ecreciente (%): (0, ) " (, #!)
7(x)
?
Solución:y' =+x *x2 – +y' = 0 ò x = 0
Máximo relativo: A(0, 2 *2 )y'(x) no exite en lo valore x = – 2, x = 2 Mínimo relativo: B(– 2, 0), C(2, 0)
Creciente (): (– 2, 0) " (2, #!)$ecreciente (%): (– !, – 2) " (0, 2)
Solución:
x2y' = 0 ò x = 1
Máximo relativo: no tiene Mínimo relativo: A(1, e)
y' = ex(x – 1)
1. Máximos, mínimos y monotonía
34. 6enti8ca en la i7iente 7rá8ca lomáximo y lo mínimo relativo y lointervalo 6on6e la 9nci;n e creciente y
6ecreciente:a)
Creciente (5): (– !,– 2) U (1, #!)
$ecreciente (¹): (– 2, 1)
&. Calcla lo máximo y lo mínimo relativo
y 6etermi na la monotonía 6e la i7iente9ncione:
x + # 1a)y
=x2
x 2&)y =
x2 –K
&)
'. Calcla lo máximo y lo mínimo relativo y 6etermi na la monotonía 6e la i7iente 9nci;n:y = *(x2 – +)2
4. Calcla lo máximo y lo mínimo relativoy 6etermi na la monotonía 6e la i7iente9ncione:
a) y =
1
x
– x &) y = 2x
# x2
– 12x
(. Calcla lo máximo y lo mínimo relativoy 6etermi na la monotonía 6e la i7iente9nci;n:
exy =x
Solución:
a)Máximo relativo: notiene Mínimo
relativo: A(2, – 2)Creciente (5): (2,
#!) $ecreciente
(¹): (– !, 2)
&)Máximo relativo: (0, 0)Mínimo relativo: A(– 1, – 1), B(1, – 1)
Solución:
a) y' = x+ – 1
y' = 0 ò x = – 1, x
= 1 Máximo relativo:A(– 1, +I) Mínimorelativo: B(1, – +I)Creciente (5): (– !,– 1) U (1, #!)
$ecreciente (¹): (–
1, 1) &) y' = x2 #
x – 12y' = 0 ò x = – 2, x = 1
o ! d i t o r i a l " r u # o ,
S .
$ .
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o, y 6
etermi na la
monotoní a 6e
la i7iente
9 nci;n en (
0,
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Solución:
y' = 1I2 – en xy' = 0 ò x = JI, x = JI
Máximo relativo: A,(J J # *@
12 )Mínimo relativo: B(J J – *
@
,
12 )Creciente (): (0, JI) " (JI, 2J)$ecreciente (%): (JI, JI)
9(x)
?
9(x)
?
2π
):
y =1
x #co x 243. Calcla lo
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y''' = – # /2 x
x2 /+ x
y'''(e2) = – 1 H 0e+
.nto 6e inEexi;n:A(e2, e2I2) Convexa (F): (1, e2)C;ncava (G): (0, 1) " (e2,# !)
&) y' = 2x(x2 – 1)2
y'' = – 2(x2 # 1)
(x2 – 1)
y'' H 0.nto 6e inEexi;n: no tiene Convexa (F): (– 1, 1)C;ncava (G): (– !,– 1) " (1, #!)
Solución:x
y' = –*+ – x2
y'' = – +(+ – x2) *+ – x2y'' H 0.nto 6e inEexi;n: no tiene Convexa (F): bC;ncava (G): (– 2, 2)
ución:= – 2x e–x2= (+x2 – 2) e–x2= 0 ò x = – *2 I2, x = *2 I2 y''' = +x( – 2x 2)e–x2– *2 I2) = + *2 I *e H 0 *2 I2) = – +*2 I *e H 0to 6e inEexi;n:A(– *2 I2, 1I *e ), B(*2 I2, 1I *e ) Convexa (F): (– !,– *2 I2) " (*2 I2, #!) C;ncava (G): (– *2 I2, *2 I2)
Solución:
y' = – 1 # / x/2 x
y'' = 2 – / xx / x
y'' = 0 ò x = e2
44. Calcla lo
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(2 – x)e x – (2 # x)4&. lím
xC0 x2
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Solución:
límx0
(2 – x)e – (2 # x)x2
x
==R S00lím –e # (2 – x)e – 1x x
x0
R0
= límx0
2x–ex – ex # (2 – x)ex
= 02 Solución:
a) nc;7nita y 6ato x = ay Le maximi]ar
eto a:y # ] = 0 y= 2x
ecri&e la 9nci;n con na ola varia&le 9(x) = x Z 2x Z (0 – x)= 120x2 – x
calclan lo máximo y mínimo relativo 9 '(x) = 2+0x – 1x20x – 1x2 = 0 ò x = 0, x = +0I = 0 ò y = 0 ò ] = 0 = +0I ò y = 0I ò ] = 20com
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e) 3e com
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B
O
A4
$
C-l trián7lo ABC e rectán7lo en A .or el teorema 6e la altra:42 = B$ Z $C = O(2 Z 10 – O) = 20O – O2&) \nci;n Le >ay Le maximi]ar
3eta a la con6icione:42 = 20O – O2c) 3e ecri&e la ecaci;n con na ola varia&le
5(4, O) = 1 J42O
5(O) = 1 J (20O – O2)O
6) 3e calclan lo máximo y mínimo relativo 6erivan6o
5(O) = 1 J (20O2 – O)
5'(O) = 1 J (+0O – O2)
3i O = 0, no tiene enti6o en el
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Solución:
9 '(x) = x2 # 12x – 2a
(x # 2)23i >a 6e tener n mínimo en x = 29 '(2) = 0
1 – a = 0 ò a = 1
9 ''(x) = +(a # )(x # 2)
9 ''(2) = a # ` 0
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9' (x)
9 (x)
9' (x)
9(x)
a 6eriva6a 6e na a, 9
?
6) /a 6eriva6a 6e na cP&ica e na ay n máximo, 9 '(0) = 0, 9 ' ` 0 a la i]Lier6a6e x = 0, y 9 ' ^ 0 a la 6erec>a 6e x = 0-n x = 2 >ay n mínimo, 9 '(2) = 0, 9 ' ^ 0 a la i]Lier6a 6e x = 2, y 9 ' ` 0 a la 6erec>a 6e x = 2-n x = 1 >ay n a] enca6a cao n 6i &o aa, 9 e creciente (9 ' ` 0)
9 '': /a 6eriva6a 6e na 9nci;n 6e ay n máximo, 9 '(– 2) = 0, 9 '` 0 a la i] Ler6a 6e x = – 2 y 9 ' ^ 0 a la6erec>a 6e x = – 2
-n x = 2 >ay n mínimo, 9 '(2) = 0, 9 ' ^ 0 ala i]Lier6a 6e x = 2 y 9 ' ` 0 a la 6erec>a6e x = 2
-n x = 0 >ay n a 6ecero la 9nci;n e c;ncava (9 '' ` 0) y a la
o ! d i t o r i a l " r u # o ,
S .
$ .
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i]Lier6a 6ecero la9nci;n econvexa (9 ''^ 0)
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6) /a 6eriva6a 6el eno e el coeno ?
9 ''(x) 9'(x)
-n lo a 6el valor 9 ' ^ 0-n lo
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ra]ona lare
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9'(x)
?
.en6iente = 9(2) – 9 (– 2) = – 1 # I = 12 – (– 2) 2 # 2
y # 1 = 1 (x – 2) ò y = x –
e contina en R– 2, 2S,
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Solución:
límxx 1 / x
1en (x – 1)
límx en (x – 1) – / xx 1/ x en (x – 1) R0
(@ en (x – 1) # / x co (x – 1)
en (x – 1) # x co (x – 1) – 1@x
x 11lím
x
) R0
(co (x – 1) # co (x – 1) – x en (x – 1) – 1
@2
= límxx 1–@ en (x – 1) # @ co (x – 1) # @ co (x – 1) – / x en (x – 1)
1 1 1x2 x x )= 12
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Solución:
límx 0(
t7 x
x= R!0 S = e x0
lím t7 x /(1Ix)lím – / x
= e x0 =
= e x0# – coec2 = e x0#lím
2
–1Ixlím en x x lím 2 en x co x= e x0# = e0 = 1
Solución:
límx #
x(/ x) # 2x!
== lím
R S! 1 1
x #@ # 2(/ x)2
= 2
x
( 2lím (/ x)x #x
)Solución:
límx 0(1 – 1xen x )= R! – !S = lím en x – x =x 0 x en x
R S
0
lím en x # x co x
R0
co x – 1
0x 0
= lím – en x= 0x 0 co x # co x – x en x
Solución:
límx 0
lím arc en xx 0 t7 x
== límR S@1
0@
0
*1 – x2 = 1x 0 ec2 x
Solución:
x # 2x – 1lím( 2x # )
x
= R1!x #lím x / 2x #
S = e 2x – 1 =
/ 2x # @
lím 2x – 1x # –x2
= e
@
x
1
= e x # –+x2 – +x # = e2lím
Solución: 1
lím (co x) en2 x = R1!S = e x0 en2 xlím 1 / co x
=x 0
/ co x – ec2 x
= e x0 en2 x = e x0 en 2x = e x0 2 co 2 x = e 2 =lím lím
– t7 xlím –
1 1*e
Solución:
lím (/ x)x – 1 = R00S = ex 1#x 1#
lím (x – 1) /(/ x)
lím /(/ x)x1# 1
= ex – 1 =
= e x 1# x / x= e x 1# / x # 1lím
– (x – 1)2– 2(x – 1)lím
= e0 = 1
Solución: 1
lím (cot7 x) / x = R!0 S = e x0#lím / cot7 x
/ x =x 0#
lím
= e x0#
– x coec2 xcot7 x
– x
= e x0 #lím en x co x
=lím – 1
= e x0# co2 x – en2 x = e–1 =1e
Solución:
x 0 *lím( @ @x x@@
límx 0
*1 # x – *1 – x*x R0@1
= lím 2*1 # x2*1 – x = d0 i x 0#@@
# @1
x 0 1o exite i x 0–f
2*x-l límite no exite can6o x 0
@@
(/. lím x
xC #! (/x)
# 2x
límxC0
en x
(4. lím arc en x cot7 xxC0
1
(&. lím (co x)en2 x
xC0
límxC #!
x
2x – 1
('. lí m
xC0#
1
(cot7x)/ x
92. límxC1#
(/ x)x – 1
t7 x –en x
88.
93. Calcla lím
(1 1# 1 – – 1
límxC0 x – en
x
@ @xC 0 x x
(
(
* * )
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Solución:t7 x – en xlímx 0 x – en x R S00
2
lím ec x – co xx 01 – co x
R S002
lím 2 ec x t7 x # en xx 0en x
= límx 0 ( 2co x # 1 = )
xC0
( x )t7 x
89. lím
1
o
! d i t o r i a l " r u # o ,
S .
$ .
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3i x = eI2 ò y = 2eI2
9 '''(x ) = 11 – / x ò 9 '''(eI2) = 2 H 0x+
4ecta tan7ente:
e
y – = 9'(eI2) (x – eI2)2eI2
y – = – 1 (x – eI2)2eI2 2e
nc;7nita y 6atox = ay Le minimi]ar 9(x, y) = x # y3eto a: xy = 1K2 ò y = 1K2
x3e ecri&e la 9nci;n con na ola varia&le 9(x) = x # 1K2
x
3e calclan lo máximo y mínimo relativo 6erivan6o
9 '(x) = –1K2x2
–= 0 ò x = – , x = 1K2x23i x = ò y = 2+-l valor x = – no e váli6o, ya Le
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9 '(x) = 0 ò x = – 1, x = 1Máximo relativo: A(– 1, – 2) Mínimo relativo: B(1, 2)
Creciente ():(–!,– 1) " (1, #!)$ecreciente (%): (– 1, 0) " (0, 1)
&) 9 ''(x) = 2x
9 ''(x) 0
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x) = 2(x2 – x # 2)– 2)(2x – 1)
x) H 0 alla lo intervalo 6e crecimiento y6ecrecimiento 6e la 9nci;n
1)(. /a 7rá8ca i7iente corre
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Solución:3ea t = 0 el intante en el Le e
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/a recta Le ay Le minimi]ar, .) = 6(x, y) = *(x – )2 # y2eta a la con6icione: y = *x # 1ecri&e la 9nci;n con na ola varia&le 6(x) = *(x – )2 #x # 1) = *x2 – x # 10calclan lo máximo y mínimo 6erivan6o
2x – 6'(x) =
2 *x2 – x # 106'(y) = 0 ò x = I2
3i x = I2 ò y =* 2 D = *1+
2
e) 3e comay Le maximi]ar
A(y, >) = 1 y>2
3eta a la con6icione:
> =*x – @2( )y 2
2y = 0 – 2x
c) 3e ecri&e la 9nci;n con na ola varia&le
A(x) = 1 (0 – 2x) *x2 – (0 – x)22A(x) = (0 – x) *0x – K00
11. Oalla el
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lución:nc;7nita, 6ato y 6i&o .nto 8o .(1, 2) ?
B
.(1, 2)
A
11/. $e to6a la recta Le
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e calclan lo máximo y mínimo 6erivan6o A'(x) = K0 (20 – x)0x – K00 A'(x) = 0 ò m = 20 3i x = 20, y = 20e com
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Solución:a) nc;7nita, 6ato y 6i&o
4 4
/
.erímetro = 100 m/ = lon7it6 6el arco 4 = lon7it6 6el ra6io&) \nci;n Le >ay Le maximi]ar
23eta a la con6icione:
/ # 24 = 100 ò / = 100 – 24c) 3e ecri&e la 9nci;n con na ola varia&le
A(/, 4) = 1 / Z 4
2A(4) = 04 – 42
3e calclan lo máximo y mínimo 6erivan6o A'(x) = 0 – 24A'(x) = 0 ò 4 = 2 3i 4 = 2, / = 0
com
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a) nc;7nita, 6ato y 6i&ox
y
lar7o 6el olaranc>o 6e na ay Le maximi]ar /(x, y) = x # +yeta a la con6icione:
xc) 3e ecri&e la 9nci;n con na ola varia&le
xy = 11 20 ò y = D0
/(x) = x # + Z D0x
x6) 3e calclan lo máximo y mínimo 6erivan6o
/(x) = x # 1 000
x2/'(x) = 0 ò x = – 0, x = 0
3i x = 0 ò y = D-l valor ne7ativo no tiene enti6o
e) 3e coma 6e contrir n 7ran 6eay entre elra6io, 4, 6e la &ae circlare y laaltra, O, 6el cilin6ro, y 6a el cote, C(4),6el material neceario
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Solución:a)
O
4
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9(x, >) =ZZ > #1x2 (100 – x+ )2
/a altra 6el trián7lo:
> =*( )( )@ – @x 2x 2
= x*
9(x) = x2 *
#(100 – x+ )2$om (9) = (0, 100)
&) 9 '(x) = x*1
# x – 100
9 '(x) = 0 ò x = K00K # + *
Creciente ():( K00K # + *, 100)$ecreciente (%):(0, K00K # + *)
c) 9 ''(x) = + * # K ` 0 ay Le maximi]ar5(x) = (0 – 2x)2x5(x) = +x – 2+0x2 # 00x
c)3e calclan lo máximo y mínimo
6erivan6o 5'(x) = 12x2 – +0x # 005'(x) = 0 ò x = 10, x = 0
6)3e com
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Solución:9 '(x) = co x.nto:A(JI+, *2 I2) 4ecta tan7ente:y – *2 I2 = 9 '( I+)(x – JI+) y – *2 I2 = *2 I2 (x – JI+) y = *2 I2 (x – JI+ # 1)
xx
12/. 3e coni6era la 9nci;ni7iente:
9(x) =1
+ – x2
o ! d i t o r i a
l " r u # o ,
S .
$ .
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Solución:
a) 9 '(x) = 2x(+ – x2)29 '(x) = 0 ò x = 0
9 ''(x) =2(x2 # +)(+ – x2)
ò 9 ''(0) = 1 ` 0
ximo relativo: no tieneimo relativo: A(0, 1I+) .nto 6e inEexi;n: no tiene Convexa (F): (– 2, 2)
ncava (G): (– !,– 2) " (2, #!).ara calclar lo máximo y mínimo a&olto, e o& erva Le la 9nci;n e contina en R– 1, 1S, e 6ecre ciente en (–mo:1) = 1I 9(1) = 1Itiene:mínimo a&olto e A(0, 1I+), Le coinci6e con el mí nimo relativo, y el máximo a&olto e alcan]a en lo extremo 6el i
a)Oalla lo extremo relativo 6e la 9nci;n9(x) y intervalo 6e concavi6a6 yconvexi6a6
&)Oalla el máximo y el mínimo a&olto enel interva lo R– 1, 1S
Solución:
a) 9 '(x) = 0 ò a – & = 0 ò x = _*&
x2 a
-n el intervalo (0, #!) ò x =
*
&
9 (* a ) = a a # = = =& &
= 2 *a&
& & #&
& &a a
2&a*a&a&
9 h(x) = 2&
x` 0 ay n mínimo relativo en el
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Solución:a) 3i 9 y 9 'e cortan en x = 1: 9 '(x) = x2 # a # a = 1 # a # &
3i en x = 1 >ay n extremo, 9 '(1) = 0 # a = 0
4eolvien6o el itema: # a = 0 # a = 1 # a # &
a = – , & = 2&) 9 ''(x) = x9 ''(1) = ` 0 (#) ò mínimo relativo
Solución: ?
3e o&erva Le 9 tiene al meno + extremo .or lo tanto, 9 ' e anla + vece, e 6ecir, e 6e 7ra6o catro 3i la
c) Niene f al7Pn otro extremoH
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olución:a 9ncione e cortan en x = 11) = 7(1) ò / 1 – & = a # & ò a # 2& = 0a 9ncione tienen la tan7ente comPn en x = 1 9 '(1) = 7'(1)
1 = a ò 1 = a ò a = 2x 2 *x 2
3i a = 2 ò & = – 1/a 9ncione on: 9(x) = / x # 17(x) = 2 *x – 1
Solución:
a) 9 '(x) =1 1
*(x # 1)2 *x2 –
9 '(x) = 0 ò x = – 1I2Máximo relativo: A(– 1I2, *+ ) Mínimo relativo: no tiene&) 9 '(x) no exite ay n
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5(O) = J 2O –( O+ )6) 3e calclan lo máximo y mínimo relativo
(2
5'(O) = J 2 – O+)5'(O) = 0 ò O = – 10 * ,O = 10 *
/a olci;n ne7ativa no tiene enti6o
3i O = 10 * ò 4 = *
e) 3e comay Le maximi]ar, y) = A. # .B = *x2 # 122 # *12 # y2
eta a la con6icione: y = 0 – xecri&e la 9nci;n con na ola varia&le /(x) = *x2 # 122 # *12 # (0 – x)2) = *x2 # 1++ # *x2 – 0x # 1 22+calclan lo máximo y mínimo relativo
/'(x) =x x – 0
*x2 # 1++*x2 – 0x # 1 22+#
) = 0 ò x = 123e com
r – r r – r
r = ra6io 6el cilin6ro
> = altra 6el cilin6ro 10>
– r\nci;n Le >ay Le maximi]ar 5(r, >) = Jr2>3eta a la con6icione: > = 2( – r)3e ecri&e la 9nci;n con na ola varia&le 5(r) = 2Jr2( – r)5(r) = 2J(r2 – r)3e calclan lo máximo y mínimo relativo 5'(r) = 2J(10r – r2)5'(r) = 0 ò r = 0, r = 10I
=
1*. Calcla la 6imenione Le 6e&e tener n
cilin6ro in crito en na e9era 6e cm 6era6io
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olución:9 '(x) = 2x – + 9(x) = 0 ò x = 2ximo relativo: no tiene Mínimo relativo: A(2, – 2)"na recta Le
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$inux;indo
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Windows Derive
Solución:
Solución:
149. y =x
x2 – 1
15!. y = 2 – x)"x
o
! d
i t o r i a l " r u # o ,
S .
$ .
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Solución: Solución:
151. y = 5 x2 + 4) 152. y = s"n x cos x "n (7 J)
o
! d
i t o r i a l " r u # o ,
S .
$ .
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Solución:
Solución:
Solución:
83. alla los %un#os sinula!"s d" la función:
fx) = x8 + 2
155. D"mu"s#!a ,u" la función:
fx) = 8 + x2 – 2) cos x
#i"n" "n "l in#"!$alo – 37 3) aln%un#o #al ,u" la #an"n#" s"a&o!i;on#al.
8 . Dada la función:
fx) = 2 + 1 – x2)"x
d"mu"s#!a ,u" f
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Solución:
Solución:
Solución:
8>. l
mx C(+
x 5 s"n x
lm ( s"n x x
1
89. lm x x
x C +!
o
! d
i t o r i a l " r u # o ,
S .
$ .
x
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Solución:Solución:
6 . alcula las !"c#as #an"n#" yno!mal d" la función:
fx) = x3 + x"n 17 2)
62. alla "l máximo y "l mnimoabsolu#os d" la fun0 ción:
fx) = x3 – 6x2 +9x – 1 "n "l in#"!$alo 172
o
! d
i t o r i a l " r u # o ,
S .
$ .
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Solución:
Solución:
Solución:
63. D"mu"s#!a ,u" la "cuación:
2x + x – 2 = (
#i"n" una nica solución !"al "n "l in#"!$alo (7 1
1$5. alcula las dim"nsion"s d" un
!"c#ánulo cuyo %"0 !m"#!o mida 64 m y
su á!"a s"a máxima.
6 . alcula "l $alo! d" los co"fici"n#"s a,
b y c %a!a ,u" la función:
fx) = x3 + ax2 + bx + c
co!#" al "j" ? "n "l %un#o 17 () y#"na un %un#o d" infl"xión "n "l%un#o @37 2)
! d i t o r i a l " r u # o ,
S .
$ .